扬州市 2013 年初中毕业、升学统一考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 24 分)
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分)
1.-2的倒数是( )
1 1
A.- B. C.-2 D.2
2 2
2.下列运算中,结果是a6的是( )
A.a2·a3 B.a12÷a2
C.(a3)3 D.(-a)6
3.下列说法正确的是( )
A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
1
B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上
2
C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
1
D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是2的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加,“抛出
6
1
朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在 附近
6
4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
A.三棱柱 B.圆柱 C.正方体 D.三棱锥
5.下列图形中,由AB∥CD能得到∠1=∠2的是( )
6.一个多边形的每个内角均为108°,则这个多边形是( )
A.七边形 B.六边形 C.五边形 D.四边形
7.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连结DF,
则∠CDF等于( )
A.50° B.60° C.70° D.80°1
8.方程x2+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y= 的图象交点的横坐标,则方程
x
x3+2x-1=0的实根x 所在的范围是( )
0
1 1 1
A.0<x < B. <x<
0 0
4 4 3
1 1 1
C. <x< D. <x<1
0 0
3 2 2
第Ⅱ卷(非选择题,共 126 分)
二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分)
9.据了解,截止2013年5月8日,扬泰机场开通一年,客流量累计达到450 000人次.数据
450 000用科学记数法可表示为 .
10.因式分解:a3-4ab2= .
11.在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例.当V=200时,p=50,
则当p=25时,V= .
12.为了估计鱼塘中鱼的条数,养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记,然后放归鱼塘.经过
一段时间,等有标记的鱼完全混合于鱼群中,再打捞200条鱼,发现其中带标记的鱼有5条,则
鱼塘中估计有 条鱼.
13.在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC= .
14.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,BC=12,∠ABC=60°,则梯形ABCD的周长为
.
15.如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,半径OA=18,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰
好落在 ⏜ 上的点D处,折痕交OA于点C,则 ⏜ 的长为 .
AB AD
3x+n
16.已知关于x的方程 =2的解是负数,则n的取值范围为 .
2x+1
17.矩形的两邻边长的差为2,对角线长为4,则矩形的面积为 .
18.如图,已知☉O的直径AB=6,E、F为AB的三等分点,M、N为 ⏜ 上两点,且∠MEB=∠NFB
AB
=60°,则EM+FN= .三、解答题(本大题共有10小题,共96分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
19.(本题满分8分)(1)计算:(1) -2 -2sin 60°+ ;
√12
2
(2)先化简,再求值:(x+1)(2x-1)-(x-3)2,其中x=-2.
{5x+2y=11a+18,
20.(本题满分8分)已知关于x、y的方程组 的解满足x>0,y>0,求实数a
2x-3 y=12a-8
的取值范围.
21.(本题满分8分)端午节期间,扬州某商场为了吸引顾客,开展有奖促销活动,设立了一个可以
自由转动的转盘,转盘被分成4个面积相等的扇形,四个扇形区域里分别标有“10元”“20
元”“30元”和“40元”的字样(如图).规定:同一日内,顾客在本商场每消费满100元,就可
以转转盘一次,商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券.某顾客当天消费
240元,转了两次转盘.
(1)该顾客最少可得 元购物券,最多可得 元购物券;
(2)请用画树状图或列表的方法,求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率.22.(本题满分8分)为声援扬州“运河申遗”,某校举办了一次运河知识竞赛,满分10分,学生
得分均为整数,成绩达到6分以上(包括6分)为合格,达到9分以上(包括9分)为优秀.这次竞
赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.
(1)补充完成下面的成绩统计分析表:
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 6.7 3.41 90% 20%
乙组 7.5 1.69 80% 10%
(2)小明同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上表可知,小明
是 组的学生;(填“甲”或“乙”)
(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同
学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩要好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的
理由.
23.(本题满分10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连结CD,将线段
CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连结AE.
(1)求证:AB⊥AE;
(2)若BC2=AD·AB,求证:四边形ADCE为正方形.24.(本题满分10分)某校九(1)、九(2)两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况:
(1)九(1)班班长说:“我们班捐款总额为1 200元,我们班人数比你们班多8人.”
(2)九(2)班班长说:“我们班捐款总额也为1 200元,我们班人均捐款比你们班人均捐款多
20%.”
请根据两个班长的对话,求这两个班级每班的人均捐款数.
25.(本题满分10分)如图,△ABC内接于☉O,弦AD⊥AB交BC于点E,过点B作☉O的切线交
DA的延长线于点F,且∠ABF=∠ABC.
(1)求证:AB=AC;
4
(2)若AD=4,cos∠ABF= ,求DE的长.
5
26.(本题满分10分)如图,抛物线y=x2-2x-8交y轴于点A,交x轴正半轴于点B.
(1)求直线AB对应的函数关系式;
(2)有一宽度为1的直尺平行于y轴,在点A、B之间平行移动,直尺两长边所在直线被直线
AB和抛物线截得两线段MN、PQ.设M点的横坐标为m,且0<m<3.试比较线段MN与PQ的
大小.27.(本题满分12分)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC
上的一动点,且和B、C不重合,连结PA,过P作PE⊥PA交CD所在直线于E.设BP=x,CE=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围;
(3)如图2,若m=4,将△PEC沿PE翻折至△PEG位置,∠BAG=90°,求BP长.
28.(本题满分12分)如果10b=n,那么称b为n的劳格数,记为b=d(n),由定义可知:10b=n与
b=d(n)所表示的是b、n两个量之间的同一关系.
(1)根据劳格数的定义,填空:d(10)= ,d(10-2)= ;
(2)劳格数有如下运算性质:
若m、n为正数,则d(mn)=d(m)+d(n),d(m)=d(m)-d(n).
n
根据运算性质,填空:
d(a3)
= (a为正数),若d(2)=0.301 0,则d(4)= ,d(5)= ,d(0.08)=
d(a)
.
(3)下表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的,请找出错误的劳格数,说明理由并
改正.
x 1.5 3 5 6 8 9 12 27
d(x) 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-c 3-3a-3c 4a-2b 3-b-2c 6a-3b
答案全解全析：1 1
1.A ∵a的倒数是 (a≠0),∴-2的倒数是- ,故选A.
a 2
2.D (-a)6=a6,故选D.
3.D 某一件事发生的概率是p,即在实际操作中,大量重复这种操作,该事件发生的频率约
1
为p,∴80%的概率降水并不是指80%的时间在降水;正面朝上的概率是 ,但连续抛掷两次不
2
一定有一次正面朝上;买100张彩票不一定会中奖.故选D.
4.A ∵圆柱的俯视图是圆;三棱锥的左视图是三角形;正方体的俯视图是正方形,故排除
B、C、D,选A.
5.B 如图,∠2=∠FEC,∵AB∥CD,∴∠1=∠FEC,∴∠1=∠2,∴故选B.
6.C ∵每一个内角都是108°,∴每一个外角都是72°.又∵n边形的外角和为360°,∴n=
360°
=5.故选C.
72°
7.B 如图,连结BF.∵四边形ABCD是菱形,
∴AC平分∠BAD.由题易知∠CAB=∠ABF,∠CDF=∠CBF.
∵∠DAB=80°,∴∠CAB=∠ABF=40°.∠CDF=∠CBF=(180°-80°)-80°÷2=60°.故选B.
1
8.C 方程x3+2x-1=0两边同除以x,移项得:x2+2= ,
x1 1 1
∴方程的根可视为函数 y=x2+2 与函数 y= 的交点的横坐标.当 x= 时,y<y;当 x=
1 2 1 2
x 3 2
1 1
时,y>y.故方程的根x 满足 <x< .故选C.
1 2 0 0
3 2
9.答案 4.5×105
解析 确定a×10n(1≤|a|<10,n为整数)中n的值是易错点,由于450 000有6位,所以可以
确定n=6-1=5.所以450 000=4.5×105.
10.答案 a(a+2b)(a-2b)
解析 a3-4ab2=a(a2-4b2)=a(a+2b)(a-2b).
11.答案 400
解析 由题意知pV之积是常数,∴200×50=25V,V=400.
12.答案 1 200
解析 估计池塘中鱼的条数为30÷5×200=1 200(条).
13.答案 6
解析 过A点作AD⊥BC于D.∵AB=AC,∴BD=DC.
∵Rt△ABD中,AB=5,sin∠ABC=0.8,∴AD=4,∴BD=3,
∴BC=2BD=6.
14.答案 30
解析 如图,过点D作DE∥AB交BC于点E.
∵AD∥BC,AB=AD=CD,且∠ABC=60°,∴AD=BE,DE=EC=DC.
∴梯形的周长为12+6×3=30.15.答案 5π
解析 连结OD,∵翻折后OB与BD重合,∴△OBD为正三角形,∴扇形AOD的圆心角为110°-
50π×18
⏜
60°=50°,∴ 的长为 =5π.
AD
180
16.答案 n<2且n≠1.5
{
x=n-2<0,
解析 ∵原方程可化为 3x+n=4x+2,∴x=n-2.由题意可知 解得 n<2 且
1
x=n-2≠- ,
2
n≠1.5.
1
评析 本题容易忽略x=n-2≠- 这一隐含条件而失分.属中档题.
2
17.答案 6
解析 设矩形两邻边长分别为a、b(a>b),
∴{ a-b=2①, ②-①2得2ab=12,∴ab=6.
a2+b2=16②,
18.答案 √33
解析 如图,延长ME交圆O于点H.由圆的中心对称性可知EH=FN.过点O作OD⊥MH,交MH于
点D,连结OM.
在Rt△ODM中,OD=OE×sin 60°=√3,∴MD=
√OM2-OD2
=√
32-
(√3) 2 =√33,∴MH=
√33
,
2 2 2
∴EM+FN=√33.√3
19.解析 (1)原式=4-2× +2√3=4+√3;
2
(2)原式化简得x2+7x-10,当x=-2时,原式=-20.
{ x=3a+2, { 3a+2>0, 2
20.解析 解方程组得 由题意得 解之得:- <a<2.
y=-2a+4, -2a+4>0, 3
21.解析 (1)画出树状图得,
则该顾客最少可得20元购物券,最多可得80元购物券,故答案为:20;80.
(2)由(1)知共有16种等可能的结果,该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况,
10 5
∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为 = .
16 8
22.解析 (1)甲组的成绩为 3,6,6,6,6,6,7,8,9,10,甲组中位数为 6;乙组的成绩为
1
5,5,6,7,7,8,8,8,8,9,平均分为 ×(5+5+6+7+7+8+8+8+8+9)=7.1.
10
填表如下:
平均 合格
组别 中位数 方差 优秀率
分 率
甲组 6.7 6 3.41 90% 20%
乙组 7.1 7.5 1.69 80% 10%
(2)观察上表可知,小明是甲组的学生.(3)①乙组同学平均分高于甲组;②乙组同学的成绩方差小,比甲组稳定,而且集中在中上游.
23.证明 (1)∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠BCD=∠ACE.
∵CB=CA,CD=CE,∴△BCD≌△ACE,∴∠CAE=∠CBD.
∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠ABC=∠BAC=45°,
∴∠CAE=45°,∴∠BAE=90°,∴AB⊥AE.
(2)∵BC2=AD·AB,BC=AC,∴AC2=AD·AB,
AC AB
∴ = .∵∠CAD=∠BAC,∴△CAD∽△BAC,
AD AC
∴∠ADC=∠ACB=90°.
∵∠DCE=∠DAE=90°,∴四边形ADCE是矩形.
∵CD=CE,∴四边形ADCE是正方形.
1 200
24.解析 设九(1)班人均捐款x元,则九(2)班人均捐款1.2x元,根据题意列方程得
x
1 200
- =8,解得x=25,经检验:x=25为原方程的解;1.2x=30.
1.2x
答:略.
25.解析 (1)证明:连结BD,由AD⊥AB得BD必过圆心O.由同弧所对圆周角相等得∠D=∠C.
∵FB与圆O相切,∴∠DBF=90°,∴∠FBA=∠D,∴∠FBA=∠C.
∵∠FBA=∠ABC,∴∠C=∠ABC,∴AB=AC.
4
(2)∵AD=4,cos∠ABF= ,∴Rt△BAD中,AB=3.
5
AE 3 9 7
又∵∠FBA=∠ABC,∴Rt△BAE中, = ,∴AE= ,故DE=AD-AE= .
AB 4 4 4
26.解析 (1)∵抛物线y=x2-2x-8=(x-4)(x+2),∴点A(0,-8),B(4,0).设直线AB对应的函
数关系式为y=kx+b,将点A,B坐标代入可得y=2x-8.
(2)∵点M,N的横坐标均为m,∴点P,Q的横坐标均为m+1,
可得:MN=-m2+4m;PQ=-m2+2m+3.当0<m<1.5时,MN<PQ;当m=1.5时,MN=PQ;当1.5<m<3 时,MN>PQ.
27.解析 (1)∵AB∥CD,∠B=90°,PA⊥PE,
∴∠APB=90°-∠BAP=90°-∠CPE,∴∠BAP=∠CPE,
x y 1 m
∴△BAP∽△CPE,∴ = ,∴y=- x2+ x(0<x<m).
2 m-x 2 2
(2)由题意得y=-1x2+mx≤1,利用配方法可化简得( m) 2+2-m2≥0,∵m>0,∴0<m≤2
x- √2
2 2 2 4
.
(3)分别延长 CE、AG 交于点 H,易证四边形 ABCH 是矩形,由翻折及 AP⊥PE,可得
∠ APB=∠APG, 进 而 得 到 ∠ GAP=∠APG. 故 AG=PG=PC, 所 以 BP=HG, 在 Rt△GHE
x2+4 1 m
中,GH=x,GE=y,HE=2-y,由勾股定理得x2+(2-y)2=y2,整理得y= ,由(1)中y=- x2+ x,
4 2 2
2 2
其中m=4,可得3x2-8x+4=0,解得x= ,x=2,故BP长为 或2.
1 2
3 3
28.解析 (1)∵10b=10=101,∴b=1,∴d(10)=1;由10b=10-2得b=-2,∴d(10-2)=-2.
(2)d(a3)=d(a·a·a)=d(a)+d(a)+d(a)=3d(a).
所 以 d(a3)=3;d(4)=2d(2)=0.602 0;d(5)=d(10)=d(10)-d(2)=1-0.301 0=0.699
d(a) 2
0;d(0.08)=
d( 8 )=d(23)-d(102)=3d(2)-2d(10)=3×0.301 0-2=-1.097 0.
100
(3)当d(3)=2a-b时,可推出d(9)=2d(3)=4a-2b,符合,同理d(27)也符合,如果d(3)错误,则
d(9)和 d(27)两个错误,不可能,所以 d(3)、d(9)、d(27)全部正确.由 d(5)=a+c,得
d(2)=d(10)-d(5)=1-a-c,则 d(6)=d(3)+d(2)=a-b-c+1,d(8)=3d(2)=3-3a-3c,全部正确,如果d(5)错误,则d(6)和d(8)两个也错误,不可能,所以d(5)、d(6)、d(8)全部正确.所以
d(1.5)、d(12)错误.
d(1.5)=d(3)+d(5)-d(10)=3a-b+c-1,
d(12)=d(36)-d(3)=2d(6)-d(3)=2-b-2c.
评析 本题考查学生阅读理解能力、举一反三能力,其中正确理解乘方、开方、劳格数之间
的转化关系是解决问题的基础,理解求劳格数的本质实际就是已知底数和幂求幂指数的一种
运算,它和乘方运算可视为互逆运算的一种,最后一问重点考查学生的演绎推理能力,属区分
度很高的压轴题.
