2025中考数学押题预测卷（安徽卷）_幼小初教辅资料_中考_2025中考各科押题卷+模拟卷（含全国）

2025年中考押题预测卷（安徽卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，满分 40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项， 其中只有一个是符合题目要求的． 1．下列各数中，负数的是（ ） A． 5 B．4 C．0 D．3 2．中国是全球可再生能源领域的引领者，近年来在风能、太阳能、水电、储能技术等方面取得显 著进展，为全球可持续发展提供了“中国方案”．2024年全国可再生能源新增装机3.7亿千瓦，将3.7 亿用科学记数法表示应为（ ） A． 3.7106 B． 3.7108 C． 37107 D． 0.37109 3．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前 面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（ ） A． aaa2 B． a23 a5 C．a3a2 a D． 2a3a6a2 5．一副三角板按如图方式摆放，AB45，C60，D30，若AB∥OD，则1的度数为 （ ） 第 1 页 共 26 页A．45 B．50 C．60 D．75 6．已知实数a，b，c满足ab2c，则下列结论不正确的是（ ） A．accb B．ab2(cb) C．若ab，则cb D．若ac，则2(ba)ca 4 7．如图，在反比例函数y x0的图象上任取一点 A ，过点 A 作AB∥x轴交反比例函数 x 12 y x0的图象于点 B ，C是x轴负半轴上一点，连接AC，BC，则VABC的面积为（ ） x A．8 B．10 C．14 D．16 8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DEAB于点E，F 是线段AD的中点， 5 连接OF ．若OA4，OF  ，则DE的长为（ ） 2 6 12 18 24 A． B． C． D． 5 5 5 5 9．如图，在扇形AOB中，AOB90，正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、弧AB、OB上，连接 EC．在扇形内随机选取一点P，则点P 落在阴影部分的概率是（ ） 1 1 2 3 A． B． C． D． 3 2 3 5 10．如图， DEF 为等边三角形，分别延长FD，DE，EF到点 A ， B ，C，使DAEBFC，连接AB， AC，BC，连接 BF 并延长，交AC于点G．若ADDF 2，则FG的长为（ ） 第 2 页 共 26 页3 4 4 3 A． 3 B． 2 C． 3 D． 2 5 5 5 5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分） 11．若二次根式 3x5 有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．若关于 x的一元二次方程m1x22x10有两个不相等的实数根，则m 的最小整数值 ． 13．如图，在O中，OABC，ADB30， BC 6 3 ，则OC的长为 ． 14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是线段OB上一动点（不 与端点重合），连接AE．将 EAB沿射线BA平移得到 FMN，使点E 的对应点F 落在对角线AC上， 连接DM ，DF．①若OE1，则线段DM 的长为 ；②MDF  °． 三、（本大题共 2小题，每小题 8分，满分 16分） 0  1 15．计算： 12  1 3 ．  6 16．如图，在网格中建立平面直角坐标系，VABC的三个顶点均在格点上． (1)画出与VABC关于y 轴对称的图形△ABC ，点A、B、C 的对应点分别为A、B、C ； 1 1 1 1 1 1 第 3 页 共 26 页(2)求（1）中得到的△ABC 的面积． 1 1 1 四、（本大题共 2小题，每小题 8分，满分 16分） 17．小张与小王一起承包土地作为果园基地，果园里种植了苹果树和梨树，一共80棵．已知去年 每棵苹果树平均产果150千克，每棵梨树平均产果120千克，果园总产量为10800千克，果园里种植 了多少棵苹果树和多少棵梨树？ 18．综合与探究； 下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是ab； 第1个等式：ababa2b2； 第2个等式：ab a2abb2 a3b3； 第3个等式：ab a3a2bab2b3 a4b4； … 【规律】（1）请根据规律，写出第4个等式：________________； 【猜想】（2）猜想：ab an1an2ban3b2 a2bn3abn2 bn1 ________（其中n为正整数，且 n2）； 【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算： 3938373633323 ． 第 4 页 共 26 页五、（本大题共 2小题，每小题 10分，满分 20分） 19．在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成 交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测 量示意图，其吃水深度AM 5.8米，测得海底山丘C与E 两点到船底探测器的声音往返所用时间分 别为 8 秒和32秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度BAC45， 5 15 ∠BAE60，ABBD，DE BD，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E 在同一平面内，参考数据： 2 1.4 ， 31.7 ，结果精确到1米） (1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？ (2)试求海底山丘CE的坡度是多少？ 20．如图，A，B，C，D 是O上的四点，AC是直径， ABBD ，O的切线 BE 交DC的延长线于点 E． (1)求证：BEDE； (2)若 AB5 6 ，BE5，求O的半径． 六、（本题满分 12分） 21．为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，被 调查学生需从“文史类”“社科类”“小说类”“生活类”中选择自己最喜欢的一类．根据调查结果，绘制 了如下的统计图（未完成），请解答下列问题： 第 5 页 共 26 页(1)填空：此次共调查了________名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为________度；学校 采用的调查方式是________（选填“全面调查”或“抽样调查”）； (2)将条形统计图补充完整； (3)通过调查发现，文史类书籍最受欢迎．基于此，学校计划从热爱文史类书籍的4名优秀学生（两 男两女）中随机抽取2名学生，担任阅读推广队宣讲员，请用列表或画树状图的方法，求所选 2 名学生中至少有1名是女生的概率． 七、（本题满分 12分） 22．在矩形ABCD中，点E，F 分别是AB，BC边上的动点，连接BD，EF交于点 P ． (1)如图（1），当点E，F 分别是AB，BC的中点时，求证：BP PF； (2)若BP PF，点G是AD边上的点，连结BG交EF于点 H ，点 H 是BG的中点， ①如图（2），若CF 1，求DG的长； BE ②如图（3），连接GP，当GPPF，且GDCD时，求 的值． BF 八、（本题满分 14分） 23．如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A1,0，B3,0两点，与y轴交于点C，点M 是抛物线 上一动点（不与点 B 重合），过点M 作MN x轴于点N ，交直线BC于点 P ． 第 6 页 共 26 页(1)求该抛物线的解析式； (2)若PM 2PN ，求点M 的坐标； (3)若点M 在直线BC下方的抛物线上运动，是否存在点M ，使以点M ， P ，C为顶点的三角形与 △BPN相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 7 页 共 26 页2025年中考押题预测卷（安徽卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，满分 40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项， 其中只有一个是符合题目要求的． 1．下列各数中，负数的是（ ） A． 5 B．4 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的分类，绝对值求值，相反数等知识点，解题的关键是掌握负数的概念． 先将各数化简，再由负数的定义，即可得出答案． 【详解】解：A. 5 50，该选项结果为正数，不符合题意； B. 440，该选项结果为负数，符合题意； C.0 既不是正数，也不是负数，不符合题意； D. 330，该选项结果为正数，不符合题意．故选：B． 2．中国是全球可再生能源领域的引领者，近年来在风能、太阳能、水电、储能技术等方面取得显 著进展，为全球可持续发展提供了“中国方案”．2024年全国可再生能源新增装机3.7亿千瓦，将3.7 亿用科学记数法表示应为（ ） A． 3.7106 B． 3.7108 C． 37107 D． 0.37109 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成 a10n的形式，其中1 a 10，10的指数与小数点移动的方向与位数有关． 【详解】解：3.7亿3.71000000003.7108．故选：B． 3．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前 面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 第 8 页 共 26 页【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是 ，故选：C． 4．下列计算正确的是（ ） A． aaa2 B． a23 a5 C．a3a2 a D． 2a3a6a2 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式与单项式的 乘法，熟练掌握相关运算公式是解题的关键．分别利用整式的加减，幂的乘方，同底数幂的除法， 单项式与单项式的乘法进行计算即可． 【详解】解：A中，aa 2a，故选项错误，故不符合题意； B 中， a23 a6，故选项错误，故不符合题意； C 中，a3a2 a3a2 a，故选项错误，故不符合题意； D中， 2a3a6a2，故选项正确，故符合题意；故选：D． 5．一副三角板按如图方式摆放，AB45，C60，D30，若AB∥OD，则1的度数为 （ ） A．45 B．50 C．60 D．75 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，由平行线的性质可得BEDD30，再 根据三角形外角的性质1BBED即可得出答案． 【详解】解：AB∥OD， BEDD30， 1BBED453075，故选：D． 6．已知实数a，b，c满足ab2c，则下列结论不正确的是（ ） A．accb B．ab2(cb) C．若ab，则cb D．若ac，则2(ba)ca 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，不等式的性质，根据等式的变形代入计算，然后逐项判断解题即可． 第 9 页 共 26 页【详解】解：A.等式两边同时减去bc得accb，结论正确，不符合题意； B.等式两边同时减去2b得ab2c2b2(cb)，结论正确，不符合题意； C.由ab2(cb)，ab，则可得到cb，结论正确，不符合题意； D.由ab2c可得b2ca，则2ba22caa4ca，当ac时，4caca，即 2(ba)ca，原结论错误，符合题意；故选：D． 4 7．如图，在反比例函数y x0的图象上任取一点 A ，过点 A 作AB∥x轴交反比例函数 x 12 y x0的图象于点 B ，C是x轴负半轴上一点，连接AC，BC，则VABC的面积为（ ） x A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数，熟练利用反比例函数的解析式求点的坐标，运用三角形的面积公式 是解答此题的关键． 4 设点 A 的横坐标为a，代入反比例函数y x0中，可得到y ，由于AB∥x轴，可得y ，从而可 x A B 得AB的长，知道VABC的底和高，即可得到答案． 【详解】解：设点 A 横坐标为a 4 ∵点 A 在y 上 x 4 4 ∴y   A x a A ∵AB∥x轴 4 ∴y  y  B A a 12 ∵ B 在y x0上 x 12 ∴x  3a，则AB x x 4a B y A B B 1 1 4 ∴S  ABy  4a 8．故选：A． AOB 2 A 2 a 8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DEAB于点E，F 是线段AD的中点， 5 连接OF ．若OA4，OF  ，则DE的长为（ ） 2 第 10 页 共 26 页6 12 18 24 A． B． C． D． 5 5 5 5 【答案】D 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得AC BD,OAOC,ODOB， 则 1 AOD90， 因为 F 是线段AD的中点，求出OD长，然后根据S 5DE  86,求出DE长 菱形ABCD 2 即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O， ∴AC BD,OAOC,ODOB， ∴AOD90， 5 ∵F 是线段AD的中点，OF  ， 2 1 5 OF  AD ， 2 2 ∴AB AD5， ∵OA4， ∴AC2OA8， OD AD2OA2  5242 3 ， ∴BD2OD6， 1 ∵S 5DE  86， 菱形ABCD 2 24 DE  ，故选： D． 5 9．如图，在扇形AOB中，AOB90，正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、弧AB、OB上，连接 EC．在扇形内随机选取一点P，则点P 落在阴影部分的概率是（ ） 1 1 2 3 A． B． C． D． 3 2 3 5 第 11 页 共 26 页【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，几何概率，理解S S 是解题关键．根据正方形的性 阴影 扇形BOD 质得出S S ，再根据几何概率的概念求值即可． 阴影 扇形BOD 【详解】如图，连接OD， OCDE是正方形， S S ，BOD=45， OCD OED 1 S S = S ， 阴影 扇形BOD 2 扇形AOB S 1 点P落在阴影部分的概率是P 阴影 = ，故选：B． S 2 扇形AOB 10．如图， DEF 为等边三角形，分别延长FD，DE，EF到点 A ， B ，C，使DAEBFC，连接AB， AC，BC，连接 BF 并延长，交AC于点G．若ADDF 2，则FG的长为（ ） 3 4 4 3 A． 3 B． 2 C． 3 D． 2 5 5 5 5 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，由等边三 角形的性质可得DE EF  DF，DEF DFEEDF 60，进而可得BEEF CF 2，即得 1 EBFEFB30 ，得到AFBAFG90，作CH BG，交BG的延长线于点 H ，可得CH  CF 1， 2 FG AF 即得 FH  CF2CH2  3 ，最后由AFG∽CHG得到  即可求解，正确作出辅助线是解题的 HG CH 关键． 【详解】解：∵ DEF 为等边三角形， ∴DE EF  DF，DEF DFEEDF 60， ∵DAEBFC，ADDF 2， ∴BEEF CF 2，AF 224， ∴EBF EFB， 第 12 页 共 26 页∵EBFEFBDEF 60， ∴EBFEFB30 ， ∴AFB603090， ∴AFG1809090， 作CH BG，交BG的延长线于点 H ， ∵CFH BFE30， 1 ∴CH  CF 1， 2 ∴ FH  CF2CH2  2212  3 ， ∵AFGCHG90，∠AGF ∠CGH ， ∴AFG∽CHG， FG AF ∴  ， HG CH FG 4 4 即  ，解得FG 3，故选：C． 3FG 1 5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分） 11．若二次根式 3x5 有意义，则实数x的取值范围是 ． 5 【答案】x 3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件（被开方式大于等于0)计 算即可．熟记二次根式有意义的条件是解题关键． 【详解】解：若使二次根式有意义， 5 5 则3x50，解得x ．故答案为：x ． 3 3 12．若关于 x的一元二次方程m1x22x10有两个不相等的实数根，则m 的最小整数值 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可 得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程m1x22x10有两个不相等的实数根， 第 13 页 共 26 页b24ac44m10，且m10， m0且m1， m的最小整数值为 2．故答案为：2． 13．如图，在O中，OABC，ADB30， BC 6 3 ，则OC的长为 ． 【答案】6 1 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，设OA交BC于E，根据垂径定理求出CE  BC3 3， 2 AC AB ，根据圆周角定理求出AOC 2ADB60，解直角三角形求解即可． 【详解】解：设OA交BC于E，如图： ∵OABC， BC 6 3 ， 1 ∴CE  BC3 3，AC AB ， 2 ∴AOC 2ADB60， CE 在Rt△COE中，sinAOC  ， OC 3 3 3 ∴sin60  ， OC 2 ∴OC6，故答案为：6 14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是线段OB上一动点（不 与端点重合），连接AE．将 EAB沿射线BA平移得到 FMN，使点E 的对应点F 落在对角线AC上， 连接DM ，DF．①若OE1，则线段DM 的长为 ；②MDF  °． 第 14 页 共 26 页【答案】 3 2 45 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平移的性质，全等三角形的判定 和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． ①根据题意以及正方形的性质证明△OFE为等腰直角三角形，求出 EF  AM  2 ，由勾股定理即可 得到答案； ②由题意证明DOF≌AOE(SAS)，根据全等三角形的性质和平移的性质得到 DFM 为等腰直角三角 形，即可求出答案． 【详解】解：①连接EF，如解图所示．由平移，可知FM∥EA，FM EA，则四边形FMAE为平行 四边形． EF AM ，EF∥AM ． 由正方形的性质，可知AOB90，OAB45． OFE45． △OFE为等腰直角三角形．  EF  AM  2OE 2 ． 在RtDAM 中，由勾股定理， 可得DM  AM2 AD2 3 2 ． ②标记角，如解图． 由OF OE，ODOA，DOFAOE 90 ， DOF≌AOE(SAS)， DF AE，13． 由平移，得AE MF ． DF MF ． ADF 451，BAE 453， ∠ADF ∠BAE ．由平移，得NMF BAE． NMF ADF ． MADDFM 90．  DFM 为等腰直角三角形． MDF 45． 第 15 页 共 26 页三、（本大题共 2小题，每小题 8分，满分 16分） 0  1 15．计算： 12  1 3 ．  6 【答案】 3 3 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据算术平方根、零指数幂、 绝对值的性质计算，再合并即可． 0  1 【详解】解： 12  1 3  6 2 31 31 3 3 ． 16．如图，在网格中建立平面直角坐标系，VABC的三个顶点均在格点上． (1)画出与VABC关于y 轴对称的图形△ABC ，点A、B、C 的对应点分别为A、B、C ； 1 1 1 1 1 1 (2)求（1）中得到的△ABC 的面积． 1 1 1 【答案】(1)见解析；(2)4.5 【分析】本题考查了利用轴对称变换在坐标系中作图，利用网格求面积： （1）直接利用关于y轴对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）如图所示，△ABC 即为所求． 1 1 1 1 1 1 （2）△ABC 的面积53 21 25 334.5． 1 1 1 2 2 2 第 16 页 共 26 页四、（本大题共 2小题，每小题 8分，满分 16分） 17．小张与小王一起承包土地作为果园基地，果园里种植了苹果树和梨树，一共80棵．已知去年 每棵苹果树平均产果150千克，每棵梨树平均产果120千克，果园总产量为10800千克，果园里种植 了多少棵苹果树和多少棵梨树？ 【答案】果园里种植了40棵苹果树，40棵梨树． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． xy80 设果园里种植了x棵苹果树，y棵梨树，根据题意列出方程组 ，然后解方程组即 150x120y10800 可． 【详解】解：设果园里种植了x棵苹果树，y棵梨树， xy80 x40 根据题意，得 ，解得 ， 150x120y10800 y40 答：果园里种植了40棵苹果树，40棵梨树． 18．综合与探究； 下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是ab； 第1个等式：ababa2b2； 第2个等式：ab a2abb2 a3b3； 第3个等式：ab a3a2bab2b3 a4b4； … 【规律】（1）请根据规律，写出第4个等式：________________； 【猜想】（2）猜想：ab an1an2ban3b2 a2bn3abn2 bn1 ________（其中n为正整数，且 n2）； 【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算： 3938373633323 ． 【答案】（1）ab a4a3ba2b2ab3b4 a5b5；（2） anbn；（3） 3103 4 【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律性问题，理解题意，发现规律是解题的关键． （1）观察式子，发现式子的规律即可写出等式； （2）根据式子的规律即可写出式子； （3）把（2）中式子中的a3，b1，n10代入即可求解． 【详解】解：（1）ab a4a3ba2b2ab3b4 a5b5 第 17 页 共 26 页故答案为：ab a4a3ba2b2ab3b4 a5b5； （2）根据规律可得： ab a 1an2ban3b2a2bn3ab 2b 1 a bn n n n n 故答案为： anbn； （3）设（2）式中的a3，b1，n10，则有  31    3938137123613321731819  310110 即4  393637 36333231  3101 3101 ∴39383736323231 ， 4 3101 3103 ∴3938373633323 1 ． 4 4 五、（本大题共 2小题，每小题 10分，满分 20分） 19．在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成 交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测 量示意图，其吃水深度AM 5.8米，测得海底山丘C与E 两点到船底探测器的声音往返所用时间分 别为 8 秒和32秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度BAC45， 5 15 ∠BAE60，ABBD，DE BD，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E 在同一平面内，参考数据： 2 1.4 ， 31.7 ，结果精确到1米） (1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？ (2)试求海底山丘CE的坡度是多少？ 1 【答案】(1)海平面距离海底的深度是846米；(2) 13 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解坡度概念是关键． 1 8 （1）先求解AC  1500 1200，结合 ABACcos45600 2840 ，再进一步可得答案； 2 5 （2）如图，过E作EH  AB于 H ，连接CE，结合题意可得： BDEH ，BH DE，求解 1 32 AE  1500 1600，结合∠BAE60，进一步求解DE40，CDBDBC520，从而可得答案． 2 15 第 18 页 共 26 页1 8 【详解】（1）解：由题意可得：AC  1500 1200，BAC45， 2 5 2 ∴AB ACcos451200 600 2 840， 2 ∵AM 5.8， ∴MB8405.8846（米）； ∴海平面距离海底的深度是846米； （2）解：如图，过E作EH  AB于 H ，连接CE，结合题意可得： BDEH ，BH DE， 1 32 ∵AE  1500 1600，∠BAE60， 2 15 ∴AH  AEcos60800， EH  AEsin60800 3 ， ∴DEBH  ABAH 84080040， 由（1）可得：BC AB840， ∴CDBDBC520， DE 40 1 ∴海底山丘CE 的坡度是   ． CD 520 13 20．如图，A，B，C，D 是O上的四点，AC是直径， ABBD ，O的切线 BE 交DC的延长线于点 E． (1)求证：BEDE； (2)若 AB5 6 ，BE5，求O的半径． 【答案】(1)见解析；(2)⊙O 的半径为 3 5 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周 角定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 第 19 页 共 26 页（1）连接BO并延长交AD于 H 点，如图，先证明BO垂直平分AD得到BHD90，再根据切线的 性质得到OBE90，根据圆周角定理得到ADC 90，于是可判断四边形BEDH 为矩形，所以 E90，从而得到结论； （2）先利用BO垂直平分AD得到AH DH ，再利用四边形BEDH 为矩形得到DH BE5，接着在 Rt△BDH中利用勾股定理计算出 BH 5 5 ，设O的半径为r，则 OH 5 5r ，ODr，由勾股定  2 理可得 5 5r 52 r2，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接BO并延长交AD于 H 点，连接OD，如图， ABBD，OAOD， BO垂直平分AD， BHD90， BE 为O的切线， OBBE， OBE90 AC为O的直径， ADC 90， ∴ADC OBE BHD90， 四边形BEDH 为矩形， E90， BE DE； （2）解：BO垂直平分AD， 1 AH DH  AD， 2 四边形BEDH 为矩形， DH BE5， 在Rt△BDH中， BD AB5 6 ，DH 5， BH  BD2 DH2   5 6 2 52 5 5 ， 第 20 页 共 26 页设O的半径为r，则 OH 5 5r ，ODr， 在Rt△ODH 中， OH2DH2 OD2，  2 ∴ 5 5r 52 r2，解得r3 5，即O的半径为3 5． 六、（本题满分 12分） 21．为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，被 调查学生需从“文史类”“社科类”“小说类”“生活类”中选择自己最喜欢的一类．根据调查结果，绘制 了如下的统计图（未完成），请解答下列问题： (1)填空：此次共调查了________名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为________度；学校 采用的调查方式是________（选填“全面调查”或“抽样调查”）； (2)将条形统计图补充完整； (3)通过调查发现，文史类书籍最受欢迎．基于此，学校计划从热爱文史类书籍的4名优秀学生（两 男两女）中随机抽取2名学生，担任阅读推广队宣讲员，请用列表或画树状图的方法，求所选 2 名学生中至少有1名是女生的概率． 5 【答案】(1)200，126，抽样调查；(2)见解析；(3) 6 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及画树状图计算概率，弄清题中的数据是解本题 的关键． （1）根据文史类的人数除以占的百分比求出调查的学生总数，进而求出小说类的百分比，乘以360 即可求出占的圆心角，判断调查的方式即可； （2）求出生活类与小说类的人数，补全条形统计图即可； （3）列树状图，利用概率公式即可解答． 【详解】（1）解：此次调查的学生总人数为7638%200（名）， 选择“生活类”的学生人数为20015%30（名）， 选择“小说类”的学生人数为20024763070（名）， 70 图2中“小说类”所在扇形的圆心角为360 126， 200 学校采用的调查方式是抽样调查， 第 21 页 共 26 页故答案分别为：200，126，抽样调查； （2）解：补全条形统计图如下： （3）解：记两名男生为男1，男2，两名女生为女1，女2，画树状图如下： 一共有12种等可能的情况，其中抽到至少有1名是女生有10种可能的情况， 10 5 所以所选2名学生中至少有1名是女生的概率  ． 12 6 七、（本题满分 12分） 22．在矩形ABCD中，点E，F 分别是AB，BC边上的动点，连接BD，EF交于点 P ． (1)如图（1），当点E，F 分别是AB，BC的中点时，求证：BP PF； (2)若BP PF，点G是AD边上的点，连结BG交EF于点 H ，点 H 是BG的中点， ①如图（2），若CF 1，求DG的长； BE ②如图（3），连接GP，当GPPF，且GDCD时，求 的值． BF BE 51 【答案】(1)见解析；(2)①DG的长为2；②  ． BF 2 【分析】（1）根据矩形的性质求得OBOC，利用三角形中位线的性质求得PF∥OC，推出 △BPF∽△BOC ，利用相似三角形的性质即可证明BP PF； 1 （2）①连接AC交BD于点O，连接OH ，利用三角形中位线定理求得OH∥DG，OH  DG，再证 2 明四边形OHFC是平行四边形，据此求解即可； ②设CF a，则CDDG2CF 2a，连接AC，GF ，作FN  AD于点N ，求得 GF  5a ，证明EF是   线段BG的垂直平分线，求得 BF GF  5a ，得到BC  51 a，证明△BEF∽△BAC，利用相似三 角形的性质求解即可． 第 22 页 共 26 页【详解】（1）证明：连接AC交BD于点O， ∵矩形ABCD， 1 1 ∴BD AC，OB BD，OC AC， 2 2 ∴OBOC， ∵点E，F 分别是AB，BC的中点， ∴EF∥AC，则PF∥OC， ∴△BPF∽△BOC ， BP PF ∴  ， OB OC ∴BP PF； （2）解：①连接AC交BD于点O，连接OH ， 由（1）知OBOC， ∴OBCOCB， ∵BP PF， ∴PBF  PFB， ∴PFBOCB， ∴PF∥OC，即EF∥AC， ∵点 H 是BG的中点，点O是BD的中点， 1 ∴OH∥DG，OH  DG， 2 ∵AD∥BC， ∴OH∥CF， ∴四边形OHFC是平行四边形， ∴OH CF ， 1 ∴CF  DG， 2 ∵CF 1， ∴DG2，即DG的长为2； 第 23 页 共 26 页②设CF a，则CDDG2CF 2a，连接AC，GF ，作FN  AD于点N ， 则四边形CDNF 是矩形， ∴FN CD2a AB，DN CF a， ∴GN DGDN a， ∴ GF  GN2FN2  5a ， ∵GPPF，BP PF， ∴GPPB， ∵点 H 是BG的中点， ∴EF是线段BG的垂直平分线， ∴ BF GF  5a ，   ∴BC BFCF  51 a， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， BE BF ∴  ， AB BC BE AB 2a 5 1 ∴    ．   BF BC 51 a 2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的 判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关 键． 八、（本题满分 14分） 23．如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A1,0，B3,0两点，与y轴交于点C，点M 是抛物线 上一动点（不与点 B 重合），过点M 作MN x轴于点N ，交直线BC于点 P ． 第 24 页 共 26 页(1)求该抛物线的解析式； (2)若PM 2PN ，求点M 的坐标； (3)若点M 在直线BC下方的抛物线上运动，是否存在点M ，使以点M ， P ，C为顶点的三角形与 △BPN相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=x22x3；(2)M2,3或2,5；(3)存在，点M 的坐标为2,3或1,4 【分析】（1）把A1,0，B3,0代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出C0,3，再求出直线BC的解析式为y x3，设M  m,m22m3 ，则Pm,m3，Nm,0， 则PM   m22m3  m3 m23m ，PN  m3，列出方程 m23m 2 m3  2m6 ，再求解即可； （3）设M  n,n22n3 ，且0n3，则Pn,n3，Nn,0，再求出M2,3；再分为当CMP90时 及当MCP90时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把A1,0，B3,0代入抛物线解析式， ab30 a1 得： ，解得： ， 9a3b30 b2 ∴该抛物线解析式为y=x22x3； （2）解：令x0，得y=3， ∴C0,3， 3kb0 k 1 设直线BC的解析式为ykxb，∴ ，解得 ， b3 b3 ∴直线BC的解析式为y x3， ∵MN x轴， ∴设M  m,m22m3 ，则Pm,m3，Nm,0， ∴PM   m22m3  m3 m23m ，PN  m3， ∵PM 2PN ， ∴ m23m 2 m3  2m6 ， ∴ m23m2m6 或 m23m62m ， 解得m 2，m 3（舍去），m 2，m 3（舍去）， 1 2 3 4 ∴M2,3或2,5； （3）解：存在符合条件的点M ，理由如下： 第 25 页 共 26 页∵MN x轴， ∴设M  n,n22n3 ，且0n3， 则Pn,n3，Nn,0， ∴PN 3n，BN 3n，PM n3  n22n3  n23n， ∴PN BN， ∵BNP90， ∴PBN BPN 45， ∵△BPN和△CPM 相似，且CPM BPN 45， ∴CMPBNP90或MCPBNP90， 当CMP90时，则CM MN，且PM CM ， ∴n3  n22n3  n，即： n22n0 ， 解得n0（舍去）或n2， ∴M2,3； 当MCP90时，过点M 作MD  y轴于点D， ∴DCM CMDCMP45， ∴CDDM， ∵CD3  n22n3  n22n，DM n， ∴n22nn ，解得n0（舍去）或n1，∴M1,4； 综上，当以M ， P ，C为顶点的三角形与△BPN相似时，点M 的坐标为2,3或1,4． 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质， 函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要 注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 第 26 页 共 26 页