年初中学业水平考试
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题
目要求的)
1.截至2021年6月8日,31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病
毒疫苗超过800 000 000剂次.用科学记数法表示800 000 000是( )
A.8×108 B.0.8×109
C.8×109 D.0.8×1010
2.计算(a2)3·a-3的结果是( )
A.a2 B.a3 C.a5 D.a9
3.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是( )
A.1,1,1 B.1,1,8
C.1,2,2 D.2,2,2
4.北京与莫斯科的时差为5小时,例如,北京时间13:00,同一时刻的莫斯科时间是8:00.小丽和
小红分别在北京和莫斯科,她们相约在各自当地时间9:00~17:00之间选择一个时刻开始通话,
这个时刻可以是北京时间( )
A.10:00 B.12:00 C.15:00 D.18:00
5.一般地,如果xn=a(n为正整数,且n>1),那么x叫做a的n次方根.下列结论中正确的是( )
A.16的4次方根是2
B.32的5次方根是±2
C.当n为奇数时,2的n次方根随n的增大而减小
D.当n为奇数时,2的n次方根随n的增大而增大
6.如图,正方形纸板的一条对角线垂直于地面,纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确
定的平面垂直于纸板.在灯光照射下,正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是( )
A B C D
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
7.-(-2)= ;-|-2|= .
8.若式子 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
√5x
√9
9.计算√8- 的结果是 .
2
10.设x,x 是关于x的方程x2-3x+k=0的两个根,且x=2x,则k= .
1 2 1 211.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的边AO,AB的中点C,D的横坐标分别是1,4,则点B的
横坐标是 .
12.如图,AB是☉O的弦,C是AB的中点,OC交AB于点D.若AB=8 cm,CD=2 cm,则☉O的半
⏜
径为 cm.
6
13.如图,正比例函数y=kx与函数y= 的图象交于A,B两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则S =
x △ABC
.
14.如图,FA,GB,HC,ID,JE是五边形ABCDE的外接圆的切线,则
∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ= °.
15.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=BD.设∠ABC=α,则∠ADC= (用含α的代数式表
示).
16.如图,将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB'C'D'的位置,使点B'落在BC上,B'C'与CD交于
点E.若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长为 .三、解答题(本大题共11小题,共88分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)解不等式1+2(x-1)≤3,并在数轴上表示解集.
2 x
18.(7分)解方程 +1= .
x+1 x-1
( a 2 b ) a-b
- +
19.(7分)计算: ÷ .
b2+ab a+b a2+ab ab20.(8分)如图,AC与BD交于点O,OA=OD,∠ABO=∠DCO,E为BC延长线上一点,过点E作
EF∥CD,交BD的延长线于点F.
(1)求证:△AOB≌△DOC;
(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的长.
21.(8分)某市在实施居民用水定额管理前,对居民生活用水情况进行了调查.通过简单随机抽
样,获得了100个家庭去年的月均用水量数据,将这组数据按从小到大的顺序排列,其中部分
数据如下表:
75 76 … 99 100
11 13 … 25.6 28
(1)求这组数据的中位数.已知这组数据的平均数为9.2 t,你对它与中位数的差异有什么看法?
(2)为了鼓励节约用水,要确定一个用水量的标准,超出这个标准的部分按1.5倍价格收费.若要
使75%的家庭水费支出不受影响,你觉得这个标准应该定为多少?
22.(8分)不透明的袋子中装有2个红球、1个白球,这些球除颜色外无其他差别.(1)从袋子中随机摸出1个球,放回并摇匀,再随机摸出1个球.求两次摸出的球都是红球的概
率;
(2)从袋子中随机摸出1个球,如果是红球,不放回再随机摸出1个球;如果是白球,放回并摇匀,
再随机摸出1个球.两次摸出的球都是白球的概率是 .
23.(8分)如图,为了测量河对岸两点A,B之间的距离,在河岸这边取点C,D.测得CD=80
m,∠ACD=90°,∠BCD=45°,∠ADC=19°17',∠BDC=56°19'.设A,B,C,D在同一平面内,求A,B两
点之间的距离.
(参考数据:tan 19°17'≈0.35,tan 56°19'≈1.50.)
24.(8分)甲、乙两人沿同一直道从A地去B地.甲比乙早1 min出发,乙的速度是甲的2倍.在
整个行程中,甲离A地的距离y(单位:m)与时间x(单位:min)之间的函数关系如图所示.
1
(1)在图中画出乙离A地的距离y(单位:m)与时间x之间的函数图象;
2
(2)若甲比乙晚5 min到达B地,求甲整个行程所用的时间.25.(8分)如图,已知P是☉O外一点.用两种不同的方法过点P作☉O的一条切线.
要求:(1)用直尺和圆规作图;(2)保留作图的痕迹,写出必要的文字说明.
26.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-2,1),(2,-3)两点.
(1)求b的值;
(2)当c>-1时,该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 ;
(3)设(m,0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当-1<m<3时,结合函数的图象,直接写出a的
取值范围.
27.(9分)在几何体表面上,蚂蚁怎样爬行路径最短?
(1)如图①,圆锥的母线长为12 cm,B为母线OC的中点,点A在底面圆周上, 的长为4π
AC
⏜
cm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径,并标出它的
长(结果保留根号);(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点,点A在圆柱的底面
圆周上.设圆锥的母线长为l,圆柱的高为h.
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 (用含l,h的代数式表示);
②设 的长为a,点B在母线OC上,OB=b.圆柱的侧面展开图如图④所示,在图中画出蚂蚁
AD
⏜
从点A爬行到点B的最短路径的示意图,并写出求最短路径的长的思路.
19 南京市2021年初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
1 2 3 4 5 6
A B D C C D
1.A 800 000 000=8×108.故选A.
2.B (a2)3·a-3=a6·a-3=a6-3=a3.故选B.
3.D ∵1+1+1=3<5,∴长度为1,1,1,5的四条线段不能组成四边形,A不符合题
意;∵1+1+5=7<8,∴长度为1,1,8,5的四条线段不能组成四边形,B不符合题意;∵1+2+2=5,∴长
度为1,2,2,5的四条线段不能组成四边形,C不符合题意;∵2+2+2=6>5,∴长度为2,2,2,5的四条
线段能组成四边形,D符合题意.故选D.
4.C 由题意得北京时间比莫斯科时间晚5小时.
因为相约在各自当地时间9:00~17:00,所以排除D.
因为北京时间10:00对应莫斯科时间5:00,所以A不合题意;
因为北京时间12:00对应莫斯科时间7:00,所以B不合题意;
因为北京时间15:00对应莫斯科时间10:00,所以C符合题意.
故选C.
5.C 16的4次方根是±2,故A不正确;32的5次方根是2,故B不正确;设m>n>1,m,n为奇数,
则(m√2)mn=2n,(√n2)mn=2m.∵2n<2m,∴ m√2<√n2.∴当n为奇数时,2的n次方根随n的增大而减小,故
C正确,D不正确.故选C.
6.D ∵正方形纸板的一条对角线垂直于地面,纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确
定的平面垂直于纸板,
∴在地面上的投影关于这条对角线对称,即为筝形,
∵灯在纸板上方,∴上方投影比下方投影要长.
故选D.
二、填空题7.答案 2;-2
解析 -(-2)=2;-|-2|=-2.
8.答案 x≥0
解析 由题意,得5x≥0,∴x≥0.
√2
9.答案
2
√9 3 3√2 √2
解析 原式=2√2- =2√2- =2√2- = .
√2 √2 2 2
10.答案 2
解析 ∵x+x=3x=3,∴x =1,将x=1代入关于x的方程x2-3x+k=0,得12-3×1+k=0,解得k=2.
1 2 2 2 2
11.答案 6
解析 ∵边AO,AB的中点分别为点C,D,
∴CD是△OAB的中位线,∴CD∥OB,
∵点C,D的横坐标分别是1,4,
∴CD=3,∴OB=2CD=6,
∴点B的横坐标为6.
12.答案 5
解析 如图,连接OA,
∵C是 的中点,AB=8 cm,∴OC⊥AB,AD=BD=4 cm,
AB
⏜
∵OA=OC,CD=2 cm,设☉O的半径为r cm,
∴OD=OC-CD=r-2,
在Rt△OAD中,OA2=AD2+OD2,即r2=16+(r-2)2,
解得r=5.
13.答案 12
解析 连接OC,设AC交x轴于点N,BC交y轴于点M,
6
∵正比例函数y=kx与函数y= 的图象交于A,B两点,
x
|k|
∴点A与点B关于原点对称,S =S = =3,
△AON △OBM
2
∵BC∥x轴,AC∥y轴,∴S =S ,S =S ,
△AON △CON △OBM △OCM
即S =4S =4×3=12.
△ABC △AON
14.答案 180
解析 设五边形ABCDE外接圆圆心为O.连接OA,OB,OC,OD,OE,作直径AM,连接EM,∵JE是五边形ABCDE外接圆的切线,
∴OE⊥EJ,∴∠OEJ=90°,
∴∠AEJ+∠AEO=90°,
∵AM是☉O直径,∴∠AEM=90°,
∴∠OAE+∠M=90°,
∵OA=OE,∴∠OAE=∠AEO,
∴∠AEJ=∠M,
1
∵∠M= ∠AOE,
2
1
∴∠AEJ= ∠AOE,
2
1 1
同理,∠BAF= ∠AOB,∠CBG= ∠BOC,
2 2
1 1
∠DCH= ∠COD,∠EDI= ∠DOE,
2 2
∴∠AEJ+∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI
1
= (∠AOE+∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE)
2
1
= ×360°=180°.
2
α
15.答案 180°-
2
解析 设∠ABD=x,∵∠ABC=α,
∴∠DBC=α-x,
180°-x x
∵BA=BD=BC,∴∠BAD=∠BDA= =90°- ,
2 2
180°-∠CBD 180°-(α-x) α x
∠BDC=∠BCD= = =90°- + ,
2 2 2 2
x α x α
∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°- +90°- + =180°- .
2 2 2 2
9
16.答案
8
解析 在▱ABCD中,AB=CD=3,AD=BC=4,∠B=∠ADC,
∵▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB'C'D',
∴AB=AB',AD=AD',∠C=∠C',∠BAB'=∠DAD',
∴△BAB'∽△DAD',△B'CE∽△DC'E,
AB BB' 3 1 4
∴ = ,∴ = ,∴DD'= ,
AD DD' 4 DD' 3
4 5
∵C'D'=3,∴C'D=3- = ,
3 33
B'C B'E CE 9
∵△B'CE∽△DC'E,∴ = = =5= ,
DC' DE C'E 5
3
设B'E=9x,则DE=5x,C'E=4-9x,CE=3-5x,
3-5x 9 3
∴ = ,解得x= ,
4-9x 5 8
3 9
经检验,x= 是原分式方程的解,∴CE=3-5x= .
8 8
三、解答题
17.解析 1+2(x-1)≤3,
去括号,得1+2x-2≤3,
移项、合并同类项,得2x≤4,
化系数为1,得x≤2.
表示在数轴上为:
18.解析 方程两边同乘(x+1)(x-1),
得2(x-1)+x2-1=x(x+1),
解得x=3.
经检验,x=3是原方程的解,
∴原方程的解是x=3.
19.解析 ( a
-
2
+
b )÷a-b
b2+ab a+b a2+ab ab
=[ a 2 b ]· ab =a2-2ab+b2· ab
- +
b(a+b) a+b a(a+b) a-b ab(a+b) a-b
(a-b)2 ab a-b
= · = .
ab(a+b) a-b a+b
20.解析 (1)证明:在△AOB和△DOC中,
{∠ABO=∠DCO,
∠AOB=∠DOC,
OA=OD,
∴△AOB≌△DOC(AAS).
(2)由(1)得△AOB≌△DOC,∴AB=DC=2,
∵BC=3,CE=1,∴BE=BC+CE=4,
∵EF∥CD,∴△BCD∽△BEF,
DC BC 2 3 8
∴ = ,即 = ,解得EF= .
FE BE EF 4 3
21.解析 (1)共有100个数据,按从小到大的顺序排列后第50,51个数据分别是6.4,6.8,∴中位
数为(6.4+6.8)÷2=6.6 t;
已知这组数据的平均数为9.2 t,
∴从平均数与中位数的差异可得大部分家庭去年的月均用水量小于平均数,有节约用水观念,
少数家庭用水比较浪费.
(2)100×75%=75,
第75个家庭去年的月均用水量为11 t,
要使75%的家庭水费支出不受影响,
则家庭月均用水量应该定为11 t.
答:这个标准应该定为11 t.
(答案不唯一,大于等于11 t,小于13 t,即可得分)
22.解析 (1)画树状图如图:共有9种等可能的结果,两次摸出的球都是红球的结果有4种,∴两次摸出的球都是红球的概
4
率为 .
9
1 1
(2)第一次摸出白球的概率为 ,第二次摸出白球的概率也是 ,∴两次摸出的球都是白球的概
3 3
1 1 1
率为 × = .
3 3 9
1
故答案为 .
9
23.解析 过点B作BE⊥CD于点E,过点A作AF⊥BE于点F,如图:
∵∠BCD=45°,
∴△BCE是等腰直角三角形,
设CE=x m,则BE=x m,
∵CD=80 m,
∴DE=(80-x)m,
Rt△BDE中,∠BDC=56°19',
BE x
∴tan 56°19'= ,即 ≈1.50,解得x=48,
DE 80-x
∴BE=CE=48 m,
Rt△ACD中,∠ADC=19°17',
AC AC
∴tan 19°17'= ,即 ≈0.35,解得AC=28 m,
CD 80
∵∠ACD=90°,BE⊥CD,AF⊥BE,∴四边形ACEF是矩形,
∴AF=CE=48 m,EF=AC=28 m,∴BF=BE-EF=20 m,
在Rt△ABF中,AB= = =52(m).
√AF2+BF2 √482+202
∴A,B两点之间的距离为52 m.
24.解析 (1)如图:
(2)设甲的速度是v m/min,乙整个行程所用的时间为t min,
由题意得2v·t=(t+1+5)v,
解得t=6,6+1+5=12(min).
答:甲整个行程所用的时间为12 min.
25.解析 以下方法供参考,答案不唯一.
方法一:如图,连接OP,以OP为直径作圆交☉O于点D,作直线PD,直线PD即为所求.方法二:如图,连接OP,作射线PE,过点O作OE⊥PE于点E,作△POE的外接圆交☉O于点D,作
直线PD,直线PD即为所求.
方法三:如图,连接OP,交☉O于点E,过点O作OG⊥OE,以E为圆心,OP长为半径画弧交OG
于点F,以P为圆心,OF长为半径画弧交☉O于点D,作直线PD,直线PD即为所求.
26.解析 (1)把(-2,1),(2,-3)代入y=ax2+bx+c中,
{ 1=4a-2b+c,①
得
-3=4a+2b+c,②
两式相减得-4=4b,∴b=-1.
-1-c
(2)解法一:把b=-1代入①得1=4a+2+c,∴a= ,
4
4ac-b2 1 1
∴顶点的纵坐标为 =c+ =c+1+ -1,
4a c+1 c+1
∵c>-1,∴c+1>0,
∴c+1+ 1 -1=( 1 ) 2 +1≥1.
√c+1-
c+1 √c+1
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1.
解法二:图象法:
过(-2,1),(2,-3)的直线解析式为y=-x-1,
则直线与y轴的交点坐标为(0,-1),
故(-2,1),(2,-3),(0,-1)三点共线,
当c>-1时,二次函数的图象开口向下,顶点的纵坐标大于等于1,∴该函数的图象的顶点的纵坐
标的最小值是1.
(3)∵二次函数经过点(2,-3),∴m≠2.
①当-1<m<2时,当x=-1时,y=a+1-4a-1>0,解得a<0;
②当2<m<3时,当x=3时,y=9a-3-4a-1>0.
4
解得a> .
54
综上,a<0或a> .
5
27.解析 (1)如图,连接AO,AC,AB.
设∠AOC=n°.
nπ·12
∵ 的长=4π cm,∴ =4π,∴n=60°,∴∠COA=60°,
AC
180
⏜
∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,
∵OB=BC=6 cm,∴AB⊥OC,
∴AB= = =6 cm.
√OA2-OB2 √122-62 √3
最短的路径是线段AB,最短路径的长为6√3 cm.
(2)①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高,即为h+l.
故答案为h+l.
②思路:
过点O作OF⊥AD于点F,交AB于点G,当点G为圆弧与圆柱展开图唯一交点时,AB即为最
短路径.
由 的长为a,得展开后的线段AD=a,设线段GC的长为x,
AD
⏜
则 的长也为x,由母线长为l,可求∠GOC'.
GC'
⏜
作BE⊥OF于点E,BH⊥AD于点H,
因为OB=b,可由三角函数求出OE和BE,从而得到GE,
利用勾股定理表示出BG,由FD=CG=x,得到AF=a-x,
利用勾股定理可以求出AG,
利用勾股定理得到AB2=AH2+BH2,进而得到关于x的方程,
解出x的值回代到BG和AG中,即可求出最短路径.
