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2020年常州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．计算m6÷m2的结果是（ ）
A．m3 B．m4 C．m8 D．m12
3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥
4．8的立方根为（ ）
A． B． C．2 D．±2
5．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1
6．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，AB是 O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，
点M是BC⊙的中点．若 O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
⊙A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝ ，∠ADB＝135°，
S△ABD＝2．若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．计算：|﹣2|+（ ﹣1）0＝ ．
π
10．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 ．
12．分解因式：x3﹣x＝ ．
13．若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是 ．
14．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝ ．
15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，
则∠B＝ °．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，
互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系
xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是 ．
17．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形
ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝ ．
18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6 ，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线
DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相
垂直，则BG的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应
写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．
20．解方程和不等式组：（1） + ＝2；
（2） ．
21．为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球
四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果
绘制成如图统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．
22．在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子
中．
（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是 ；
（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽
到的2支签上签号的和为奇数的概率．
23．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
24．某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千
克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
25．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B
为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图
象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．
26．如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，
BC＝1．
（1）点F到直线CA的距离是 ；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋
转．
请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，
①保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为 ；
如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．
②
27．如图1， I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交 I于P、Q两点（Q
在P、H之⊙间）．我们把点P称为 I关于直线a的“远点“，把PQ•PH⊙的值称为 I关于
⊙ ⊙直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的 O与两坐标轴
交于点A、B、C、D． ⊙
过点E画垂直于y轴的直线m，则 O关于直线m的“远点”是点 （填
①“A”．“B”、“C”或“D”）， O⊙关于直线m的“特征数”为 ；
若直线n的函数表达式为y＝ x⊙+4．求 O关于直线n的“特征数”；
（②2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点⊙M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆
心， 为半径作 F．若 F与直线1相离，点N（﹣1，0）是 F关于直线1的“远点”．
且 F关于直线l⊙的“特⊙征数”是4 ，求直线l的函数表达⊙式．
⊙
28．如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于
另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝
∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为
G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的）
1．2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
解：2的相反数是﹣2．
故选：A．
2．计算m6÷m2的结果是（ ）
A．m3 B．m4 C．m8 D．m12
【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．
故选：B．
3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥
【分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为三角形，易得出该几何体的形状．
解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，
则可得出该几何体是四棱柱．
故选：C．
4．8的立方根为（ ）
A． B． C．2 D．±2
【分析】根据立方根的定义求出 的值，即可得出答案．解：8的立方根是 ＝ ＝2，
故选：C．
5．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：∵x＜y，
∴2x＜2y，故本选项符合题意；
B、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；
C、∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°．
故选：B．7．如图，AB是 O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，
点M是BC⊙的中点．若 O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大
值是3．
解：∵CH⊥AB，垂足为H，
∴∠CHB＝90°，
∵点M是BC的中点．
∴MH＝ BC，
∵BC的最大值是直径的长， O的半径是3，
∴MH的最大值为3， ⊙
故选：A．
8．如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝ ，∠ADB＝135°，
S△ABD＝2．若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
【分析】根据三角形面积公式求得AE＝2 ，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM＝
BD＝ ，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2 ，设A（m， ），则D（m﹣2 ，3 ），根据反比例函数系数k的几何意义得出关于m的方程，解方程求
得m＝3 ，进一步求得k＝6．
解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，
∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM＝BD＝ ，
∵S△ABD＝ ＝2，BD＝ ，
∴AE＝2 ，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝2 ，
∴D的纵坐标为3 ，
设A（m， ），则D（m﹣2 ，3 ），
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A、D两点，
∴k＝ m＝（m﹣2 ）×3 ，
解得m＝3 ，
∴k＝ m＝6．
故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．计算：|﹣2|+（ ﹣1）0＝ 3 ．
【分析】首先计π算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
解：|﹣2|+（ ﹣1）0
＝2+1 π
＝3，
故答案为：3．
10．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 x ≠ 1 ．
【分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．
解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
11．地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 6.4×1 0 3 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．
故答案为：6.4×103．
12．分解因式：x3﹣x＝ x （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
13．若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是 k ＞ 0
．
【分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求
出k的取值范围．
解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，
∴k＞0．
故答案为：k＞0．
14．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝ 1 ．
【分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．
解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，
∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，
解得：a＝1，
故答案为：1．
15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，
则∠B＝ 3 0 °．
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC
＝60°，从而可得∠B．
解：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠B＝∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC＝60°，
∴∠B＝∠BCF＝30°．
故答案为：30．
16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，
互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是 （ 2 ， ） ．
【分析】根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性
质可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，
∴CD＝AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝120°，
∴∠OAD＝60°，
Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
∴OA＝ AD＝ ＝1，OD＝ ＝ ，
∴C（2， ），
故答案为：（2， ）．
17．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形
ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝ ．
【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：连接CG，
在正方形ACDE、BCFG中，
∠ECA＝∠GCB＝45°，
∴∠ECG＝90°，
设AC＝2，BC＝1，
∴CE＝2 ，CG＝ ，∴tan∠GEC＝ ＝ ，
故答案为： ．
18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6 ，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线
DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相
垂直，则BG的长为 4 ．
【分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边
形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．
解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．
∵DG⊥BF，BT⊥BF，
∴DG∥BT，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴四边形DGBT是平行四边形，
∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，
∵AD＝DB＝3 ，
∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，
∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，
∴∠TBH＝∠F，
∴tan∠F＝tan∠TBH＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴TH＝1，
∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，
∴BG＝4．
故答案为4．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应
写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入
求出即可．
解：（x+1）2﹣x（x+1）
＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1，
当x＝2时，原式＝2+1＝3．
20．解方程和不等式组：
（1） + ＝2；
（2） ．
【分析】（1）方程两边都乘以x﹣1得出方程x﹣2＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验
即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：（1）方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2＝2（x﹣1），
解得：x＝0，
检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，
所以x＝0是原方程的解，
即原方程的解是：x＝0；（2） ，
∵解不等式 得：x＜3，
解不等式 ①得：x≥﹣2，
∴不等式②组的解集是：﹣2≤x＜3．
21．为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球
四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果
绘制成如图统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量是 10 0 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．
【分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；
（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其
他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．
解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），
则样本容量是100；
故答案为：100；
（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），
踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：
2000× ＝300（人），
答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．
22．在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子
中．
（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是 ；
（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽
到的2支签上签号的和为奇数的概率．
【分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．
解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率
为 ，
故答案为： ；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P（和为奇数）＝ ＝ ．
23．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝
BD，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵EA∥FB，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC与△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS），
∴∠E＝∠F；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠D＝80°，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
答：∠E的度数为60°．
24．某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千
克梨共需22元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果
和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，根据总价＝单价×数量结合总价不超过
100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．
（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，
依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，
解得：m≤5．
答：最多购买5千克苹果．
25．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B
为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图
象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．
【分析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而
求出正比例函数的关系式；
（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进
行计算即可．解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝ （x＞0）得，
a＝ ＝2，
∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，
∴正比例函数的关系式为y＝2x，
答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x；
（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，
∴OB＝5，
当x＝5代入y＝ 得，y＝ ，即BC＝ ，
∴CD＝BD﹣BC＝10﹣ ＝ ，
∴S△ACD＝ × ×（5﹣2）＝12.6，
26．如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，
BC＝1．
（1）点F到直线CA的距离是 1 ；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋
转．
请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，
①
保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为 ；
如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．
②
【分析】（1）如图1中，作FD⊥AC于D．证明△ABC≌△CDF（AAS）可得结论．
（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF计算即可．
（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△EOH中，利用勾股定理构
建方程求解即可．
解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，
∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，
∴∠ACF＝30°，
∴∠BAC＝∠FCD，
在△ABC和△CDF中，
，
∴△ABC≌△CDF（AAS），
∴FD＝BC＝1，
故答案为1；
（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．
S 阴＝S△EFC+S 扇形 ACF﹣S 扇形 CEH﹣S△AHC＝S 扇形 ACF﹣S 扇形 ECH＝﹣ ＝ ．
故答案为 ．
（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．
在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，
∴EC＝ EF＝ ，EH＝ ，CH＝ EH＝ ，
在Rt△BOC中，OC＝ ＝ ，
∴OH＝CH＝OC＝ ﹣ ，
在Rt△EOH中，则有x2＝（ ）2+（ ﹣ ）2，
解得x＝ 或﹣ （不合题意舍弃），
∴OC＝ ＝ ，
∵CF＝2EF＝2，
∴OF＝CF﹣OC＝2﹣ ＝ ．
27．如图1， I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交 I于P、Q两点（Q
在P、H之⊙间）．我们把点P称为 I关于直线a的“远点“，把PQ•PH⊙的值称为 I关于
直线a的“特征数”． ⊙ ⊙
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的 O与两坐标轴
交于点A、B、C、D． ⊙过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m，则 O 关于直线 m 的“远点”是点 D （填
①“A”．“B”、“C”或“D”）， O关⊙于直线m的“特征数”为 2 0 ；
若直线n的函数表达式为y＝ x⊙+4．求 O关于直线n的“特征数”；
（②2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点⊙M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆
心， 为半径作 F．若 F与直线1相离，点N（﹣1，0）是 F关于直线1的“远点”．
且 F关于直线l⊙的“特⊙征数”是4 ，求直线l的函数表达⊙式．
⊙
【分析】（1） 根据远点，特征数的定义判断即可．
如图1﹣1中①，过点O作OH⊥直线n于H，交 O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ
②的长即可解决问题． ⊙
（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可
解决问题．
解：（1） 由题意，点D是 O关于直线m的“远点”， O关于直线m的特征数＝
DB•DE＝2①×5＝20， ⊙ ⊙
故答案为D，20．
如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交 O于Q，P．
② ⊙设直线y＝ x+4交x轴于F（﹣ ，0），交y轴于E（0，4），
∴OE＝4，OF＝
∴tan∠FEO＝ ＝ ，
∴∠FEO＝30°，
∴OH＝ OE＝2，
∴PH＝OH+OP＝3，
∴ O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．
⊙
（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．
当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交 F于E，N．
由题意，EN＝2 ，EN•NH＝4 ， ⊙
∴NH＝ ，
∵N（﹣1，0），M（1，4），
∴MN＝ ＝2 ，
∴HM＝ ＝ ＝ ，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∵MN的中点K（0，2），
∴KN＝HK＝KM＝ ，
∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝ x+ ，
当k＜0时，同法可知直线i经过H′（2，1），可得直线l的解析式为y＝﹣3x+7．
综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝ x+ 或y＝﹣3x+7．
28．如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于
另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ﹣ 4 ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝
∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为
G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于
点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝
，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得
∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，
求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；
（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作
EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝
∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝ ，MN＝KF，可求CF
＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），
∴0＝1+b+3，
∴b＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）∵b＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点
B，
∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，
∴x1＝0（舍去），x2＝4，
∴点B（4，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D坐标（2，﹣1），
如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，
∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，
∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝ ，∴∠BCF＝45°，
∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），
∴BC＝ ＝3 ，CD＝ ＝ ，BD＝ ＝2 ，
∵BC2+CD2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC＝ ＝ ＝ ＝tan∠ACE，
∴∠ACE＝∠DBC，
∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，
∴∠ACB＝∠CFD，
又∵∠CQD＝∠ACB，
∴点F与点Q重合，
∴点P是直线CF与抛物线的交点，
∴0＝x2﹣4x+3，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点P（3，0）；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连
接CQ交抛物线于点P，
∵CH⊥DB，HF＝QH，
∴CF＝CQ，
∴∠CFD＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠ACB，
∵CH⊥BD，
∵点B（4，3），点D（2，﹣1），∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，
∴点F（ ，0），
∴直线CH解析式为：y＝﹣ x+ ，
∴ ，
解得 ，
∴点H坐标为（ ，﹣ ），
∵FH＝QH，
∴点Q（ ，﹣ ），
∴直线CQ解析式为：y＝﹣ x+ ，
联立方程组 ，
解得： 或 ，
∴点P（ ，﹣ ）；
综上所述：点P的坐标为（3，0）或（ ，﹣ ）；
（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E
作EM⊥MN，连接CG，GF，∵点A（0，3），点C（1，0），
∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，
∴ ，
∴ ，
∴点N坐标为（ ，﹣ ），
∵点H坐标为（ ，﹣ ），
∴CH2＝（ ﹣1）2+（ ）2＝ ，HN2＝（ ﹣ ）2+（﹣ + ）2＝ ，
∴CH＝HN，
∴∠CNH＝45°，
∵点E关于直线BD对称的点为F，
∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，
∴∠ENF＝90°，
∴∠ENM+∠FNM＝90°，
又∵∠ENM+∠MEN＝90°，
∴∠MEN＝∠FNM，
∴△EMN≌△NKF（AAS）
∴EM＝NK＝ ，MN＝KF，∴点E的横坐标为﹣ ，
∴点E（﹣ ， ），
∴MN＝ ＝KF，
∴CF＝ + ﹣1＝6，
∵点F关于直线BC对称的点为G，
∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，
∴∠GCF＝90°，
∴点G（1，6），
∴AG＝ ＝ ．
