2025中考数学押题预测卷（广州卷）_幼小初教辅资料_中考_2025中考各科押题卷+模拟卷（含全国）

2025年中考押题预测卷（广州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．四个有理数3，4，2.5，4，其中最小的数是（ ） A．3 B．4 C．2.5 D．4 2．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习 惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A． 如意纹 B． 冰裂纹 C． 盘长纹 D． 风车纹 3．若 ab，则下列各式中一定成立的是（ ） a b A．a3b3 B．a3b3 C．  D．3a3b 3 3 4．下列计算正确的是（ ） A． 2x3x5x2 B．(xy)2 x2y2 C． x6x2 x3 D．(2xy)2 4x2y2 5．深中通道于 2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长24千米，这一里程碑式的交通项目 为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而 行，已知甲车速度为85km/h，乙车速度为92km/h，甲车出发5千米后乙车才出发，设乙车出发x小 时后两车相遇，则可列方程为( ) 第 1 页 共 33 页A．85x92x24 B．85x92x524 C．92x85x24 D．85x92x245 6．如图，PA、PB是O的切线，切点分别为点A、B，点C为O上一点，P66，则C等于（ ） A．66 B．63 C．57 D．60 7．某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四 次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（ ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．第 2个月增长的“优秀”人数最多 C．从第1个月到第 4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．第 4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人 8．如图是我们生活中常见的标识简，可将其上半部分近似的看成一个底面半径为10cm，高为40cm 的圆锥，现要在该圆锥侧面贴一层反光膜（无缝隙与拼接），则反光膜面积为（ ） A． 50 17πcm2 B． 400πcm2 C． 100 17πcm2 D． 800πcm2 9．如图，菱形ABCD中，B=60，E是BC边上一点，F 是CD边上一点，EAF 60，连接EF交AC 于点G，若AB4，则下列结论错误的是（ ） 第 2 页 共 33 页A．EF的最小值为 2 3 B．CG的最大值为1 C．△CEF 面积的最大值是 3 D．EGGF的最小值是3 10．抛物线yax2bxc的对称轴直线x2．抛物线与x轴的一个交点在点4,0和点3,0之间， 其部分图象如图所示，下列结论中：①4ab0；②c3a；③关于x的方程 ax2bxc2 有两个不 相等实数根；④ b22b4ac ，正确的有（ ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共15分） 11．如图，乙地在甲地的北偏东50方向上，则1的度数为 ． 12．若2ab1，则4a2b1 ． 13．如图，从一个大正方形中截去面积为 15cm2和 27cm2的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的 面积为 cm2． 14．如图，在ABCD中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC 1 于M ，N两点；②以点M 和点N为圆心，大于 MN长为半径作弧，两弧交于点 P ；③作射线BP交 2 AD于点E，过E作EF BE交BC延长线于F ．若AB4，BC5，则CF  ． 第 3 页 共 33 页x2yx y 15．定义新运算：xΘy ，例如：434232 ，121223．若x117，则 x2 yx y x的值为 ． 16．记max{m,n}表示实数m 和n中的较大值，即若mn，则max{m,n}m，如max{1,2}2， max{6,6}6．在平面直角坐标系xOy中，A(4,1)，B(2,2)，则下列结论正确的是（将正确结论的 序号填在横线上） ． ①直线yaxb(a 0)和直线ycxd过点B 且这两条直线垂直，则函数ymax{axb,cxd}的最小 值为2； k  k ②若直线yaxb与反比例函数y (k 0)的图象交于点A，B，则函数ymaxaxb, 的最小值 x  x 为1； ③若直线yaxb与二次函数ycx2dxe(c0)的图象交于点A，B，则函数ymax  axb,cx2dxe  有最小值，无最大值． 三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 2 x 17．解分式方程： 1 ． x24 x2 18．如图，PB是O的切线，切点为B，点A 在O上，且PAPB，连接AO并延长交O于点C， 交直线PB于点D，连接OP．证明： DB2  DCDA ． 19．已知如图，在V ABC中，A30，B60． 第 4 页 共 33 页(1)作B的平分线，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接DE，求证： ADE≌BDE．  b  b22ab 20．已知A1 a ．  a  a  (1)化简A； (2)若a、b是方程 x2x10 的两根，求A的值． 21．（某市体育中考分必考项目和自选项目．其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球 和排球．每个考生除必考项目外，任选一项自选项目．考生嘉嘉和琪琪的体育中考各项成绩如下表： 考生 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 琪琪 95分 92分 93分 (1)嘉嘉同学三项成绩的众数为_____分，琪琪同学三项成绩的中位数为_____分； (2)如果体育中考按自选项目占30%、长跑占50%、跳绳占20%计算中考体育综合成绩，通过计算 说明嘉嘉和琪琪体育综合成绩谁的更高； (3)补全树状图，并求出考生嘉嘉和琪琪自选项目不 ． 同 ． 的概率． 第 5 页 共 33 页22．太阳能热水器作为一种高效利用太阳能的设备，是绿色能源的重要组成部分．它通过将太阳能 转化为热能，减少了对传统化石燃料的依赖，从而降低了碳排放，对环境保护具有重要意义．1图 是太阳能热水器安装示意图，2图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角EAD为22， 长为3m的真空管AB与水平线AD的夹角为37，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5m． (1)求真空管上端 B 到水平线AD的距离； 3 4 3 3 (2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（参考数据：sin37 ，cos37 ，tan37 ，sin22 ， 5 5 4 8 15 cos22 ，tan220.4，结果精确到0.1m） 16 23．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来 改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R 2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中， L U 电流与电阻R、R 之间关系为I  ，通过实验得出如下数据： L RR L R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … (1)a_______，b_______； 第 6 页 共 33 页12 12 (2)【探究】根据以上实验，构建出函数y  x 0，结合表格信息，探究函数y  x 0的 x2 x2 图象与性质． 12 ①在平面直角坐标系中画出对应函数y  x 0的图象； x2 ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________． 12 3 (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x0时，   x6的解集为________． x2 2 24．如图，在矩形ABCD中，AD AB，连接BD，点 A 关于BD的对称点为点E，连接AE、 BE 、CE、 DE，AE与BD交于点F ．以点C为圆心，CD为半径作圆． (1)如图1，当点E在C上时，求证：△ABE≌△DCE； BC (2)如图2，当点F 在C上时，求 的值； AB (3)如图3，AE、DE分别交BC于点G、 H ，请探究GH与HC的数量关系，并证明． 25．平面直角坐标系xOy中，抛物线G:y ax2bxca0过点A1,c3a,Bx,2,C x ,2．顶点D 1 2 不在第二象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S ，△OCE的面积为S ，S S 1． 1 2 1 2 (1)求抛物线G的对称轴； (2)求点E的坐标； 第 7 页 共 33 页4 (3)若抛物线G与直线DE的另一个交点F 的横坐标为 2，求yax2bxc在3x6时的取值范 a 围（用含a的式子表示）． 第 8 页 共 33 页2025年中考押题预测卷（广州卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．四个有理数3，4，2.5，4，其中最小的数是（ ） A．3 B．4 C．2.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个 正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大 于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大 小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解： 432.54，最小的数是：4．故选：B． 2．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习 惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A． 如意纹 B． 冰裂纹 C． 盘长纹 D． 风车纹 【答案】D【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形．把一个图形绕某一点旋转180，如果旋 转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线 折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行 判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意； D、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意．故选：D． 3．若 ab，则下列各式中一定成立的是（ ） a b A．a3b3 B．a3b3 C．  D．3a3b 3 3 【答案】C【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 第 9 页 共 33 页不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边 同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等 号的方向改变；由此即可求解． 【详解】解：若ab， a3b3，故A选项错误，不符合题意；a3b3，故B 选项错误，不符合题意； a b  ，故C 选项正确，符合题意；3a3b，故D选项错误，不符合题意；故选：C ． 3 3 4．下列计算正确的是（ ） A． 2x3x5x2 B．(xy)2 x2y2 C． x6x2 x3 D．(2xy)2 4x2y2 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式，熟练掌握各 知识点是解答本题的关键．根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐 项计算即可． 【详解】解：A．2x3x5x，故不正确；B．xy2  x22xy y2，故不正确； C． x6x2  x4，故不正确；D．2xy2 4x2y2，正确；故选：D． 5．深中通道于 2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长24千米，这一里程碑式的交通项目 为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而 行，已知甲车速度为85km/h，乙车速度为92km/h，甲车出发5千米后乙车才出发，设乙车出发x小 时后两车相遇，则可列方程为( ) A．85x92x24 B．85x92x524 C．92x85x24 D．85x92x245 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙车出发x小时后两车相遇，根据该通道全长24千米， 列方程即可得到结论． 【详解】解：设乙车出发x小时后两车相遇，根据题意得，85x92x245，故选：D． 6．如图，PA、PB是O的切线，切点分别为点A、B，点C为O上一点，P66，则C等于（ ） 第 10 页 共 33 页A．66 B．63 C．57 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，先由切线的性质得到 OBPOAP90，再由四边形内角和为360度求出AOB114，则由圆周角定理即可得到 1 C AOB57． 2 【详解】解：∵PA、PB是O的切线， ∴OBPOAP90， ∵P66， ∴AOB360OBPOAPP114， 1 ∴C AOB57，故选：C． 2 7．某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四 次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（ ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．第 2个月增长的“优秀”人数最多 C．从第1个月到第 4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．第 4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人 【答案】D【分析】本题主要考查了频数分布直方图，折线统计图，用第1个月的优秀人数除以对 应的优秀率可求出参加模拟测试的学生人数，据此可判断A；分别求出第2个月，第3个月，第4 个月优秀率的增长情况即可判断B；根据折线统计图即可判断C；用500乘以第4个月的优秀率即 可求出第4个月测试成绩“优秀”的学生人数，据此可判断D． 【详解】解：102%500名， 第 11 页 共 33 页∴共有500名学生参加模拟测试，故A结论正确，不符合题意； ∵10%2%8%17%13%4%13%10%3%， ∴第2个月增长的“优秀”人数最多，故B 结论正确，不符合题意； 由折线统计图可知从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长， 故C 结论正确，不符合题意； 50017%85人， ∴第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到85人，故D结论错误，符合题意；故选：D． 8．如图是我们生活中常见的标识简，可将其上半部分近似的看成一个底面半径为10cm，高为40cm 的圆锥，现要在该圆锥侧面贴一层反光膜（无缝隙与拼接），则反光膜面积为（ ） A． 50 17πcm2 B． 400πcm2 C． 100 17πcm2 D． 800πcm2 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面展开 图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公 式求解． 【详解】解：由题意可得：圆锥的母线长为： 102402 10 17cm， 反光膜面积为： 1 2010 17 100 17  cm2．故选：C． 2 9．如图，菱形ABCD中，B=60，E是BC边上一点，F 是CD边上一点，EAF 60，连接EF交AC 于点G，若AB4，则下列结论错误的是（ ） A．EF的最小值为 2 3 B．CG的最大值为1 C．△CEF 面积的最大值是 3 D．EGGF的最小值是3 【答案】D 【分析】先证明△AEF 是等边三角形；得出EF  AE，说明当AE最小时，EF最小，根据垂线段最 短，得出当AEBC时，AE最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可判断 A选项；根 据CG = AC AG ，AC4为定值，得出当AG最小时，CG最大，根据AGEF时，AG最小，此时CG 最大，根据等边三角形性质和勾股定理求出结果，即可判断B选项；根据S S S  4 3， CEF AEF 四边形AECF 第 12 页 共 33 页得出S 4 3S ，说明当△AEF 最小时，△CEF 面积最大，根据△AEF 为等边三角形，得出当 CEF AEF 1 边长EF最小时，△AEF 面积最小，求出△AEF 的最小值为 2 333 3 ，最后求出结果即可判断 2 2  1  1 C 选项；设EGx，EF t，根据EGGF EGEFEGx t  t2，根据二次函数性质，说明  2  4 EGGF有最大值，求出最大值为3，即可判断D选项． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，B=60， ∴ABBCCDAD ，BCD18060120， ∴V ABC是等边三角形， ∴ABAC ，ACBBBAC60， ∴ACF BCDACB60， ∴BACF， ∵BACEAF 60， ∴BAEEACEACCAF 60， ∴BAECAF， BAECAF  ∴在 BAE和VCAF中，∵ABAC ，  BACF ∴BAE≌CAFASA， ∴ AEAF ， 又∵EAF 60， ∴△AEF 是等边三角形； ∴EF AE， ∴当AE最小时，EF 最小， ∵垂线段最短， ∴当AEBC时，AE最小， ∵V ABC为等边三角形， 1 ∴此时BE CE  BC  2， 2 根据勾股定理得： AE  AB2BE2 2 3 ， ∴EF的最小值为 2 3 ，故A正确，不符合题意； ∵CG = AC AG ，AC4为定值， 第 13 页 共 33 页∴当AG最小时，CG最大， 当AGEF时，AG最小，此时CG最大， ∵△AEF 是等边三角形， 1 1 ∴当AGEF时，EAGFAG 6030，EGFG EF， 2 2 ∴BAE 60EAG30， ∴此时AE平分BAC ， ∵V ABC为等边三角形， ∴此时AEBC， ∴此时 ， AE2 3 ∴ EF  AE 2 3 ， 1 ∴此时EG  EF  3， 2 根据勾股定理得： AG  AE2 EG2 3 ， ∴此时CG431， 即CG的最大值为 1，故B 正确，不符合题意； ∵BAE≌CAF ， ∴S S ， CAF BAE ∴S S S S S S ， 四边形AECF CAF ACE BAE ACE ABC 1 ∴S S  42 34 3， 四边形AECF ABC 2 ∴S S S  4 3， CEF AEF 四边形AECF ∴S 4 3S ， CEF AEF ∴当△AEF 最小时，△CEF 面积最大， ∵△AEF 为等边三角形， ∴当边长EF最小时，△AEF 面积最小， ∵EF的最小值为 2 3 ，此时EF上的高为3， 1 ∴△AEF 的最小值为 2 333 3 ， 2 ∴△CEF 面积的最大值为4 33 3 3，故C 正确，不符合题意； ∵EGGF EF ， ∴GF EFEG， 第 14 页 共 33 页∴EGGF EGEFEG， 设EGx，EF t， ∴EGGF EGEFEG xtx x2xt 2  1  1 x t  t2，  2  4 1 1 ∴当x t时，EGGF取最大值 t2， 2 4 1 1 ∴此时FG t t  t ， 2 2 ∴此时EGGF， ∵△AEF 为等边三角形， 1 ∴此时AGEF，EAGFAG EAF 30， 2 ∴此时BAE 60EAG30， ∴AE平分BAC ， ∵V ABC为等边三角形， ∴此时AEBC， ∴此时EF AE  2 3， 1 ∴EGGF  EF  3， 2 ∴EGGF  3 33， 即EGGF的最大值为3，故D错误，符合题意．故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的 判定和性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 10．抛物线yax2bxc的对称轴直线x2．抛物线与x轴的一个交点在点4,0和点3,0之间， 其部分图象如图所示，下列结论中：①4ab0；②c3a；③关于x的方程 ax2bxc2 有两个不 相等实数根；④ b22b4ac ，正确的有（ ） 第 15 页 共 33 页A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系；①抛物线的对称轴 b x 2即可得；②先根据抛物线与x 轴交点位置、对称性可得当x=1时，y0，再结合4ab0 2a 即可得；③根据二次函数的顶点坐标可得抛物线与直线y2有两个交点，由此即可得；④先根据 4acb2 顶点坐标可得 3，再结合b4a即可得． 4a b 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x 2， 2a ∴4ab0，则结论①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在(4,0)和(3,0)之间，且x4时，y0， 当x3时，y0， 由二次函数的对称性得：x=1时的函数值与x3时的函数值相等， 当x=1时，y0， 即abc0， 4ab0，即b4a， a4ac0，即c3a，则结论②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为(2,3)， ∴抛物线与直线y2有两个交点， ∴关于x的方程 ax2bxc2 有两个不相等实数根，则结论③正确；  b  2 4acb2 ∵yax2bxc化成顶点式为y ax   ，且其顶点坐标为(2,3)，  2a 4a 4acb2 ∴ 3，即 b212a4ac ， 4a ∵b4a， ∴ b23b4ac ， ∵抛物线的开口向下， a<0， ∴b4a0， ∴ b22bb23b4ac ，则结论④正确；综上，正确的有①③④，故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共15分） 11．如图，乙地在甲地的北偏东50方向上，则1的度数为 ． 第 16 页 共 33 页【答案】50/50度 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，BAC50，AB∥CD， ∴1BAC50，故答案为：50． 12．若2ab1，则4a2b1 ． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键．由题意知，4a2b122ab1，代 值求解即可． 【详解】解：由题意知，4a2b122ab12113，故答案为：3． 13．如图，从一个大正方形中截去面积为 15cm2和 27cm2的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的 面积为 cm2． 【答案】 18 5 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：ABBD 273 3cm，BC BE 15cm， 第 17 页 共 33 页故两个阴影部分面积和为：23 3 15 18 5cm2，故答案为： 18 5 ． 14．如图，在ABCD中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC 1 于M ，N两点；②以点M 和点N为圆心，大于 MN长为半径作弧，两弧交于点 P ；③作射线BP交 2 AD于点E，过E作EF BE交BC延长线于F ．若AB4，BC5，则CF  ． 【答案】3 【分析】由作图知， BE 平分ABC，得到ABECBE，根据平行线的性质得出AEBCBE ，求 1 得AEBABE，得到ABAE，作AH BE于 H ，根据等腰三角形的性质得出ABH 90，BH  BE， 2 根据相似三角形的判定与性质计算即可得出答案． 【详解】解：由作图知， BE 平分ABC， ABECBE， 四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC， AEBCBE， AEBABE ， ∴ABAE ， 1 如图，作AH BE于 H ， AHB90，BH  BE， 2 EF BE， BEF AHB 90， ABH EBF ， AHB∽FEB， BH AB   ， BE BF 1 BE 2 4 ，   BE BF BF 8， 第 18 页 共 33 页BC5， CF BFBC 3，故答案为：3． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的 判定与性质、平行四边形的性质，正确地作出辅助线是解此题的关键． x2yx y 15．定义新运算：xΘy ，例如：434232 ，121223．若x117，则 x2 yx y x的值为 ． 【答案】4或19/19 或4 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题 意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 【详解】解：当x1时， x1x2117， ∴x19， 当x1时， x1 x2117 ， 解得x4（舍去）或4．综上所述，x的值为4或19．故答案为：4或19． 16．记max{m,n}表示实数m 和n中的较大值，即若mn，则max{m,n}m，如max{1,2}2， max{6,6}6．在平面直角坐标系xOy中，A(4,1)，B(2,2)，则下列结论正确的是（将正确结论的 序号填在横线上） ． ①直线yaxb(a 0)和直线ycxd过点B 且这两条直线垂直，则函数ymax{axb,cxd}的最小 值为2； k  k ②若直线yaxb与反比例函数y (k 0)的图象交于点A，B，则函数ymaxaxb, 的最小值 x  x 为1； ③若直线yaxb与二次函数ycx2dxe(c0)的图象交于点A，B，则函数ymax  axb,cx2dxe  有最小值，无最大值． 【答案】①③ 【分析】本题考查了新定义，二次函数，反比例函数，一次函数的交点问题，熟练运用数形结合思 想是解题的关键．根据每个选项的情况，先作图，再结合二次函数，反比例函数，一次函数的图象 性质，进行分类讨论，即可作答． 第 19 页 共 33 页【详解】解：①依题意，分别作图， 当x2时，则ymax{axb,cxd}cxd ，此时cxd的最小值为2； 当x2时，则ymax{axb,cxd}axb ，此时axb的最小值为2； 当x2时，则ymax{axb,cxd}axb ，axb的最小值为2； 当x2时，则ymax{axb,cxd}cxd ，cxd的最小值为2； 综上：直线yaxb(a 0)和直线ycxd过点B 且这两条直线垂直，则函数ymax{axb,cxd}的 最小值为2； 故①是正确的； k ∵直线yaxb与反比例函数y (k 0)的图象交于点A，B，A(4,1)，B(2,2)， x ∴作图如下所示：  k k k 当x4时，ymaxaxb,  ，此时 最小值为1；  x x x  k 当4x0时，ymaxaxb, axb，此时axb最小值为1；  x  k k k 当0x2时，ymaxaxb,  ，此时 最小值为2；  x x x  k 当2x时，ymaxaxb, axb，此时axb最小值为2；  x 故②是错误的； ∵直线yaxb与二次函数ycx2dxe(c0)的图象交于点A，B， 第 20 页 共 33 页∴如图所示： 当x4时，ymax  axb,cx2dxe  cx2dxe，此时 cx2dxe 最小值为1； 当4 x2时，ymax  axb,cx2dxe  axb，此时axb最小值为1； 当2x时，ymax  axb,cx2dxe  cx2dxe，此时 cx2dxe 最小值为2； 则函数ymax  axb,cx2dxe 有最小值，无最大值．故③是正确的；故答案为：①③． 三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 2 x 17．解分式方程： 1 ． x24 x2 【答案】x3 【分析】本题考查解分式方程熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．根据分式方程的解 法步骤求解即可，注意计算结果要检验． 2 x 【详解】解分式方程： 1 x24 x2 去分母，得2 x24xx2 去括号，得2 x24x22x 移项、合并同类项，得2x6 化系数为1，得x3 检验：当x3时，x240 ∴原方程的解为x3． 18．如图，PB是O的切线，切点为B，点A 在O上，且PAPB，连接AO并延长交O于点C， 交直线PB于点D，连接OP．证明： DB2  DCDA ． 【答案】见详解 第 21 页 共 33 页【分析】本题主要考查圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，连接BA,BC,OB ， 根据等边对等角得OABOBA，根据切线的性质得出OBPD，根据圆周角定理得出ABC90， 证出DBC DAB，证明DBC∽DAB，根据相似三角形的性质即可证明． 【详解】证明：如图，连接BA,BC,OB ， OAOB， OABOBA， ∵ PB 是O的切线， ∴OBPD，即OBCDBC90， ∵AC是O的直径， ABC90， ABOCBO90， ABOCBD ， DBCDAB ， 又 DD， DBC∽DAB， DC DB   ， DB DA DB2 DCDA ． 19．已知如图，在V ABC中，A30，B60． (1)作B的平分线，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接DE，求证： ADE≌BDE． 【答案】(1)图见解析；(2)证明见解析 【分析】本题考查的是作角平分线及线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质， 1 （1）以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N 为圆心，大于 FN 长为半 2 径画弧，两弧交于点M，过B、M 画射线，交AC于D，射线BD就是ABC的平分线；分别以A、 第 22 页 共 33 页1 B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y 画直线与AB交于点E，点E 就是AB 2 的中点； （2）首先根据角平分线的性质可得ABD的度数，进而得到ABDA，根据等角对等边可得 ADBD，再加上条件AE =BE,ED=ED ，即可利用SSS证明 ADE≌BDE． 【详解】（1）解：如下图，点D、E即为所求作； （2）证明：∵B60，BD平分ABC， 1 ABD 60 30， 2 A30， ∴ABDA， ∴ADBD， AE BE  在V ADE和VBDE中，EDED  ADBD ∴ADE≌BDESSS .  b  b22ab 20．已知A1 a ．  a  a  (1)化简A； (2)若a、b是方程 x2x10 的两根，求A的值． 1 【答案】(1) ；(2)1 ab 【分析】（1）根据分式的加减乘除混合运算化简即可； （2）根据a、b是方程 x2x10 的两根，得到ab1，代入求值即可． 本题考查了分式的化简，根与系数关系定理，求代数式的值， 熟练掌握分式的混合运算，根与系 数关系定理是解题的关键．  b  b22ab 【详解】（1）A1 a   a  a  ab a2b22ab    a  a  第 23 页 共 33 页ab a   a ab2 1  ． ab （2）∵a、b是方程 x2x10 的两根， ∴ab1， 1 故A 1． ab 21．（某市体育中考分必考项目和自选项目．其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球 和排球．每个考生除必考项目外，任选一项自选项目．考生嘉嘉和琪琪的体育中考各项成绩如下表： 考生 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 琪琪 95分 92分 93分 (1)嘉嘉同学三项成绩的众数为_____分，琪琪同学三项成绩的中位数为_____分； (2)如果体育中考按自选项目占30%、长跑占50%、跳绳占20%计算中考体育综合成绩，通过计算 说明嘉嘉和琪琪体育综合成绩谁的更高； (3)补全树状图，并求出考生嘉嘉和琪琪自选项目不 ． 同 ． 的概率． 2 【答案】(1)95,93；(2)嘉嘉的成绩更高一些；(3) 3 【分析】本题考查了众数、中位数、加权平均数以及树状图： （1）根据众数和中位数的定义作答即可； （2）根据加权平均数的定义列式计算即可； （3）先画树状图，再用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：观察表格，嘉嘉同学的成绩出现最多的数是95，故众数为95 琪琪同学的成绩按顺序排列，居于中间位置的数是93，故中位数是93；故答案为：95,93 （2）嘉嘉的成绩：9030%9550%9520%93.5（分） 琪琪的成绩：9530%9250%9320%93.1（分） 93.593.1 嘉嘉的成绩更高一些 第 24 页 共 33 页（3） 6 2 共有9种等可能的结果，其中，嘉嘉和琪琪自选项目不同的共有6种结果；所以，P   (自选项目不同) 9 3 22．太阳能热水器作为一种高效利用太阳能的设备，是绿色能源的重要组成部分．它通过将太阳能 转化为热能，减少了对传统化石燃料的依赖，从而降低了碳排放，对环境保护具有重要意义．1图 是太阳能热水器安装示意图，2图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角EAD为22， 长为3m的真空管AB与水平线AD的夹角为37，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5m． (1)求真空管上端 B 到水平线AD的距离； 3 4 3 3 (2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（参考数据：sin37 ，cos37 ，tan37 ，sin22 ， 5 5 4 8 15 cos22 ，tan220.4，结果精确到0.1m） 16 【答案】(1)真空管上端 B 到水平线AD的距离约为1.8米 (2)安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米 【分析】本题考查解直角三角形的应用， （1）过 B 作 BF AD 于F ，根据正弦的定义计算，得到答案； （2）根据余弦的定义求出 AF ，再根据正切的定义求出AD，计算即可； 熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：过 B 作 BF AD 于F ， 根据题意，得：AB3m，BAD37， 在RtABF中，BAF 37， 3 ∴BF  ABsinBAF 3sin373 1.8（米）． 5 答：真空管上端 B 到水平线AD的距离约为1.8米； 第 25 页 共 33 页（2）解：在RtABF中， 4 AF = AB仔cos BAF =3窗cos37 淮3 = 2.4m ， 5 ∵ BF AD ，CDAD，BC∥FD， ∴BFDCDF BCD90， ∴四边形BFDC是矩形， ∴CD= BF =1.8m，BC FD， ∵CE 0.5m， ∴DE =CD-CE =1.8-0.5=1.3m， 在RtEAD中，EAD22， DE DE 1.3 ∴AD= = » = 3.25m， tan邪EAD tan22 0.4 ∴BCDF  ADAF 3.252.40.850.9（米）． 答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米． 23．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来 改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R 2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中， L U 电流与电阻R、R 之间关系为I  ，通过实验得出如下数据： L RR L R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … (1)a_______，b_______； 12 12 (2)【探究】根据以上实验，构建出函数y  x 0，结合表格信息，探究函数y  x 0的 x2 x2 图象与性质． 12 ①在平面直角坐标系中画出对应函数y  x 0的图象； x2 第 26 页 共 33 页②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________． 12 3 (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x0时，   x6的解集为________． x2 2 【答案】(1)2，1.5；(2)①见解析；②函数值y逐渐减小；(3)x2或x0 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 12 【详解】（1）解：由题意，I  ， R2 12 当I 3时，由3 得a2， a2 12 当R6时，b 1.5，故答案为：2，1.5； 62 12 （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数y  x 0的图象如图： x2 ②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y逐渐减小， 故答案为：函数值y逐渐减小； 3 （3）解：当x2时，y 263，当x0时，y6， 2 ∴函数y  12 x 0与函数y 3 x6的图象交点坐标为2,3，0,6， x2 2 第 27 页 共 33 页3 在同一平面直角坐标系中画出函数y x6的图象，如图， 2 12 3 由图知，当x2或x0时，   x6， x2 2 12 3 即当x0时，   x6的解集为x2或x0，故答案为：x2或x0． x2 2 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画 出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 24．如图，在矩形ABCD中，AD AB，连接BD，点 A 关于BD的对称点为点E，连接AE、 BE 、CE、 DE，AE与BD交于点F ．以点C为圆心，CD为半径作圆． (1)如图1，当点E在C上时，求证：△ABE≌△DCE； BC (2)如图2，当点F 在C上时，求 的值； AB (3)如图3，AE、DE分别交BC于点G、 H ，请探究GH与HC的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析；(2) 2 ；(3)GH HC，证明见解析 【分析】（1）根据矩形、轴对称及圆的性质证明ABEBCECD，ABEDCE，进而可证得 △ABE≌△DCE； BG CD （2）根据矩形、轴对称得BAG DBC，则tanBAGtanDBC，进而可知  ，连接CF， AB BC CG CF 可知CF CD，则CDF CFD，再证CBF CFG，由BCF FCG，得△CBF∽△CFG ，  ， CF BC 1 BG CD BG CG 1 BC 结合  ，CF CDAB ，得  ，可知BGCG BC，进而得 2 AB，即可求解； AB BC AB CF 2  AB BC 第 28 页 共 33 页（3）连接AC，交BD于点O，由矩形的性质得AD∥BC，ADBC，AOCO，可知ADBCBD ， 由轴对称可知AEBD，AF EF ，AD DE，再证HBHD，得HCHE，可知HCEHEC ，再 证OF 是△ACE的中位线，得OF∥CE，可知AFOAEC90，得HECHEGHCEHGE 90， 进而可知HEGHGE ，得GH HE，即可证得GH HC． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ABCD，ABCDCB90 ∵点 A 、E关于BD对称， ∴AB EB， ∵点E在C上， ∴CDCE， ∴ABEBCECD， ∴EBCECB， ∴ABCEBC DCBECB，则ABEDCE， ABCD  在 ABE与△DCE 中，ABEDCE  BE CE ∴ABE≌DCESAS； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ABCD，ABCDCB90 ∵点 A 、E关于BD对称， ∴AEBD， ∴AFBDFG90， BAGABF DBCABF 90， ∴BAG DBC，则tanBAGtanDBC， BG CD tanBAG ，tanÐDBC= ， AB BC BG CD ∴  ， AB BC 连接CF， ∵点F 在C上， 第 29 页 共 33 页∴CF CD，则CDF CFD， CBFCDF CFGCFD90， ∴CBF CFG， ∵BCF FCG， ∴△CBF∽△CFG ， CG CF   ， CF BC BG CG ∵CF CDAB ，则  ， AB CF 1 BGCG BC ， 2 1 BC 则 2 AB，  AB BC BC ∴  2； AB （3）GH HC，证明如下： 连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，ADBC，AOCO， ∴ADBCBD ， ∵点 A 、E关于BD对称， ∴AEBD，AF EF ，AD DE， ∴ADF EDF，BC DE ， ∴CBDEDF ， ∴HBHD， ∴HCHE， ∴HCEHEC ， ∵AOCO，AF EF ， ∴OF 是△ACE的中位线， ∴OF∥CE， 第 30 页 共 33 页∴AFOAEC90， ∴HECHEGHCEHGE 90， ∴HEGHGE ， ∴GH HE， ∴GH HC． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性 质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 25．平面直角坐标系xOy中，抛物线G:y ax2bxca0过点A1,c3a,Bx,2,C x ,2．顶点D 1 2 不在第二象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S ，△OCE的面积为S ，S S 1． 1 2 1 2 (1)求抛物线G的对称轴； (2)求点E的坐标； 4 (3)若抛物线G与直线DE的另一个交点F 的横坐标为 2，求yax2bxc在3x6时的取值范 a 围（用含a的式子表示）． 5 3 【答案】(1)x2；(2)( ,2)或( ,2)；(3)0 y64a 2 2 【分析】（1）将点A1,c3a代入抛物线G:yax2bxca0，即可得到b4a，然后确定抛物 线G的对称轴即可； 1 （2）根据S S 1，得到BE CE1，结合抛物线G的对称轴x2，推导线段长度得到EM  ， 1 2 2 进而得到E点的坐标； 5 （3）由已知条件表示出D、F的坐标从而表示出直线DF的解析式，然后判断E点的坐标为( ,2)， 2 再由DE、DF是同一条直线可得c4a，最后利用求二次函数的图像与性质求出最终结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线G:yax2bxca0过点A1,c3a， ∴当x1时，可有c3aabc， ∴b4a， b 4a ∴抛物线G的对称轴为x  2； 2a 2a 第 31 页 共 33 页（2）如下图，设x x ，线段BC与抛物线G的对称轴的交点为M ， 1 2 ∵Bx,2,Cx ,2，线段BC上有一点E， 1 2 1 1 ∴BM CM ，S  BE2BE ，S  CE2CE， 1 2 2 2 又∵S S 1， 1 2 ∴BE CE1， ∵ BEBM ME ，CECM ME， ∴BM MECM ME1， 1 ∴2ME 1，解得ME  ， 2 由（1）可知，抛物线G的对称轴为x2， ∴M(2,2)， 3 ∴点E的坐标( ,2)； 2 5 当x x 时，同理可得E( ,2)． 1 2 2 5 3 综上所述，点E的坐标为( ,2)或( ,2)； 2 2 4 （3）∵直线DE与抛物线G:yax2 bxc的另一个交点F 的横坐标为 2， a 4 4 4 4 16 ∴ya( 2)2( 2)bca( 2)2( 2)4ac 4ac， a a a a a 4 16 ∴点F( 2, 4ac)， a a ∵点D是抛物线的顶点，抛物线G的对称轴为x2， ∴ya(2)2 b(2)c4a24ac4ac， ∴点D(2,4ac)， 4 16 设直线DF的解析式为ymxn，将点D(2,4ac)，F( 2, 4ac)代入， a a 4ac2mn  m4 可得16 4 ，解得 ，  4ac( 2)mn n4ac8  a a 第 32 页 共 33 页∴直线DF的解析式为：y4x4ac8； ∵a0， 4 ∴ 22， a 5 ∴点E在抛物线G的对称轴左侧，即点E( ,2)， 2 ∵直线DE与直线DF为同一直线， 5 ∴24( )4ac8，解得c4a， 2 ∴抛物线解析式为：yax2bxcax2 4ax 4a ， ∵3x6， ∴当x2时，有y =0， 最小 当x6时，有y 64a， 最大 ∴当3x6时，0 y64a． 第 33 页 共 33 页