2025年中考押题预测卷（天津卷）
数 学
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算： 3 2 =（ ）
A．1 − − − B．6 C． 5 D． 1
2．如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积
−
木，它的左视图是（
−
）
A． B． C． D．
3．估算 50 1的值应在（ ）
A．5 和6之−间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
4．某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为0.00000000058 m，
是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为
（ ）
A．5.8 10 9 B．5.8 10 10 C．0.58 10 9 D．0.58 10 10
− − − −
6．计算 ×1 tan230 的值为（ × ） × ×
− °
第 1 页 共 31 页A．2 B．-2 C．3 D．
3 4
7．计算 2 1 的结果正确的是（ ）
2 1 1
A． 1 − − − B． 1 C． 1 D． 1
+1 +1 1 1
8．已 知一元二次方程 2+4− +2= 0 的两个根分别 为− m，n，则 2+ 2的值−为 −（ ）
A．12
B．8
C．6
D．4
9．已知 , , , , , 是反比例函数 = 5 图象上的三个点，若
1 1 2 2 3 3
−
< < 0< ， 则 , , 的 大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
A． 1 < 2 < 3 B． 2 < 1 < 3 C． 3 < 2 < 1 D． 3 < 1 < 2
10． 如图 ，在 中， = 90 ， = 15 ，分 别以 、 为圆心， 大于 1 的长为半径画
2
弧，两弧交于△、 两?点∠， 作 直线 ° 交∠ 于 点，° 若 = 2 ，则 的面积为 （ ）
△
A．2 B．2+ 3 C．2+ 3 D．4
2
11．如图，O是正 内一点， = 3， = 4， = 5．将线段 以点B 为旋转中心逆时针
旋转60°得到线段 △′ ， 下 列结论错 误 的是（ ）
A．点 O与 ′的距离为4 B． = 150
C．S
四边形
AO BO ′= 6+4 3 D．∠ + ° =3+4 3
12．如图，用一段长为 30m的篱笆围成一个一边靠墙 △的 矩 形 菜△ 园 ，墙长为18m．设矩形菜园的边
的长为 m，面积为 m2，其中 ．有下列结论：
①S与 x之间的函数 关系式为 = ≥2 2 +30 ；
②x的取值范围是2 10；
−
≤ ≤
第 2 页 共 31 页③ 的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2．
其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．通常情况下，紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色，遇碱性溶液变蓝色，李老师让学生用紫色石蕊
试液检测五瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性．这五种溶液分别是：盐酸（呈酸性），氢
氧化钠溶液（呈碱性），氢氧化钙溶液（呈碱性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）．小伟同
学随机任选一瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则溶液变红色的概率为 ．
14． 2 3 2 = ．
− ÷ 2020 2021
15．计算： 5 2 5+2 的结果是 ．
16．将直线 =−2 1向左平移3个单位后的解析式为 ．
17．如图，正 方 − 形 − 的边长为4，点E 在边 上， = 1，作等腰直角三角形 , = 90 ．
∠ °
（Ⅰ） 的长 ．
（Ⅱ）
若
M为 的中点，连接 ，则 的长为 ．
18．如图，在每 个小正方形的边 长 为 1 的 网格中， 的顶点 , 均在格点上，顶点C 在网格线
上， = 24 ． △
°
∠
（I）线段 的长等于 ；
（II） 是如 图所示 外接圆上的动点，当 = 78 时，请用无刻度的直尺，在如图所示的
°
网格中画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
△ ∠
第 3 页 共 31 页三、解答题（本大题共 7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
+1 3 ①
19．(本小题8分）解不等式组
5 3 1 1 ②
≤
请结合题意填空，完成本题的解答．
− − ≥
（Ⅰ）解不等式①，得____________________；
（Ⅱ）解不等式②，得_____________________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为_________________．
20．(本小题8分）为了了解同学们每周参加科学教育的时间（单位：h），小丽随机调查了本校一
部分学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)统计的学生每周参加科学教育的时间数据的众数为________h，中位数为________h；
(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的平均时间；
(3)若该校共有学生1800人，估计该校学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？
21．(本小题10分）已知四边形 是 的内接四边形， 是 的直径， 是四边形
的一个外角， 平分 ．
⊙ ⊙ ∠
∠
(1)如图1， = 66 ，求 的度数；
∠ ° ∠
第 4 页 共 31 页(2)如图2，过点 作 的切线 交 的延长线于点 ，若 = 8， = 6，求 的长．
⊙
22．(本小题10分）如图，小明从点 出发，沿着坡度（即tan ）为1:2.4 的坡道 向上走了 130m
到达点 ，再沿着水平平台 向前走
了80m到达点
，最后沿
着坡角为36.8 的坡
道 向上走了
150m 到 达点 ．（参考数据 ： sin36.8 0.6，cos36 .8 0.8，tan36.8 0.7°5）
° ≈ ° ≈ ° ≈
(1)当小明到达点 时，求他沿垂直方向上升的高度；
(2)求点 , 间的水 平距离 长．
23．（本小题10分）甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧
道长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为_______米/小时，乙队的挖掘速度为_____米/小时；
（2）①当2≤x≤6 时，求出y 与x之间的函数关系式；
乙
②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度刚好超过乙队5米？
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到15米/小时结果两队同时完
成了任务．问甲队从开挖到完工所挖隧道的总长度为多少米？
24．（本小题10分）
第 5 页 共 31 页在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B 在y轴的正半轴上， = 30 ．矩形 CODE
°
的顶点D，E，C 分别在OA，AB，OB上，OD＝2
∠
(1)如图①，求点E 的坐标；
(2)将矩形CODE 沿x轴向右平移，得到矩形 ' ' ' '，点C，O，D，E的对应点分别为 ', ', ', '．设
' = ，矩形 ' ' ' '与Δ 重叠部分的面 积 为 S ．
① 如图 ②，当矩 形 ' ' ' ' 与 Δ 重叠部分为五边形时， ' '， ' '分别与AB 相交于点M，F，试
用含有t 的式子表示
S，
并
直接
写
出t 的取值范围；
②当 3 S 5 3时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．
≤ ≤
25.（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + 2 0 经过点 6,7 ，与 轴交于 、 两点（点
在点 的左侧），与y 轴交于点 ， 连接 、 ，−tan ≠ = 1．
2
∠
(1)求抛物线的表达式；
第 6 页 共 31 页(2)点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作 ∥ ，交抛物线于点 ，连接 交 于点 ，
当 面积最大时，线段 在直线 上移动，求 的周长最小值及此时点 的坐标；
(3)△ 抛 物 线 绕着原点旋转180 得 到新抛 物 线，点 是新 △ 抛 物 线 对称轴左侧的一个动点 ，过点 作 ∥
轴，过点 作 ∥ 轴，直线 与直线 相交与点 ，连接 ，将 沿着直线 翻折，若
°
点N 的对 应点 ′恰好 落在 轴上 ， 请直接 写 出点 ′的坐 标，并 写 出一个△点 的 求解过程．
第 7 页 共 31 页2025年中考押题预测卷（天津卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算： 3 2 =（ ）
A．1 − − − B．6 C． 5 D． 1
【答案】D
− −
【分析】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算，去小括号要变号，进
行计算，即可．
【详解】解： 3 2 = 3+2 = 1．故选：D．
2．如图是小强
−
用
−
八块
−
相同
−
的小正方体
−
搭建的一个积木，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1，依此得出图形D正确．故选D．
【详解】请在此输入详解！
3．估算 50 1的值应在（ ）
A．5 和6之−间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】B
【分析】先估算出 50的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出 50 1的取值范围即可．
【详解】解：∵49＜50＜64， −
∴7＜ 50＜8，
∴7-1＜ 50-1＜8-1，
∴6＜ 50-1＜7．
故选：B．
第 8 页 共 31 页【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出 50的取值范围是解答此题的关键．
4．某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据
中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 ，如果旋转后的
图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后
°
图形上能够重合的点叫做对称点．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180 后与原来的图形完
全重合，所以不是中心对称图形，
°
选项C 能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180 后与原来的图形完全重合，所以是中心对称
图形．故选C．
°
5．2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为0.00000000058 m，
是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为
（ ）
A．5.8 10 9 B．5.8 10 10 C．0.58 10 9 D．0.58 10 10
− − − −
【答案】 ×B × × ×
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 10 的形式，其中 1
< 10， 为整数即可求解，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移 × 动了多少位， 的绝对 ≤
值 与小数点 移动的位数相同，当原 数绝对值 10时， 是正整 数；当原数的绝对值< 1 时， 是负
整数，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
≥
【详解】解：0.00000000058 = 5.8 10 10，故选：B．
−
6．计算1 tan230 的值为（ ）
×
A．2 − °B．-2 C．3 D．
3 4
【答案】A
【分析】将tan30°的值代入计算即可．
2
【详解】解：1 tan230 = 1 3 = 1 1 = 2，故选：A．
3 3 3
∘
【点睛】本题考−查了含三角形−函数值的混−合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
第 9 页 共 31 页7．计算 2 1 的结果正确的是（ ）
2 1 1
A． 1 − − − B． 1 C． 1 D． 1
+1 +1 1 1
【答 案】A − − − −
【分析】本题考查分式的减法，先化成同分母的分式，再分子相减即可．
【详解】原式= 2 +1
1 +1 1 +1
2 1 − − −
=
1 +1
− −
1
= −
1 +1
−
= 1 − ，
+1
故 选：A．
8．已知一元二次方程 2+4 +2= 0 的两个根分别为 m，n，则 2+ 2的值为（ ）
A．12 B． 8 C．6 D． 4
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次
方程 2 + + = 0 0 ，若 ， 是该方程的两个实数根，则 + = ， = ，据此可
1 2 1 2 1 2
得 + = 4， = 2， ≠ 再根据 2+ 2 = + 2 2 计算求解 即可 ． −
【 详解 】解−：∵ 一 元二次方程 2 +4 + 2 = 0 的两 个−根分 别 为m，n，
∴ + = 4， = 2，
∴ 2+ 2 − = + 2 2 = 4 2 2 2= 16 4= 12，故选：A．
9． 已知 , , − , , − , −是×反比例函−数 = 5 图象上的三个点，若
1 1 2 2 3 3
−
< < 0< ， 则 , , 的 大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
A． 1 < 2 < 3 B． 2 < 1 < 3 C． 3 < 2 < 1 D． 3 < 1 < 2
【答 案】 D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随 的增大而减小．不
能直接根据 的大小关系确定 的大小关系．
先判断出函 数图象在二，四象 限，在每个象限内， 随 的增大而增大，再根据 1 < 2 <0< 3 ，判
断出 1 , 2 , 3 的大小．
【详 解】 解 ：∵反比例函数 = 5中， = 5 < 0，
−
∴该反比例函数的图象在第 二，四 象限 ，在−这两个象限内， 随 的增大而增大，
第 10 页 共 31 页又 ∵ < <0< ，
1 2 3
3 < 0 < 1 < 2 ，
∴
故
选：D．
10．如图，在 中， = 90 ， = 15 ，分别以 、 为圆心，大于1 的长为半径画
2
弧，两弧交于△、 两?点∠， 作 直线 ° 交∠ 于 点，° 若 = 2 ，则 的面积为 （ ）
△
A．2 B．2+ 3 C．2+ 3 D．4
2
【答案】B
【分析】连接 ，由作法得 垂直平分线 ，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证
得 = = 15 ，由三 角 形外角的性 质 得到 = 30 ，根据含30度直角三角形的性质和
勾股定理求出 ， ，根据三角形的面积公式即可求出 的面积．
∠ ∠ ° ∠ °
【详解】解：连接 ，
△
由作法得 垂直平分线 ，
= = 2，
∴ = = 15 ，
∴ ∠ = ∠ + ° = 30 ，
∴ 在 ∠R t ∠ 中 ， ∠ = 30 ， ° = 2，
=△ 1 = 1，∠ °
2
∴
= 2 2 = 3，
∴ −
= 2+ 3，
∴ 的面积= 1 = 1 (2+ 3) 1 = 2+ 3．故选：B．
2 2 2
∴△ ⋅ × ×
第 11 页 共 31 页【点睛】本题考查了作图 复杂作图，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质和勾股
定理等知识，熟悉基基本作图和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
−
11．如图，O是正 内一点， = 3， = 4， = 5．将线段 以点B 为旋转中心逆时针
旋转60°得到线段 △′ ， 下 列结论错 误 的是（ ）
A．点 O与 ′的距离为4 B． = 150
∠ °
C．S AOBO= 6+4 3 D． + =3+4 3
四边形 ′
【答案】D △ △
【分析】证明 ′ ≌ ，得 ′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得 ′是直角
三角形，进而△可 判 断 ． △ △ △
【详解】解：如图1，连接OO′，
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴ ′ ≌ ( )，
又△∵∠ O BO′＝△6 0 °，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．故A正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为 3，4，5，这是一组勾股数，
第 12 页 共 31 页∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故B正确；
S AOBO＝S AOO+S OBO═ 1 ×3×4+ 3 ×42＝6+4 3，故C 正确；
四边形 ′ △ ′ △ ′ 2 4
如图2
将 绕 点顺时针旋转 60°到 '位置，
同△理可 得 + =6+ 9 3，△故 D 错误；故选D．
4
【点睛】此 △题 考 查 了△ 旋 转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题
的关键．
12．如图，用一段长为 30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边
的长为 m，面积为 m2，其中 ．有下列结论：
①S与 x之间的函数 关系式为 = ≥2 2 +30 ；
②x的取值范围是2 10；
−
③ 的长有两个不同
≤
的
值
≤
满足该矩形菜园的面积为100m2．
其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的
关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为 18m， ，列不等式组，解不等式组即可求
出自变量 的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积 = 1≥00 列出方程，解方程求 的值，可以判
断③．
【详解】解：根据题意得： = (30 2 ) = 2 2 +30 ，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边 的 长为 −m ．则 − 的长为 (30 2 )m，
−
第 13 页 共 31 页30 2 10
墙长为18m， ， ；解得 ，
30 2 18 6
− ≥ ≤
∵ 的取值范围为 6≥ 1∴0，故②错误；
− ≤ ≥
∴ 根 据题意得： (30 ≤2 )≤= 100，
解得
1
=5，
2
=1−0，
6 10，
∵ ≤= 1 0≤ ，
∴
的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100m2，故③错误．故选：D．
∴
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 6个小题，每小题3分，共18分）
13．通常情况下，紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色，遇碱性溶液变蓝色，李老师让学生用紫色石蕊
试液检测五瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性．这五种溶液分别是：盐酸（呈酸性），氢
氧化钠溶液（呈碱性），氢氧化钙溶液（呈碱性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）．小伟同
学随机任选一瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则溶液变红色的概率为 ．
【答案】3
5
【分析】本题考查了概率公式，直接根据概率公式解答即可，熟练掌握概率公式的应用是解题的关
键．
【详解】解：∵将紫色石蕊试液滴入盐酸（呈酸性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）中，溶
液变红色，
∴溶液变红色的概率= 3．
5
故答案为：3．
5
3
14． 2 2 = ．
【答案−】 ÷4
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据幂的乘
−
方、同底数幂的除法的运算法则即可求解．
3
【详解】解： 2 2
= 6 2 − ÷
=− 4． ÷
故答案为： 4．
−
15．计算：− 5 2 2020 5+2 2021 的结果是 ．
【答案】 5+2 −
第 14 页 共 31 页【分析】利用积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算解答．
2020 2021
【详解】 5 2 5+2
2020− 2020
= 5 2 5+2 5+2
− 2020
= 5 2 5+2 5+2
= 5+ − 2，故答案为： 5 × +2．
【点睛】此题考查积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，平方差计算公式，二次根式的混合
运算，熟记运算公式是解题的关键．
16．将直线 = 2 1向左平移3个单位后的解析式为 ．
【答案】 = 2− 7−/ = 7 2
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可．
− − − −
【详解】解：将直线 = 2 1向左平移3个单位后的解析式为 = 2 +3 1 = 2 7；
故答案为： = 2 7． − − − − − −
17．如图，正 方 − 形 − 的边长为4，点E 在边 上， = 1，作等腰直角三角形 , = 90 ．
∠ °
（Ⅰ） 的长 ．
（Ⅱ）
若
M为 的中点，连接 ，则 的长为 ．
【答案】 2 3 2/ 3 2
2 2
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的
性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
（Ⅰ）在 上取一点 ，使 = = 1，构造等腰直角 、通过证明 ，从而可
得 = ，利用勾 股定理 求 出 的长即可得到答案； △ △ ≌△
（ Ⅱ ）延 长 交 延长线于 点 ， 可得等腰直角 ， 为 的中位线，求出 的长，进
而求出 的长即可解题．
△ △
【详解 】 解：（Ⅰ）在 上取一点 ，使 = = 1，连接 ，
第 15 页 共 31 页在正方形 的边长为4，
∴ = = = = 4， = = 90 ，
∴ = = 45 ， =∠ ， ∠ + ° = 90 ，
∵ ∠ = 9∠0 ， ° ∠ ∠ °
∴ ∠ + ° = 90 ，
∴ ∠ =∠ ， °
又 ∠ ∵ 在 等腰 ∠ 直 角 中， = ，
∴ △ S A S ，
∴ △ = ≌ ， △
∵ = 2 + 2 = 2，
∴ = 2，故答案为： 2；
（Ⅱ）如图所示，延长 交 延长线于 点，
由（1）得 = 180 = 135 ， ，
∴ =∠ = 135°− ， ∠ ° △ ≌△
∴ ∠ =∠ ° = 45 ，
∵ ∠ = 1∠8 0 −∠ = 90 ， °
∴ ∠ = °−=∠ 4 5 ， °
∴ ∠ = ∠= 4 ， °
∴ = 2 + 2 = 4 2，
∵ = 2，
∴ = = 3 2，
∵ = −， = = ，
∴ = 1 = 3 2， 故答 案 为：3 2．
2 2 2
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 ， 均在格点上，顶点C 在网格
线上， = 24 ． △
°
∠
第 16 页 共 31 页（I）线段 的长等于 ；
（II） 是如 图所示 外接圆上的动点，当 = 78 时，请用无刻度的直尺，在如图所示的
°
网格中画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
△ ∠
【答案】 13 过 点的 网格线交圆于点 、 ，连接 ，过 点的网格线交圆于点 、 ，
连接 和 相交于点 ，取 和网格线的交点 ， 连 接 并 延 长，交 圆于点 ，则点 即为 所求
【分析】此题考查的是勾股定理的应用，圆的基本性质，复杂的格点作图，掌握以上知识是解题的
关键．
（I）利用勾股定理即可得答案；
（II）由同弧所对的圆周角相等，可得 = = 24 ，再由 = 得 = ，再由
三角形内角和定理即可求出．
∠ ∠ ° ∠ ∠
【详解】（I）解： = 22 +32 = 13；故答案为： 13；
（II）过 点的网格线交圆于点 、 ，连接 ，过 点的网格线交圆于点 、 ，连接 和 相交
于点 ， 取 和网格线的交点 ，连 接 并 延 长， 交圆于点 ，则点 即为 所 求，如图 ，
三、解答题（本大题共 7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
+1 3 ①
19．(本小题8分）解不等式组
5 3 1 1 ②
≤
请结合题意填空，完成本题的解答．
− − ≥
（Ⅰ）解不等式①，得____________________；
（Ⅱ）解不等式②，得_____________________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
第 17 页 共 31 页（Ⅳ）原不等式组的解集为_________________．
【答案】（Ⅰ） 2；（Ⅱ） 1；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）原不等式组的解集为 1 2
【分析】（Ⅰ）
直
≤
接移项即可
得
≥
出
−
答案；
− ≤ ≤
（Ⅱ）先去括号，再合并同类项，移项，再未知数的系数化为1，即可得到不等式的解集；
（Ⅲ）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；
（Ⅳ）根据数轴找出两个解集的公共部分即可.
【详解】解：（Ⅰ） 2；（Ⅱ） 1；（Ⅲ）
（Ⅳ）原不等式组的 解≤集为 1 ≥−2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及把不等式组的解集画在数轴上，掌握不等式的解法是
− ≤ ≤
解题的关键．
20．(本小题8分）为了了解同学们每周参加科学教育的时间（单位：h），小丽随机调查了本校一
部分学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)统计的学生每周参加科学教育的时间数据的众数为________h，中位数为________h；
(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的平均时间；
(3)若该校共有学生1800人，估计该校学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？
【答案】(1)8，8；(2)8.36小时；(3)540 人
【分析】本题主要考查了用样本估计总体，加权平均数，中位数，众数，扇形统计图与频数分布直
方图，正确读懂统计图与统计表是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）先计算出总阅读时间，再除以总人数即可得到答案；
（3）用1800乘以样本中该校学生每周参加科学教育的时间是9h的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由统计图可知学生每周参加科学教育的时间为8h的人数最多，
∴统计的学生每周参加科学教育的时间数据的众数为8h；
第 18 页 共 31 页把这3+7+17+15+8 = 50 名学生的每周参加科学教育的时间按照从低到高排列，处在第 25名
和第26名的时间分别为8h，8h，
∴统计的学生每周参加科学教育的时间数据的中位数为8h；
（2）解： = 6 3+7 7+8 17+9 15+10 8 =8.36，
3+7+17+15+8
× × × × ×
每周平均 参加科学教育的时间是 8.36小时．
∴ （3）解：1800 30% = 540
该校学生每周参
×
加科学教育的时间是 9h的人数约为540人．
∴21．(本小题10分）已知四边形 是 的内接四边形， 是 的直径， 是四边形
的一个外角， 平分 ．
⊙ ⊙ ∠
∠
(1)如图1， = 66 ，求 的度数；
(2)如图2， ∠ 过 点 作 ° 的切 ∠ 线 交 的延长线于点 ，若 = 8， = 6，求 的长．
【答案】(1)42 ； (2)⊙2
【分析】此题考查了切线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、矩形的判定和性
°
质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和切线的性质是解题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质得到 = = 66 ．由角平分线得到 = = 66 ． 是
的直径，则 = 90 ．即 ∠ 可 得 到 ∠ = 90 ° = 90 66∠ = 2 4 ． ∠ 进 一 步求出 °
的度数；
⊙ ∠ ° ∠ °−∠ °− ° ° ∠
（2）连接 ，过点 作 于点 ．由 是 的直径得到 = 90 ．根据勾股定理得到 =
2 + 2 = 82 +62 = 1⊥0． 则 = = ⊙= 1 = 5．证∠明 四 边形° 是矩形．即可得 到
2
= = = 5 3 = 2．
【 详解 】 − （ 1 ）解 ： − 是 − 的内接四边形 的外角， = 66 ，
∴ = =∵66∠ ． ⊙ ∠ °
又 平分 ，
∠ ∠ °
∵ = ∠ = 66 ．
是 的直径，
∴∠ ∠ °
∵ ⊙= 90 ．
∴ ∠ °
第 19 页 共 31 页= 90 = 90 66 = 24 ．
∴∠ = °−∠ =°6−6 °24 =°42 ．
∴∠ ∠ −∠ °− ° °
（2）如图，连接 ，过点 作 于点 ． 是 的直径，
= 90 ．
⊥ ∵ ⊙
∴ 在 ∠R t 中 ° ， = 8， = 6，
△= 2 + 2 = 82 + 62 = 10．
∴ = = = 1 = 5．
2
∴∵ ，
，
⊥
∴ =∥ = 1，
∴ = = 1 = 3，
2
∴∵ 是 的切 线 ， 是 的半径，
∴ ，
⊙ ⊙
⊥
∴ = 90 ．
∘
∵ = ，
∠
∴ = ．
又 ∠ ∵ ∠= ，
∴ ∠ = ∠ ．
∴ ∠ // ． ∠
∴ = 180 = 90 ．
∴四边形 是矩形．
∠ °−∠ °
= ，
∴ ∴ = = = 5 3 = 2．
− − −
第 20 页 共 31 页22．(本小题10分）如图，小明从点 出发，沿着坡度（即tan ）为1:2.4 的坡道 向上走了 130m
到达点 ，再沿着水平平台 向前走
了80m到达点
，最后沿
着坡角为36.8 的坡
道 向上走了
150m 到 达点 ．（参考数据 ： sin36.8 0.6，cos36 .8 0.8，tan36.8 0.7°5）
° ≈ ° ≈ ° ≈
(1)当小明到达点 时，求他沿垂直方向上升的高度；
(2)求点 , 间的水 平距离 长．
【答案】 ( 1)50m；(2)320m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡
度是坡面的铅直高度h和水平宽度l 的比是解题的关键．
（1）过点B作 于F，过点C作 于G，延长 交 于H，，设 = m，根据坡
度的概念用x表
示
出
⊥
，根据勾股定理求
出
⊥
；
（2）根据余弦的定义
求
出 ，进而求出 ．
【详解】（1）解：过点B
作
于F
，
过点C作 于G，延长 交 于H，
⊥ ⊥
设 = m，
∵
坡
道
的坡度为1:2.4，
∴ = 2 .4 m，
在 R t 中， 2 = 2 + 2，即1302 = 2+ 2.4 2，
解得：△ = 5 0，
所以他
沿垂直方向上升的高度为50m；
（2）解：由（1）可知： = 50 = 120m，四边形 为矩形，
∴ = = 80m, = = 50m ，
在 R t 中， = 15 0 m, = 36.8 ，
则 △= cos 150 ∠ 0. 8 = 120m， °
则 = +⋅ ∠+ =≈120+×80+120 = 320m，
第 21 页 共 31 页所以点A，D间的水平距离 长约为320m．
23．（本小题10分）甲、乙
两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧
道长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为_______米/小时，乙队的挖掘速度为_____米/小时；
（2）①当2≤x≤6 时，求出y 与x之间的函数关系式；
乙
②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度刚好超过乙队5米？
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到15米/小时结果两队同时完
成了任务．问甲队从开挖到完工所挖隧道的总长度为多少米？
【答案】（1）10，15；（2）①y =5x+20，②5；（3）80.
乙
【详解】试题分析：（1）分别根据速度=路程÷时间列式计算即可得解；
（2）①设y =kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
乙
②求出甲队的函数解析式，然后根据y -y =5 列出方程求解即可；
甲 乙 ，
（3）设总长度为z，然后根据剩余长度所用的时间相等列出方程求解即可．
解：（1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为 10 米/小时，乙队的挖掘速度为
15 米/小时；
（2）①当2≤x≤6 时， y乙=5x+20；
②由10x-（5x+20）=5,解得x=5
开挖5小时后，甲队所挖掘隧道的长度刚好超过乙队5米.
（3）设甲队从开挖到完工所挖隧道的长度为z米，由题意得：
60 = 50 ，
10 15
− −
解得，z=80，
答：甲队从开挖到完工所挖隧道的总长度为80米.
点睛：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要
的信息是解题的关键，也是解题的难点．
24．（本小题10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y 轴的正半轴上，
= 30 ．矩形CODE 的顶点D，E，C 分别在OA，AB，OB 上，OD＝2
°
∠
第 22 页 共 31 页(1)如图①，求点E 的坐标；
(2)将矩形CODE 沿x轴向右平移，得到矩形 ' ' ' '，点C，O，D，E的对应点分别为 ', ', ', '．设
' = ，矩形 ' ' ' '与Δ 重叠部分的面 积 为 S ．
① 如图 ②，当矩 形 ' ' ' ' 与 Δ 重叠部分为五边形时， ' '， ' '分别与AB 相交于点M，F，试
用含有t 的式子表示
S，
并
直接
写
出t 的取值范围；
②当 3 S 5 3时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．
≤ ≤
【答案】(1) 的坐标为(2,4 3)
(2)① = 3 2 +8 3，0 < < 2；②5 6 2
2 2
【分析 】−（1） 先根据A 点坐 标和已知得≤出 ≤AD−的长，再根据30 角所对的直角边等于斜边的一半
和勾股定理得出CO的长即可得到点E 的坐标；
°
（2）①根据平移的性质和30 角所对的直角边等于斜边的一半得出 = 2 ′ = 2 ，再根据勾股
定理得出 ′ = 3 ，再根据 ° = 得出S与t 的函数 关 系式 ；
矩形 ′ ′ ′ ′ ′
②分2 t < 4 和4 t 6两种 情 况， 根 据 平−移 Δ的 性 质和30 角所对的直角边等于斜边的一半得出S
与t 的≤函数关系式≤，分≤别求出s= 3和s=4 3时t的值即可．°
【详解】（1）解：由点 (6,0)，得 = 6，
又 = 2，得 = = 4，
在 矩 形 中 ， 有 /−/ ， 得 = = 30 ，
°
∴在Rt Δ 中， = 2 = 8∠ ， ∠
∴由勾股 定 理 ，得 = 2 2 = 4 3，有 = 4 3，
−
∴点 的坐标为(2,4 3)．
（2）解：①由平移知， ′ ′ =2， ′ ′ =4 3， ′ = ′ = ，
第 23 页 共 31 页由 ′ ′// ，得 ′ = = 30 ，
°
∠ ∠
∴在RtΔ ′中， = 2 ′ = 2 ，
∴由勾股定理，得 ′ = 2 ′2 = 3 ，
∴ = 1 ′ ′ = 1 3 − = 3 2，
′ 2 2 2
∵ Δ = ⋅′ ′ ′ ′⋅ = 8 ⋅ 3 ，
矩形 ′ ′ ′ ′
∴ = ⋅ = 8 3 3 2．
矩形 ′ ′ ′ ′ ′ 2
∴ = 3 2 + 8 − 3， Δ 其 中 的取值 − 范围 是0 < < 2．
2
② 当0 − < < 2 时， = 3 2 +8 3，
2
当S= 3时 ， 3 2 +8 − 3 = 3，解得t= 14>2，
2
当S=5 3时， − 3 2 +8 3 = 5 3，解得t= 6>2，
2
−
当2 t < 4 时，如左下图，OF= 36 t， ′ = 3（4 t），
∴S= ≤1 36 t+ 3（4 t） 2= − 2 3 + 10 3， −
2
− − × −
当S= 3时， 2 3 +10 3= 3，解得t=4.5> 4，
当S=5 3时，− 2 3 +10 3=5 3，解得t= 5；
2
−
当4 t 6时，如右下图， ′ = 3 6 ， ′ =6 ，
∴S= ≤3（ ≤ 6-t）（6-t）= 3（6 t） 2 ， − −
2 2
当S= 3时， 3（6 t） 2 = − 3，解得t=6+ 2 > 6 或t=6 2，
2
当S=5 3时， 3（6 − t） 2 =5 3，解得t=6+ 10 > 6 或 − t=6 10 < 4，
2
∴当 3 S 5 3时，−5 6 2． −
2
⩽ ⩽ ≤ ≤ −
第 24 页 共 31 页【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，勾股定理，求函数关系式以及一元二次方程
的解法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
25．（本小题10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + 2 0 经过点 6,7 ，与
轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与y轴交于点 ， 连接 、 −，ta n ≠ = 1．
2
∠
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作 ∥ ，交抛物线于点 ，连接 交 于点 ，
当 面积最大时，线段 在直线 上移动，求 的周长最小值及此时点 的坐标；
(3)△ 抛 物 线 绕着原点旋转180 得 到新抛 物 线，点 是新 △ 抛 物 线 对称轴左侧的一个动点 ，过点 作 ∥
轴，过点 作 ∥ 轴，直线 与直线 相交与点 ，连接 ，将 沿着直线 翻折，若
°
点N 的对 应点 ′恰好 落在 轴上 ， 请直接 写 出点 ′的坐 标，并 写 出一个△点 的 求解过程．
【答案】(1) = 1 2 3 2；(2) 5+ 305， 2 , 3 ；(3) ′ 0, 33 3 或 0, 9+ 57
2 2 5 2 2
−
【分析】（1 ）先 令− = 0 −求出 0, 2 ，再利 用t − an = 1，求出 4,0 ，−利用待定系数法即可
2
求解； − ∠
（2）过点 作 轴交 于点 ，交 于点 ，设 与 轴交于点 ，求出直线 的解析式为 =
1 2，利用 ∥∥ ，求出 直 线 的解 析 式为 = 1 + 1，利 用平行线 判定 = ， =
2 2 2
△
是 定 − 值， 是 定值 ， = ，可 知 当 最大时 ， = = △ 最大 ，设 △ , 1 △ 2
2
3 2 0 < < 4 ， 则 , 1 2 ，可知 △ = 1 2 + ⋅ 2 △ ， 利用 二 ⋅ 次 △ 函 数的性质 可知 面积 最 −
2 2 2
大 值−时 2, 3 ；过点 作 −交 于点 ， 求出−直 线 的 解析式为 = 2 2，则可求出直
线 的 解析−式为 = 2 + 1 ，∥联 立 = 2 + 1 与 = 1 + 1，求出 1 , 3 ，−由 线−段 在直线
2 2 5 5
上 移 动，点 不动 ，利−用相 对运动，我 们可−以 看作线段 不 动，点 在 直线 上运动， 判 定 ，
则 ，在 上取点 ′，使得 = ′，则 = ′，则 的周长 为 + + =⊥ 5 +
⊥ △
第 25 页 共 31 页′ + 5+ ′ ，当且仅当 ′， ， 依次共线时取最小值 5+ ′ ，利用中点求出 ′ 7 , 6 ，即
5 5
可 求解 ； ≥
（3）先由抛物线绕着原点旋转180 求出新抛物线解析式为 = 1 2 3 +2，利用 ∥ 轴，
2 2
° − −
∥ 轴，将 沿着直线 翻折，若点 N的对应点 ′恰好落在 轴上，得出四边形 ′
是 正方 形，当点△ 在 上方时， 直 线 的解析式为 = 2，与 = 1 2 3 +2 联立求 出 =
2 2
1 33，即可求解 ； 当 点 在 下方 时 ，同理可得． − − − −
2
− −
【详解】（1）解：令 = 0， 得 = 2 + 2 = 2，
∴ 0, 2 ， − −
∴
=−2，
∵ ta n = 1，
2
∴ = ∠ 1，
2
得 = 4，
∴ 4,0 ，
将 4,0 ， 6,7 代入 = 2 + 2 0 ，
1
−= ≠
得： 16 +4 2= 0 ，解得： 2 ，
36 +6 2= 7 3
=
− 2
∴抛物线 的表 达 − 式为 = 1 2 3 −2；
2 2
（2）解：如图，过点 作 − 轴−交 于点 ，交 于点 ，设 与 轴交于点 ，
∥
设直线 的解析式为 = + ，
4 + =0 = 1
将 4,0 ， 0, 2 代入，得： ，解得： 2 ，
= 2
= 2
−
则直线 的解析式为 = 1 2， − −
2
− 第 26 页 共 31 页令 = 0，得 = 1 2 3 2 = 0，
2 2
解 得： = 1， =−4， −
1 2
∴ 1 ,0 ， −
∵ ∥ ，
−
∴ 设 直线 的解析式为 = 1 + ，
2
将 1,0 代 入 = 1 + ，
2
得 ：0 − = 1 1 + ，
2
解得： =
×1， −
2
则直线 的解析式为 = 1 + 1，
2 2
则 0, 1 ，
2
∵ 与 分别以 、 为底，且等高，
∴△ = △，
△
△
∴ = ，
∵ △ ∥ ， ⋅ △
∴ = ，
∴ = ，
∵ △ ∥ ， ⋅ △
∴ = ，其中 ， ， 是定值，
△ △
则 = 是定值，
∵ △ ∥ ， △ ，
∴四边形 是平行四边形，
∥
∴ = = 1 +2 = 5是定值，
2 2
∴当 最大时， = 最大，
设 , 1 2 3 △ 2 0 < ⋅ △ < 4 ，则 , 1 2 ，
2 2 2
∴ = 1 − 2 1− 2 + 3 + 2 = 1 2 +2 ， −
2 2 2 2
∵ 1 < 0 ， − − −
2
−
第 27 页 共 31 页当 = 2 = 2 时， 最大，
1
2
2
− × −
此时 = 最大，
将 = △ 2 代 入 = ⋅ 1 △ 2 3 2，得 = 3，
2 2
即 此时 2, 3 ； − − −
如图，过点 作 交 于点 ，
−
设直线 的 解析 式 ∥ 为 = + ，
代入 1,0 ， 0, 2 ，
+ =0
得： − ， −
= 2
−
= 2
解得： ，
−
= 2
−
∴直线 的解析式为 = 2 2，
−
设直线 的解析式为 =− 2 −+ ，
代入 2, 3 ， −
得： 3 =− 2 2+ ，
解得
−
： =−1，
×
∴直线 的解析式为 = 2 +1，
联立 = 2 +1 与 = 1 −+ 1，
2 2
=− 2 +1
得： ，
1 1
= +
−2 2
1
=
解得： 5，
3
=
5
∴ 1 , 3 ，
5 5
由 线段 在直线 上移动，点 不动，
利用相对运动，我们可以看作线段 不动，点 在直线 上运动，
∵ = 2 + 2 = 5， = + = 5， = 2 + 2 = 2 5，
∴ 2 + 2 = 2，
∴ = 90 ，
∴ ，
∠ °
∴ ，
⊥
∴ ，
⊥
⊥
第 28 页 共 31 页如图，在 上取点 ′，使得 = ′，
∴ = ′，
∴ 的周长为 + + = 5+ ′ + ，
△
利用两点之间线段最短，得 5+ ′+ 5+ ′ ，当且仅当 ′，，依次共线时取最小值 5+ ′ ，
≥
如图，
由 1,0 ， 1 , 3 ， = ′，
5 5
∴ − =2 1 1 = 7， = 2 3 0= 6，
′ 5 5 ′ 5 5
∴ ′ 7 , 6 × ， − − × −
5 5
2 2
∴ ′ = 7 0 + 6 +2 = 305，
5 5 5
∴ 的周−长最小值为 5+ ′ = 5+ 305；
5
（△3） 解 ：由抛物线绕着原点旋 转 180 得到新抛物线，即两抛物线关于原点对称，
设 , 是新抛物上任意一点，则 ,° 是原抛物上任意一点，
则 = 1 2 3 2， − −
2 2
化 − 简 新抛物 − 线 解 − 析式 − 为 − = 1 2 3 +2，
2 2
∵ ∥ 轴， ∥ 轴 ， −轴与 轴−垂 直，
∴ 轴， ，
∵ 将 ⊥ 沿 着 直⊥线 翻折，若点N 的对应点 ′恰好落在 轴上，
∴ △′ = = 1 = 45 ， ′ = = 90 ，
2
∠ ∠ ∠ ° ∠ ∠ °
∴四边形 ′ 是矩形， = = 45 ，
∠ ∠ °
∴ = ，四边形 ′ 是正方形，
第 29 页 共 31 页∴ = ′，
①−当 点 在 上方时，
设 与 轴交于点 ，如图，
∴ = = 45 ，
∴ ∠ = ∠= 2 ， °
∴ 2, 0 ，
设 直线 − 的解析式为 = + ，
代入 0, 2 ， 2,0 ，
0= 2 +
得： − ，−
2=
−
= 1
解得： ，
−
= 2
−
∴直线 的解析式为 = 2，
−
联立 = 2与 = 1 −2 − 3 +2，
2 2
得：
1−
2
−3
+2
=
−
2
−
，
2 2
解得 − ： = −1 33（正 − 值 舍 − ），
2
− −
∴ ′ = = 1+ 33，
2
∴ ′ = − ′ = 1+ 33 2 = 33 3，
2 2
−
∴ ′ 0, 33 3− ； −
2
−
② 当点 在 下方时，
同理可 得直 线 的解析式为 = 2，
联立 = 2 与 = 1 2 3 + 2−，
2 2
− − −
第 30 页 共 31 页得： 1 2 3 +2 = 2，
2 2
解得 − ： = −5 57（正值 − 舍），
2
− −
∴ ′ = = 5+ 57，
2
∴ ′ = − ′ + = 5+ 57 +2 = 9+ 57，
2 2
∴ ′ 0, 9 + 57 ．
2
【 点睛】−本题考查二次函数与一次函数综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数，
三角函数，正方形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关于原点对称的点的坐标，熟
练掌握这些性质与判定是解题的关键．
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