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2013 年上海市初中毕业统一学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 24 分)
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.下列式子中,属于最简二次根式的是( )
√1
A.√9 B.√7 C.√20 D.
3
2.下列关于x的一元二次方程有实数根的是( )
A.x2+1=0 B.x2+x+1=0 C.x2-x+1=0 D.x2-x-1=0
3.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是( )
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=x2+1 D.y=x2+3
4.数据0,1,1,3,3,4的中位数和平均数分别是( )
A.2和2.4 B.2和2 C.1和2 D.3和2
5.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且
AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于( )
A.5∶8 B.3∶8 C.3∶5 D.2∶5
6.在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,下列条件中,能判断梯形ABCD是等
腰梯形的是( )
A.∠BDC=∠BCD B.∠ABC=∠DAB C.∠ADB=∠DAC D.∠AOB=∠BOC
第Ⅱ卷(非选择题,共 126 分)
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.因式分解:a2-1= .
{x-1>0,
8.不等式组 的解集是 .
2x+3>x
3b2 a
9.计算: · = .
a b
10.计算:2(a-b)+3b= .
3
11.已知函数f(x)= ,那么f(√2)= .
x2+112.将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上,字面朝下随意
放在桌子上,任取一张,那么取到字母e的概率为 .
13.某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示,那么报名参加甲组和丙
组的人数之和占所有报名人数的百分比为 .
14.在☉O中,已知半径长为3,弦AB长为4,那么圆心O到AB的距离为 .
15.如图,在△ABC和△DEF中,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,
使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是 .(只需写一个,不添加辅助线)
16.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之
间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是 升.
17.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中
α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”
的最小内角的度数为 .
3
18.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tan C= ,如果将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC的
2
中点处,直线l与边BC交于点D,那么BD的长为 .
三、解答题(本大题共7题,19~22题10分,23、24题12分,25题14分,满分78分)
19.计算: +| -1|-π0+(1) -1 .
√8 √2
220.解方程组{ x- y=-2,
x2-xy-2y2=0.
1
21.已知平面直角坐标系xOy(如图),直线y= x+b经过第一、二、三象限,与y轴交于点B,点
2
A(2,t)在这条直线上,连结AO,△AOB的面积等于1.
(1)求b的值;
k
(2)如果反比例函数y= (k是常量,k≠0)的图象经过点A,求这个反比例函数的解析式.
x
22.某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段
的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF升起后的位置如图 2所示,其示意图如图 3所示,其中
AB⊥BC,EF∥BC,∠EAB=143°,AB=AE=1.2米,求当车辆经过时,栏杆EF段距离地面的高度(即直线EF上任意一点到直线BC的距离).(结果精确到0.1米,栏杆宽度忽略不计)参考数据:sin
37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.
23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF
∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:DE=EF;
(2)连结CD,过点E作DC的垂线交DC于点H,交CF的延长线于点G,求证:∠B=∠A+∠HGC.
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴
上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.25.在矩形ABCD中,点P是边AD上的动点,连结BP,线段BP的垂直平分线交边BC于点Q,
垂足为点M,连结QP(如图).已知AD=13,AB=5,设AP=x,BQ=y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(2)当以AP长为半径的☉P和以QC长为半径的☉Q外切时,求x的值;
(3)点E在边CD上,过点E作直线QP的垂线,垂足为F,如果EF=EC=4,求x的值.
答案全解全析：
√1 √3
1.B ∵√9=√3,√20=2√5, = .故A、C、D排除,选B.
3 3
2.D 在x2-x-1=0中,Δ=b2-4ac=(-1)2-4×(-1)=5>0.故选D.
3.C 原抛物线向下平移1个单位,则所得新抛物线的表示式为y=x2+1.故选C.
评析 本题比较容易,根据二次函数图象的平移规律“上加下减,左加右减”进行解题.考查
二次函数图象的平移.
4.B ∵数据已经从小到大排列,
∴中位数为(1+3)÷2=2,平均数为(0+1+1+3+3+4)÷6=2.
故选B.
5.A ∵DE∥BC,∴AE∶EC=AD∶DB=3∶5,
∵EF∥AB,∴BF∶FC=AE∶EC=3∶5,
故CF∶CB=5∶8.故选A.
6.C 若满足∠BDA=∠CAD,则∠ACB=∠DBC,∴BO=OC,OD=OA.故AC=DB.对角线相等的梯形是
等腰梯形,故选C.7.答案 (a+1)(a-1)
解析 利用平方差公式分解得a2-1=(a+1)(a-1).
8.答案 x>1
解析 两个不等式的解集分别为x>1,x>-3,根据“同大取大”知,不等式组的解集为x>1.
9.答案 3b
3b2 a a 3b2
解析 · = · =3b.
a b a b
10.答案 2a+b
解析 原式=2a-2b+3b=2a+b.
11.答案 1
3 3
解析 f(√2)= = =1.
(√2)2+1 3
2
12.答案
7
2
解析 ∵字母e在单词中共出现两次,单词一共7个字母,∴概率为 .
7
13.答案 40%
解析 百分比为(50+30)÷(50+80+30+40)=40%.
14.答案 √5
1
解析 如图,连结OA,过点O作OC⊥AB于点C.根据垂径定理得:AC= AB=2.
2
∴OC= = = .
√OA2-AC2 √32-22 √515.答案 答案不唯一,如∠ABC=∠DEF
解析 ∵BF=CE,∴BC=EF,∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.添加∠ABC=∠FED,可由“ASA”公理推
断出△ABC≌△DEF.
16.答案 20
x
解析 设直线解析式为y=kx+b.将(0,35),(160,25)代入可得y=- +35.当x=240时,y=20,
16
即到达乙地时油箱剩余油量是20升.
评析 本题考查利用待定系数法求解一次函数解析式.
17.答案 30°
解析 当特征角是100°时,角β=50°,另一个角为180°-100°-50°=30°,∴最小内角
的度数为30°.
15
18.答案
4
3
解析 如图1,过点A作AH⊥BC交BC于点H,∴BH=HC=4,∵tan C= ,∴AH=6,AC=2√13.如图
2
2,R为AC中点,则RC=√13.过点R作RM⊥BC于点M,∴RM=3,CM=2.∴BM=6.设BD=x,∴DM=6-
x,∵直线l垂直平分BR,∴BD=RD=x,在Rt△DRM中,利用勾股定理建立方程:32+(6-x)2=x2,解
15 15
得x= ,即BD= .
4 4图1
图2
19.解析 +| -1|-π0+(1) -1
√8 √2
2
=2√2+√2-1-1+2=3√2.
20.解析 {x- y=-2, ①
x2-xy-2y2=0,②
由②可得:(x-2y)(x+y)=0,
所以x=2y或x=-y,
则原方程组可以转化成为
{x- y=-2, {x- y=-2,
或
x=2y x=- y.
{x=-4, {x=-1,
解得 或
y=-2 y=1.
评析 本题考查可化为两个二元一次方程组的二元二次方程组的求解方法.对方程②因式分
解是解决这道题的关键.1
21.解析 (1)因为直线y= x+b经过第一、二、三象限,所以点B在y轴正半轴上,所以
2
b>0.
1
因为S = ·b·2=1,所以b=1,点B的坐标为(0,1).
△AOB
2
1
(2)由(1)知直线的解析式是y= x+1.
2
又因为点 A(2,t)在直线上,所以可得到 A(2,2).因为点 A在反比例函数的图象上,所以
4
k=2×2=4,所以反比例函数的解析式为y= .
x
22.解析 过点A作AH∥BC,EH⊥AH.
∵∠EAB=143°,∴∠EAH=53°,∠AEH=37°,
EH
∴cos∠AEH=cos 37°= ≈0.8.
AE
∵AE=1.2,∴EH=AE·0.8=0.96.
∴栏杆EF距离地面的高度是0.96+1.2=2.16≈2.2米.
23.证明 (1)∵DF∥BC,DB∥FC,
∴四边形DBCF为平行四边形.
又∵D为Rt△ACB斜边中点,DE∥BC,
DE AD 1
∴ = = ,
BC AB 2
1 1
∴DE= BC,又DF=BC,∴DE= DF,
2 2
∴EF=DE.
(2)∵D为AB中点,∴DC=DB=AD,
∴∠B=∠DCB.
∵∠EHC=∠ACB=90°,∴∠HEC+∠ACD=90°,∠DCB+∠ACD=90°,∴∠HEC=∠DCB.
∵∠HEC为△EGC的外角,
∴∠HEC=∠ECG+∠G,
又AD∥CF,∴∠ECG=∠A,
∴∠HEC=∠A+∠HGC,
∴∠B=∠A+∠HGC.
24.解析 (1)∵OA=OB=2,∠AOB=120°,作AF⊥x轴,
∴∠AOF=60°,可得到点A(-1,√3),B(2,0).
代入y=ax2+bx(a>0)中,
{ √3
a= ,
可得{a(-1)2+(-1)b=√3,解得 3
22a+2b=0, 2
b=- √3,
3
√3 2
∴y= x2- √3x.
3 3
√3 2 √3 √3 √3 √3
(2)y= x2- √3x= (x2-2x+1)- = (x-1)2- ,
3 3 3 3 3 3
∴点M的坐标为( √3).
1,-
3
√3 MQ √3
过点M作MQ⊥x轴,则MQ= ,OQ=1,tan∠QOM= = ,
3 OQ 3
∴∠QOM=30°,∠AOM=120°+30°=150°.
(3)连结AB,由(1)知∠AOF=60°.
又∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABO=30°,∴∠ABx=150°=∠AOM,
∴点C在B点的右侧,设点C(c,0).
△AOM相似于△ABC可分两种情况讨论:
①∠CAB=∠MAO,即△ABC∽△AOM,
AB AO 2
= ,易知AB=2√3,BC=c-2,AO=2,OM= √3,
BC OM 3
2
2√3
则 =2 ⇒c=4,∴C
1
(4,0).
c-2 √3
3
②∠CAB=∠AMO,即△ABC∽△MOA,
AB OM 2
= ,AB=2√3,BC=c-2,AO=2,OM= √3,
BC OA 3
2
2√3 √3
则 =3 ⇒c=8,∴C
2
(8,0),
c-2
2
综上两种情况,点C坐标为(4,0)或(8,0).
25.解析 (1)∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBQ,
∵QM是PB的垂直平分线,∴∠QMB=∠PAB=90°,
AP BM
∴△APB∽△MBQ,∴ = .
PB BQ
∵AP=x,AB=5,∠BAD=90°,
∴BP= = ,又BM=BP=√x2+25,BQ=y,AP=x,
√AB2+AP2 √x2+25
2 2
√x2+25
x
则 = 2 ,
√x2+25
y25+x2
化简得y= (1≤x≤13).
2x
(2)如图所示,∵☉P与☉Q外切,∴圆心距PQ=AP+CQ=x+(13-y).
∵QM是PB的垂直平分线,∴BQ=PQ=y,
25
{y=x+(13- y), {x= ,
即y=x+(13-y),又由(1)知y=25+x2,则 解得 13
25+x2
2x y= , 97
2x y= .
13
25
∴x= .
13
(3)连结EQ,∵EC=EF=4,
∠EFQ=∠ECQ=90°,EQ=EQ,
∴△ECQ≌△EFQ,∴∠EQC=∠EQF,
又DM为BP的垂直平分线,则可得∠PQM=∠BQM,
∴2(∠EQF+∠PQM)=180°,∴∠EQM=90°,
则可知∠EQC=∠APB,又∵∠ECQ=∠PAB=90°,
EC AB 4 5
∴△APB∽△CQE,∴ = , = ,
CQ AP 13- y x
25+x2
代入(1)中的y= ,
2x
65±10√26
整理之后可得13x2-130x+125=0,解得x= ,
1365±10√26 65±10√26
检验,当x= 时,在定义域内,∴x= .
13 13
