2022 年黑龙江省齐齐哈尔市初中学业水平考试
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.(2022黑龙江齐齐哈尔,1,3分)实数-2 022的倒数是 ( )
1 1
A.2 022 B.-2 022 C. D.-
2 022 2 022
2.(2022黑龙江齐齐哈尔,2,3分)下面四个交通标志中,是中心对称图形的是 (
)
A
B
C
D
3.(2022黑龙江齐齐哈尔,3,3分)下列计算正确的是 ( )
A.ab2÷ab=bB.(a-b)2=a2-b2
C.2m4+3m4=5m8 D.(-2a)3=-6a3
4.(2022黑龙江齐齐哈尔,4,3分)数据1,2,3,4,5,x存在唯一众数,且该组数据
的平均数等于众数,则x的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.55.(2022黑龙江齐齐哈尔,5,3分)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主
视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形,则搭成该几何体的小正方体
的个数最少为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.(2022黑龙江齐齐哈尔,6,3分)在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母,
字母为“s”的概率是 ( )
1 1 3 2
A. B. C. D.
10 5 10 5
7.(2022黑龙江齐齐哈尔,7,3分)如图所示,直线a∥b,点A在直线a上,点B在
直线b上,AC=BC,∠C=120°,∠1=43°,则∠2的度数为 ( )
A.57° B.63° C.67° D.73°
8.(2022黑龙江齐齐哈尔,8,3分)如图①所示(图中各角均为直角),动点P从点
A出发,以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动,△AFP的
面积y随点P运动的时间x(秒)之间的函数关系图象如图②所示,下列说法正确
的是 ( )
图①
图②
A.AF=5 B.AB=4 C.DE=3 D.EF=8
9.(2022黑龙江齐齐哈尔,9,3分)端午节前夕,某食品加工厂准备将生产的粽子
装入A、B两种食品盒中,A种食品盒每盒装8个粽子,B种食品盒每盒装10个粽子,若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装
满),则不同的分装方式有 ( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
10.(2022黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与
y轴的交点在(0,1)与(0,2)之间,对称轴为x=-1,函数最大值为4,结合图象给出
下列结论:
①b=2a;②-3<a<-2;③4ac-b2<0;
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a=m-4(a≠0)有两个不相等的实数根,则
m>4;
⑤当x<0时,y随x的增大而减小.
其中正确的结论有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题(每小题3分,满分21分)
11.(2022黑龙江齐齐哈尔,11,3分)据统计,2 022届高校毕业生规模预计首次突
破千万,约为10 760 000人,总量和增量均为近年之最.将10 760 000用科学记数
法表示为 .
12.(2022黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为
O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是 .(只需写
出一个条件即可)
13.(2022黑龙江齐齐哈尔,13,3分)圆锥的母线长为5 cm,高为4 cm,则该圆锥
侧面展开图扇形的圆心角为 °.
1 2 x+2m
14.(2022黑龙江齐齐哈尔,14,3分)若关于x的分式方程 + = 的解
x-2 x+2 x2-4
大于1,则m的取值范围是 .k
15.(2022黑龙江齐齐哈尔,15,3分)如图,点A是反比例函数y= (x<0)图象上一
x
点,过点A作AB⊥y轴于点D,且点D为线段AB的中点.若点C为x轴上任意一
点,且△ABC的面积为4,则k= .
16.(2022黑龙江齐齐哈尔,16,3分)在△ABC中,AB=3√6,AC=6,∠B=45°,则
BC= .
√3
17.(2022黑龙江齐齐哈尔,17,3分)如图,直线l:y= x+√3与x轴相交于点A,与
3
y轴相交于点B,过点B作BC⊥l交x轴于点C,过点C作BC⊥x轴交l于点B,
1 1 1 1 1 1
过点B作BC⊥l交x轴于点C,过点C作BC⊥x轴交l于点B,……,按照如此
1 1 2 2 2 2 2 2
规律操作下去,则点B 的纵坐标是 .
2 022
三、解答题(本题共7道大题,共69分)
18.(2022黑龙江齐齐哈尔,18,10分)(1)计算:
(√3-1) 0
+(1) -2+|
√3
-2|+tan 60°;
3
(2)因式分解:x3y-6x2y+9xy.
19.(2022黑龙江齐齐哈尔,19,5分)解方程:(2x+3)2=(3x+2)2.
20.(2022黑龙江齐齐哈尔,20,10分)“双减”政策实施后,某校为了解本校学生
每天课后进行体育锻炼的时间情况,在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调
查,现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表.请根据统计图表提供的信息,
回答下列问题:
(1)表中m= ,n= ,p= ;
(2)将条形图补充完整;
(3)若制成扇形图,则C组所对应的圆心角为 °;
(4)若该校学生有2 000人,请根据以上调查结果,估计该校每天课后进行体育锻
炼的时间超过60分钟的学生有多少人.
组 频数
锻炼时间(分 百分比
别 (人)钟)
A 0≤x≤30 50 25%
B 30<x≤60 m 40%
C 60<x≤90 40 p
D x>90 n 15%
21.(2022黑龙江齐齐哈尔,21,8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作
☉O,AC与☉O交于点D,BC与☉O交于点E,过点C作CF∥AB,且CF=CD,连接
BF.
(1)求证:BF是☉O的切线;
(2)若∠BAC=45°,AD=4,求图中阴影部分的面积.
22.(2022黑龙江齐齐哈尔,22,10分)在一条笔直的公路上有A、B两地,甲、乙
二人同时出发,甲从A地步行匀速前往B地,到达B地后,立刻以原速度沿原路返
回A地.乙从B地步行匀速前往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动),甲、
乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分)之间的函数关系如图所示,请结合图
象解答下列问题:
(1)A、B两地之间的距离是 米,乙的步行速度是 米/分;
(2)图中a= ,b= ,c= ;
(3)求线段MN的函数解析式;
(4)在乙运动的过程中,何时两人相距80米?(直接写出答案即可)
23.(2022黑龙江齐齐哈尔,23,12分)综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们
在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系,让我们在学习与探
索中发现数学的美,体会数学实践活动带给我们的乐趣.
转一转:如图①,在矩形ABCD中,点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点,连
接EF、DF,H为DF的中点,连接GH.将△BEF绕点B旋转,线段DF、GH和CE的
位置和长度也随之变化.
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时,请解决下列问题:
(1)图②中,AB=BC,此时点E落在AB的延长线上,点F落在线段BC上,连接AF,
猜想GH与CE之间的数量关系,并证明你的猜想;
GH
(2)图③中,AB=2,BC=3,则 = ;
CE
GH
(3)当AB=m,BC=n时, = .
CE
图①
图②
图③
剪一剪、折一折:(4)在(2)的条件下,连接图③中矩形的对角线AC,并沿对角线
AC剪开,得△ABC(如图④).点M、N分别在AC、BC上,连接MN,将△CMN沿
MN翻折,使点C的对应点P落在AB的延长线上,若PM平分∠APN,则CM长为
.图④
24.(2022黑龙江齐齐哈尔,24,14分)综合与探究
如图,某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A(-1,0),B(4,5).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点C为抛物线对称轴上一动点,当AC与BC的和最小时,点C的坐标为
;
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点,过点D作DE⊥x轴,交线段
AB于点E,求线段DE长度的最大值;
(4)在(2)条件下,点M为y轴上一点,点F为直线AB上一点,点N为平面直角坐
标系内一点,若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形,请直接写出点N的坐
标.2022 年黑龙江省齐齐哈尔市初中学业水平考试
1
1.D -2 022的倒数是- ,故选D.
2 022
2.A 把一个图形绕着某一点旋转180度,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,我们就说这个
图形是中心对称图形.符合题意的只有选项A.
3.A ab2÷ab=b,选项A正确;(a-b)2=a2-2ab+b2,选项B错误;2m4+3m4=5m4,选项C错误;
(-2a)3=-8a3,选项D错误.故选A.
15+x
4.B 由题意得数据的平均数为 ,四个选项中,只有当x=3时,平均数为整数,且平均数为
6
3,唯一众数为3,符合题意,故选B.
5.C 几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形,显然几何体从左侧、正面
看都是两层.搭成该几何体的小正方体的个数最少为4+1+1=6,故选C.
6.C 单词statistics(统计学)中共有10个字母,其中字母s有3个,从单词中任意选择一个字母,
3
字母为“s”的概率是 ,故选C.
10
7.D ∵AC=BC,∠C=120°,∴∠BAC=∠ABC=30°,∵∠1=43°,∴∠1+∠ABC=73°,∵直线
a∥b,,∴∠1+∠ABC=∠2=73°,故选D.
8.B 观察函数图象,点P从点A到点B用了4秒,速度为每秒1个单位长度,∴AB=4,选项B正确;
点P到点B时,y=S =12,即AF·AB=24,∴AF=6,选项A错误;点P从点D到点E用了4秒,
△AFP
∴DE=4,选项C错误;点P从点C到点D用了6秒,∴CD=6,∴AB+CD=EF=10,选项D错误.故选
B.
9.C 设A种食品盒有x个,B种食品盒有y个,共装入粽子(8x+10y)个,根据将200个粽子分别装
入A、B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满),可得8x+10y=200,化简得4x+5y=100,
4
即y=20- x,由x,y都为正整数,可得方程的解为x=5,y=16;x=10,y=12;x=15,y=8;x=20,y=4,
5
共4种分装方式,故选C.
b
10.B ∵对称轴为x=-1,∴- =-1,∴b=2a,①正确,
2a
∵对称轴为x=-1,函数最大值为4,∴y=a(x+1)2+4,即y=ax2+2ax+a+4.
∵抛物线与y轴的交点在(0,1)与(0,2)之间,
∴1<a+4<2,即-3<a<-2,②正确;
∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即4ac-b2<0,③正确;
∵b=2a,∴y=ax2+bx+a+4.关于x的一元二次方程ax2+bx+a=m-4(a≠0)有两个不相等的实数根
可化为抛物线y=ax2+bx+a+4(a≠0)与直线y=m有两个交点,∵二次函数y=ax2+bx+a+4的最大
值为4,∴m<4,④错误;
当x>-1时,y随x的增大而减小,⑤错误.
综上,正确的结论有3个.故选B.
方法指导
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:(1)a的符号由抛物线的开口方向确定,开口向上,a>0;开
口向下,a<0.(2)c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定,交点在y轴正半轴上,c>0;交点在y
轴负半轴上,c<0;经过原点,c=0.(3)b的符号由对称轴的位置确定,简记为:左同右异,即对称轴
在y轴左侧时,a、b同号;对称轴在y轴右侧时,a、b异号;对称轴是y轴时,b=0.(4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴的交点个数确定,与x轴有两个交点时,b2-4ac>0;与x轴有一个交点时,b2-
4ac=0;与x轴无交点时,b2-4ac<0.
11.答案 1.076×107
解析 10 760 000=1.076×107.
12.答案 AB=CD或AD∥BC或OA=OC等(只需写出一个条件即可,正确即得分)
解析 若添加AB=CD,已知AB∥CD,所以四边形ABCD为平行四边形.因为AC⊥BD,所以四边形
ABCD为菱形(答案不唯一,只需写出一个条件即可).
13.答案 216
解析 已知圆锥的母线长为5 cm,高为4 cm,根据勾股定理得底面圆的半径为3 cm.设该圆锥
nπ·5
侧面展开图扇形的圆心角为n°,根据圆锥侧面展开图的弧长即为圆锥底面圆的周长可得
180
=2π·3,解得n=216.
14.答案 m>0且m≠1
解析 方程两边同时乘(x+2)(x-2),得x+2+2(x-2)=x+2m,解得x=m+1.因为分式方程的解大于
1,所以m+1>1,即m>0,由(x+2)(x-2)=(m+1+2)(m+1-2)=(m+3)(m-1)≠0,解得m≠-3(舍)
且m≠1.所以m>0且m≠1.
15.答案 -4
解析 连接OA,OB,∵AB∥x轴,∴S =S ,∵△ABC的面积为4,∴S =4.∵点D为线段
△ABC △AOB △AOB
AB的中点,∴S =S ,∴S =2.根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得k=-4.
△AOD △BOD △AOD
16.答案 3√3+3或3√3-3
解析 当∠ACB为锐角时,如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.
∵AB=3√6,∠B=45°,
3√6
∴AD=BD= =3√3.
√2
在Rt△ADC中,DC=
√AC2-AD2
=
√62-(3√3)
2=3,
∴BC=BD+DC=3√3+3.
当∠ACB为钝角时,如图,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中,∠B=45°,AB=3 ,∴BD=AD=3 ,在Rt△ADC中,DC= =
√6 √3 √AC2-AD2
=3,
√62-(3√3) 2
∴BC=BD-CD=3√3-3.
综上,BC=3√3+3或3√3-3.
易错警示
由于AB>AC,∠B为锐角,所以∠ACB存在锐角和钝角两种情
况.
17.答案 (4) 2 022
√3
3
√3
解析 直线y= x+√3与x轴、y轴的交点分别为A(-3,0),B(0,√3),
3
OB √3
∴tan∠OAB= = ,∴∠OAB=30°,∴AB=2√3,
OA 3
∵BC⊥l,∴AC=4,
1 1
在Rt△AB
1
C
1
中,B
1
C
1
=tan 30°,∴B
1
C
1
=4√3,
AC 3
1
16 16√3 64√3
同理可得AC= ,BC= ,BC= ,……,
2 3 2 2 9 3 3 27
B
n
C
n
=(4) n
√3
,
3
∴点B 的纵坐标为(4) 2 022 .
2 022 √3
3
解后反思
探究以几何图形为背景的问题时,一是破解几何图形之间的关系,二是实现线段长度和点的
坐标的正确转换,三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律.18.解析 (1)原式=1+9+2-√3+√3
=12.
(2)原式=xy(x2-6x+9)
=xy(x-3)2.
19.解析 2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2,
解得x=1,x=-1.
1 2
20.解析 (1)80;30;20%.
详解:抽取的人数为50÷25%=200,则m=200×40%=80,n=200×15%=30,p=1-40%-25%-15%=20%.
(2)如图所示.
(3)72.
40
详解:C组所对应的扇形圆心角为 ×360°=72°.
200
(4)2 000×(20%+15%)=700(人).
答:估计该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生有700人.
21.解析 (1)证明:连接BD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠BDA=90°,∴∠BDC=90°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵CF∥AB,∴∠FCB=∠ABC,∠ABF+∠F=180°,
∴∠FCB=∠ACB,
∵CF=CD,BC=BC,∴△BCF≌△BCD.
∴∠F=∠BDC=90°,
又∵∠ABF+∠F=180°,∴∠ABF=90°,
又AB是☉O的直径,∴BF是☉O的切线.
(2)连接OE,与BD交于点M.
∵∠BDA=90°,∠BAC=45°,AD=4,
∴BD=AD=4,∴AB= =4 ,
√AD2+BD2 √2
∴OB=2√2,∴OE=OB=2√2,
∴∠OEB=∠ABC,
∵∠ABC=∠ACB,∴∠OEB=∠ACB,∴OE∥AC,
∴∠BOE=∠BAC=45°,∠OMB=∠ADB=90°,
∴BM=OM=2,∴S =S -S =45π×(2√2) 2 -1×2×2 =π-2 .
阴影部分 扇形OBE △OBE √2 √2
360 222.解析 (1)A,B两地之间的距离是1 200米.
1 200
20分时乙到达A地,∴乙的步行速度为 =60(米/分).故答案为1 200;60.
20
1 200
60
(2)当x= 时,甲、乙两人相遇,∴甲、乙的速度和为 60 =140(米/分).
7
7
∴甲的速度=140-60=80(米/分),
1 200
∴甲从A地出发到达B地所用时间为 =15(分),∴c=15,
80
此时乙离开B地的距离为60×15=900(米),
∴a=900.
当x=20时,乙到达A地,此时甲离开B地的距离为80×5=400(米),∴甲距离A地1 200-
400=800(米),∴b=800.
故答案为900;800;15.
(3)设线段MN的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
{15k+b=900,
将M(15,900),N(20,800)代入得
20k+b=800,
{ k=-20,
解得
b=1 200,
∴线段MN的函数解析式是y=-20x+1 200(15≤x≤20).
64
(4)8分钟, 分钟.
7
详解:设甲、乙两人相遇前直线的解析式为y=k'x+b'(k'≠0),
{ b'=1 200,
将(0,1 200),(60 )代入得
,0 60
7 k'+b'=0,
7
{k'=-140,
解得 ∴y=-140x+1 200.
b'=1 200,
令-140x+1 200=80,解得x=8.
同理可得甲、乙相遇后,甲到达B地前的直线解析式为y=140x-1 200,
64
令140x-1 200=80,解得x= .
7
64
综上,在乙运动的过程中,两人在8分, 分时相距80米.
7
1
23.解析 (1)猜想:GH= CE.
2
1 1
证明:由题意可得BE= BC,BF= AB,
2 2
∵AB=BC,∴BE=BF.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠CBE=90°,
∴△ABF≌△CBE,∴AF=CE.
1
∵G,H分别为AD,DF的中点,∴GH= AF,
21
∴GH= CE.
2
(2)连接AF.
∵F为AB的中点,E为BC的中点,
1 1
∴BF= AB,BE= BC,
2 2
AB BC
∴ = ,
BF BE
AB BF
∴ = ,
BC BE
∵∠ABF=∠CBE,
∴△ABF∽△CBE,
AF AB 2
∴ = = ,
CE BC 3
2
∴AF= CE,
3
∵G,H分别为AD,DF的中点,
1 1
∴GH= AF= CE,
2 3
GH 1 1
∴ = .故答案为 .
CE 3 3
1 m
(3)∵F为AB的中点,∴BF= AB= ,
2 2
1 n
∵E为BC的中点,∴BE= BC= ,
2 2
在Rt△ABF中,AF=
√AB2+BF2
=√
m2+
(m) 2 =√5m,
2 2
在Rt△BCE中,CE=
√BE2+BC2
=√ (n) 2
+n2
=√5n.
2 2
1 √5
∵G、H分别为AD、DF的中点,∴GH= AF= m,
2 4√5
m
GH 4 m m
∴ = = .故答案为 .
CE √5 2n 2n
n
2
(4)连接PC.
∵∠ABC=90°,AB=2,BC=3,
∴AC= = .
√22+32 √13
由翻折可得CM=PM,∠C=∠MPN,
∵PM平分∠APN,∴∠APM=∠MPN,∴∠APM=∠C,
∵∠ABC=90°,∴∠A+∠C=90°,∴∠A+∠APM=90°,
∴∠AMP=90°,∴△CMP为等腰直角三角形,∴PC=√2CM.
在Rt△BCP中,PC2=BP2+BC2,∴(√2CM)2=BP2+32,∴2CM2=BP2+9①.
在Rt△AMP中,AP2=AM2+PM2,∴(2+BP)2=(√13-CM)2+CM2②.
联立①②得5CM2-18√13CM+117=0,
3√13 3√13
解得CM=3√13(舍)或CM= .故答案为 .
5 5
24.解析 (1)∵抛物线y=x2+mx+n经过点A(-1,0),B(4,5),
∴{ 1-m+n=0, 解得{m=-2,
16+4m+n=5, n=-3,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
{-k+b=0,
把A(-1,0),B(4,5)代入得
4k+b=5,
{k=1,
解得 ∴y=x+1.
b=1,
∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1,
∴当x=1时,y=x+1=2.
当A、C、B三点共线时,AC与BC的和最小,此时点C的坐标为(1,2).
(3)由(2)知直线AB的解析式为y=x+1.
设D(d,d2-2d-3)(-1<d<4),则E(d,d+1),
则DE=(d+1)-(d2-2d-3)=-d2+3d+4=-( 3) 2 +25(-1<d<4).
d-
2 4
3 25
∴当d= 时,DE有最大值,为 .
2 4(4)点N的坐标为(1,4)或(-1,2)或(1 5)或(1,1).
,
2 2
详解:易得∠BAO=45°,x=1,y=2.
C C
如图1,过点C作CM⊥AB,
当点N、F在CM的上方时,∵四边形CMNF为正方形,∴C、N在对称轴上,CN与FM垂直平分,
对角线的交点到每个顶点的距离为1.
∴点N的坐标为(1,4),
当点N、F在CM的下方时,∵四边形CMNF为正方形,∴F在y轴上,CN与FM垂直平分,对角线
的交点到每个顶点的距离为1,
∴点N的坐标为(-1,2).
图1
如图2,过点C作CM⊥y轴,∵四边形CNMF为正方形,∴CM与FN垂直平分,对角线的交点到每
1
个顶点的距离为 ,
2
∴点N的坐标为(1 5).
,
2 2
图2
如图3,过点C作CM⊥y轴,过直线AB与y轴的交点F作FN⊥y轴,∵四边形CMFN为正方形,
∴点N在对称轴上,正方形边长为1,
∴点N的坐标为(1,1).图3
综上,符合条件的点N的坐标为(1,4)或(-1,2)或(1 5)或(1,1).
,
2 2
方法指导
二次函数与几何图形结合题的解题步骤:
①所求几何图形与抛物线结合通常方法是表示出相关图形的顶点坐标,然后“连点成线”求出
相关线段的长度,进而计算几何图形的面积;
②用点坐标表示相关几何量时,先求出抛物线解析式,然后设出在抛物线上的点的坐标(通常用
一个字母来设,如:M(m,am2+bm+c)的形式);
③利用平面直角坐标系的特性,如平行于x轴、y轴的直线上的点纵、横坐标相同,表示出线段
长,常应用勾股定理求解.
