29
2020年常德市初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
1.4的倒数为 ( )
1
A. B.2 C.1 D.-4
4
2.下面几种中式窗户图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
3.如图,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为 ( )
A.70° B.65° C.35° D.5°
4.下列计算正确的是 ( )
A.a2+b2=(a+b)2 B.a2+a4=a6
C.a10÷a5=a2 D.a2·a3=a5
5.下列说法正确的是 ( )
A.明天的降水概率为80%,则明天80%的时间下雨,20%的时间不下雨
B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上
C.了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式
D.一组数据的众数一定只有一个
6.一个圆锥的底面半径r=10,高h=20,则这个圆锥的侧面积是 ( )
A.100 π B.200 π
√3 √3
C.100 π D.200 π
√5 √5
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:
①b2-4ac>0;②abc<0;③4a+b=0;④4a-2b+c>0.其中正确结论的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8.如图,将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处,按顺时针方向移动这枚跳棋2 020次.移动规则:第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点,跳棋停留在B处,第二次移动2个顶点,跳棋停留在D处),按这样的规则,在这2 020次移动中,跳棋
不可能停留的顶点是 ( )
A.C、EB.E、F
C.G、C、E D.E、C、F
二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)9.分解因式:xy2-4x= .
2
10.若代数式 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
√2x-6
√9 √1
11.计算: - +√8= .
2 2
k
12.如图,若反比例函数y= (x<0)的图象经过点A,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积为6,则k= .
x
13.4月23日是世界读书日,这天某校为了解学生课外阅读情况,随机收集了30名学生每周课外阅读的时间,统计如下:
阅读时间(x小时) x≤3.5 3.5<x≤5 5<x≤6.5 x>6.5
人数 12 8 6 4
若该校共有1 200名学生,试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为 .
14.今年新冠病毒疫情初期,口罩供应短缺,某地规定:每人每次限购5只.李红出门买口罩时,无论是否买到,都会消耗家里库存的口罩一只,如果有口罩买,她将买回5只.已知李红家原有库存15只,出门10次购买后,家里现有口罩35只.则李红出门没
有买到口罩的次数是 .
15.如图1,已知四边形ABCD是正方形,将△DAE,△DCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2,此时DA与DC重合(A,C都落在G点),若GF=4,EG=6,则DG的长为 .
16.阅读理解:对于x3-(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式:x3-(n2+1)x+n=x3-n2x-x+n=x(x2-n2)-(x-n)=x(x-n)(x+n)-(x-n)=(x-n)(x2+nx-1).
理解运用:如果x3-(n2+1)x+n=0,那么(x-n)(x2+nx-1)=0,即有x-n=0或x2+nx-1=0,因此,方程x-n=0和x2+nx-1=0的所有解就是方程x3-(n2+1)x+n=0的解.
解决问题:方程x3-5x+2=0的解为 .
三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分)
17.计算:20+(1) -1 · -4tan 45°.
√4
3
{
2x-1<x+4,①
18.解不等式组
2 3x+1 1
x- ≤ .②
3 2 3四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)
19.先化简,再选一个合适的数代入求值:( 7x-9)÷x2-9.
x+1-
x x
20.第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务,经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍,小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆字节的公益片,小明比小强所用的时间快140秒,求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆字节.
五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)
21.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(3,18)和B(-2,8)两点.
(1)求一次函数的解析式;
m
(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象只有一个交点,求交点坐标.
x
22.图1是自动卸货汽车卸货时的状态图,图2是其示意图.汽车的车厢采用液压机构,车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方,AB与水平线AD之间的夹角是5°,卸货时,车厢与水平线AD成60°角,此时AB与支撑顶杆BC的夹角为
45°,若AC=2米,求BC的长度.(结果保留一位小数)
(参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14,sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,√2≈1.41)
图1图2
六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)
23.今年2—4月某市出现了200名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者进行了免费治疗.图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整),图2是这三类患者的人均治疗费用统计图,请回答下列问题.
(1)轻症患者的人数是多少?
(2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元?
(3)所有患者的平均治疗费用是多少万元?
(4)由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房,请用画树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率.
图1
图2
24.如图,已知AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,D是AB上的一点,DE⊥AB于D,DE交BC于F,且EF=EC.
(1)求证:EC是☉O的切线;
(2)若BD=4,BC=8,圆的半径OB=5,求切线EC的长.七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)
25.如图,已知抛物线y=ax2过点A( 9).
-3,
4
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知直线l过点A,M(3 )且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA·MB;
,0
2
(3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标.
26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB=90°,∠ABC=30°,过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°,∠DFE=30°,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接BE,FP,BP.设BC与DE交于M,PB与EF交于N.
(1)如图1,当D,B,F共线时,求证:①EB=EP;②∠EFP=30°;
(2)如图2,当D,B,F不共线时,连接BF.求证:∠BFD+∠EFP=30°.
图1
图229
2020年常德市初中学业水平考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B D C C B D
1
1.A 根据倒数的定义知4的倒数为 .
4
2.C A.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故不符合题意;
B.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故不符合题意;
C.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故符合题意;
D.不是轴对称图形,是中心对称图形,故不符合题意.故选C.
3.B 过C作CF∥AB,∵AB∥DE,
∴AB∥DE∥CF,
∴∠1=∠BCF,∠FCE=∠2,
∵∠1=30°,∠2=35°,
∴∠BCF=30°,∠FCE=35°,
∴∠BCE=65°.
4.D a2+2ab+b2=(a+b)2,故A选项不正确;
a2与a4不是同类项,不能合并,故B选项不正确;
a10÷a5=a5,故C选项不正确;
a2·a3=a5,故D选项正确.故选D.
5.C A.明天的降水概率为80%,表示明天下雨的可能性较大,故本选项错误;
1
B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,一次正面朝上的概率是 ,故本选项错误;
2
C.了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式,故本选项正确;
D.一组数据的众数不一定只有一个,故本选项错误.故选C.
6.C 这个圆锥的母线长= =10 ,
√102+202 √5
1
则这个圆锥的侧面积= ×2π×10×10√5=100√5π.
2
故选C.
7.B 由题中图象知,抛物线与x轴有两个交点,
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac>0,故①正确;
由图象知,抛物线的开口向下,∴a<0,
∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴b>0,
又抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0,
∴abc<0,故②正确;
由图象知,抛物线的对称轴为直线x=2,
b
∴- =2,∴4a+b=0,故③正确;
2a
由图象知,当x=-2时,y<0,
∴4a-2b+c<0,故④错误.
∴正确的结论有3个,故选B.
8.D 不妨设点A为第0个顶点,点B,C,D,E,F,G分别是第1个,第2个,第3个,第4个,第5个,第6个顶点,
因为跳棋移动了k次后走过的总顶点数是1+2+3+…+k=1k(k+1),停在第[1 ]个顶点处,这时p是整数,且使0≤1k(k+1)-7p≤6,
k(k+1)-7p
2 2 2
分别取k=1,2,3,4,5,6,7,…,
1
k(k+1)-7p=1,3,6,3,1,0,0,1,3,6,3,1,0,0,1,…,
2
显然第2,4,5个顶点没有停留,即跳棋不可能停留的顶点是C,E和F.故选D.
二、填空题
9. 答案 x(y+2)(y-2)解析 原式=x(y2-4)=x(y+2)(y-2).
10. 答案 x>3
解析 根据二次根式和分式有意义的条件可得2x-6>0,
解得x>3.
11. 答案 3√2
3√2 √2
解析 原式= - +2√2=3√2.
2 2
12. 答案 -12
|k|
解析 由AB⊥OB,反比例函数k的几何意义可得S = =6,∴k=±12,
△AOB
2
∵反比例函数的图象在第二象限,∴k<0,∴k=-12.
13. 答案 400
6+4
解析 1 200× =400(人).
30
14. 答案 4
{ x+ y=10, {x=4,
解析 设李红出门没有买到口罩的次数是x,买到口罩的次数是y,由题意得 解得
15-1×10+5 y=35, y=6.
故答案为4.
15. 答案 12
解析 设正方形ABCD的边长为x(x>0),由翻折可得DG=DA=DC=x,
∵GF=4,EG=6,∴AE=EG=6,CF=GF=4,
∴BE=x-6,BF=x-4,EF=6+4=10,如图所示:
在Rt△BEF中,由勾股定理得
BE2+BF2=EF2,
∴(x-6)2+(x-4)2=102,
∴x2-12x+36+x2-8x+16=100,
∴x2-10x-24=0,
∴(x+2)(x-12)=0,
∴x=-2(舍),x=12.
1 2
∴DG=12.
16. 答案 x=2或x=-1+√2或x=-1-√2
解析 ∵x3-5x+2=0,
∴x3-4x-x+2=0,
∴x(x2-4)-(x-2)=0,
∴x(x+2)(x-2)-(x-2)=0,
则(x-2)[x(x+2)-1]=0,即(x-2)(x2+2x-1)=0,
∴x-2=0或x2+2x-1=0,
解得x=2或x=-1±√2.
故方程x3-5x+2=0的解为x=2或x=-1+√2或x=-1-√2.
三、
17. 解析 原式=1+3×2-4×1 (4分)
=3. (5分)
18. 解析 解不等式①,得x<5,(2分)
解不等式②,得x≥-1. (4分)
∴不等式组的解集为-1≤x<5. (5分)
四、
19. 解析 原式=(x2+x 7x-9)· x (2分)
-
x x x2-9x2-6x+9 x
= · (3分)
x x2-9
(x-3)2 x
= · (4分)
x (x-3)(x+3)
x-3
= . (5分)
x+3
2-3 1
当x=2时,原式= =- . (6分)
2+3 5
(只要不取0,3,-3即可)
20. 解析 解法一:设该地4G的下载速度是x兆字节/秒,则5G的下载速度是15x兆字节/秒, (1分)
600 600
根据题意,得 - =140, (3分)
x 15x
解得x=4. (4分)
经检验,x=4是原方程的解,且符合题意.(5分)
则5G的下载速度是4×15=60(兆字节/秒).
答:该地4G与5G的下载速度分别是4兆字节/秒和60兆字节/秒. (6分)
1
解法二:设该地5G的下载速度是x兆字节/秒,则4G的下载速度是 x兆字节/秒. (1分)
15
600
600
根据题意,得 x - =140, (3分)
x
15
解得x=60. (4分)
经检验,x=60是原方程的解,且符合题意. (5分)
则4G的下载速度是60÷15=4(兆字节/秒).
答:该地4G与5G的下载速度分别是4兆字节/秒和60兆字节/秒. (6分)
五、
21. 解析 (1)把A(3,18)和B(-2,8)代入y=kx+b(k≠0),
{3k+b=18,
得 (1分)
-2k+b=8,
{k=2,
解得
b=12,
∴一次函数的解析式为y=2x+12.(3分)
m
(2)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象只有一个交点,
x
{y=2x+12,
∴ 只有一组解,即2x2+12x-m=0有两个相等的实数根. (4分)
m
y=
x
∴Δ=122-4×2×(-m)=0,∴m=-18. (5分)
把m=-18代入,求得该方程的解为x=x=-3. (6分)
1 2
把x=-3代入y=2x+12得y=6,即所求交点的坐标为(-3,6).(7分)
22. 解析 解法一:过点C作CF⊥AB于点F, (1分)
CF
在Rt△ACF中,∵sin∠CAB=sin(60°+5°)=sin 65°= ,
AC
∴CF=AC·sin 65°≈2×0.91=1.82(米). (3分)
在Rt△BCF中,∵∠ABC=45°,
∴CF=BF, (5分)
∴BC=√2CF≈1.41×1.82=2.566 2≈2.6(米).
答:BC的长度约为2.6米. (7分)解法二:过点A作AE⊥BC于点E. (1分)
在Rt△ACE中,∵∠C=180°-65°-45°=70°,
CE
∴cos C=cos 70°= ,
AC
即CE=AC·cos 70°≈2×0.34=0.68(米). (3分)
AE
sin C=sin 70°= ,
AC
即AE=AC·sin 70°≈2×0.94=1.88(米). (5分)
又∵在Rt△AEB中,∠ABC=45°,
∴AE=BE,
∴BC=BE+CE=1.88+0.68=2.56≈2.6(米).
答:BC的长度约为2.6米. (7分)
六、
23. 解析 (1)由题图1知,轻症患者所占的百分比为80%,而新冠肺炎患者为200人,
故轻症患者的人数=200×80%=160. (2分)
(2)该市为治疗危重症患者共花费200×(1-80%-15%)×10=100(万元). (4分)
1.5×160+3×(200×15%)+100
(3)所有患者的平均治疗费用= =2.15(万元). (5分)
200
(4)画树状图为
共有20种等可能的情况,恰好选中B、D两位患者的情况有2种,
2 1
∴恰好选中B、D两位患者转入另一病房的概率P= = . (8分)
20 10
24. 解析 (1)证明:连接OC,∵OC=OB,∴∠1=∠2.
∵EF=EC,∴∠3=∠4. (1分)
又∵∠5=∠4,∴∠5=∠3. (2分)
∵DE⊥AB,∴∠2+∠5=90°. (3分)
∴∠1+∠3=90°,即EC⊥OC.
∴EC是☉O的切线. (4分)
(2)∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,∵OB=5,∴AB=10,
∴AC= = =6,
√AB2-BC2 √100-64
BD BC
∵cos∠ABC= = ,
BF AB
8 4
∴ = ,∴BF=5,∴CF=BC-BF=3,
10 BF
∵∠2+∠A=90°,∠2+∠5=90°,∴∠5=∠A,
∴∠A=∠5=∠4=∠3,∵OA=OC,
∴∠6=∠A=∠5=∠4=∠3,∴△OAC∽△ECF,
EC CF OA·CF 5×3 5
∴ = ,∴EC= = = . (8分)
OA AC AC 6 2
七、25. 解析 (1)把点A( 9)代入y=ax2,得9=9a,∴a=1,
-3,
4 4 4
1
∴抛物线的解析式为y= x2. (3分)
4
(2)证明:设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),
9 1
{ =-3k+b, {k=- ,
则 4 解得 2
3 3
0= k+b, b= ,
2 4
1 3
∴直线l的解析式为y=- x+ ,
2 4
令x=0,得y=3,∴C( 3),
0,
4 4
1
{ y= x2, {x=1, {x=-3,
由 4 解得 或 ∴B( 1).
1 9 1,
1 3 y= y= , 4
y=- x+ 4 4
2 4
如图,过点A作AA⊥x轴于A,过点B作BB⊥x轴于B,则BB∥OC∥AA,
1 1 1 1 1 1
3 3
-1
BM MB 2 1 MC MO 2 1
∴ = 1= = , = = = ,
MC MO 3 3 MA M A 3 3
1 -(-3)
2 2
BM MC
∴ = ,即MC2=MA·MB. (7分)
MC MA
(3)∵OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,∴PD∥OC,PD=OC,
如图,设P(
t,
1 t2),∴D(
t,-
1
t+
3).
4 2 4
∴|1 t2- ( - 1 t+ 3)|=3,
4 2 4 4
整理得t2+2t-6=0或t2+2t=0,
解得t=-1-√7或-1+√7或-2或0(舍去),
∴P( √7)或( √7)或(-2,1). (10分)
-1-√7,2+ -1+√7,2-
2 226. 证明 (1)证法一:①由题意易知∠A=∠EDF=90°-30°=60°,
∴AC∥DE,∴∠DMB=∠ACB=90°,(1分)
又D是Rt△ABC斜边AB的中点,AC∥DM,
BM BD 1
∴ = = ,
BC AB 2
即M是BC的中点,∵EP=CE,∴E是PC的中点,
∴ED∥BP, (2分)
∴∠CBP=∠DMB=90°,
即△CBP是直角三角形,则EB=EP. (3分)
②∵∠ABC=∠DFE=30°,∴BC∥EF,
由①知∠CBP=90°,∴BP⊥EF. (4分)
又EB=EP,∴直线EF是线段BP的垂直平分线. (5分)
∴∠PFE=∠BFE=30°. (6分)
证法二:①连接CD,
由题意易知,∠A=∠EDF=90°-30°=60°,
∴AC∥DE.
∴∠DMB=∠ACB=90°, (1分)
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点,
∴CD=DB,即△CDB是等腰三角形,
则直线DE是线段BC的垂直平分线, (2分)
∴EC=EB,又EC=EP,∴EB=EP. (3分)
②由①知EB=CE=EP,
∴△CBP是直角三角形,且∠CBP=90°,
∵∠ABC=∠DFE=30°,∴BC∥EF,
∴∠ENP=∠CBP=90°,
又EB=EP,∴直线EF是线段BP的垂直平分线, (5分)
∴BF=PF,
∴∠PFN=∠BFN=30°,即∠EFP=30°. (6分)
(2)延长DE到Q,使EQ=DE,连接CD,PQ,FQ,
∵EC=EP,∠DEC=∠QEP,
∴△QEP≌△DEC,则PQ=DC=DB, (7分)
由EQ=DE,∠DEF=90°知直线EF是线段DQ的垂直平分线,
则QF=DF, (8分)
由题意易知∠CDB=120°,
∴∠FDB=120°-∠FDC=120°-(60°+∠EDC)
=60°-∠EDC=60°-∠EQP=∠FQP,(9分)
∴△FQP≌△FDB(SAS).则∠QFP=∠DFB,
由直线EF是线段DQ的垂直平分线,可得∠QFE=∠EFD=30°,∴∠QFP+∠EFP=30°,
则∠BFD+∠EFP=30°. (10分)
