2025中考数学押题预测卷（山西卷）_幼小初教辅资料_中考_2025中考各科押题卷+模拟卷（含全国）

2025年中考押题预测卷（山西卷） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题3分）据统计，2024直播电商月实现网络零售额超408亿元，表现亮眼，408亿用科学 记数法表示为（ ） A． 408108 B． 40.8109 C． 4.081010 D． 0.4081011 2．（本题3分）“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰 似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴 对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（本题 3分）下列运算正确的是（ ） A． 2m3m5m2 B． 4m22 8m4 C．x2y12xyx D．3a22 9a24 4．（本题 3分）小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、 粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着 吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） 第 1 页 共 30 页A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n 形成的锐角为23．一支激光笔从点 A 处发出的光束投射到平面镜上的点 B 处，反射光束投射到挡 板m上的点C处．设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若DBF CBE52，则BCD的度 数为（ ） A．75 B．76 C．104 D．105 6．（本题3分）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种 金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：℃）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下 该导体的电阻进行了记录，如下表： t（℃） 0 10 20 30 40 R 5 5.08 5.16 5.24 5.32 则R 与t 之间的关系式为（ ） A．R0.08t5 B．R0.008t5 C．R10t5 D．R0.08t5 7．（本题3分）如图，正五边形ABCDE的内切圆O分别切AB，CD于点M ，N ．若 P 为优弧MN 上的一点，连接MP，NP，则MPN 等于（ ） A．144 B．72 C．54 D．80 3 8．（本题3分）若点Ax ,y ,Bx ,y ，C6,y 三点都在反比例函数y 的图象上，其中x  x 0， 1 1 2 2 3 x 1 2 则y ，y ，y 的大小关系为（ ） 1 2 3 A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 2 1 3 1 2 3 3 1 2 第 2 页 共 30 页9．（本题 3分）小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童 闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影中选取 两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机 抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是（ ） 1 1 1 1 A． B． C． D． 6 15 18 30 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形ABCD的两条对称轴，边BC，CD 分别与x轴、y轴交于点E 和F，以E为旋转中心，将矩形ABCD绕点E 顺时针旋转，使AB的对应   边且 AB经过点F．若点C 的坐标 2 3,2 ，则点 A的坐标是（ ）         A． 3,2 3 B． 3, 3 C．  3,3 D．  3,5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（本题 3分）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁 的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用 51 51 数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数．请比较大小： 1（用“”、 2 2 “”或“”填空） 12．（本题 3分）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形， 第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中 小正方形的个数为 （用含n的代数式表示）． 第 3 页 共 30 页13．（本题3分）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型 参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物， 已知A款吉祥物的单价比B 款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A 款吉祥物的数量与花 600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元． 14．（本题3分）如图，在VABC中，ABC90， AB2 ，BC 4．在BC的上方作△BCD，使BDBC， BD交AC于点E．若DA，则AE的长为 ． 3 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y x3分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB 4 为边作菱形ABCD，其中点D在x轴的正半轴上，点C在第一象限内，则点C的坐标为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题 10分）（1）计算：12025π20 25 32  1 1  x 2 （2）化简：    x1 x1 x2 1 17．（本题7分）山西老陈醋已经有3000 年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售5.2 度和 6.0 度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元， 则该专卖店最少售出 度的陈醋多少桶？ 6.0 第 4 页 共 30 页类别 单价 5.2度 40元/桶 6.0 度 48元/桶 18．（本题10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）将于 2025年6月12日-14 日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取了七、八年级的部分 同学进行了“国防知识知多少”的测试，规定满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 a 8 c 72.5% 八年级 8.375 b 9 d 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a___________，b___________，c___________，d ___________． (2)小颖同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认 为小颖同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由． (3)若该校七年级共有 600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数 的人数． 第 5 页 共 30 页19．（本题7分）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈 尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根 据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． (1)若商家决定降价销售，设每件降价 x元(x0)，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； (2)在（1）条件下，若商家要想获利 3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多 少元？ 20．（本题7分）山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、 塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利 用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 如图，测量小组使无人机在点 A 处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点 B 测量过程 处，在点 B 处测得塔顶D的俯角为19，然后沿水平方向向左飞行至点C处， 在点C处测得塔顶D和点 A 的俯角均为45 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E 在同一水平线上， DE AE 请根据上述报告数据，求应县木塔DE的高度．（结果精确到1m；参考数据：sin190.33，cos190.95， tan190.34） 第 6 页 共 30 页21．（本题 9分）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 运用“坐标法”解决几何问题“坐标法”是一种重要的数学方法，常常用代数知识解决几何问题．其 步骤如下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图 形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案． 如图1，在边长为 6的正方形ABCD中，点E，F 分别在BC，CD上，BC3BE且BECF，AE BF ， 垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为______． 解：如图2，以 B 为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 四边形ABCD是正方形，边长为6， ABBC6，ABEBCF 90． BC3BE，BECF， BE CF 2， E(2,0)，F(6,2)，A(0,6)，D(6,6)． 设直线AE的表达式为y axb， 2ab0 a3 则 ，解得 ， b6 b6 直线AE的表达式为y3x6． 1 设直线 BF 的表达式为ycx，则26c，解得c ， 3 1 直线 BF 的表达式为y x． 3  9 y3x6, x ,    5 由 1 得 ，  y 3 x,  y 3 ,  5 9 3 G ,  ． 5 5 O为BD中点， 第 7 页 共 30 页O(3,3)， 2 2  9  3 6 5 OG 3  3   ．  5  5 5 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系。 任务： (1)上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有______（多选）． A．统计思想 B．数形结合思想 C．函数思想 D．转化思想 (2)请用“坐标法”解答以下问题： 如图，在正方形ABCD中，AB8，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CEDF 4，G为EF的 中点，连接AC，BD相交于点O，连接OE交CD于点 H ，连接GH ，求GH 的长． 22．（本题 12分）综合与实践 问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部 分），下部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛 物线的圆窗内部设计窗棂，已知圆窗的跨度 AB4 5 ，高MN 5． 设计效果 1：如图1，四边形EFCD，四边形HICG，四边形DJKL为正方形，且点I，C，D，L 在AB 上，点H，F，E，K 在抛物线上，点G在CF上，点J在DE上，整体图形关于抛物线的对称轴直 线MN成轴对称图形． 第 8 页 共 30 页问题解决 1：以AB所在直线为x轴，MN所在直线为y 轴建立平面直角坐标系． （1）在图 1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）分别求出线段CD， DL 的长； 设计效果 2：在正方形CDEF内部，通过增加 12条窗棂构造出如图2所示的图案，其中以点C，D， E，F 为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方 形， 问题解决 2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值． 23．（本题13分）综合与探究 如图，抛物线yax2bx2经过点A3，0，B1，0，与y轴交于点C，作直线AC． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P 是抛物线yax2bx2上的一点，设点 P的横坐标为m(3m0)，APC的面积为S，求S 关于m的函数表达式．当 m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线yax2bx2上的一点，过点M作MNBC交x 轴于点N，是否存在点M，使 得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说 明理由． 第 9 页 共 30 页2025年中考押题预测卷（山西卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题3分）据统计，2024直播电商月实现网络零售额超408亿元，表现亮眼，408亿用科学 记数法表示为（ ） A． 408108 B．40.8109 C． 4.081010 D． 0.4081011 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 a10n的形式，其中1  a  10，n为 整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位 数相同． 【详解】解∶408亿408000000004.081010，故选∶C． 2．（本题3分）“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰 似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴 对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重 合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故 A选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故 D选项符合题意．故选：D． 3．（本题 3分）下列运算正确的是（ ） A． 2m3m5m2 B． 4m22 8m4 C．x2y12xyx D．3a22 9a24 【答案】C 第 10 页 共 30 页【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式，据此相关性质内 容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 2m3m5m5m2，故该选项不符合题意； B、 4m22 16m4 8m4，故该选项不符合题意； C、x2y12xyx，故该选项符合题意； D、3a22 9a212a4 ，故该选项不符合题意；故选：C 4．（本题 3分）小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、 粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着 吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图是从上面看得到的图形，如图 ；故选：A． 5．（本题3分）如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n 形成的锐角为23．一支激光笔从点 A 处发出的光束投射到平面镜上的点 B 处，反射光束投射到挡 板m上的点C处．设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若DBF CBE52，则BCD的度 数为（ ） A．75 B．76 C．104 D．105 第 11 页 共 30 页【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长CB交n于K，由三角形的外角性质得 到CKLFBKEFK 75，由平行线的性质推出BCDCKL75． 【详解】解：延长CB交n于K， ∵平面镜EF 与挡板n形成的锐角为23， ∴EFK 23， ∵FBK CBE52， ∴CKLFBKEFK 75， ∵m∥n， ∴BCDCKL75．故选：A． 6．（本题3分）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种 金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：℃）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下 该导体的电阻进行了记录，如下表： t（℃） 0 10 20 30 40 R 5 5.08 5.16 5.24 5.32 则R 与t 之间的关系式为（ ） A．R0.08t5 B．R0.008t5 C．R10t5 D．R0.08t5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用等知识点，先根据表中数据利用待定系数法，熟练 掌握一次函数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：℃）之间存在一次函数关系， ∴设Rktb, b5 k 0.008 将表中数值代入得，∴ ,∴ ， 10kb5.08 b5 ∴R0.008t5，故选：B． 7．（本题3分）如图，正五边形ABCDE的内切圆O分别切AB，CD于点M ，N ．若 P 为优弧MN 上的一点，连接MP，NP，则MPN等于（ ） 第 12 页 共 30 页A．144 B．72 C．54 D．80 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和、圆的切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切 线的性质和圆周角定理是解题关键．连接OM,ON ，先根据正五边形的内角和可得BC108，再 根据圆的切线的性质可得OMBONC90，然后根据五边形的内角和可得O的度数，最后根据圆 周角定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接OM,ON ， ∵五边形ABCDE是正五边形， 18052 ∴BC  108， 5 ∵正五边形ABCDE的内切圆O分别切AB，CD于点M ，N， ∴OM AB，ON CD， ∴OMBONC90， ∴在五边形BCNOM 中，O18052BCOMBONC144， 1 由圆周角定理得：MPN  O72，故选：B． 2 3 8．（本题3分）若点Ax ,y ,Bx ,y ，C6,y 三点都在反比例函数y 的图象上，其中x x 0， 1 1 2 2 3 x 1 2 则y ，y ，y 的大小关系为（ ） 1 2 3 A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 2 1 3 1 2 3 3 1 2 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出函数 图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论，熟知反比例函数函数图象上各点 的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 第 13 页 共 30 页3 【详解】解：∵反比例函数y 中， x k 30， ∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， x  x 0， 1 2 ∴Ax ,y ,Bx ,y ，在第二象限，点C6,y 在第四象限， 1 1 2 2 3 y  y  y ，故选：D． 3 1 2 9．（本题 3分）小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童 闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影中选取 两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机 抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是（ ） 1 1 1 1 A． B． C． D． 6 15 18 30 【答案】B 【分析】本题考查列表法或画树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有等可能出现的结果是 正确解答的关键．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 先列表共有 30种等可能的结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种，再由概率公 式求解即可． 【详解】解：把《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》 《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影卡片分别记为A、B、C、D、E、F， 列表如下： 第二张 第一张 A B C D E F A B,A C,A D,A E,A F,A B A,B C,B D,B E,B F,B C A,C B,C D,C E,C F,C D A,D B,D C,D E,D F,D 第 14 页 共 30 页E A,E B,E C,E D,E F,E F A,F B,F C,F D,F E,F 共有 30种等可能结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种， 2 1 ∴小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是P   ．故选：B． B,F 30 15 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形ABCD的两条对称轴，边BC，CD 分别与x轴、y轴交于点E 和F，以E 为旋转中心，将矩形ABCD绕点E顺时针旋转，使AB的对应   边且 AB经过点F．若点C 的坐标 2 3,2 ，则点 A的坐标是（ ）         A． 3,2 3 B． 3, 3 C．  3,3 D．  3,5 【答案】D 【分析】设 AB与x轴的交点为M，过 A点作AN  y轴于点N，先证明FMO≌EMBAAS，得到 2 3 4 3 FM EM ，设OM  x，FM ME y，根据题意，得x y2 3，x222  y2，解得x ,y ， 3 3 x 2 3 4 3 1 得到sinOFM     即OFM 30，利用三角函数解答即可． y 3 3 2 【详解】解：∵坐标轴刚好为矩形ABCD的两条对称轴，边BC，CD分别与x轴、y轴交于点E 和   F，点 C 的坐标 2 3,2 ， ∴OE 2 3,EC 2，OF 2， ∵以 E 为旋转中心，将矩形ABCD绕点E 顺时针旋转，使AB的对应边且AB经过点F． ∴FAFBOE  2 3，OF EB2， FOM EBM  设 AB与x轴的交点为M，过 A点作AN  y轴于点N，∵FMOEMB ，  OF BE ∴FMO≌EMBAAS， ∴FM EM ， 设OM  x，FM ME y， 第 15 页 共 30 页2 3 4 3 根据题意，得x y2 3，x222  y2，解得x ,y ， 3 3 x 2 3 4 3 1 ∴sinOFM     ， y 3 3 2 ∴OFM 30， ∴AFN 30， ∵FAFBOE  2 3， ∴AN FAsin30 3，FN FAcos303， ∴ON FNOF 5， ∵ A在第二象限，   ∴A  3,5 ，故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角函数 的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（本题 3分）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁 的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用 51 51 数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数．请比较大小： 1（用“”、 2 2 “”或“”填空） 【答案】 1 5 【分析】本题考查的是实数的大小比较，不等式的性质，由 2 53 可得  ，从而可得 2 2 答案． 【详解】解：∵ 2 53 ， ∴1 512， 1 5 ∴  ，故答案为： 2 2 第 16 页 共 30 页12．（本题 3分）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形， 第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中 小正方形的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】3n1 【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根 据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，以此即可找到图形 规律． 【详解】解：第 1个图案有4个正方形，即4430311， 第2 个图案有7个正方形，即7431321， 第3 个图案有10个正方形，即107432331， …… 以此类推，第n个图案有3n1个正方形，故答案为：3n1． 13．（本题3分）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型 参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物， 已知A款吉祥物的单价比B 款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A 款吉祥物的数量与花 600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元． 【答案】80 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A 款吉祥物的单价为x元，则 B 款吉祥物的单价为x20 元，根据“顾客花800元购买A 款吉祥物的数量与花 600元购买B款吉祥物的数量相同”列出分式 方程，解方程即可得解． 【详解】解：设 A 款吉祥物的单价为x元，则 B 款吉祥物的单价为x20元， 800 600 由题意可得：  ，解得：x80， x x20 经检验，x80是所列方程的解，且符合题意，故答案为：80． 第 17 页 共 30 页3 14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y x3分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB 4 为边作菱形ABCD，其中点D在x轴的正半轴上，点C在第一象限内，则点C的坐标为 ． 【答案】5,3 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出AB的长是解题的 关键．求出点A，B 的坐标，进而可得出OA，OB的长，在RtOAB中，利用勾股定理可求出AB的 长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 3 【详解】解：解：当x0时，y 033， 4 ∴点 B 的坐标为0,3 ∴OB3； 3 当y0时，0 x3，解得：x4， 4 ∴点 A 的坐标为4,0， ∴OA4， 在RtOAB中，OA4，OB3，AOB90， ∴ AB OA2 OB2  32 42 5 ， 又∵四边形ABCD为菱形， ∴BC  AB5， ∴C5,3 ；故答案为：5,3 ． 15．（本题3分）如图，在VABC中，ABC90， AB2 ，BC 4．在BC的上方作△BCD，使BDBC， BD交AC于点E．若DA，则AE的长为 ． 6 5 【答案】 11 第 18 页 共 30 页DF 【分析】过点D作DF  BC于点F ，交AC于点G，先解直角三角形可得tanBCD 2，设 CF CF xx0，则DF 2x，BF 4x，在 Rt△BDF 中，利用勾股定理可得x的值，从而可得CF,DF的 长，再解直角三角形求出GF,CG的长，从而可得AG,DG的长，然后证出 ABE∽GDE，利用相似三 AE AB 5 6 角形的性质可得   ，从而可得GE  AE ，代入AEGE AG计算即可得． GE GD 6 5 【详解】解：如图，过点D作DF  BC于点F ，交AC于点G， ∵在VABC中，ABC90， AB2 ，BC 4， BC AB 1 ∴ AC AB2BC2 2 5 ，tanA 2，tanÐACB= = ， AB BC 2 BC 4 2 5 ∴cosACB   ， AC 2 5 5 ∵BDBC，BC 4， ∴BD4，BCDBDC， ∵BDC A， ∴BCDA， ∴tanBCDtanA2， DF 在Rt△CDF中，tanBCD 2， CF 设CF xx0，则DF 2x，BF BCCF 4x， 在 Rt△BDF 中， BF2DF2 BD2，即4x22x2 42， 8 解得x 或x0（不符合题意，舍去）， 5 8 16 ∴CF  ，DF  ， 5 5 8 1 4 CF 4 5 在Rt△CFG中，GF CFtanACB   ， CG  ， 5 2 5 cosACB 5 12 4 5 6 5 ∴DG DF GF  ， AG ACCG2 5  ， 5 5 5 ∵DF  BC，ABC90，即ABBC， ∴AB∥DF ， ∴ ABE∽GDE， AE AB 2 5    ∴ GE GD 12 6 ， 5 第 19 页 共 30 页6 ∴GE  AE ， 5 6 5 又∵ AEGE  AG ， 5 6 6 5 ∴ AE AE  ， 5 5 6 5 6 5 ∴ AE  ，故答案为： ． 11 11 【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、 一元二次方程的应用等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关 键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题 10分）（1）计算：12025π20 25 32  1 1  x2 （2）化简：    x1 x1 x21 2 【答案】（1） 1 3 ；（2） x2 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是： （1）根据零指数幂的意义，算术平方根的定义，绝对值的意义等计算即可； （2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1）原式 1152 3 1 3； x1x1 x1x1 （2）原式  x1x1 x2 2 x1x1   x1x1 x2 2  ． x2 17．（本题7分）山西老陈醋已经有3000 年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售5.2 度和6.0度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元， 则该专卖店最少售出6.0度的陈醋多少桶？ 类别 单价 5.2度 40元/桶 6.0度 48元/桶 【答案】该专卖店最少售出6.0度的陈醋1000桶 第 20 页 共 30 页【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设该专卖店售出6.0度 的陈醋x桶，则售出5.2度的陈醋2000x桶，根据全部售出，且总销售收入不低于88000元建立不 等式，解不等式，求出x的最小正整数解即可得． 【详解】解：设该专卖店售出6.0度的陈醋x桶，则售出5.2度的陈醋2000x桶， 由题意得：402000x48x88000，解得x1000， ∵x为正整数， ∴x的最小值为1000， 答：该专卖店最少售出6.0度的陈醋1000 桶． 18．（本题10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）将于 2025年6月12日-14 日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取了七、八年级的部分 同学进行了“国防知识知多少”的测试，规定满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 a 8 c 72.5% 八年级 8.375 b 9 d 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a___________，b___________，c___________，d ___________． (2)小颖同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认 为小颖同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由． (3)若该校七年级共有 600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数 的人数． 【答案】(1)8.075，8.5，8，77.5%；(2)小颖同学可能是七年级的学生．理由见解析 (3)估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人． 【分析】本题考查了统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计 总体等知识是解答此题的关键． 第 21 页 共 30 页（1）根据平均数、中位数、众数的定义直接求解即可； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 4677158109410 【详解】（1）解：a 8.075， 4715104 因为七年级数据中，数据 8分出现15次，出现次数最多，所以这组数据的众数是8， 即c8， 1 因为八年级数据中，中间的两个数是 8，9，所以中位数b 898.5， 2 11146 d  100%77.5%， 40 故答案为：8.075，8.5，8，77.5%； （2）解：推测小颖同学可能是七年级的学生． 因为小颖的分数在年级属于中游略偏上，即小颖的分数大于或等于七年级的中位数，所以成绩在 中游略偏上，故答案为：七； 14 （3）解：由原数据可得七年级高于8.075的同学有14（人），600 210（人）， 40 估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人． 19．（本题7分）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈 尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根 据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． (1)若商家决定降价销售，设每件降价 x元(x0)，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； (2)在（1）条件下，若商家要想获利 3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多 少元？ 【答案】(1)y2002x；(2)这种玩偶每件应降价4元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是解题 的关键． （1）根据题意列函数解析式即可； （2）设这种玩偶每件应降价x元，根据题意列方程得20020x5035x3080，解得x1或x4， 为了让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价4元． 【详解】（1）解：根据题意：每件降价x元(x0)， 每日销量 y（件）与x（元）的函数关系式为y20020x； （2）解：设这种玩偶每件应降价x元， 根据题意列方程得20020x5035x3080，解得：x1或x4， 第 22 页 共 30 页为了让顾客获得更大实惠， 这种玩偶每件应降价4元． 20．（本题7分）山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、 塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利 用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 如图，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s 的速度竖直上升20s 飞行至点 B 处，在 测量过程 点 B 处测得塔顶D的俯角为19，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得 塔顶D和点A的俯角均为45 说明 点 A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， DEAE 请根据上述报告数据，求应县木塔DE的高度．（结果精确到1m；参考数据：sin190.33，cos190.95， tan190.34） 【答案】66m 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键． 根据题意求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出BC  AB，延长ED，交BC的延长线于点F ， 设DE  xm，则DF 136xm，求出CF的长，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如解图，延长ED，交BC的延长线于点F ，则四边形ABFE为矩形． EF  AB， 由题意，可知AB6.820136m， 在Rt△ABC中，ABC 90,ACB45， BC AB136m， 第 23 页 共 30 页设DE  xm，则DF 136xm， 在Rt△DFC中，DFC 90,DCF 45， CF DF 136xm， BF CFBC136x136272xm， DF 在RtBFD中，FBD19，tanFBD ， BF DF  BFtan19 0.34BF ， 136x0.34272x，解得x66， 答：应县木塔 DE 的高度约为66m． 21．（本题 9分）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 运用“坐标法”解决几何问题“坐标法”是一种重要的数学方法，常常用代数知识解决几何问题．其步骤如 下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图 形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案． 如图 1，在边长为6 的正方形ABCD中，点E，F 分别在BC，CD上，BC3BE且BECF，AE  BF ，垂 足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为______． 解：如图2，以 B 为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 四边形ABCD是正方形，边长为6，  ABBC6，ABEBCF  90 ． BC3BE，BECF， BE CF 2， E(2,0)，F(6,2)，A(0,6)，D(6,6)． 设直线AE的表达式为yaxb， 2ab0 a3 则 ，解得 ， b6 b6 直线AE的表达式为y3x6． 1 设直线 BF 的表达式为ycx，则26c，解得c ， 3 第 24 页 共 30 页1 直线 BF 的表达式为y x． 3  9 y3x6, x ,    5 由 1 得 ，  y 3 x,  y 3 ,  5 9 3 G ,  ． 5 5 O为BD中点， O(3,3)， 2 2  9  3 6 5 OG 3  3   ．  5  5 5 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系。 任务： (1)上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有______（多选）． A．统计思想 B．数形结合思想 C．函数思想 D．转化思想 (2)请用“坐标法”解答以下问题： 如图，在正方形ABCD中，AB8，点E，F 分别在BC，CD的延长线上，且CEDF4，G为EF 的 中点，连接AC，BD相交于点O，连接OE交CD于点 H ，连接GH ，求GH 的长． 【答案】(1)BCD；(2)2 5 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，正方形的性质，正确理解题意建立坐 标系是解题的关键． （1）根据材料中分析过程可知：运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化思想即可解 答； （2）仿照题意以B 为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，先分别求出E12，0，F8，12， A0，8，C8，0，再根据两点中点坐标公式得到O4，4，G10，6，求出直线OE的解析式，进而求出 点H的坐标，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据材料中分析过程可知运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化 思想，故选：BCD． 第 25 页 共 30 页（2）解：如图，以O为原点，过O点平行于BC的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 正方形ABCD的边长为8，CEDF4， E(8,4)，F(4,8)． G为EF的中点， G(6,2)． 设直线OE的表达式为ykx，将E(8,4)代入， 1 得8k 4，解得k  ， 2 1 直线OE的表达式为y x． 2 令x4得y2， H(4,2)． GH  (64)2[2(2)]2 2 5 ． 22．（本题 12分）综合与实践 问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部 分），下部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛 物线的圆窗内部设计窗棂，已知圆窗的跨度AB4 5，高MN 5． 设计效果 1：如图1，四边形EFCD，四边形HICG，四边形DJKL为正方形，且点I，C，D，L在AB 上，点H，F，E，K 在 抛物线上，点 G在CF上，点J在DE上，整体图形关于抛物线的对称轴直线MN成轴对称图形． 问题解决 1：以AB所在直线为x轴，MN所在直线为y 轴建立平面直角坐标系． （1）在图 1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）分别求出线段CD， DL 的长； 设计效果 2：在正方形CDEF内部，通过增加 12条窗棂构造出如图2所示的图案，其中以点C，D， E，F 为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方 形， 第 26 页 共 30 页问题解决 2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值． 1   【答案】问题解决1：（1）画图见解析，y x2 5 2 5  x2 5 ；（2）CD4， DL4 24 ； 4 问题解决2：20 【分析】问题解决 1：（1）以AB所在直线为x轴，MN所在直线为y轴建立平面直角坐标系，由题 意可得A  2 5,0  ，B  2 5,0  ，M0,0，N0,5，设抛物线的函数表达式为yax25a0，利用待 定系数法求解即可； d  d  d  d  （2）设CDd，DLe，由正方形的性质结合对称性可得则D ,0 ，E ,d ，L e,0 ，K e,e ， 2  2  2  2  再代入抛物线的解析式计算即可得解； 问题解决 2：由（2）可得正方形EFCD的边长为4，设已知图2中最小正方形的边长为0.5k（k为 整数），中间一个较大的正方形的边长为m，12条窗棂长度和为S，由题意可得它们是全等的正方 4m 4m 4m  形，边长为 0.5k，这里 0.5k 2，从而得出S 4m8 0.5k4k16，再由一次函 2 2  2  数的性质即可得解． 【详解】问题解决 1：（1）以AB所在直线为x轴，MN所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图 所示： ， ∵圆窗的跨度AB4 5 ，高MN 5， ∴A  2 5,0  ，B  2 5,0  ，M0,0，N0,5， 设抛物线的函数表达式为yax25a0， 把B  2 5,0  代入得：0a  2 5 2 5， 1 解得：a ， 4 1   ∴抛物线的函数表达式为y x25 2 5 x2 5 ； 4 （2）∵四边形EFCD、DJKL为正方形，且圆窗的窗棂设计具有对称的特点， d  d  d  d  ∴设CDd，DLe，则D ,0 ，E ,d ，L e,0 ，K e,e ， 2  2  2  2  ∵E、K在抛物线上， 2 2 1 d 1 d  ∴d    5，e  e 5， 4 2 4 2  第 27 页 共 30 页解得：d 4或d 20（不符合题意，舍去）； e44 2 或 e44 2 （不符合题意，舍去） ∴CD4， DL4 24 ； 问题解决 2：由（2）可得正方形EFCD的边长为4， 设已知图 2中最小正方形的边长为0.5k（k为整数），中间一个较大的正方形的边长为m，12条窗 棂长度和为S， ∵在正方形CDEF内部，以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形， 4m 4m ∴它们是全等的正方形，边长为 0.5k，这里 0.5k 2， 2 2 4m  ∴S 4m8 0.5k4k16，  2  ∵40，k为正整数， ∴S随着k的增大而增大， ∴当k 1时，S取得最小值，最小值为411620， 即12条窗棂长度和的最小值为20． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并 灵活运用是解此题的关键． 23．（本题 13分）综合与探究 如图，抛物线yax2 bx2经过点A3，0，B1，0，与y 轴交于点C，作直线AC． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P 是抛物线yax2 bx2上的一点，设点 P 的横坐标为m(3m0)，APC的面积为S，求S 关于m的函数表达式．当 m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线yax2 bx2上的一点，过点 M作MN BC交x 轴于点N，是否存在点M，使 得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说 明理由． 2 4 3 9 【答案】(1)y x2 x2；(2)当m 时，S有最大值，S的最大值为 3 3 2 4 第 28 页 共 30 页(3)存在，点M的坐标为2，2或  1 7 ，2  或  1 7 ，2  【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案； （2）过点P 作x轴的垂线交线段AC于Q，再根据S OAPQ，根据二次函数的性质即可得答案； APC （3）分两种情况：①当四边形BCMN 为平行四边形时，②当四边形BCNM 为平行四边形时，分别 求解即可得答案．  2 a 【详解】（1）将点A3，0，B1，0代入yax2bx2得，   9a3b20 ，解得    3 ，  ab20  b 4  3 2 4 ∴该抛物线的解析式为y x2 x2； 3 3 （2）过点 P 作PQ x轴，交AC于点Q， 2 4 如图，抛物线y x2 x2与y轴交点C0，2， 3 3  2 3kt0 k  设直线AC的解析式为ykxt，则 ，解得 3，  t2  t 2 2 ∴直线AC的解析式为y x2， 3  2 4   2  设Pp， p2 p2 ，则Qp， p2 ，  3 3   3  2 2 4  2 ∴PQ p2 p2 p2 p22p， 3 3 3  3 2 1 1  2   3  9 ∴APC的面积为S  OAPQ 3 p2 2pp   ， 2 2  3   2  4 3 9 ∴当m 时，S 有最大值，S的最大值为 ； 2 4 （3）存在． ①如图 2，当四边形BCMN 为平行四边形时，CM BN ． 2 4 ∵抛物线y x2 x2的对称轴为直线x1，点C0，2． 3 3 第 29 页 共 30 页∴点M2，2； ②如图 3，当四边形BCNM 为平行四边形时，过点M作MQ x轴于点Q． ∵BCMN，BCMN， ∴MNQCBO． ∵MQN COB90， ∴MNQ≌CBOAAS， ∴NQOB1，MQOC 2．  2 4  设点Mn，n2 n2 ，  3 3  2 4 ∴ n2 n22，解得n 1 7，n 1 7， 3 3 1 1     ∴点M 1 7，2 或M 1 7，2 ， 综上所述，点 M的坐标为2，2或  1 7，2  或  1 7，2  ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等 三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关 键． 第 30 页 共 30 页