二二一年齐齐哈尔市初中学业考试
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.实数2 021的相反数是( )
A.2 021 B.-2 021
1 1
C. D.-
2 021 2 021
2.下面四个图形中,既是轴对称图形也是中心对称图形的是( )
A B C D
3.下列计算正确的是( )
A.±√16=±4 B.(3m2n3)2=6m4n6
C.3a2·a4=3a8 D.3xy-3x=y
4.喜迎建党100周年,某校将举办小合唱比赛,七个参赛小组人数如下:5,5,6,7,x,7,8.已知这组
数据的平均数是6,则这组数据的中位数是( )
A.5 B.5.5 C.6 D.7
5.一把直尺与一块三角板如图放置,若∠1=47°,则∠2的度数为( )
A.43° B.47° C.133° D.137°
6.某人驾车匀速从甲地前往乙地,中途停车休息了一段时间,出发时油箱中有40升油,到乙地
后发现油箱中还剩4升油.则油箱中所剩油y(升)与时间t(小时)之间函数图象大致是( )
A B
C D
7.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示,则搭成该几何体的
小正方体的个数最多为( )A.7个 B.8个
C.9个 D.10个
1
8.五张不透明的卡片,正面分别写有实数-1,√2, ,√9,5.060 060 006 000 06…(相邻两个6
15
之间0的个数依次加1),这五张卡片除正面的数不同外其余都相同,将它们背面朝上混合均匀
后任取一张卡片,取到的卡片正面的数是无理数的概率是( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
9.周末,小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾.已知口罩每包3元,酒精湿巾每包2元,共
用了30元钱(两种物品都买),小明的购买方案共有( )
A.3种 B.4种
C.5种 D.6种
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直
线x=-1,结合图象给出下列结论:
①a+b+c=0;
②a-2b+c<0;
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为-3和1;
④若点(-4,y ),(-2,y ),(3,y )均在二次函数图象上,则y<y<y;
1 2 3 1 2 3
⑤a-b<m(am+b)(m为任意实数).
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,满分21分)
11.随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件大约
只占0.000 000 7 mm2.将0.000 000 7用科学记数法表示为 .
12.如图,AC=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△AED,应添加的条件是 (只需写出一个条件即
可).
13.圆锥的底面半径为6 cm,它的侧面展开图扇形的圆心角为240°,则该圆锥的母线长为
cm.
3x m
14.若关于x的分式方程 = +2的解为正数,则m的取值范围是 .
x-1 1-x15.直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边上的高为 .
k k
16.如图,点A是反比例函数y= 1(x<0)图象上一点,AC⊥x轴于点C且与反比例函数y= 2
x x
(x<0)的图象交于点B,AB=3BC,连接OA,OB,若△OAB的面积为6,则k+k= .
1 2
17.如图,抛物线的解析式为y=x2,点A 的坐标为(1,1),连接OA ;过A 作AB ⊥OA ,分别交y轴、
1 1 1 1 1 1
抛物线于点P、B ;过B 作B A⊥AB ,分别交y轴、抛物线于点P、A;过A 作AB ⊥B A,
1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2
分别交y轴、抛物线于点P,B ;……按照如此规律进行下去,则点P(n为正整数)的坐标是
3 2 n
.
三、解答题(本题共7道大题,共69分)
18.(本题共2个小题,第(1)题6分,第(2)题4分,共10分)
(1)计算:( 1) -2 +(π-3.14)0+4cos 45°-|1- |;
- √2
2
(2)因式分解:-3xy3+12xy.
19.(本题满分5分)
解方程:x(x-7)=8(7-x).20.(本题满分10分)
某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A:新闻、B:体育、C:动画、D:娱乐、E:戏曲五类电
视节目的喜爱情况,随机抽取了部分学生进行调查(被调查的学生只选一类并且没有不选的),
并将调查结果绘制成如图所示的不完整条形图和扇形图.请根据图中所给出的信息解答下列
问题:
(1)本次抽样调查的样本容量是 ;
(2)请补全条形图;
(3)扇形图中,m= ,节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 °;
(4)若该中学有1 800名学生,那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人?
21.(本题满分8分)
如图,AB是☉O的直径,C为☉O上的一点,AE和过点C的切线CD互相垂直,垂足为E,AE与
☉O相交于点F,连接AC.
(1)求证:AC平分∠EAB;
√3
(2)若AE=12,tan∠CAB= ,求OB的长.
322.(本题满分10分)
在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自行车匀速去
B地,途经C地时因事停留1分钟.继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速返
回A地;乙步行匀速从B地至A地.甲、乙两人距A地的距离y(米)与时间x(分)之间的函数
关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)甲的骑行速度为 米/分,点M的坐标为 ;
(2)求甲返回时距A地的距离y(米)与时间x(分)之间的函数解析式(不需要写出自变量的取值
范围);
(3)请直接写出两人出发后,在甲返回到A地之前, 分钟时两人距C地的距离相等.23.综合与实践(本题满分12分)
数学实践活动,是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣,提高动手动
脑能力,拓展思维空间,丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪,体会活动
带给我们的乐趣.
折一折:将正方形纸片ABCD折叠,发现AB、AD都落在对角线AC上,展开得折痕AE、AF,
连接EF,如图1.
(1)∠EAF= °,写出图中两个等腰三角形: (不需要添加字母);
转一转:将图1中的∠EAF绕点A旋转,使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接PQ,如
图2.
(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ;
(3)连接正方形对角线BD,如图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N,
CQ
如图3,则 = ;
BM
图1
图2
图3
剪一剪:将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开,如图4.
(4)求证:BM2+DN2=MN2.
图424.综合与探究(本题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接
BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ;
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点,连接BE和CE,求△BCE面积的最大值;
(4)点P在抛物线对称轴上,平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形,请
直接写出点Q的坐标.
32 二〇二一年齐齐哈尔市初中学业考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D A C D C A B B C
1.B 只有符号不同的两个数互为相反数,所以2 021的相反数是-2 021.故选B.
2.D 选项A中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形,选项B、C中的图形不是中
心对称图形,选项D中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形.故选D.
3.A 因为(3m2n3)2=9m4n6,3a2·a4=3a6,3xy与-3x不是同类项,不能合并,所以选项B,C,D中的计
算错误.选项A,±√16=±4,计算正确.故选A.
4.C ∵5+5+6+7+x+7+8=6×7,∴x=4.将这七个数据从小到大排列为4,5,5,6,7,7,8,所以中位数为
6.故选C.
5.D 根据题意,得∠A=90°,BC∥DE,∴∠3=∠1=47°,∴∠2=∠A+∠3=90°+47°=137°.故选D.6.C 驾车匀速从甲地前往乙地,单位时间内油箱中油的减少量是不变的,中途停车休息时油
箱内剩余油量不变,选项C中的函数图象符合.故选C.
7.A 搭成该几何体的小正方体个数最多时,在几何体的俯视图中每一处的小正方体个数如
图:
共7个小正方体.故选A.
8.B 五个数中是无理数的为√2,5.060 060 006 000 06…,共两个,所以从这五张背面朝上的
2
卡片中任取一张正面是无理数的概率是 .故选B.
5
{x=2,
9.B 设小明买了x包口罩,y包酒精湿巾,则3x+2y=30.该方程的正整数解为 或
y=12
{x=4, {x=6, {x=8,
或 或 所以小明的购买方案有4种.故选B.
y=9 y=6 y=3,
10.C 抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x=-1,所以与x轴的另一个交点坐
标为(-3,0),∴当x=1时,y=a+b+c=0,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为-3和
b
1,故①,③正确;由题图可知c<0,a>0,∵- =-1,∴b=2a,∴a-2b+c=a-4a+c=-3a+c<0,故②正确;∵抛
2a
物线的开口向上,对称轴为直线x=-1,∴当x=-1时,y有最小值,∴a-b+c≤am2+bm+c(m为任意实
数),∴a-b≤m(am+b)(m为任意实数),故⑤错误;∵|3-(-1)|>|-4-(-1)|>|-2-(-1)|,∴y <y<y,故④错误.
2 1 3
正确的结论有3个.故选C.
二、填空题
11.答案 7×10-7
解析 0.000 000 7=7×10-7.
12.答案 ∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE(只需写出一个条件即可,正确即得分)
解析 本题为条件开放型问题,答案不唯一.补充的条件符合判定△ABC≌△AED的判定定理即
可,如补充∠B=∠E时,可通过AAS判定全等.
13.答案 9
解析 ∵圆锥的底面周长为2π×6=12π(cm),∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为12π cm.
设圆锥的母线长为l cm.
240πl
∴ =12π,∴l=9 cm.
180
14.答案 m<-2且m≠-3
3x m
解析 解分式方程 = +2,得x=-m-2.∵x>0且x≠1,∴-m-2>0且-m-2≠1,∴m<-2且m≠-3.
x-1 1-x
3√7 12
15.答案 或 (只有一个答案且正确得2分,出现错误答案不得分)
4 51 1
解析 设直角三角形斜边上的高为h,第三边为a.①当a为斜边时,a=√32+42=5,∴ ×5h=
2 2
12 1 1 3√7
×3×4,∴h= ;②当a为直角边时,a=√42-32=√7,∴ ×4h= ×3×√7,∴h= .综上,这个直角
5 2 2 4
12 3√7
三角形斜边上的高为 或 .
5 4
16.答案 -20
k k
解析 ∵AC⊥x轴,点A,B分别在反比例函数y= 1(x<0),y= 2(x<0)的图象上,函数图象在第二
x x
1 1 1
象限,∴S =- k,S =- k.∵AB=3BC,S =6,∴S =
△ACO
2
1 △BCO
2
2 △OAB △BCO
3
S =2,∴S =4S =8,∴k =-16,k=-4,∴k +k=-20.
△OAB △ACO △BCO 1 2 1 2
17.答案 (0,n2+n)(形式可以不同,正确即得分)
解析 ∵点A 的坐标为(1,1),∴直线OA 的解析式为y=x.∵A B ⊥OA ,∴设直线AB 的解析式
1 1 1 1 1 1 1
为y=-x+b,把A(1,1)代入,解得b=2,∴直线AB 的解析式为y=-x+2,∴当x=0时,y=2,即P(0,2).
1 1 1
令x2=-x+2,解得x=-2,x=1.把x=-2代入y=x2中得y=4,∴B (-2,4).同理求得,直线B A 的解析式
1 2 1 1 2
为y=x+6,P (0,6),A (3,9);直线AB 的解析式为y=-x+12,P (0,12),B (-4,16);……∵点P 的纵坐
2 2 2 2 3 2 1
标为2=1×2,点P 的纵坐标为6=2×3,点P 的纵坐标为12=3×4,∴点P 的纵坐标为
2 3 n
n(n+1)=n2+n,∴点P 的坐标为(0,n2+n).
n
三、解答题
√2
18.解析 (1)原式=4+1+4× -(√2-1)(4分)
2
=4+1+2√2-√2+1(5分)
=6+√2.(6分)
(2)原式=-3xy(y2-4)(2分)
=-3xy(y+2)(y-2).(4分)
或3xy(2+y)(2-y)(两种形式均可).
19.解析 (x-7)(x+8)=0,(3分)
∴x=7,x=-8.(5分)
1 2
(公式法、配方法均可)
20.解析 (1)300.(2分)
详解:60÷20%=300(人),所以本次抽样调查的样本容量是300.
(2)选择C的人数为:300-30-60-105-15=90(人).
补全的条形图如下.
(4分)
(3)35;18.(8分)
105 15
详解:扇形图中,m= ×100=35.节目类型E对应的扇形圆心角的度数是360°× =18°.
300 300
30
(4)1 800× =180(人).(9分)
300
答:该校喜欢新闻类节目的学生大约有180人.(10分)
21.解析 (1)证明:连接OC.(1分)
∵CD是☉O的切线,AE⊥CD,∴∠OCD=∠AEC=90°,∴OC∥AE.(2分)
∴∠OCA=∠EAC.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO.(3分)
∴∠CAO=∠EAC,∴AC平分∠EAB.(4分)
(2)连接BC.(5分)
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
√3
∵tan∠CAB= ,∠CAB=∠EAC,
3
√3 CE √3
∴tan∠EAC= ,即 = .∴CE=4√3.
3 AE 3
∴AC= =8 .(6分)
√AE2+EC2 √3
√3 BC √3
又∵∠ACB=90°,tan∠CAB= ,即 = ,
3 AC 3
∴BC=8.(7分)
1
∴AB=√AC2+BC2=16.∴OB= AB=8.(8分)
2
22.解析 (1)240;(6,1 200).(4分)
详解:∵甲途经C地时停留1分钟,
1 020
∴甲的骑行速度为 21 =240(米/分).
-1
4
11-1 11-1
∴M点横坐标为11- =6,纵坐标为240× =1 200,
2 2
∴点M的坐标为(6,1 200).
(2)设所求函数解析式为y=kx+b(k≠0),
{6k+b=1 200,
将M(6,1 200)和N(11,0)代入,得 (5分)
11k+b=0,
{k=-240,
解得 (6分)
b=2 640.
∴y与x之间的函数解析式为y=-240x+2 640.(7分)
(3)4或6或8(只要有一个正确答案得1分;只要有两个正确答案得2分;只有三个正确答案得
3分;除三个正确答案外,还有其他错误答案得2分).(10分)
17
提示:易得当0≤x≤ 时,y =240x,线段DE的解析式为y =-60x+1 200,由(2)得线段MN的解
4 甲 乙
析式为y =-240x+2 640,∴在两人出发后,甲返回到A地之前两人距C地的距离相等时
甲
有:①240x=-60x+1 200,解得x=4;②-240x+2 640-1 020=1 020-(-60x+1 200),解得
x=6;③-240x+2 640=-60x+1 200,解得x=8.综上,4或6或8分钟时两人距C地的距离相等.
23.解析 (1)45;(2分)
△AEF,△CEF,△ABC,△ADC(只要有一个正确答案得1分;只有两个正确答案得2分;除两个
正确答案外还有错误答案得1分).(4分)
(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为BP+DQ=PQ.(6分)
提示:将△BAP绕点A逆时针旋转90°,得△DAP',再证明△PAQ≌△P'AQ,得P'Q=PQ,即
BP+DQ=PQ.CQ
(3) =√2.(8分)
BM
AC
提示:在正方形ABCD中,BD、AC为对角线,∴ =√2,
AB
∠ABM=∠ACQ=45°.∵∠BAM+∠MAC=∠CAQ+∠MAC=45°,∴∠BAM=∠CAQ.∴△BAM∽△CA
CQ AC
Q,∴ = =√2.
BM AB
(4)证明:在等腰直角△ABD中,将△ABM绕点A逆时针旋转90°得△ADG,则△ABM≌△ADG,连
接GN.
∴AM=AG,BM=DG,∠2=∠B,∠BAM=∠DAG.
∵∠MAN=45°,∠BAD=90°,
∴∠BAM+∠1=∠DAG+∠1=45°,
∴∠MAN=∠GAN=45°.∵AN=AN,
∴△MAN≌△GAN(SAS).(10分)
∴MN=GN.
∵∠GDN=∠2+∠3=∠B+∠3=90°,
∴在Rt△GND中,GD2+ND2=GN2.
∴BM2+DN2=MN2.(12分)
1
24.解析 (1)∵对称轴为直线x=2,∴a=- .(1分)
2
∵OA=1,∴A(-1,0).(2分)
1 5
把a=- ,A(-1,0)代入y=ax2+2x+c,得c= .(3分)
2 2
1 5
∴y=- x2+2x+ .(4分)
2 2
(2)2√2.(6分)
详解:由(1)可得y=-1(x-2)2+9,C( 5),则顶点D的坐标为( 9),故C、D之间的距离为
0, 2,
2 2 2 2
√
(2-0)2+
(9
-
5) 2 =2
√2
.
2 2
(3)过点E作EF∥y轴,交BC于点F.
∵B(5,0),C( 5),∴直线BC的解析式为y=-1x+5.
0,
2 2 2
设E(
t,-
1
t2+2t+
5),则F(
t,-
1
t+
5),
2 2 2 2
∴EF=-1( 5) 2+25(0<t<5).(注:不写自变量的取值范围扣1分)
t-
2 2 85 25
∴当t= 时,EF的长有最大值 .
2 8
1 25 1 25 125
∴S 的最大值为 × ×(x -x )= × ×5= .(10分)
△BCE
2 8
B C
2 8 16
(4)点Q的坐标为( 3)或(3,4)或(7,4)或( 7).(14分)
3,- -3,-
2 2
(注:点Q的坐标每填正确一个给1分,共4分)
提示:设点Q的坐标为(m,n),点P的坐标为(2,e),分情况讨论:
①当BC为矩形的对角线时,∠CPB=90°,
∴在Rt△PCB中,由勾股定理得PC2+PB2=BC2,即22+( 5) 2 +(2-5)2+e2=52+(5) 2 ,
e-
2 2
∴2e2-5e-12=0,
3
∴e=4,e =- ,
1 2
2
∴P 1 (2,4),P 2( 2,- 3),
2
∴当2+m=5,4+n=5时,Q 1(
3,-
3);
2 2
3 5
当2+m=5,- +n= 时,Q (3,4).
2
2 2
1 5
②当BC为矩形的边时,由(3)知直线BC的解析式为y=- x+ .
2 2
5
若CP⊥BC,则直线CP的解析式为y=2x+ .
2
把x=2代入,得y=13,∴P 3(
2,
13).
2 2
13 5
当2+5=m, = +n时,Q (7,4).
3
2 2
若BP⊥BC,则直线BP的解析式为y=2x-10.
把x=2代入,得y=-6,∴P(2,-6).
4
当5+m=2,n=5-6时,Q 4(
-3,-
7).
2 2
