2022 年山西省中考数学真题试卷
一、选择题(本大题共10 个小题,每小题3 分,共30 分)
1.(2022 山西,1,3 分)-6 的相反数为( )
A.6 B.1
6
C.-1
6
D.-6
2.(2022 山西,2,3 分)2022 年4 月16 日,神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定
任务,顺利返回地球家园.六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度.下列
航天图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是
( )
A
B
C
D
3.(2022 山西,3,3 分)粮食是人类赖以生存的重要物质基础.2021 年我国粮食总
产量再创新高,达68 285 万吨.该数据可用科学记数法表示为( )
A.6.828 5×104吨
B.68 285×104吨
C.6.828 5×107吨
D.6.828 5×108吨
4.(2022 山西,4,3 分)神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳
上发现,其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的(
)
A.平移B.旋转C.轴对称
D.黄金分割
5.(2022 山西,5,3 分)不等式组{
2 x +1≥3,
4 x -1<7 的解集是
( )
A.x≥1 B.x<2
C.1≤x<2
D.x<1
2
6.(2022 山西,6,3 分)如图,Rt△ABC 是一块直角三角板,其中
∠C=90°,∠BAC=30°.直尺的一边DE 经过顶点A,若DE∥CB,则∠DAB 的度数为
( )
A.100° B.120° C.135° D.150°
7.(2022 山西,7,3 分)化简1
a-3-
6
a
2-9的结果是
( )
A. 1
a+3
B.a-3
C.a+3
D. 1
a-3
8.(2022 山西,8,3 分)如图,△ABC 内接于☉O,AD 是☉O 的直径,若∠B=20°,则
∠CAD 的度数是
( )
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
9.(2022 山西,9,3 分)“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶,被国际气象
界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票,他要将“立春”“立夏”
“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面
上(邮票背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一
张,则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是
( )
A.2
3
B.1
2
C.1
6
D.1
8
10.(2022 山西,10,3 分)如图,扇形纸片AOB 的半径为3,沿AB 折叠扇形纸片,点
O 恰好落在´AB上的点C 处,图中阴影部分的面积为
( )
A.3π-3√3
B.3π-9√3
2
C.2π-3√3
D.6π-9√3
2
二、填空题(本大题共5 个小题,每小题3 分,共15 分)
11.(2022 山西,11,3 分)计算:√18×√
1
2的结果为 .
12.(2022 山西,12,3 分)根据物理学知识,在压力不变的情况下,某物体承受的压
强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其函数图象如图所示,当S=0.25
m2时,该物体承受的压强p 的值为 Pa.
13.(2022 山西,13,3 分)生物学研究表明,植物光合作用速率越高,单位时间内合
成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率,科研人员从甲、
乙两个品种的大豆中各选五株,在同等实验条件下,测量它们的光合作用速率(单
位:μmol·m-2·s-1),结果统计如下:
品
种第一株第二株第三株第四株第五株平均数
甲
32
30
25
18
20
25
乙
28
25
26
24
22
25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 (填“甲”或“乙”).
14.(2022 山西,14,3 分)某品牌护眼灯的进价为240 元,商店以320 元的价格出
售.“五一节”期间,商店为让利于顾客,计划以利润率不低于20%的价格降价出售,
则该护眼灯最多可降价 元.
15.(2022 山西,15,3 分)如图,在正方形ABCD 中,点E 是边BC 上的一点,点F 在
边CD 的延长线上,且BE=DF,连接EF 交边AD 于点G.过点A 作AN⊥EF,垂足为
点M,交边CD 于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN 的长为 .
三、解答题(本大题共8 个小题,共75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算
步骤)
16.(2022 山西,16,10 分)(1)计算:(-3)2×3-1+(-5+2)+|-2|;
(2)解方程组:{
2 x - y =3,①
x + y =6.②
17.(2022 山西,17,8 分)如图,在矩形ABCD 中,AC 是对角线.
(1)实践与操作:利用尺规作线段AC 的垂直平分线,垂足为点O,交边AD 于点E,
交边BC 于点F(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母);
(2)猜想与证明:试猜想线段AE 与CF 的数量关系,并加以证明.
18.(2022 山西,18,7 分)2022 年我国已成为全球最大的电动汽车市场,电动汽车
在保障能源安全,改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电
动汽车和某款燃油车的对比调查发现,电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平
均每公里的加油费少0.6 元.若充电费和加油费均为200 元,电动汽车可行驶的总
路程是燃油车的4 倍,求这款电动汽车平均每公里的充电费.
19.(2022 山西,19,8 分)首届全民阅读大会于2022 年4 月23 日在北京开幕,大
会主题是“阅读新时代·奋进新征程”.某校“综合与实践”小组为了解全校3 600 名
学生的读书情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,形成了如下调查报告(不完
整):
××中学学生读书情况调查报告
调查主题
××中学学生读书情况
调查方式
抽样调
查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与
描述
第
一
项
您平均每周阅读课外书的时间大约是(只能单选,每项含最小值,
不含最大值)
A.8 小时及以上;B.6~8 小时;
C.4~6 小时;D.0~4 小时.
第
二
项
您阅读的课外书的主要来源是(可多选)
E.自行购买;F.从图书馆借阅;
G.免费数字阅读;H.向他人借阅.
调查结论
……
请根据以上调查报告,解答下列问题:
(1)求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数;
(2)估计该校3 600 名学生中,平均每周阅读课外书时间在“8 小时及以上”的人数;
(3)该小组要根据以上调查报告在全班进行交流,假如你是小组成员,请结合以上
两项调查数据分别写出一条你获取的信息.
20.(2022 山西,20,8 分)阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的任务.
任务:(1)上面小论文中的分析过程,
主要运用的数学思想是 (从下面选项中选出两个即可);
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就
是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象(称为
抛物线)与x 轴交点的横坐标.抛物线与x 轴的交
点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交
点.与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:
有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、
无实数根.因此可用抛物线与x 轴的交点个数确定
一元二次方程根的情况.
下面根据抛物线的顶点坐标
(- b
2a , 4 ac -b
2
4 a )和一元二次方程根的判别式
Δ=b2-4ac,分别从a>0 和a<0 两种情况进行分析:
(1)a>0 时,抛物线开口向上.
①当Δ=b2-4ac>0 时,有4ac-b2<0.∵a>0,∴顶点纵
坐标4 ac -b
2
4 a
<0.
∴顶点在x 轴的下方,抛物线与x 轴有两个交点
(如图1).
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等
的实数根.
图1
图2
②当Δ=b2-4ac=0 时,有4ac-b2=0.∵a>0,∴顶点纵
坐标4 ac -b
2
4 a
=0.
∴顶点在x 轴上,抛物线与x 轴有一个交点(如图
2).
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的
实数根.
③当Δ=b2-4ac<0 时,
……
(2)a<0 时,抛物线开口向下.
……
A.数形结合B.统计思想
C.分类讨论D.转化思想
(2)请参照小论文中当a>0 时①②的分析过程,写出③中当a>0,Δ<0 时,一元二
次方程根的情况的分析过程,并画出相应的示意图;
(3)实际上,除一元二次方程外,初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识,
例如:可用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例为
.
21.(2022 山西,21,8 分)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代
替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD
两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:无人机在AB,CD 两楼
之间上方的点O 处,点O 距地面AC 的高度为60 m,此时观测到楼AB 底部点A
处的俯角为70°,楼CD 上点E 处的俯角为30°,沿水平方向由点O 飞行24 m 到达
点F,测得点E 处的俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O 均在同一竖直平面内.请
根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC(结果精确到1 m.参考数据:sin
70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,√3≈1.73).
22.(2022 山西,22,13 分)综合与实践
问题情境:在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EDF 中
∠EDF=90°,将三角板的直角顶点D 放在Rt△ABC 斜边BC 的中点处,并将三角板
绕点D 旋转,三角板的两边DE,DF 分别与边AB,AC 交于点M,N.
猜想证明:(1)如图①,在三角板旋转过程中,当点M 为边AB 的中点时,试判断四
边形AMDN 的形状,并说明理由;
问题解决:(2)如图②,在三角板旋转过程中,当∠B=∠MDB 时,求线段CN 的长;
(3)如图③,在三角板旋转过程中,当AM=AN 时,直接写出线段AN 的长.
图①
图②
图③
23.(2022 山西,23,13 分)综合与探究
如图,二次函数y=-1
4x2+3
2x+4 的图象与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),
与y 轴交于点C,点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点,设点P 的横坐标
为m.过点P 作直线PD⊥x 轴于点D,作直线BC 交PD 于点E.
(1)求A,B,C 三点的坐标,并直接写出直线BC 的函数表达式;
(2)当△CEP 是以PE 为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标;
(3)连接AC,过点P 作直线l∥AC,交y 轴于点F,连接DF.试探究:在点P 运动的
过程中,是否存在点P,使得CE=FD,若存在,请直接写出m 的值;若不存在,请说
明理由.
2022 年山西省中考数学真题试卷
1.A 根据相反数的定义,可知-6 的相反数是6,故选A.
2.B 把一个图形绕着某点旋转180°后,能够与原图形重合的图形是中心对称图形.只有B 正确,
故选B.
3.D 68 285 万吨=6.828 5×104×104=6.828 5×108吨,故选D.
4.D 每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618,即黄金分割.
5.C 由2x+1≥3 解得x≥1;由4x-1<7 解得x<2,
∴不等式组的解集为1≤x<2.故选C.
6.B ∵DE∥CB,∠C=90°,∴∠CAD=∠C=90°,
∴∠DAB=90°+30°=120°,故选B.
7.A 原式=
a+3
(a+3)(a-3)
-
6
(a+3)(a-3)
=
a-3
(a+3)(a-3)
= 1
a+3
,故选A.
8.C 连接CO,则∠COA=2∠B=40°,∴∠COD=180°-40°=140°,∴∠CAD=1
2
∠COD=70°,故选
C.
9.C 画出树状图如图.
可知共有12 种等可能的情况,其中恰好抽到“立春”和“立夏”的有2 种,则所求概率为2
12
=1
6
,故选
C.
10.B 连接OC,由OA=OB 及折叠可知点C 为´AB的中点且OC 与AB 互相垂直平分,∴四边形
ACBO 是菱形,∴OC=OA=AC=OB=BC,∴△ACO 和△COB 都是等边三角形,
∴∠AOC=∠COB=60°,
∴S 阴影=2(S 扇形OAC-S△AOC)=2
60 π ×3
2
360
-1
2
×32×sin 60°
=3π-9√3
2
,故选B.
解题关键
作辅助线OC,推出四边形ACBO 是菱形是解答本题的关
键.
11.答案 3
解析 √18×√
1
2
=√18× 1
2
=√9=3.
12.答案 400
解析 设反比例函数的表达式为p=k
S
(k≠0),反比例函数的图象过点(0.1,1 000), ∴k=0.1×1
000=100,∴p=100
S
.当S=0.25 m2时,p= 100
0.25
=400 Pa.
13.答案 乙
解析 甲品种大豆的方差s甲
2 =1
5
×[(32-25)2+(30-25)2+(25-25)2+(18-25)2+(20-25)2]=29.6,
乙品种大豆的方差s乙
2 =1
5
×[(28-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(24-25)2+(22-25)2]=4.
∵s甲
2 >s乙
2 ,∴乙品种大豆光合作用速率更稳定.
14.答案 32
解析 设该护眼灯降价x 元出售,由题意得240(1+20%)≤320-x,解得x≤32,∴最多可降价32 元.
15.答案 4√34
解析 设AD=x,由正方形的性质可得AD=CD=BC=x,AD∥BC,∠ADC=∠ADF=90°,∴DG
CE
=
FD
FC
,∴DG=5( x -5)
x +5
.又∵AN⊥EF,∠AGM=∠FGD,∴∠GAM=∠GFD,∴△FGD∽△AND,∴
FD
AD
=GD
DN
,即5
x
=
5( x -5)
x +5
x -8
,∴x(x-5)=(x+5)(x-8),解得x=20,∴DN=12.在Rt△ADN 中,AN=
√A D
2+ D N
2=√20
2+12
2=4√34
.
16.解析 (1)原式=9×1
3
+(-3)+2 (4 分)
=3+(-3)+2=2.
(5 分)
(2)①+②,得3x=9,
(6 分)
所以x=3. (7 分)
将x=3 代入②,得3+y=6,
(8 分)
所以y=3.(9 分)
所以原方程组的解为{
x =3,
y =3. (10 分)
17.解析 (1)所作图形如图.
(2 分)
(2)AE=CF.证明如下:
(3 分)
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC.
(4 分)
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO. (5 分)
∵EF 垂直平分AC,∴OA=OC.
(6 分)
∴△AEO≌△CFO. (7 分)
∴AE=CF.(8 分)
18.解析 设这款电动汽车平均每公里的充电费为x 元.
(1 分)
根据题意,得200
x
= 200
x +0.6
×4.
(4 分)
解得x=0.2.
(5 分)
经检验,x=0.2 是原方程的根,且符合题意.
(6 分)
答:这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2 元. (7 分)
19.解析 (1)33÷11%=300(人).
(2 分)
300×62%=186(人).(3 分)
答:参与本次抽样调查的学生人数为300,这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186.
(4
分)
(2)3 600×32%=1 152(人). (5 分)
答:该校3 600 名学生中,平均每周阅读课外书时间在“8 小时及以上”的人数为1 152.(6 分)
(3)答案不唯一.例如:
第一项:①平均每周阅读课外书的时间在“4~6 小时”的人数最多;②平均每周阅读课外书的时
间在“0~4 小时”的人数最少;③平均每周阅读课外书的时间在“8 小时及以上”的学生人数占
调查总人数的32%等.
(7 分)
第二项:①阅读的课外书的主要来源中选择“从图书馆借阅”的人数最多;②阅读的课外书的主
要来源中选择“向他人借阅”的人数最少等.
(8 分)
20.解析 (1)AC(或AD 或CD)
(2 分)
(2)当a>0 时,抛物线开口向上.
当Δ=b2-4ac<0 时,有4ac-b2>0.
(3 分)
∵a>0,∴顶点纵坐标4 ac -b
2
4 a
>0.
∴顶点在x 轴的上方,抛物线与x 轴无交点(如图).
(5 分)
(6 分)
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
(7 分)
(3)可用函数观点认识二元一次方程组的解.(答案不唯一.又如:可用函数观点认识一元一次不等
式的解集等)
(8 分)
21.解析 延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H,(1 分)
则∠AGO=∠EHO=90°.
又∵∠GAC=90°,∴四边形ACHG 是矩形.
∴GH=AC.
(2 分)
由题意,得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°.
在Rt△AGO 中,∠AGO=90°,tan∠AOG= AG
OG
,
∴OG=
AG
tan ∠AOG
=
60
tan70°
≈60
2.75
≈21.8.
(4 分)
∵∠EFH 是△EOF 的外角,
∴∠FEO=∠EFH-∠EOF=60°-30°=30°.
∴∠EOF=∠FEO.∴EF=OF=24.
(5 分)
在Rt△EHF 中,∠EHF=90°,cos∠EFH= FH
EF
,
∴FH=EF·cos∠EFH=24×cos 60°=12.
(6 分)
∴AC=GH=GO+OF+FH=21.8+24+12≈58. (7 分)
答:楼AB 与CD 之间的距离AC 约为58 m. (8 分)
解题关键
通过延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H,构造直角三角形AGO 和直角三角形
EHF,从而应用tan∠AOG 和cos∠EFH 是解答本题的关键.
22.解析 (1)四边形AMDN 为矩形.
(1 分)
理由如下:∵点M 为AB 的中点,点D 为BC 的中点,
∴MD∥AC.
(2 分)
∴∠AMD+∠A=180°.∵∠A=90°,∴∠AMD=90°.
(3 分)
∵∠EDF=90°,∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°.
∴四边形AMDN 为矩形.
(4 分)
(2)解法一:在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,
∴∠B+∠C=90°,BC=√A B
2+ A C
2=10.
∵点D 是BC 的中点,∴CD=1
2
BC=5.
(5 分)
∵∠EDF=90°,∴∠MDB+∠1=90°.
∵∠B=∠MDB,∴∠1=∠C. (6 分)
∴ND=NC.
过点N 作NG⊥BC 于点G,则∠CGN=90°.
(7 分)
∴CG=1
2
CD=5
2
.
(8 分)
∵∠C=∠C,∠CGN=∠CAB=90°,
∴△CGN∽△CAB. (9 分)
∴CG
CA
=CN
CB
,即
5
2
8
=CN
10
.∴CN=25
8
.
(10 分)
解法二:连接AD.
(5 分)
在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,
∴∠B+∠C=90°,BC=√A B
2+ A C
2=10.
∵点D 为BC 的中点,∴CD=1
2
BC=5.
(6 分)
同时,AD=1
2
BC=CD.∴∠2=∠C.
(7 分)
∵∠EDF=90°,∴∠MDB+∠1=90°.
∵∠B=∠MDB,∴∠1=∠C. (8 分)
∴∠1=∠2.∵∠C=∠C,∴△CDN∽△CAD. (9 分)
∴CN
CD
=CD
CA
,即CN
5
=5
8
.∴CN=25
8
.
(10 分)
(3)AN=25
7
.
(13 分)
详解:设AM=AN=x,则BM=6-x,CN=8-x,分别作MP⊥BC 于点P,NQ⊥BC 于点Q,
∵∠A=∠EDF=90°,AB=6,AC=8,
∴BC=√6
2+8
2=10,sin B=4
5
,cos B=3
5
,
sin C=3
5
,cos C=4
5
,
∴MP=4
5
(6-x),BP=3
5
(6-x),
NQ=3
5
(8-x),CQ=4
5
(8-x),
又D 为BC 的中点,∴DB=CD=5,
∴DP=BD-BP=3 x +7
5
,DQ=CD-CQ=4 x -7
5
,
易证△DQN∽△MPD,∴DQ
MP
=QN
DP
,
∴
4 x -7
5
4
5 (6- x)
=
3
5 (8- x)
3 x +7
5
,
化简得175x=625,∴x=25
7
.故AN=25
7
.
23.解析 (1)对于y=-1
4
x2+3
2
x+4,
当x=0 时,y=4,∴点C 的坐标为(0,4);(1 分)
当y=0 时,-1
4
x2+3
2
x+4=0,解得x1=-2,x2=8.
∵点A 在点B 的左侧,
∴点A,B 的坐标分别为A(-2,0),B(8,0).
(3 分)
直线BC 的函数表达式为y=-1
2
x+4.
(4 分)
(2)∵点P 在第一象限抛物线上,横坐标为m,且PD⊥x 轴于点D,
∴点P 的坐标为(m,- 1
4 m
2+ 3
2 m+ 4)
,OD=m.
∴PD=-1
4
m2+3
2
m+4.
(5 分)
∵点B 的坐标为(8,0),点C 的坐标为(0,4),
∴OB=8,OC=4.
过点C 作CG⊥PD 于点G,则∠CGD=90°.
∵∠PDO=∠COD=90°,∴四边形CODG 是矩形.
∴CG∥OB,DG=OC=4,CG=OD=m.
(6 分)
∴∠1=∠2.∵∠CGE=∠BOC=90°,
∴△CGE∽△BOC.
∴EG
CO
=CG
BO
,即EG
4
=m
8
.∴EG=1
2
m.
(7 分)
在△CPE 中,∵CP=CE,CG⊥PE,∴PG=EG=1
2
m.
∴PD=PG+DG=1
2
m+4.
∴-1
4
m2+3
2
m+4=1
2
m+4.
(8 分)
解得m1=4,m2=0(舍去).∴m=4.
当m=4 时,y=-1
4
m2+3
2
m+4=6.
∴点P 的坐标为(4,6). (9 分)
(3)m 的值为4 或2√5-2.
(13 分)
详解:∵直线l∥AC,直线AC 的解析式为y=2x+4,
∴设直线l:y=2x+b,
∵P(m,- 1
4 m
2+ 3
2 m+ 4)
,
∴-1
4
m2+3
2
m+4=2m+b,
∴b=-1
4
m2-1
2
m+4,
∴F(0,- 1
4 m
2- 1
2 m+ 4)
,
∴DF2=OF2+OD2=(- 1
4 m
2- 1
2 m+ 4)
2+m2,
CE2=m2+[4 -(- 1
2 m+ 4)]
2
=5
4
m2,
当CE=DF 时,CE2=DF2,
∴5
4
m2=(- 1
4 m
2- 1
2 m+ 4)
2+m2,
∴-1
4
m2-1
2
m+4=1
2
m,①
或-1
4
m2-1
2
m+4=-1
2
m,②
∵0<m<8,
∴由①得m=2√5-2,由②得m=4,
∴存在点P,使得CE=FD.m 的值为4 或2√5-2.
思路分析
(1)分别根据x=0 和y=0 求出点C、A、B 的坐标,再由待定系数法求出直线BC 的表达式;
(2)由P 点的横坐标是m,可得PD 的长关于m 的表达式,作CG⊥PD 于点G,易证四边形CODG
是矩形,先证△CGE∽△BOC,求出EG,根据PD=PG+DG 求出m,从而求出P 点坐标;(3)利用勾
股定理表示出DF2和CE2,由CE=DF 结合0<m<8 求解即可.
