19
2020年杭州市初中毕业升学文化考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.√2×√3= ( )
A.√5 B.√6 C.2√3 D.3√2
2.(1+y)(1-y)= ( )
A.1+y2 B.-1-y2 C.1-y2 D.-1+y2
3.已知某快递公司的收费标准为:寄一件物品不超过5千克,收费13元;超过5千克的部分每千克加收2元.圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品,需要付费 ( )
A.17元B.19元 C.21元 D.23元
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则 ( )
A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B
5.若a>b,则 ( )
A.a-1≥b B.b+1≥a C.a+1>b-1 D.a-1>b+1
6.在平面直角坐标系中,已知函数y=ax+a(a≠0)的图象经过点P(1,2),则该函数的图象可能是 ( )
7.在某次演讲比赛中,五位评委给选手圆圆打分,得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分,平均分为x;去掉一个最低分,平均分为y;同时去掉一个最高分和一个最低分,平均分为z,则 ( )
A.y>z>xB.x>z>yC.y>x>zD.z>y>x
8.设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a≠0),当x=1时,y=1;当x=8时,y=8, ( )
A.若h=4,则a<0 B.若h=5,则a>0
C.若h=6,则a<0 D.若h=7,则a>0
9.如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则 ( )
A.3α+β=180° B.2α+β=180°
C.3α-β=90° D.2α-β=90°
10.在平面直角坐标系中,已知函数y=x2+ax+1,y=x2+bx+2,y=x2+cx+4,其中a,b,c是正实数,且满足b2=ac.设函数y,y,y 的图象与x轴的交点个数分别为M,M,M, ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A.若M=2,M=2,则M=0 B.若M=1,M=0,则M=0
1 2 3 1 2 3
C.若M=0,M=2,则M=0 D.若M=0,M=0,则M=0
1 2 3 1 2 3
二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分.
1
11.若分式 的值等于1,则x= .
x+1
12.如图,AB∥CD,EF分别与AB,CD交于点B,F.若∠E=30°,∠EFC=130°,则∠A= .13.设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= .
1
14.如图,已知AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,连接AC,OC.若sin∠BAC= ,则tan∠BOC= .
3
15.一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有编号不同),编号分别为1,2,3,5.从中任意摸出一个球,记下编号后放回,搅匀,再任意摸出一个球,则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 .
16.如图是一张矩形纸片,点E在AB边上,把△BCE沿直线CE对折,使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF.若点E,F,D在同一条直线上,AE=2,则DF= ,BE= .
三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分6分)
x+1 x-3
以下是圆圆解方程 - =1的解答过程.
2 3
解:去分母,得3(x+1)-2(x-3)=1.
去括号,得3x+1-2x+3=1.
移项,合并同类项,得x=-3.
圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误,写出正确的解答过程.
18.(本题满分8分)
某工厂生产某种产品,3月份的产量为5 000件,4月份的产量为10 000件.用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测,并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图(每组不含前一个边界值,含后一个边界
值).已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品.
(1)求4月份生产的该产品抽样检测的合格率;
(2)在3月份和4月份生产的产品中,估计哪个月的不合格件数多.为什么?19.(本题满分8分)
如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求证:△BDE∽△EFC;
AF 1
(2)设 = .
FC 2
①若BC=12,求线段BE的长;
②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
20.(本题满分10分)
k k
设函数y= ,y=- (k>0).
1 2
x x
(1)当2≤x≤3时,函数y 的最大值是a,函数y 的最小值是a-4,求a和k的值;
1 2
(2)设m≠0,且m≠-1,当x=m时,y=p;当x=m+1时,y=q.圆圆说:“p一定大于q.”你认为圆圆的说法正确吗?为什么?
1 1
21.(本题满分10分)
CE
如图,在正方形ABCD中,点E在BC边上,连接AE,∠DAE的平分线AG与CD边交于点G,与BC的延长线交于点F.设 =λ(λ>0).
EB
(1)若AB=2,λ=1,求线段CF的长;
(2)连接EG,若EG⊥AF,
①求证:点G为CD边的中点;
②求λ的值.22.(本题满分12分)
在平面直角坐标系中,设二次函数y=x2+bx+a,y=ax2+bx+1(a,b是实数,a≠0).
1 2
(1)若函数y 的图象的对称轴为直线x=3,且函数y 的图象经过点(a,b),求函数y 的表达式;
1 1 1
(2)若函数y
1
的图象经过点(r,0),其中r≠0,求证:函数y
2
的图象经过点(1
,0
);
r
(3)设函数y 和函数y 的最小值分别为m和n,若m+n=0,求m,n的值.
1 2
23.(本题满分12分)
如图,已知AC,BD为☉O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB于点E,点F是半径OC的中点,连接EF.
(1)设☉O的半径为1,若∠BAC=30°,求线段EF的长;
(2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P,
①求证:PE=PF;
②若DF=EF,求∠BAC的度数.
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2020年杭州市初中毕业升学文化考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C B B C A A C D B
1.B 根据二次根式的乘法运算法则√a·√b=√ab(a≥0,b≥0)可知,√2×√3=√6.故选B.
2.C 根据平方差公式可得(1+y)(1-y)=1-y2.故选C.
3.B 根据题意得13+(8-5)×2=13+6=19(元),则需要付费19元.故选B.
b b
4.B ∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,∴sin B= ,即b=csin B,故A选项不成立,B选项成立;tan B= ,即b=atan B,故C选项不成立,D选项不成立.故选B.
c a
5.C A.若a=0.5,b=0.4,a>b,但a-1<b,故A中结论不正确;B.若a=3,b=1,a>b,但b+1<a,故B中结论不正确;C.∵a>b,∴a+1>b+1,∵b+1>b-1,∴a+1>b-1,故C中结论正确;D.若a=0.5,b=0.4,a>b,但a-1<b+1,故D中结论不正确.故选C.
6.A ∵函数y=ax+a(a≠0)的图象经过点P(1,2),∴2=a+a,解得a=1,∴y=x+1,∴直线交y轴于正半轴,且经过点(1,2).故选A.7.A 五位评委打的五个分数的总分是固定的,当去掉一个最低分之后,剩下的四个分数和最大,故y是最大的.比较x和z的大小时,由一个去掉了最高分,一个去掉了最高分和最低分,可知3z+最低分=4x,又最低分<z,所以4x<4z,即z>x.所以y>z>x.故选
A.
8.C 当x=1时,y=1;当x=8时,y=8,
代入得{1=a(1-h)2+k,①
8=a(8-h)2+k,②
②-①,得a(8-h)2-a(1-h)2=7,
整理得a(9-2h)=1.
A.若h=4,则a=1,故A错误;
B.若h=5,则a=-1,故B错误;
1
C.若h=6,则a=- ,故C正确;
3
1
D.若h=7,则a=- ,故D错误.故选C.
5
1 1 1
9.D 如图,连接AB,则∠DBA= ∠DOA= β,∠DEA=∠DBA+∠OAB=α.∵OA=OB,∠BOA=90°,∴∠OAB=45°,∴α= β+45°,∴2α-β=90°,故选D.
2 2 2
10.B 令y=0,y=0,y=0,它们的判别式分别为Δ,Δ,Δ,则Δ=a2-4,Δ=b2-8,Δ=c2-16.
1 2 3 1 2 3 1 2 3
∵b2=ac,∴c=b2,c2=b4(a,b,c为正实数).
a a2
A.若M=2,M=2,则Δ=a2-4>0,Δ=b2-8>0,
1 2 1 2
∴a2>4,b4>64,
∴c2=b4 与16无法比较大小,
a2
∴无法判断Δ=c2-16与0的大小,故A错误.
3
B.若M=1,M=0,则Δ=a2-4=0,Δ=b2-8<0,
1 2 1 2
∴a2=4,0<b4<64,
∴0<c2=b4<16,
a2
∴Δ=c2-16<0,
3
∴M=0,故B正确.
3
C.若M=0,M=2,则Δ=a2-4<0,Δ=b2-8>0,
1 2 1 2
∴0<a2<4,b4>64,
∴c2=b4 >16,
a2
∴Δ=c2-16>0,∴M=2,故C错误.
3 3
D.若M=0,M=0,则Δ=a2-4<0,Δ=b2-8<0,
1 2 1 2
∴0<a2<4,0<b4<64,
∴c2=b4 与16无法比较大小,
a2∴无法判断Δ=c2-16与0的大小,故D错误.故选B.
3
二、填空题
11. 答案 0
1
解析 由题意得 =1,
x+1
解得x=0.
经检验:x=0是分式方程的解.故答案为0.
12. 答案 20°
解析 ∵AB∥CD,∠EFC=130°,∴∠ABE=∠EFC=130°.
∵∠ABE+∠E+∠A=180°,∠E=30°,
∴∠A=180°-∠ABE-∠E=180°-130°-30°=20°.故答案为20°.
3
13. 答案 -
4
解析 由题意,得x+y=1,x-y=2,平方得(x+y)2=x2+2xy+y2=1,①
(x-y)2=x2-2xy+y2=4,②
①-②,得4xy=-3,
3 3
解得xy=- ,所以P=- .
4 4
3
故答案为- .
4
√2
14. 答案
2
解析 ∵AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,
∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°.
BC 1
∵sin∠BAC= = ,∴AC=3BC.
AC 3
设BC=x,则AC=3x,
∴AB= = =2 x.
√AC2-BC2 √(3x)2-x2 √2
1
∴OB= AB=√2x,
2
BC x √2 √2
∴tan∠BOC= = = .故答案为 .
OB √2x 2 2
5
15. 答案
8
解析 根据题意画树状图如图:
10 5 5
共有16种等可能的情况,其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种,则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 = .故答案为 .
16 8 8
16. 答案 2;√5-1
解析 ∵点E,F,D在一条直线上,四边形ABCD是矩形,
∴∠DFC=∠CFE=∠EBC=90°,
∴∠CDF+∠DCF=90°.
又∵∠ADE+∠CDF=90°,
∴∠ADE=∠DCF.
∵把△BCE沿直线CE对折,使点B落在对角线AC上的点F处,
∴BC=CF=AD.{∠ADE=∠FCD,
在△ADE和△FCD中, AD=FC,
∠DAE=∠CFD,
∴△ADE≌△FCD,∴DF=AE=2.
设BE=x,则EF=x.
∵∠AFE=∠DAE=90°,∠AEF=∠DEA,
AE FE
∴△AFE∽△DAE,∴ = ,即AE2=EF·DE,
DE AE
∴x(x+2)=4,∴x2+2x-4=0,
解得x=√5-1,x=-√5-1(舍去),
1 2
故答案为2;√5-1.
三、解答题
17. 解析 圆圆的解答过程有错误.
正确的解答过程如下:
3(x+1)-2(x-3)=6,3x+3-2x+6=6,x=-3.
所以x=-3是原方程的解.
18. 解析 (1)因为(132+160+200)÷(8+132+160+200)×100%=98.4%,
所以4月份生产的该产品抽样检测的合格率是98.4%.
(2)3月份生产的产品中,不合格的件数是5 000×2%=100,
4月份生产的产品中,不合格的件数是10 000×(1-98.4%)=160.
因为100<160,所以估计4月份生产的产品中不合格的件数多.
19. 解析 (1)证明:因为DE∥AC,
所以∠BED=∠C,
又因为EF∥AB,
所以∠B=∠FEC,
所以△BDE∽△EFC.
(2)①因为EF∥AB,
BE AF 1
所以 = = .
EC FC 2
BE 1
因为BC=12,所以 = ,所以BE=4.
12-BE 2
②因为EF∥AB,所以△EFC∽△BAC,
BE 1 EC 2
因为 = ,所以 = .
EC 2 BC 3
设△EFC的面积为S,△ABC的面积为S,
1
S 4
所以 1= .
S 9
因为S=20,所以S=45,
1
所以△ABC的面积是45.
20. 解析 (1)因为k>0,函数图象在第一、三象限,所以y 随x的增大而减小,
1
所以当x=2时,y=a,即k=2a.①
1
又因为-k<0,函数图象在第二、四象限,所以y 随x的增大而增大,
2
所以当x=2时,y=a-4,即-k=2a-8.②
2
由①,②得a=2,k=4.
(2)圆圆的说法不正确.
取m=m,满足-1<m<0,则m<0,m+1>0.
0 0 0 0
k
所以当x=m 时,p=y= <0;
0 1 m
0k
当x=m+1时,q=y= >0.
0 1 m +1
0
此时p<0<q,所以圆圆的说法不正确.
21. 解析 (1)因为在正方形ABCD中,AD∥BC,所以∠DAF=∠F.
又因为AG平分∠DAE,所以∠DAF=∠EAF,
所以∠EAF=∠F,所以EA=EF.
因为λ=1,AB=BC=2,所以BE=EC=1.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得EA=√5,
所以CF=EF-EC=√5-1.
(2)①证明:因为EA=EF,EG⊥AF,所以AG=GF.
又因为∠AGD=∠FGC,∠DAG=∠F,所以△DAG≌△CFG.
所以DG=CG,所以点G为CD边的中点.
②不妨设CD=2,则CG=1.
由①知CF=AD=2.
EC CG 1
由题意,得△EGC∽△GFC,所以 = = ,
CG CF 2
1 3 CE 1
所以EC= ,所以BE= ,所以λ= = .
2 2 EB 3
b
22. 解析 (1)由题意,得- =3,所以b=-6.
2
又因为函数y 的图象经过点(a,b),
1
所以a2-6a+a=-6,
解得a=2或a=3.
所以y=x2-6x+2或y=x2-6x+3.
1 1
(2)证明:因为函数y 的图象经过点(r,0),
1
所以r2+br+a=0.
b a
因为r≠0,两边同除以r2,得1+ + =0,
r r2
即a(1) 2 +b·1+1=0,
r r
1
所以 是方程ax2+bx+1=0的一个实数根,
r
即函数y
2
的图象经过点(1
,0
).
r
4a-b2 4a-b2
(3)由题意,得a>0,m= ,n= .
4 4a
4a-b2 4a-b2
因为m+n=0,所以 + =0,
4 4a
所以(4a-b2)(a+1)=0.
因为a+1≠0,所以4a-b2=0,所以m=0,n=0.
23. 解析 (1)因为OE⊥AB,∠BAC=30°,OA=1,
1 1 √3
所以∠AOE=60°,OE= OA= ,AE= .
2 2 2
1 1
又因为点F是半径OC的中点,所以OF= OC= ,
2 2
1
所以OE=OF,所以∠OFE= ∠AOE=30°,
2所以∠BAC=∠OFE.
√3
所以EF=AE,所以EF= .
2
(2)作FG⊥AB于点G,与BO交于点H,连接EH.
①证明:因为AC为☉O的直径,
所以∠ABC=90°,
所以FG∥BC,
所以△OFH∽△OCB,
FH OF 1 OE 1
所以 = = ,同理 = ,
BC OC 2 BC 2
所以FH=OE.
又因为FH∥OE,所以四边形OEHF是平行四边形,
所以PE=PF.
EG OF
②因为OE∥FG∥BC,所以 = =1,
GB FC
所以EG=GB,所以EF=BF.因为DF=EF,所以DF=BF.
因为DO=BO,所以FO⊥BD.
所以△AOB是等腰直角三角形,所以∠BAC=45°.
