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2013 年新疆乌鲁木齐市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每题的选项中只有一项符合题目要求．
1．（4分）|﹣2|的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
﹣
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a2=a6 B．5a﹣3a=2 C．2a3•3a2=6a6 D．
（﹣2a）﹣2=
3．（4分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
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学。科。网Z。X。X。K]
4．（4分）若关于x的方程式x2﹣x+a=0有实根，则a的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
5．（4分）如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若
BG= ﹣1，则△ABC的周长为（ ）
A．4+2 B．6 C．2+2 D．4
6．（4分）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与
调出的速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间（t 小时）之间的函数关系如图所示．则这批物
资从开始调进到全部调出所需要的时间是（ ）
A．8.4小时 B．8.6小时 C．8.8小时 D．9小时7．（4分）种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分
黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众
数分别是（ ）
A．13.5，20 B．15，5 C．13.5，14 D．13，14
8．（4分）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：（f a，b）=（a，﹣b）．如（f 1，2）=（1，﹣2）；g（a，
b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，﹣9））=（ ）
A．（5，﹣9） B．（﹣9，﹣5） C．（5，9） D．（9，5）
9．（4分）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，
且两端的数均为 ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为
（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）把答案直接填在答题卡的相应位置处．
11．（4分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90
分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式 ．
12．（4分）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 ．13．（4分）在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球3只，白球n只，若从袋中
任取一个球，摸出白球的概率为 ，则n= ．
14．（4分）如图，反比例函数y= （x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且
AE=BE，则△OEF的面积的值为 ．
15．（4分）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为
．
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三、解答题（本大题包括I-V题，共9小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明，
证明过程或演算过程．
16．（6分）﹣22﹣（﹣ ）﹣2﹣|2﹣2 |+ ．
17．（8分）先化简：（ ﹣x+1）÷ ，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入
求值．
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18．（7分）在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11kg苹果，
5kg梨，老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少元？
19．（10分）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、
F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．20．（12分）国家环保部发布的（环境空气质量标准）规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35
微克/立方米．PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米，某市环保部门随机抽取了一居民
区去年若干天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，并统计如下：
（1）求出表中a、b、c的值，并补全频数分布直方图．
（2）从样本里PM2.5的24小时平均浓度不低于50微克/立方米的天数中，随机抽取两天，求出“恰好
有一天PM2.5的24小时平均浓度不低于75微克/立方米”的概率．
（3）求出样本平均数，从PM2.5的年平均浓度考虑，估计该区居民去年的环境是否需要改进？说明理
由．
PM浓度 日均值 频数 概率
（微克/立方米） （天）
0＜x＜2.5 12.5 5 0.25
2.5＜x＜50 37.5 a 0.5
50＜x＜75 62.5 b c
75＜x＜100 87.5 2 0.1
21．（11分）九（1）数学兴趣小组为了测量河对岸的古塔A、B的距离，他们在河这边沿着与AB平行
的直线l上取相距20m的C、D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°，如图所示，求古塔
A、B的距离．22．（10分）如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．
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23．（12分）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变
化如下表：
价格x（元/个） … 30 40 50 60 …
销售量y（万个） … 5 4 3 2 …
同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关
知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格
定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售
量尽可能大，销售价格应定为多少元？
24．（14分）如图．在平面直角坐标系中，边长为 的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、
BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．
（1）求证：△OAD≌△EAB；
（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．参考答案
1、A 2、D 3、A 4、D 5、A 6、C 7、C 8、D 9、B 10、D
11、10x﹣5（20﹣x）＞90 12、 13、9 14、 15、
16． 解：原式=﹣4﹣4﹣（2 ﹣2）+2
=﹣6．
17．
解：原式=（ ﹣ ）÷
= ×
= ，
当x=1时，原式= =3．
18．：解：设该店的苹果的单价是每千克x元，梨的单价是每千克y元，由题意得：
，
解得： ，
答：该店的苹果的单价是每千克5元，梨的单价是每千克9元．
19．：证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AC=AC，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中
∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH∥CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF∥EH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形．
20．：解：（1）被抽查的天数为：5÷0.25=20天，
a=20×0.5=10，
b=20﹣5﹣10﹣2=20﹣17=3，c=1﹣0.25﹣0.5﹣0.1=1﹣0.85=0.15；
故a、b、c的值分别为10、3、0.15；
补全统计图如图所示：
（2）设50＜x＜75的三天分别为A1、A2、A3，75＜x＜100的两天分别为B1、B2，
根据题意画出树状图如下：
一共有20种情况，“恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度不低于75微克/立方米”的有12
种情况，
所以，P= = ；
（3）平均浓度为： = =40微克/立方米，
∵40＞35，
∴从PM2.5的年平均浓度考虑，该区居民去年的环境需要改进．
21．：解：过点A作AE⊥l于点E，过点C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，
设AE=x，
∵∠ACD=120°，∠ACB=15°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACF﹣∠ACB=30°，
在Rt△ACE中，∵∠ACE=45°，
∴EC=AE=x，
在Rt△ADE中，∵∠ADC=30°，
∴ED=AEcot30°= x，
由题意得， x﹣x=20，
解得：x=10（ +1），
即可得AE=CF=10（ +1）米，
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在Rt△ACF中，∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=10（ +1）米，
在Rt△BCF中，∵∠BCF=30°，∴BF=CFtan30°=（10+ ）米，
故AB=AF﹣BF= 米．
答：古塔A、B的距离为 米．
22．：
证明：（1）如图，连接OB，则∠BAE= ∠BOC，
∵OF⊥BC，
∴∠COF= ∠BOC，
∴∠BAE=∠COF，
又∵AC⊥BD，OF⊥BC，
∴∠OFC=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△OFC；
（2）∵△AEB∽△OFC，
∴ = ，
由圆周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴ = ，
∴ = ，
∵OF⊥BC，
∴BC=2FC，
∴AD= •FO=2FO，
即AD=2FO．
23．：解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y=ax+b，则 ，
解得： ，
故函数解析式为：y=﹣ x+8；
（2）根据题意得出：
z=（x﹣20）y﹣40
=（x﹣20）（﹣ x+8）﹣40
=﹣ x2+10x﹣200，
=﹣ （x2﹣100x）﹣200
=﹣ [（x﹣50）2﹣2500 ﹣200
=﹣ （x﹣50）2+50， ]
故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．
（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣ （x﹣50）2+50=40，解得：x =40，x =60．
1 2
如上图，通过观察函数y=﹣ （x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40
万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=﹣ x+8，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
24．：（1）证明：如答图1所示，连接ID，IO，∵I为△BOD的外心，∴IO=ID，
又F为OD的中点，∴IF⊥OD．
∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°，又∠DEF=∠AEB，
∴∠FED=∠EBA．而DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，
∴△OAD≌△EAB．
（2）解：由（1）知IF⊥OD，又BF为中线，
∴BO=BD= AB=2，
∴OA=BO﹣AB=2﹣ ．
由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=2﹣ ，
∴E（2﹣ ，2﹣ ），B（2，0）．
设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax2+bx，
则有 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y= x2+ x．
（3）解：∵直线BD与x轴关于直线BF对称，
∴抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P．
由（2）可知，B（2，0），D（2﹣ ， ），可得直线BD的解析式为y=﹣x+2．
∵点P既在直线y=﹣x+2上，也在抛物线y= x2+ x上，
∴﹣x+2= x2+ x，解此方程得：x=2或x= ，
当x=2时，y=﹣x+2=0；当x= 时，y=﹣x+2=2﹣ ，
∴点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（ ，2﹣ ）．
（4）解：∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD，
∴∠EBA=22.5°，由（1）知∠ODA=22.5°，故∠DOA=67.5°，OA=EA，
∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°，即△OED是顶角为135°的等腰三角形．
若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．
如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M ，M ，M ，
1 2 3
M ，其中符合题意的是点M ，M ．
4 1 3∵DM =DB=2，OA=2﹣ ，∴M （﹣ ， ）．
1 1
由（1）知B（2，0），E（2﹣ ，2﹣ ），故直线BE的解析式为y=（1﹣ ）x﹣2+ ．
I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点，
∴I（1， ﹣1），即M （1， ﹣1）．
3
故符合题意的M点的坐标为（﹣ ， ），（1， ﹣1）．
