文档文本内容
机密★启用前
江西省2023年初中学业水平考试
数学试题卷
数学试题卷第1页（共6页）
准考证号____________________姓名____________
说明：1. 本试题卷满分120分，考试时间为120分钟。
2. 请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相
应位置。错选、多选或未选均不得分。
1.下列各数中，正整数
···是
A.3
B.2.1
C.0
D.－2
2.下列图形中，是中心对称图形的是
A
B
C
D
3.若
a - 4 有意义，则a的值可以是
A.－1
B.0
C.2
D.6
4.计算(2m
2)
3的结果为
A.8m
6
B.6m
6
C.2m
6
D.2m
5
5.如图，平面镜MN 放置在水平地面CD 上，墙面PD⊥CD 于点D，一束光线AO 照射到镜面MN
上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
（第5题）
（第6题）
6.如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个
数为
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A
B
P
C
M O N
D
A
B
C
D
P
l
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.单项式－5ab的系数为______.
8.我国海洋经济复苏态势强劲.在建和新开工海上风电项目建设总规模约1 800 万千瓦，比上
一年同期翻一番，将18 000 000用科学记数法表示应为______.
9.化简：(a＋1)
2－a
2＝______.
10.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度
分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为______cm.
（第11题）
B
Q
C
D
P
A
C
B
P
A
D
（第12题）
B
C
α
（第10题）
A
0
2
3
4
5
1cm
11.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水
平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，
AQ＝12 m，则树高PQ＝______m.
12.如图，在□ABCD 中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到
AP，连接PC，PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为______.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）计算：8
3
＋tan45°－3
0；
（2）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD.求证：△ABC
△ADC.
14.如图是4×4的正方形网格,请仅用无刻度的直尺
······按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短.
图1
图2
数学试题卷第2页（共6页）
A
B
C
D
A
B
B
A
P
15.化简(
x
x + 1 +
x
x - 1)·x
2 - 1
x
.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学
解：原式＝é
ë
ê
ù
û
ú
x(x - 1)
(x + 1)(x - 1) +
x(x + 1)
(x - 1)(x + 1) ·x
2 - 1
x
…
解：原式＝
x
x + 1·x
2 - 1
x
+
x
x - 1·x
2 - 1
x
…
乙同学
（1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；
（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
16.为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动.根据活动要求，每班
需要2名宣传员.某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员.
（1）
“甲、乙同学都被选为宣传员”是______事件；
（填“必然”、
“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率.
17.如图，已知直线y＝x＋b与反比例函数y＝k
x（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，
过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝k
x（x＞0）的图象于点C.
（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC的面积.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，
则还缺25棵.
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30 元，乙树苗每棵40 元.购买这批树苗的总
费用没有超过5 400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
数学试题卷第3页（共6页）
y
A
B
C
O
x
数学试题卷第4页（共6页）
19.图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E均
在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8 m，DE＝2 m.（结果保留小数点后一位）
（1）连接CD，求证：DC⊥BC；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）.
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
图2
E
D
A
B
C
图1
20.如图，在△ABC 中，AB＝4，∠C＝64°,以AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点D，E 为
ABD 上一
点,且∠ADE＝40°.
（1）求
BE 的长；
（2）若∠EAD＝76°,求证：CB为⊙O的切线.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并
对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图.
整理描述
高中学生视力情况统计图
高中学生视力情况统计图
0.6及
以下
1.1及
以上
视力
0.7
0.8
0.9
1.0
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
14
44
60
82
65
55
人数
初中学生视力情况统计表
初中学生视力情况统计表
视力
0.6及以下
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1及以上
合计
人数
8
16
28
34
m
46
200
百分比
4%
8%
14%
17%
34%
n
100%
（1）m＝______，n＝______；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为______；
分析处理
（3）①小胡说：
“初中学生的视力水平比高中学生的好.”请你对小胡的说法进行判断，并选
择一个能反映总体的统计量
···说明理由；
②约定：视力未达到1.0为视力不良.若该区有26 000名中学生，估计该区有多少名中学
生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议.
A
B
C
D
O
E
数学试题卷第5页（共6页）
22.课本再现
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”,请你完成证
明过程.
已知：在□ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O.
求证：□ABCD是菱形.
图1
图2
知识应用
（2）如图2，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.
①求证：□ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝1
2 ∠ACD，求OF
EF 的值.
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四
边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
C
B
D
O
A
C
B
D
O
F
E
数学试题卷第6页（共6页）
六、解答题（本大题共12分）
23.综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为AC 上一点，CD＝2 .动点P
以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，
以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的
关系.
初步感知
（1）如图1，当点P 由点C运动到点B时，
①当t＝1时，S＝______；
②S关于t的函数解析式为______.
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的
图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
延伸探究
（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等.
①t1＋t2＝______；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积.
图2
O
t
S
18
6
2
4
图1
A
F
E
B
P
C
D
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1. A
2. B
3. D
4. A
5. C
6. D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.－5
8.1.8×10
7
9.2a＋1
10.2
11.6
12.90°或180°或270°
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解：原式＝2＋1－1
＝2.
（2）证明：∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC＝∠DAC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC
△ADC（SAS）.
14.解：
（1）如下左图（右图中的C1~C5亦可）：
A
B
B
A
C
C1
C2
C3
C5
C4
答：△ABC即为所求.
（2）如下图：
A
B
Q
P
A
B
Q
P
A
B
Q
P
（方法一）
（方法二）
（方法三）
答：点Q即为所求.
15.解：
（1）②，③；
（2）按甲同学的解法化简：
原式＝é
ë
ê
ù
û
ú
x(x - 1)
(x + 1)(x - 1) +
x(x + 1)
(x - 1)(x + 1) ·x2 - 1
x
A
B
C
D
ì
í
î
ï
ï
AB＝AD，
∠BAC＝∠DAC，
AC＝AC，
江西省2023年初中学业水平考试
数学试题参考答案
数学试题参考答案第1页（共7页）
＝x(x - 1)+ x(x + 1)
(x + 1)(x - 1)
·(x + 1)(x - 1)
x
＝
2x2
(x + 1)(x - 1)·(x + 1)(x - 1)
x
＝2x .
按乙同学的解法化简：
原式＝
x
x + 1·x2 - 1
x
+
x
x - 1·x2 - 1
x
＝
x
x + 1·(x + 1)(x - 1)
x
+
x
x - 1·(x + 1)(x - 1)
x
＝x－1＋x＋1
＝2x .
16.解：
（1）随机.
（2）解法一
列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
同学1
同学2
由上表可知，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被
选为宣传员的结果有2种.
所以P（甲、丁同学都被选为宣传员）＝2
12 ＝1
6 .
解法二
画树状图如下：
甲
乙丙丁
乙
甲丙丁
丙
甲乙丁
丁
甲乙丙
由树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同
学都被选为宣传员的结果有2种.
所以P（甲、丁同学都被选为宣传员）＝2
12 ＝1
6 .
17.解：
（1）∵直线y＝x＋b与反比例函数y＝k
x（x＞0）的图象交于点A（2，3），
∴2＋b＝3，3＝k
2 .
∴b＝1，k＝6.
∴直线AB的表达式为y＝x＋1，反比例函数图象的表达式为y＝6
x（x＞0）.
数学试题参考答案第2页（共7页）
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵直线y＝x＋1与y轴交点B的坐标为（0，1），BC∥x轴，
∴C点的纵坐标为1.
∴6
x ＝1，x＝6，即BC＝6.
由BC∥x轴，得BC与x轴的距离为1.
∴AD＝2.
∴S△ABC＝1
2 BC·AD＝1
2 ×6×2＝6.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.解：
（1）设该班的学生人数为x人.
依题意,得3x＋20＝4x－25.
解得x＝45.
答：该班的学生人数为45人.
（2）由（1）可知，树苗总数为3x＋20＝155.
设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（155－y）棵.
依题意，得30y＋40(155－y)≤5 400.
解得y≥80.
答：至少购买了甲种树苗80棵.
19.（1）证法一
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝1
2 (∠ACB＋∠B＋∠ACD＋∠ADC)＝1
2 ×180°＝90°.
∴DC⊥BC.
证法二
证明：∵AB＝AC＝AD，
∴点B，C，D在以点A为圆心，BD为直径的圆上.
∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC.
（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F.
在Rt△BCD中，cosB＝BC
BD ，BC＝1.8，
∴BD＝BC
cos B ＝
1.8
cos 55° ≈3.16.
∴BE＝BD＋DE＝3.16＋2＝5.16.
在Rt△EBF中，sinB＝EF
BE ，
∴EF=BE· sinB＝5.16×sin55°≈4.2.
因此，雕塑的高约为4.2 m.
y
A
B
C
O
x
D
E
D
A
B
C
F
数学试题参考答案第3页（共7页）
20.解：
（1）连接OE.
∵∠ADE＝40°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝80°.
∴∠BOE＝180°－∠AOE＝100°.
∴
BE 的长l＝100∙π∙2
180
＝10
9 π .
（2）证明：∵OA＝OE，∠AOE＝80°，
∴∠OAE＝180° - ∠AOE
2
＝50°.
∵∠EAD＝76°,
∴∠BAC＝∠EAD－∠OAE＝26°.
又∠C＝64°，
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝90°.即AB⊥BC.
又OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.解：
（1）68，23%.
（2）320.
（3）①小胡的说法正确.
理由如下：
理由一：从中位数看，初中生视力的中位数为1.0，高中生视力的中位数为0.9，所以初中
生的视力水平好于高中生.
理由二：从众数看，初中生视力的众数为1.0，高中生视力的众数为0.9，所以初中生的视
力水平好于高中生.
②方法一：26 000 × 8 + 16 + 28 + 34 + 14 + 44 + 60 + 82
200 + 320
＝14 300（名）.
方法二：26 000 ×(1 - 68 + 46 + 65 + 55
200 + 320
)＝14 300（名）.
所以，估计该区有14 300名中学生视力不良.
建议：①勤做眼保健操；②不要长时间用眼；③不要在强光下看书；④加强户外运动.
22.（1）证法一
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又BD⊥AC，
∴BD垂直平分AC.
∴BA＝BC.
∴□ABCD是菱形.
证法二
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
A
B
C
D
O
E
A
C
B
D
O
图1
数学试题参考答案第4页（共7页）
∵BD⊥AC，
∴∠AOB＝∠COB.
又OB＝OB,
∴△AOB
△COB（SAS）.
∴BA＝BC.
∴□ABCD是菱形.
（2）①证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝8，BD＝6，
∴OA＝1
2 AC＝4，OD＝1
2 BD＝3.
∴OA
2＋OD
2＝4
2＋3
2＝25.
又AD
2＝5
2＝25，
∴OA
2＋OD
2＝AD
2.
∴∠AOD＝90°.即BD⊥AC.
∴□ABCD是菱形.
②方法一
解：如图2，取CD的中点G，连接OG.
∵□ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝5，OB＝OD，∠ACB＝∠ACD.
∵∠E＝1
2 ∠ACD，
∴∠E＝1
2 ∠ACB.即∠ACB＝2∠E.
又∠ACB＝∠E＋∠COE，
∴∠E＝∠COE.
∴CE＝CO＝4.
∵OB＝OD，GC＝GD，
∴OG为△DBC的中位线.
∴OG//BC，且OG＝1
2 BC＝5
2 .
∴OG//CE.
∴△OGF
△ECF.
∴OF
EF ＝OG
CE ＝5
8 .
方法二
解：如图3，延长FO交AB于点H.
同方法一可得CE＝CO＝4.
∵□ABCD是菱形，
∴BH//CF.
∴HF
FE ＝BC
CE ＝5
4 ，HO
OF ＝BO
OD ＝1.
∴HF＝2OF.
∴OF
FE ＝5
8 .
A
C
B
D
O
F
E
G
图2
A
C
B
D
O
F
E
H
图3
数学试题参考答案第5页（共7页）
六、解答题（本大题共12分）
23.解：
（1）①3.
②S＝t
2＋2.
（2）方法一
由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6.
将S＝6代入S＝t
2＋2，得6＝t
2＋2，解得t＝2或t＝－2（舍去）.
当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)
2＋2.
将(2，6)代入，得6＝a(2－4)
2＋2.解得a＝1.
故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)
2＋2.
由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.
由18＝(t－4)
2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）
∴AB＝（8－2）×1＝6.
方法二
由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6，即BD
2＝6.
∴BD＝6 .
在Rt△DBC中，由勾股定理，得BC＝BD2 - CD2 ＝2.
∴点P由C运动到B的时间为2÷1＝2 s.
当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)
2＋2.
将(2，6)代入，得6＝a(2－4)
2＋2.解得a＝1.
故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)
2＋2.
由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.
由18＝(t－4)
2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）
∴AB＝（8－2）×1＝6.
（3）①4.
由(1)(2)可得S＝{
t2 + 2 ，
0 ≤t＜2，
(t - 4)2 + 2，2 ≤t ≤8.
在图2中补全0≤t＜2内的图象.
根据图象可知0≤t≤2内的图象与2≤t≤4内的图象关于直线x＝2对称.
因此t1＋t2＝4.
②方法一
函数S＝t
2＋2的图象向右平移4个单位与函数S＝(t－4)
2＋2的图象重合.
∵当t＝t1和t＝t3时，S的值相等，
∴t3－t1＝4.
又t3＝4t1，
∴4t1－t1＝4，得t1＝4
3 .
此时正方形DPEF的面积S＝t2
1 + 2 ＝34
9 .
图1
A
F
E
B
P
C
D
图2
O
t
S
18
6
2
t1 t2
t3
数学试题参考答案第6页（共7页）
方法二
根据二次函数的对称性，可知t2＋t3＝8.
由①可知t1＋t2＝4，
∴t3－t1＝4.
又t3＝4t1，
∴4t1－t1＝4，得t1＝4
3 .
此时正方形DPEF的面积S＝t2
1 + 2 ＝34
9 .
数学试题参考答案第7页（共7页）
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