2025中考数学押题预测卷（广东卷）_幼小初教辅资料_中考_2025中考各科押题卷+模拟卷（含全国）

2025年中考押题预测卷（广东省卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，是负数的是（ ） A．2 B． 2 C．-(-2 ) D．22 2．随着Ai 技术的普及，出现了很多“现象级”Ai应用，以下是一些常见Ai应用的logo图案，其中 是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃 用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ） A． 33.7106 B． 3.37106 C． 3.37107 D． 0.337107 4．如图，直线ab，矩形ABCD的顶点 A 、D分别在直线b、a上，若241，则1的度数为 （ ） A．41 B．51 C．49 D．59 5．下列运算正确的是（ ） 第 1 页 共 27 页A． 2m2m2 3m4 B． 2m2 4m2 8m2 C．m5m3 m2 D． 3n22 3n4 6．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅 游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地 方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、 广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（ ） A．1 B． 1 C． 1 D． 2 2 10 5 5 7．如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是（ ） A．6 B．8 C．12 D．24 8．若点A3,y ，B2,y ，C2,y 在二次函数yax12（a0）的图象上，则y ，y ，y 的大 1 2 3 1 2 3 小关系是（ ） A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2 9．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参 观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学 生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ） 12 12 12 12 12 12 12 12 A．  1 B．  1 C．  1 D． 1 x 1.5x 1.5x x x 1.5x 1.5x x 10．如图是关于x 的函数ykxbk 0的图象，则不等式kxb0的解集在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 第 2 页 共 27 页11．一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是 ． 3x 3 12．化简：  的结果为 ． 1x 1x 13．关于x的一元二次方程 2x24xm0 有两个不同的实数根，则m的取值范围是 ． 2x1x1, 14．若关于x的不等式组 的解集为x1，则a的取值范围是 ． 3x2x2a 15．如图，在菱形ABCD中， AB2 3 ，ABC120，把菱形ABCD绕着顶点A逆时针旋转30得到 菱形 ABCD，点C的运动轨迹为弧CC，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤） 1 1 16．计算：702sin45 8   3 17．如图，在ABC中，C 90． (1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AC2BC8，求AD的长． 18．如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放， 右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F 靠在书架右侧，顶点C靠在档 案盒上，若书架内侧BG长为60cm，CDE53，档案盒长度AB35cm．（参考数据：sin530.80， cos530.60，tan531.33） 第 3 页 共 27 页(1)求ED的长度； (2)求每一个档案盒的厚度； (3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤） 19．某教育平台推出 A ， B 两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了 A ， B 两款人工智能学习 辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x 表示，分为以下四个等级：不满意(60x70)，比较满意(70x80)，满意(80x90)，非常满意 (90 x100)，下面给出了部分信息： 抽取的对 A 款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85， 85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对 B 款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，86，87，88，88，88，89， 90． ， 两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 A B 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 85.5 a 96.6 B 86 86.5 88 69.8 款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图 B 第 4 页 共 27 页根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a______，m______； (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由 即可）； (3)本次调查中，若有800名用户对 A 款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对 B 款 人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对 ， 两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户 A B 总人数． 20．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口 A 位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m， 过点 A 作OABC ，垂足为O，OB0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口 A 发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓 球与出球口 A 的水平距离为x m，到桌面的高度为y m，在桌面上的落点为D，经测试，抛物线 L的解析式为yax120.45，且当x2时，y0.25． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)桌面正中间位置安装的球网GH 的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶 端H的距离约为多少？ 1 (3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L：y 3x px3.5的路线运动，小明拿球拍EF 与 2 桌面夹角为60接球，球拍击球面的中心线EF 长为0.16m，下沿E在x轴上，假设拋物线L，L与EF 在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C 右侧），直接写出： ①点为D的坐标为__________； ②球拍到桌边的距离CE的最大值是__________，CE的最小值是__________． 第 5 页 共 27 页21．综合与实践 【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳 【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮 【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否 稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． (1)如图1，若圆形车轮直径为6cm，其车轮轴心O到地面的距离始终为______cm； (2)如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心O（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边 长为6cm，车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差为_____cm； (3)如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心O（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化， 若等边三角形边长为6cm，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长． 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤） 22．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30的三角板开展 数学探究活动，两块三角板分别记作 ADB和 ADC ，ADBADC90，BC 30， AB2 ． 【操作探究】如图1，先将 ADB和△ADC的边AD、AD重合，再将△ADC绕着点A 按顺时针方 向旋转，旋转角为0180，旋转过程中 ADB保持不动，连接BC（如图2）． (1)当60时，求BC的长度； 第 6 页 共 27 页(2)如图3，当 BC 2 2 时，求的度数； (3)取BC的中点O，点P 是平面内某个定点，连接OP，在运动过程中OP的长是个定值，点 P 的位 置是______，这个定值为______，运动开始后AOD______． 23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩 1 3 形ABCD的“友好函数”，例如：如图1，矩形ABCD，经过点A1,1和点C3,3的一次函数y x 2 2 是矩形ABCD的“友好函数”． k (1)如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A2,1，B6,1，C6,3，D2,3，反比例函数y x0经 x k 过点B，求反比例函数y x0的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； x (2)矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥ y轴，且点A 的坐标为1,2，正比例函数y ax经过点 1 k A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y  x0经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． 2 x ①如图3，当OC OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B 的对应点为E，若点E 落在y 轴上，求k 的值； ②设矩形ABCD的周长为 y，求y 关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y 4时，设矩形ABCD的面积为S ；当矩形ABCD的周长y8 1 时，设矩形ABCD的面积为S ，请直 ． 接 ． 写出S S 的值． 2 2 1 第 7 页 共 27 页2025年中考押题预测卷（广东省卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，是负数的是（ ） A．2 B． 2 C．-(-2 ) D．22 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，正确的计算是解题的关键．根 据求绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，将各数化简，即可求解． 【详解】解：A、2是负数，符合题意；B、 2 2，是正数，不符合题意； C、22，是正数，不符合题意；D、22 4，是正数，不符合题意；故选：A． 2．随着Ai 技术的普及，出现了很多“现象级”Ai应用，以下是一些常见Ai应用的logo图案，其中 是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋 转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是 它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；B．不是中心对称图形，故B 不符合题意； C．不是中心对称图形，故 C不符合题意；D．是中心对称图形，故D符合题意．故选：D． 3．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃 用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ） A． 33.7106 B． 3.37106 C． 3.37107 D． 0.337107 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其形式，确定a,n的值的方法是关键． 科学记数法的表示形式为a10n 1 a 10 ，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把 原数变为a时，小数点向左移动位数即为 n的值，当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小 数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 第 8 页 共 27 页【详解】解：3370万337000003.37107，故选：C ． 4．如图，直线ab，矩形ABCD的顶点 A 、D分别在直线b、a上，若241，则1的度数为 （ ） A．41 B．51 C．49 D．59 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等求解． 【详解】解： 直线ab，1241．故选：A． 5．下列运算正确的是（ ） A． 2m2m2 3m4 B． 2m2 4m2 8m2 C．m5m3 m2 D． 3n22 3n4 【答案】C 【分析】此题主要考查了合并同类项以、同底数幂的除法、积的乘方及单项式乘单项式运算，正确 掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项以、同底数幂的除法、积的乘方及单项式乘单 项式运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、 2m2m2 3m2，故此选项错误；B、 2m24m2 8m4，故此选项错误； C、m5m3 m2，故此选项正确；D、 3n22 9n4，故此选项错误．故选：C． 6．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅 游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地 方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、 广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（ ） A．1 B． 1 C． 1 D． 2 2 10 5 5 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 第 9 页 共 27 页【详解】解：设广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州 陈家祠分别为A,B,C,D,E，可列表为： A B C D E A B,A C,A D,A E,A B A,B C,B D,B E,B C A,C B,C D,C E,C D A,D B,D C,D E,D E A,E B,E C,E D,E 由列表可得总共有20种等可能得结果，其中恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠有2种， 2 1 ∴恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率为：  ，故选：B． 20 10 7．如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是（ ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和三角形的面积和二次根式的混合运算，掌握算术平方根和二次根 式的运算是解题的关键． 由题意得出大、小正方形的边长，再求出 AE2 2 ，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积， 再代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可得出答案． 【详解】解：∵大正方形面积为32，小正方形的面积为8， ∴大正方形边长BC为 4 2 ，小正方形的边长BD为 2 2 ， ∴ AE4 22 2 2 2 ， 1 1  BCAE BDAE 2 2 1  AEBCBD 2 第 10 页 共 27 页1    2 2 4 22 2 2 12 ． 故选：C． 8．若点A3,y ，B2,y ，C2,y 在二次函数yax12（a0）的图象上，则y ，y ，y 的大 1 2 3 1 2 3 小关系是（ ） A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴， 根据 A ， B ，C三点到对称轴的距离大小关系求解．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关 系． 【详解】解： yax12（a0）， 抛物线开口向下，对称轴为直线x1， 1(2)1(3)2(1) ， y  y  y ，故选：D． 3 1 2 9．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参 观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学 生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ） 12 12 12 12 12 12 12 12 A．  1 B．  1 C．  1 D． 1 x 1.5x 1.5x x x 1.5x 1.5x x 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速 度是每小时1.5x公里，根据学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，孔子和学生们同时到达 书院，列出分式方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里， 12 12 由题意得：  1，故选：A． x 1.5x 10．如图是关于x 的函数ykxbk 0的图象，则不等式kxb0的解集在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 第 11 页 共 27 页【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合的思想方法．从图象可以得 到函数的增减性以及与x轴的交点，从而得到kxb0的解集． 【详解】解：函数ykxbk 0的图象，与 x轴的交点是2,0，且函数值y随自变量x的增大而 增大， ∴不等式kxb0的解集是x2．故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是 ． 【答案】4.5 【分析】本题主要考查了中位数，中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序 排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数 是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：把这些数从小大排列为3，4，4，5，6，6，最中间两个数是4和5， 45 则中位数是 4.5．故答案为：4.5． 2 3x 3 12．化简：  的结果为 ． 1x 1x 【答案】3 【分析】本题考查的是同分母分数的减法，根据分母不变，把分子相减再约分即可． 3x 3 3x3 31x 【详解】解：    3，故答案为：3 1x 1x 1x 1x 13．关于x的一元二次方程 2x24xm0 有两个不同的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】m2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当判别式为正时，方程有两个不相等的实数根，掌 握一元二次方程根的判别式是解题的关键；据此即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 2x24xm0 有两个不同的实数根， ∴4242(m)0， 解得：m2；故答案为：m2． 2x1x1, 14．若关于x的不等式组 的解集为x1，则a的取值范围是 ． 3x2x2a 1 【答案】a 2 第 12 页 共 27 页【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根 据不等式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 2x1x1① 【详解】解： 3x2x2a② 解不等式①得：x1， 解不等式②得：x2a， 2x1x1, ∵关于x的不等式组 的解集为x1， 3x2x2a ∴2a1， 1 ∴a ， 2 1 故答案为：a ． 2 15．如图，在菱形ABCD中， AB2 3 ，ABC120，把菱形ABCD绕着顶点A逆时针旋转30得到 菱形 ABCD，点C的运动轨迹为弧CC，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 33 3/3 33 【分析】连接BD,交AC于点O,由菱形的性质求出BO，AC，以及S ，由旋转的性质求出 ABC S ABC S   ABC 3 3，再根据S 阴影 S 扇形CAC S ABC 可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ABBC 2 3,ADBC， BADABC 180, ABC 120, BAD60, AC是菱形ABCD的对角线， BACDAC30 连接BD,交AC于点O，则BD AC 第 13 页 共 27 页1 1 BO AB 2 3 3,AC 2AO 2 2 由勾股定理得， AO AB2BO2   2 3 2   3 2  3 AC2AO236 1 1 S  ACBO  6 3 3 3 ABC 2 2 由旋转得，ABC≌ABC AC  AC 6,CAC BAC 30,S S 3 3 ABC ABC ∴S S S 阴影 扇形CAC ABC 30π62  3 3 360 3π3 3 故答案为：3π3 3． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤） 1 1 16．计算：702sin45 8   3 【答案】 4 2 【分析】根据零指数幂公式，算术平方根，负整数指数幂公式，特殊角的正弦函数，解答即可． 1 1 【详解】解：702sin45 8   3 2 12 2 23 2 4 2 ． 【点睛】本题考查了零指数幂公式，算术平方根，负整数指数幂公式，特殊角的正弦函数，熟练掌 握公式和运算法则是解题的关键． 17．如图，在ABC中，C 90． 第 14 页 共 27 页(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AC2BC8，求AD的长． 【答案】(1)作图见解析；(2)AD的长为5． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解 题的关键． （1）根据尺规作图的方法步骤即可求解； （2）由垂直平分线的性质可得ADBD，则有AC  ADCDBDCD，再求出BC 4，设BD ADx， 则CD8x，然后通过勾股定理得 BD2 CD2BC2，代入求值即可． 【详解】（1）解：如图，作线段AB的垂直平分线，交AC于点D， ∴点D即为所求； （2）解：由作图可知，线段AB的垂直平分线， ∴ADBD， ∴AC  ADCDBDCD， ∵AC2BC8， ∴BC 4， 设BD ADx，则CD8x 在Rt△BCD中，由勾股定理得， BD2 CD2BC2， 即x2 (8x)242 ， 解得x5， ∴AD的长为5． 18．如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放， 右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F 靠在书架右侧，顶点C靠在档 案盒上，若书架内侧BG长为60cm，CDE53，档案盒长度AB35cm．（参考数据：sin530.80， cos530.60，tan531.33） 第 15 页 共 27 页(1)求ED的长度； (2)求每一个档案盒的厚度； (3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 【答案】(1)21cm；(2)5cm；(3)该书架中最多能放12个这样的档案盒 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据DECD·cos53，即可求解； （2）DGF CDF 90，则FDG180CDECDF 37，推出DFG53，设每一个档案盒 的厚度为xcm，则DGDF·sin530.8x，根据“书架内侧BG长为60cm”，列方程即可求解； （3）用书架的总长度除以每一个档案盒的厚度即可求解． 【详解】（1）解：在RtCDE中，CDE53，CD AB35cm， DECD·cos53350.621cm， ED长度约为21cm； （2）如图，由题意得：DGF CDF 90， CDE53， FDG180CDECDF 37， DFG90FDG53， 设每一个档案盒的厚度为xcm， 在RtDFG中，DF xcm， DG DF·sin530.8x（cm）， 由题意得：7x0.8x2160， x5， 即每一个档案盒的厚度为5cm； （3）60512（个），该书架中最多能放12个这样的档案盒． 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤） 19．某教育平台推出A， B 两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A， B 两款人工智能学习 辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x 第 16 页 共 27 页表示，分为以下四个等级：不满意(60x70)，比较满意(70x80)，满意(80x90)，非常满意 (90 x100)，下面给出了部分信息： 抽取的对 A 款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85， 85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对 B 款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，86，87，88，88，88，89， 90． ， 两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 A B 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 85.5 a 96.6 B 86 86.5 88 69.8 款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图 B 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a______，m______； (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由 即可）； (3)本次调查中，若有800名用户对 A 款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对 B 款 人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对 ， 两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户 A B 总人数． 【答案】(1)85，20；(2)B 款人工智能软件更受用户欢迎，见解析；(3)440 名 【分析】本题主要考查了扇形统计图，众数，用样本估计总体，方差等等，正确读懂统计图是解题 的关键． （1）根据众数的定义可求出 a的值，用1减去B 的评分数据中不满意，满意和比较满意的百分比 即可求出m的值； （2） B 款的方差小于 A 款的方差，则 B 款人工智能软件比较稳定，据此可得答案； （3）分别求出 A ， B 两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户人数，再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵A 的评分数据中，评分为85分的人数最多， 第 17 页 共 27 页∴A的评分数据的众数为85分，即a= 85， 8 m%110%30% 100%20% ， 20 ∴m20；故答案为：85，20； （2）解； B 款人工智能软件更受用户欢迎．理由如下： A 款和 B 款的平均数相同， B 款的方差小于 A 款的方差， B 款人工智能软件比较稳定， 6 B 款人工智能软件更受用户欢迎；（3）解：800 240（名），100020%200（名）， 20 240200440（名）． 答：其中对 A 、 B 两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为 440名． 20．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口 A 位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m， 过点 A 作OABC ，垂足为O，OB0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口 A 发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓 球与出球口 A 的水平距离为x m，到桌面的高度为y m，在桌面上的落点为D，经测试，抛物线 L的解析式为yax120.45，且当x2时，y0.25． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)桌面正中间位置安装的球网GH 的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶 端H的距离约为多少？ 1 (3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L：y 3x px3.5的路线运动，小明拿球拍EF 与 2 桌面夹角为60接球，球拍击球面的中心线EF 长为0.16m，下沿E在x轴上，假设拋物线L，L与EF 在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C 右侧），直接写出： ①点为D的坐标为__________； ②球拍到桌边的距离CE的最大值是__________，CE的最小值是__________． 【答案】(1)y0.2x120.45；(2)乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端 H 的距离为 5  0.268m；(3)①D ,0 ，②0.73，0.45． 2  【分析】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，求二次函数关系式，掌握二次函数的图象 上点的坐标特征以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 第 18 页 共 27 页（1）把x2，y0.25代入yax120.45，然后即可求解y与x之间的函数关系式； （2）先求得OG=OB+BG=0.03+1.37=1.4m，然后当x1.4时，y0.418m，然后即可求解； （3）①根据y与x的函数关系式可求出点D的坐标； 1 ②根据乒乓球反弹后抛物线L：y 3x px3.5的关系式以及解直角三角形可求出CE的最大 2 值和最小值即可． 【详解】（1）解：把x2，y0.25代入yax120.45，解得：a0.2； ∴y0.2x120.45； 1 （2）解：由题意得，BG =CG = BC =1.37m， 2 ∴OG=OB+BG=0.03+1.37=1.4m， 当x1.4时，y0.21.4120.450.418m． ∴乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端 H 的距离约为0.418-0.15=0.268m． 答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为0.268m． 5 1 （3）解：①当y0时，即00.2x120.45，解得：x  ，x  ， 1 2 2 2 5  ∴由题意可得D ,0 ； 2  ②由（1）得：OD2.5m， 1 5  ∵乒乓球反弹后沿抛物线L：y 3x px3.5的路线运动，而D ,0 ， 2 2  1 ∴0 32.5 p2.53.5，解得：p2.5． 2 1 ∴乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：y 3x2.5x3.5， 2 当乒乓球反弹后沿抛物线L过点E时（即此时抛物线L与x轴的右交点为点E）， 当y0时，x 2.5，x 3.5． 1 2 ∴CE=3.5-2.74-0.03=0.73m， 当乒乓球反弹后沿抛物线L过点F 时，过点F 作FM x轴于M ，如图： 在Rt△EFM 中，FEM 60，EF 0.16m， ∴EM  1 EF 0.08m， FM  3 EF0.08 3m ， 2 2 1 当y0.08 3时，即 3x2.5x3.50.08 3，解得：x 2.7（E在BC上舍去），x 3.3， 2 1 2 第 19 页 共 27 页即OM 3.3m， ∴CE=3.3-2.74-0.03-0.08=0.45m， ∴0.45CE0.73， ∴球拍到桌边的距离CE的最大值是0.73，CE的最小值是0.45． 21．综合与实践 【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳 【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮 【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否 稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． (1)如图1，若圆形车轮直径为6cm，其车轮轴心O到地面的距离始终为______cm； (2)如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心O（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边 长为6cm，车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差为_____cm； (3)如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心O（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化， 若等边三角形边长为6cm，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长．   【答案】(1)3；(2) 3 23 ；(3)4 3π 【分析】（1）利用圆的有关性质解答即可得到答案； （2）利用正方形的性质，轴心的运动轨迹的特征解答即可得到答案； （3）由题意画出符合题意的图形，类比得到点O的轨迹，再利用等边三角形性质、含30直角三角 形性质，解直角三角形求出相关线段长，再由圆的弧长公式解答即可得到答案． 【详解】（1）解：连接AO并延长交O于点 B ，如图所示： 车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变， 中轴心到地面的距离为6cm． 圆形车轮在滚动过程中，车轮轴心O到地面的距离始终不变等于圆的半径， 第 20 页 共 27 页车轮轴心O到地面的距离始终为3cm．故答案为：3； （2）解：过点O作OB AB于点 B ，以点 A 为圆心，OA为半径画弧交正方形的边于点C，如图所示： O为正方形的中心，OB AB， 圆心O距离地面的最低距离为OB3cm， 由题意知，在等腰RtAOB中， OA3 2cm ， 点O的移动轨迹为以点 A 为圆心，OA为半径的弧， 点C为车轮轴心O距离地面的最高点， ACOA3 2cm ，     车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差为ACOB 3 23 cm．故答案为： 3 23 ； （3）解：连接OA、 OA ，过点O作OC  AC于点C，如图所示： O为等边三角形的中心， CAOBAO30， O为等边三角形的中心， DAO30． BAD60， OAO120， OC AC ， 由等边三角形边长为6cm，可知AC 3cm， AC OA 2 3cm， cos30 120 4 3 OO的长 2π2 3 π ， 360 3 4 3 车轮在地面上无滑动地滚动一周，点O经过的路径长为 3 π4 3πcm ． 3 【点睛】本题主要考查综合与实践，涉及圆的有关性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰 直角三角形性质、含30直角三角形性质、解直角三角形及弧长公式，本题是探究型题目，熟练掌 握上述几何图形的性质是解题的关键． 第 21 页 共 27 页五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤） 22．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30的三角板开展 数学探究活动，两块三角板分别记作 ADB和 ADC ，ADBADC90，BC 30， AB2 ． 【操作探究】如图1，先将 ADB和△ADC的边AD、AD重合，再将△ADC绕着点A 按顺时针方 向旋转，旋转角为0180，旋转过程中 ADB保持不动，连接BC（如图2）． (1)当60时，求BC的长度； (2)如图3，当 BC 2 2 时，求的度数； (3)取BC的中点O，点P 是平面内某个定点，连接OP，在运动过程中OP的长是个定值，点 P 的位 置是______，这个定值为______，运动开始后AOD______． 【答案】(1)2；(2)30；(3)AB的中点；1；30 【分析】（1）根据题意可得BADDAC 60，从而得到当60时，点A,D,B共线，点A，D， C 共线，可证得V ABC是等边三角形，即可求解； 1 （2）过点A作AH BC于点H，根据等腰三角形的性质可得BH CH  BC 2，BAC2BAH ， 2 从而得到 AH  2 ，进而得到BAH 45，BAC 2BAH 90，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质可得AOB90，从而得到点O的运动轨迹为以AB为直径的圆，进而 1 得到点P的位置是AB的中点，这个定值为 AB1，再由ADB90，可得点D 在AB为直径的圆 2 上，然后圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ADBADC90，ABDACD30， ∴BADDAC 60， ∴当60时，点A,D,B共线，点A，D，C 共线， ∵AB AC， 第 22 页 共 27 页∴V ABC是等边三角形， ∴BC  AB2；故答案为：2; （2）解：如图，过点A 作AH BC于点H， ∵ABAC ， BC 2 2 ， 1 ∴BH CH  BC 2，BAC2BAH ， 2 ∴ AH  AB2BH2  2 ， ∴AH BH ， ∴BAH 45， ∴BAC 2BAH 90， ∴18030309030； （3）解：∵点O是BC的中点，AB AC， ∴AO BC，即AOB90， ∴点O的运动轨迹为以AB为直径的圆，如图， ∵运动过程中OP的长是个定值， 1 ∴点P的位置是AB的中点，且这个定值为 AB1， 2 ∵ADB90， ∴点D在AB为直径的圆上， ∴AODABD30，故答案为：AB的中点；1，30． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理， 图形的旋转，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，第（3）问得 到点O的运动轨迹为以AB为直径的圆是解题的关键． 第 23 页 共 27 页23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩 1 3 形ABCD的“友好函数”，例如：如图1，矩形ABCD，经过点A1,1和点C3,3的一次函数y x 2 2 是矩形ABCD的“友好函数”． k (1)如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A2,1，B6,1，C6,3，D2,3，反比例函数y x0经 x k 过点B，求反比例函数y x0的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； x (2)矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥ y轴，且点A 的坐标为1,2，正比例函数y ax经过点 1 k A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y  x0经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． 2 x ①如图3，当OC OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B 的对应点为E，若点E 落在y 轴上，求k 的值； ②设矩形ABCD的周长为 y，求y 关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y 4时，设矩形ABCD的面积为S ；当矩形ABCD的周长y8 1 时，设矩形ABCD的面积为S ，请直 ． 接 ． 写出S S 的值． 2 2 1 16 63k 0k 2 8 【答案】(1)是矩形ABCD的“友好函数”；(2)① ；②y ；③ 3 3k6 k 2 3 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断 D 在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即 可得出结论； （2）①求出正比例函数y2x，设点Cm,2m， 则B(m,2),D(1,2m)，则ABm1,BC 2m2，根据 折叠的性质得AEABm1，CEBC 2m2，BCOECO，延长BA交y轴与F，根据矩形的性质 和等腰三角形的性质和判定可得，AF 1，EF 2m4，根据勾股定理列方程并求出m，求出 B 点坐 标，即可求出k； ②分两种情况讨论，当OC OA时，即m1，当OCOA时，即0k2，再根据矩形周长公式求解 即可； ③分四种情况讨论，当0k2，且y63k 4时，当k 2，且y3k64时，当0k2，且 y63k 8时，当k 2，且y3k68时，根据矩形面积公式，求出S ,S ，即可求出S S 的值． 2 1 2 1 第 24 页 共 27 页k 【详解】（1）解：将点B6,1的坐标代入反比例函数表达式y 得：k 166， x 6 反比例函数的表达式为：y ， x 当x2时，y3， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形ABCD的“友好函数”； （2）解：①将点A1,2的坐标代入正比例函数表达式y ax得a2， 1 正比例函数表达式为y2x， 正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”， 点C在直线y2x上， 设点Cm,2m， 则B(m,2),D(1,2m)， ABm1,BC 2m2； 将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，点E 落在y 轴上， AEABm1，CEBC 2m2，BCOECO， 延长BA交y轴于F， 四边形ABCD是矩形， DAB90，BC∥AD， Q AD∥y轴， EFADAB 90 ，BC∥y， BCOEOC ， BCOECO， EOCECO， OECE2m2， Q AB∥x轴， F0,2，AF 1， OF 2， EFOEOF 2m 2 2 2m 4 ， 在RtAEF 中， AF2EF2 AE2， 第 25 页 共 27 页12m42 m12， 8 解得：m 或m2， 3 AE AF , m11， m2， 8 m ， 3 8 8  当m 时，B ,2 ， 3 3  8  k 16 把B ,2 代入反比例函数y 得，k  ； 3  x 3 ②当OC OA时，即m1， k 将点B(m,2)的坐标代入反比例函数表达式得k 2m，即m ，ABm1,BC 2m2， 2 y2ABBC6m63k6， m1， k 2， 当k 2时，y3k6， 当OCOA时，即0k2时，如图， 设点Cm,2m， 则B(m,2),D(1,2m)， AB1m,BC 22m； k 将点B(m,2)的坐标代入反比例函数表达式得k 2m，即m ， 2 y2ABBC66m63k， 当0k2时，y63k， 63k 0k 2 综上所述，y ， 3k6 k 2 2 1 ③当0k2，且y63k 4时，解得k  ，则m ， 3 3 2 4 AB1m ,BC 22m ， 3 3 第 26 页 共 27 页2 4 8 S ABBC   ， 1 3 3 9 10 5 当k 2，且y3k64时，解得k  ，则m ， 3 3 2 4 ABm1 ,BC 2m2 ， 3 3 2 4 8 S ABBC   ， 1 3 3 9 2 当0k2，且y63k 8时，解得k  ，不符合题意， 3 14 7 当k 2，且y3k68时， 解得k  ，则m ， 3 3 4 8 ABm1 ,BC 2m2 ， 3 3 4 8 32 S  ABBC    ， 2 3 3 9 32 8 8 S S    ． 2 1 9 9 3 第 27 页 共 27 页