2025《中考数学•终极押题猜想》广州(解析版)_初中资料合集_2025中考数学《终极押题猜想》全国13地方版_2025《中考数学•终极押题猜想》广州

2025 年中考数学终极押题猜想（广东广州专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 几何图形与锐角三角函数（选填） .....................................1
押题猜想二 三角形、四边形的面积（选填） .......................................6
押题猜想三 几何中的最值问题（选填） ..........................................12
押题猜想四 新定义问题（选填） ................................................19
押题猜想五 函数的多结论问题（选填） ..........................................23
押题猜想六 尺规作图（解答） ..................................................31
押题猜想七 二次方程与整式、分式的混合运算（解答） ............................37
押题猜想八 解直角三角形的应用举例（解答） ....................................41
押题猜想九 函数的实际应用（解答） ............................................48
押题猜想十 二次函数的动点问题（解答） ........................................55
押题猜想十一 特殊四边形的综合（解答） ........................................73
押题猜想十二 圆与其他几何的综合（解答） ......................................92
押题猜想一 几何图形与锐角三角函数（选填）
限时：4min
4
如图，在 ABC中，AB= AC，以BC为直径的圆O分别与AB、AC相交于点E、F，若tanÐEOF = ，则
V
3
S
VEOF 的值为（ ）
S
VBOE
5 2 5 3
A．1 B． C． D．
2 5 4【答案】C
【详解】解：过点E作ED^OF ，如图所示：
∵AB= AC，
∴ÐABC =ÐACB，
∴ n n ，
BF =CE
∴ n n ，
BE=CF
∴BE=CF，
∴AE= AF，
AE AF
∴ = ，
BE CF
AE AF
∴ = ，
AB AC
∴EF∥BC，
4
∵tanÐEOF = ，
3
∴设ED=4x,OD=3x，
∴OE=OB=5x,DF =5x-3x=2x，
∴EF = ED2+DF2 =2 5x，
S EF 2 5
∴ VEOF = = ，
S BO 5
VBOE
故选：C．
押题解读
该考点是高频考点，难度中等，考察直角三角形、非直角三角形、四边形与圆的性质，为了利用锐
角三角形函数，我们需要找到直角三角形或者作辅助线构造直角三角形。1．如图，点A、B、C都在正方形网格的格点上，则tanÐABC的值是（ ）
2 1 17
A． B． C．1 D．
2 4 17
【答案】B
【详解】解：如图：延长BA交格点D，连接CD，
∵AD=DC= 2,AC=2，
∴AD2+CD2 = AC2，
∴ ACD是直角三角形，ÐADC =90°，
V
∵CD= 2,BD= 42+42 =4 2，
CD 1
∴tanÐABC = = ，
BD 4
故选：B．
2．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE^CD交DC的延长线于点E．若AB=2,
Y
2
BD=5,sinÐBDC = ，则OE的长为（ ）
5
1
A． B．1 C．2 D．5
2【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
1
∴OD= BD=2.5，
2
2
∵OE^CD，sinÐBDC = ，
5
OE 2
∴sinÐODE =sinÐBDC = = ，
OD 5
∴OE=1，
故选：B．
3．如图，在
V
ABC中，AB=3，AC =6，ÐBAC =120°，将
V
ABC沿AD折叠，使点B落在边AC上的B¢
处，则折痕AD的长为 ．
【答案】2
【详解】解：如图所示，过点B作BH ^CA交CA延长线于H，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别
为M、N，
∵ÐBAC =120°，
∴ÐBAH =180°-ÐBAC =60°，
3 3
∴BH = AB×sin∠BAH = ；
2
1
由折叠的性质可得ÐBAD=ÐCAD= ÐBAC =60°，
2
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM =DN，
∵S =S +S ，
VABC VABD VACD
1 3 3 1 1
∴ ´6´ = ´3DM + ´6DN ，
2 2 2 2
9 3 3
∴ = DM +3DM ，
2 2∴DM = 3，
DM 3
∴AD= = =2，
sin∠MAD sin60°
故答案为：2．
4．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=600m，圆心角
ÐAOB=120°，C是AB上的一点，OC^AB，垂足为D，则弯路上点C到AB的距离为 ．
【答案】100 3m
【详解】解：∵OC^AB，AB=600，ÐAOB=120°，
∴AD=BD=300，ÐAOD=60°，
1
则DO= AO×cos60°= AO，
2
又∵AO=CO，
1 AD 300
∴CD=DO= AO= = =100 3，
2 tan60° 3
故答案为：100 3m．
5．如图，在Rt△ABC中，ÐC =90°,ÐABC =30°，若AC=1，则BC = ；构建几何图形解决代数问题
是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，延长CB使，BD=AB，连接AD，得ÐD=15°，所以
AC 1 2- 3
tan15°= CD = 2+ 3 =  2+ 3  2- 3  =2- 3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为 ．
【答案】 3 2-1
【详解】解：∵在Rt△ABC中，ÐC =90°,ÐABC =30°，AC=1，
AC 1
∴BC = = = 3；
tanÐABC tan30°
如图，作Rt△ABC，使ÐC =90°,ÐABC =45°，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，∴ÐBAD=ÐD，
∵ÐBAD+ÐD=ÐABC =45°，
∴ÐD=22.5°，
在Rt△ABC中，ÐC =90°,ÐABC =45°，
∴ÐBAC =ÐABC =45°，
∴AC =BC，
设AC =BC =xx>0，则BD= AB= AC2+BC2 = 2x，
 
∴CD=BC+BD= 1+ 2 x，
AC x 1 2-1
∴tan22.5°=tanD=
CD
=
 1+ 2  x
=
1+ 2
=
 1+ 2  2-1 
= 2-1，
故答案为： 3， 2-1．
押题猜想二 三角形、四边形的面积（选填）
限时：4min
如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F 、G分别是AD、BC、AC的中点，且EF =4．若求 EFG
V
的面积，只需要知道以下哪条线段的长（ ）
A．AC B．BC C．CD D．AD
【答案】C
【详解】解：过点G作GP^EF于点P，\△EPG为直角三角形，
\GP= EG2-EP2 ，
QE、G分别是AD、AC的中点，
1
\EG= CD，
2
QF 、G分别是BC、AC的中点，
1
\GF= AB，
2
Q
AB=DC，
\EG=GF，
\ EFG为等腰三角形，
V
QGP^EF，EF =4，
1
\EP= EF =2，
2
1 1 æ1 ö 2
则 V EFG的面积= EF×GP= ´4´ EG2-EP2 =2´ ç CD÷ -22 ，
2 2 è2 ø
\ EFG的面积与线段CD的长有关，
V
故选：C．
押题解读
该考点是高频考点，近三年考察在选择填空中考察了两次，对于三角形四边形的面积，我们需要对
图形的面积公式、割补法等进行掌握。
1．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是
（ ）A．2:1 B．5:2 C． 2:1 D． 5: 2
【答案】A
【详解】解：如图，根据题意可得，
V
ABC，
V
DEF是等腰直角三角形，BD=CD，点B到GH距离与点E
到BG距离相等，则GE=BG，
∴四边形BDEG是菱形，
∴BD=GE=GB=DE，
设AB=a，
∴根据勾股定理得，BC = 2a，
1 2
∴GE=BD= BC = a，
2 2
2
∴DE= a，
2
1 1
AB2 a2
S 2 2
∴ S V V D AB E C F = 1 DE2 = 1 ´ æ ç 2ö ÷a2 =2 ，
2
2 2
è ø
∴较大的和较小的面积的比是2:1，
故选：A．
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F ，交BC于点
E．若AB=3，AC =4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（ ）A．1.5 B．3 C．6 D．4
【答案】B
【详解】解：
Q
四边形ABCD是平行四边形，且AD=5，
\BC = AD=5,AD∥BC,OC =OA，
1
\S = S ，
VBOC 2 VABC
AB=3，AC =4，
Q
\AB2+AC2 =BC2，
\ ABC是直角三角形，且ÐBAC =90°，
V
1
\S = AB×AC =6，
VABC 2
1
\S = ´6=3，
VBOC 2
又 AD BC，
Q P
\ÐOCE=ÐOAF,ÐOEC =ÐOFA，
ìÐOCE=ÐOAF
ï
在
V
COE和
V
AOF 中，íÐOEC =ÐOFA，
ï
îOC =OA
\ COE≌ AOFAAS，
V V
\S =S ，
VCOE VAOF
则图中阴影部分的面积是S +S =S +S =S =3，
VBOE VAOF VBOE VCOE VBOC
故选：B．
3．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC =12，对角线AC，BD交于点O，E是AD边上的一点，F 是BE的
中点，连接OF，AF ，已知△AEF 的周长为8，则：（1）AE= ；
（2） BOF的面积= ．
V
9
【答案】 3
2
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴ÐBAE=90°
∵F 是BE的中点，
∴AF =BF，
∵△AEF 的周长为8，
\AE+BE= AE+EF+AF = AE+EF+FB= AE+BE=8
∴BE=8-AE，
又在Rt△ABE中，AE2+AB2 =BE2，
即AE2+42 =(8-AE)2，
解得：AE=3；
故答案为：3．
（2）∵矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
∴O是AC的中点
∵F 是BE的中点，
1
∴OF∥DE且OF = DE，
2
1 1 9
\OF = DE= ´(12-3)= ， BOF∽ BDE
V V
2 2 2
S 1
∴ △BOF =
S 4
△BED
1 1 1 9
∴S = S = ´ ´9´4= ．
△BOF 4 △BED 4 2 2
9
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形
的性质，思考掌握相关性质并灵活运用是解题的关键．
4．如图，RtV ABC中，ÐC =90°,ÐB=30°,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点D,F,AE ^DF交DF的延
长线于点E，若DF=1，则四边形ACDE的面积是 ．【答案】2 3
【详解】解：∵DE是BC的垂直的平分线，ÐC=90°，AE^DF，
∴四边形ACDE是矩形，CD=BD，
∴DF∥AC，CD=BD= AE，
∴ AEF≌ BDF，
V V
∴AF =BF，
∵ÐB=30°，DF=1，
∴AF =BF =2DF =2，BD= 3，
∴CD= 3，AB=4，
1
∴AC = AB=2，
2
∴四边形ACDE的面积为：AC×CD=2´ 3=2 3．
故答案为：2 3．
5．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式.如图，在
V
ABC中，
点D、E分别是AB、AC的中点，作AF^DE于点F ，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形
GBCH ．若DE=4，AF =3，则四边形DBCE的面积为 ．
【答案】18
【详解】解：∵AF^DE，
1 1
∴S = DE×AF = ´4´3=6，
VADE 2 2
∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是
V
ABC的中位线，
1
∴DE= BC，DE∥BC，
2
∴∠ADE=∠ABC，ÐAED=ÐACB，
∴△ADE∽△ABC，
S æDEö 2 1
∴ △ADE =ç ÷ = ，
S èBCø 4
△ABC
∴S =4S =24，
VABC VADE
∴四边形DBCE的面积=S -S =24-6=18，
VABC VADE
故答案为：18．
押题猜想三 几何中的最值问题（选填）
限时：4min
如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AF ^EG．当CF =2BF 时，
EF+AG的最小值为（ ）
A．2 10 B．3 10 C．2 5 D．3 5
【答案】C
【详解】如图所示，过点G作GM ^ AB，过点F作FH∥EG，过点G作GH
P
EF ，设AF 与GE交于点
N
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB=BC =3
∵CF =2BF∴BF =1
∴AF = AB2+BF2 = 10
∵四边形ABCD是正方形
∴AB= AD，ÐMAD=ÐD=ÐABF =90°
∴四边形AMGD是矩形
∴AD=MG
∴AB=MG，
∵AF ^EG
∴ÐAMG=ÐANG=90°
∴ÐBAF =ÐMGE
又∵ÐABF =ÐGME=90°
∴ ABF≌ GMEASA
V V
∴AF =GE= 10
∵FH∥EG，GH
P
EF
∴四边形EFHG是平行四边形
∴EG=FH = AF = 10
∴EF+AG=GH +AG³ AH
∴当点A，G，H三点共线时，EF+AG取值最小值，即AH的长度
∵AF ^EG
∴AF ^EH
∴AH = AF2+FH2 =2 5．
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判
定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形．
押题解读
最值问题一直是考试中的热点问题，此题型灵活多变，能与几何、函数以及辅助线等知识点进行结
合，贯穿性强。1．如图是由边长为1的小正方形组成的6´6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中OA=4，
OB=2，若M 是这个网格中的格点，连接MA,MB，则所有满足ÐAMB=45°的△MAB中，边MA的长的最
大值是（ ）
A．2 10 B．6 C．4 3 D．3 5
【答案】A
1
【详解】作线段AB中点Q，作AB的垂直平分线OQ，并使OQ= AB，以O为圆心，OA为半径作圆，如
2
图，
1
因为OQ为AB垂直平分线且OQ= AB，
2
所以OQ= AQ= AQ，
∴ÐOAQ=ÐOBQ=45°，
∴ÐAOB=90°，
所以弦AB所对的圆O的圆周角为45°，
所以点M 在圆O上，MA为圆O的弦，通过图像可知，
当点M在位置时，恰好过格点且经过圆心O，
由ÐAMB=45°, AB为定长,得点M 在如图以O为圆心的圆上运动，得MA的长的最大值=直径AM 的长
1
= 22+62 =2 10.
故选:A.2．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC =3，以A为圆心，1为半径作
e
A．若动点E在
e
A上，动点P在BC
上，则PE+PD的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A¢BCD¢以及对称圆A¢，连接A¢D交BC于P，并延
长，交
e
A¢于一点G，则DG就是PE+PD最大值；
∵矩形ABCD中，AB=2，BC =3，圆A的半径为1，
∴A¢D¢=BC =3,DD¢=2DC =2AB=4,A¢G= A¢E¢=1，
∴A¢D= A¢D¢2+DD¢2 =5，
∴DG=5+1=6，
即PE+PD的最大值为6，
故选C．1
3．如图，菱形ABCD中，点O为对角线BD的中点，点P为平面内一点，且OP= BD，已知AB=2，
2
BD=2 3．连接AP，则AP的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 3-1/-1+ 3 3+1/1+ 3
【详解】解：连接AC，
∵点O为对角线BD的中点，
∴AC经过点O，
∵菱形ABCD，
1
∴AC^BD，BO= BD= 3，
2
∵AB=2，
∴OA= AB2+BO2 =1，
1
∵OP= BD= 3，
2
∴点P在以点O为圆心，长度为 3的
e
O，
∴当点P，点A，点O在同一直线上时，AP有最小值或最大值，
当点P在点A上方时，AP有最小值为 3-1；
当点P在点A下方时，AP有最大值为 3+1；
故答案为： 3-1； 3+1．
4．如图，Rt△ABC中，ÐACB=90°，AC =2 3，BC=3．点P为 V ABC内一点，且满足PA2+PC2=AC2．则BP的长度最小值为（ ）
3 3 3 3
A．3 B． 3 C． D．
4 2
【答案】B
【详解】解： PA2+PC2 = AC2
Q
\ÐAPC =90°
1
取AC中点O，并以O为圆心， AC长为半径画圆，则点P在
e
O上运动，
2
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短，而AC =2 3，
\AO=PO=CO= 3，
∵BC=3，
\BO= BC2+CO2 =2 3，
\BP=BO-PO= 3
∴BP的长度最小值为 3．
故选：B
5．如图，矩形ABCD中，AB= 3，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的
速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最
大值为（ ）3
A． 3 B． C．2 D．1
2
【答案】D
【详解】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ÐABC =90°，OA=OC，AB∥CD，
∴在Rt△ABC中，AC = AB2+BC2 =  3 2 +12 =2，
1
∴OA=OC = AC =1，
2
∵AB∥CD，
\ÐEAO=ÐFCO，
在△AOE与 COF中，
V
ìAE=CF
ï
íÐEAO=ÐFCO
ï
îOA=OC
\△AOE≌△COF(SAS)，
\ÐAOE=ÐCOF ，
\E，O，F 共线，
Q
AG^EF，H是OB中点，
1 1
∴在Rt△AGO中，GH = AO= ，
2 2
1
\G的轨迹为以H为圆心， 为半径即AO为直径的圆弧．
2∴AG的最大值为AO的长，即AG = AO=1．
max
故选：D．
押题猜想四 新定义问题（选填）
限时：3min
x´y
设x>0，y>0，定义新运算：xÄy= ，若a>0，b>0，c>0，则下列式子正确的是（ ）
x+y
A．aÄb´c=aÄb´c B．aÄbÄc=aÄbÄc
C．aÄb+c=aÄb+aÄc D．a´bÄc=a´bÄc
【答案】B
abc ab abc
【详解】解：A．∵aÄb´c= ，aÄb´c= ´c=
a+bc a+b a+b
∴aÄb´c¹aÄb´c，故不正确；
bc
a´
B．∵aÄbÄc=aÄ bc = b+c = abc ，
b+c bc ab+ac+bc
a+
b+c
ab
´c
aÄbÄc= ab Äc= a+b = abc ，
a+b ab ab+ac+bc
+c
a+b
∴aÄbÄc=aÄbÄc，故正确；
ab+ac ab ac a2b+a2c+2abc
C．∵aÄb+c= ，aÄb+aÄc= + = ，
a+b+c a+b a+c a+ba+c
∴aÄb+c=aÄb+aÄc，故不正确；
bc abc abc
D．a´bÄc=a´ = ，a´bÄc= ，
b+c b+c ab+c
∴a´bÄc¹a´bÄc，故不正确；
故选B．
押题解读
2024年广州中考中出现，此题型新颖，灵活性强，所涉及的知识点广。新定义问题包含新运算题
目，新概念题目等，虽然题目中是新定义题型，但是它本质上还是在考查我们对函数的知识点的掌握。
a
1．设a，b都是不为0的实数，且a¹b，a+b¹0，定义一种新运算：a*b= ，则下面四个等式：
a+b
①a*b=b*a；②a*b2 =a2*b2；③-a*b=a*-b；④-a*b=-a*b；成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
a b
【详解】解：①根据新定义得，a*b= ，b*a= ，
a+b a+b
∵a¹b，
b a
∴ ¹ ，
a+b a+b
即a*b¹b*a，
故①不成立；
②a*b2
=
æ
ç
a ö
÷
2
=
a2
，a2*b2 =
a2
，
èa+bø a+b2 a2+b2
a2 a2
∵ ¹ ，
a+b2 a2+b2
∴a*b2 ¹a2*b2，
故②不成立；
-a a a
③-a*b= = ，a*-b= ，
-a+b a-b a-b
∴-a*b=a*-b，
故③成立；
-a a a
④-a*b= =- ，-a*b=- ，
-a+b b-a a+b
a a
∵- ¹- ，
b-a a+b
∴-a*b¹-a*b．
综上，成立的有③．
故选：A．
2．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a(a>0)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转q角度，这样的图形运动叫做图形的r(a,q)变换．如：点P(1,2)按照r(3,90°)变换后得到点P¢的坐标为(-5,1)，
则点Q(1,-1)按照r(2,75°)变换后得到点Q¢的坐标为（ ）
æ 2 6ö æ 6 2ö æ 6 2ö æ 2 6ö
A．ç- , ÷ B．ç ,- ÷ C．ç- , ÷ D．ç ,- ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
2 2 2 2 2 2 2 2
è ø è ø è ø è ø
【答案】A
【详解】解：依题意，点Q1,-1向上平移2个单位为Z1,1，如图所示：
∵Z1,1，过点Z作ZU ^ y轴于点U，
则UZ =UO=1，
∴Ð1=45°,ZO= 12+12 = 2，
∵点Q1,-1按照r2,75°变换后得到点Q¢的坐标，
∴OQ¢=OZ = 2,Ð2=75°-45°=30°，
过Q¢作Q¢N ^ y轴，
1 2
在Rt V Q¢ON中，Q¢N = OQ¢= ，
2 2
6
则ON = OQ¢2-NQ¢2 =
2
æ 2 6ö
∴Q¢的坐标为ç- , ÷，
ç ÷
2 2
è ø
故选：A．
a b 4 2
3．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算 =ad-bc，例如： =4´6-2´1=22，则关
c d 1 6
x 4
于x的方程 =0的根的情况为（ ）
2 x-kA．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
【答案】C
x 4
【详解】解：由题意得： =x×x-k-2´4=0，
2 x-k
整理得：x2-kx-8=0，
∵Δ=-k2 -4´1´-8=k2+32>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如16=52-32，
16就是一个“智慧数”，可以利用m2-n2 =(m+n)(m-n)进行研究．下列结论：
①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数
都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】①②③
【详解】解：设正奇数为2k+1（k为非负整数），
ìm+n=2k+1
Qm2-n2 =(m+n)(m-n)，令í ，
î m-n=1
将两式相加可得：m+n+m-n=2k+1+1，即2m=2k+2，
解得：m=k+1，
将m=k+1代入m-n=1，解得：n=k．
Qk为非负整数，
\m、n为正整数，
\所有的正奇数都可以表示成两个正整数的平方差，即所有的正奇数都是“智慧数”，
故①正确；
设能被4整除的正整数为4k（k为正整数且k¹1），
ìm+n=2k
Qm2-n2 =(m+n)(m-n)，令í ，
î m-n=2
将两式相加可得：m+n+m-n=2k+2，即2m=2k+2，解得：m=k+1，
将m=k+1代入m-n=2，解得n=k-1．
Qk为正整数且k¹1，\m、n为正整数，
\除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正
整数都是“智慧数”，
故②正确；
假设存在正整数m、n，使得m2-n2 =(m+n)(m-n)是被4除余2的正整数，即m2-n2 =4k+2（k为整
数）．
Q
m+n与(m-n)的奇偶性相同，若m+n与(m-n)都是奇数，则(m+n)(m-n)都是奇数，不可能是4k+2
这种偶数；
若m+n与(m-n)都是偶数，则(m+n)(m-n)能被4整除，也不可能是4k+2；
\被4除余2的正整数都不是“智慧数”．
故③正确；
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
5．定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“H -2方程”，其中一个方程是另一
个方程的“H -2方程”．请写出方程2x=-2的一个“H -2方程”：
【答案】x-1=2（答案不唯一）
【详解】解：2x=-2，
解得x=-1，
Q
互为“H -2方程”的两个方程解之和为2，
\方程2x=-2的一个“H -2方程”解为2--1=3，
\方程2x=-2的一个“H -2方程”为x-1=2（答案不唯一），
故答案为：x-1=2（答案不唯一）．
押题猜想五 函数的多结论问题（选填）
限时：5min
如图，二次函数y=ax2+bx+ca¹0的图象过点-2，0，对称轴为直线x=1．有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若Ax，m，Bx，m是抛物线上的两点，当x=x +x 时，y=c；④点M ，
1 2 1 2
N 是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM ^PN，则a的取值范围为
1
a³ ；⑤若方程ax+24-x=-2的两根为x，x ，且x <x ，则-2£x <x <4．
3 1 2 1 2 1 2
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤
【答案】B
b
【详解】解：①由图象可知：a>0，c<0，- >0，
2a
\abc>0，故①正确；
② 抛物线的对称轴为直线x=1，
Q
b
\- =1，
2a
\b=-2a，
当x=-2时，y=4a-2b+c=0，
\4a+4a+c=0，
\8a+c=0，故②错误；
③ Ax，m，Bx，m是抛物线上的两点，
Q 1 2
由抛物线的对称性可知：x +x =1´2=2，
1 2
\当x=2时，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c，
故③正确；
④由题意可知：M ，N 到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM ^PN，
4ac-b2
即 £-3，
4a
8a+c=0，
Q\c=-8a，
b=-2a，
Q
4a×-8a-(-2a)2
\ £-3，
4a
1
解得：a³ ，故④正确；
3
⑤∵对称轴为x=1，抛物线过点-2，0
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为4，0，
\y=ax2+bx+c=ax+2x-4
若方程ax+24-x=-2，
即方程ax+2x-4=2的两根为x，x ，
1 2
则x、x 为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，
1 2
x <x ，
Q 1 2
\x <-2<4<x ，故⑤错误；
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与其系数之间的关系，解题的关键是熟练运用二次函数
的图象与性质，本题属于基础题型．
押题解读
本考点为高频考点，反比例函数、二次函数是初中的重要知识点，其中反比例函数的面积、二次函
数的系数与图象的关系是中考中重点考查的内容，所以该题型在2025年的广州中考中将很大概率
会出现。
1．小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+ca¹0的图象中，观察得出了下面4条信息：
3
①abc>0；②a= b；③b+2c>0；④a-2b+4c>0．
2
其中正确信息的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下，
∴a<0．
b 1
∵对称轴x=- =- ，
2a 3
2
∴b= a<0．
3
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c>0，
∴abc>0；
故①正确，符合题意．
b 1
②∵对称轴x=- =- ，
2a 3
3
∴a= b
2
故②正确；
③如图，当x=-1时，y=a-b+c>0，
∴2a-2b+2c>0，即3b-2b+2c>0．
∴b+2c>0．故③正确，符合题意．
④如图，当x=-1时，y>0，即a-b+c>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0．
∵b<0
∴c-b>0．
∴a-b+c+c-b+2c>0，即a-2b+4c>0．故④正确，符合题意．
综上所述，正确的结论是①②③④，共4个．故选：D．
k
2．如图，点A在双曲线y= （k>0，x>0）上，点B在直线l：y=mx-2b（m>0，b>0）上，A与B
x
关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①Ab,3b②当b=2时，
3
k =4 3③m= ④S =2b2则所有正确结论的序号是 ．
四边形AOCB
3
【答案】②③/③②
【详解】解：如图：①y=mx-2b中，当x=0时，y=-2b，
∴C0,-2b，
∴OC =2b，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB=OC =OA=2b，
∵A与B关于x轴对称，
∴AB^OD，AD=BD=b，
∴OD= 2b2-b2 = 3b，
 
∴A 3b,b ；故①不正确；
 
②当b=2时，点A的坐标为： 2 3,2 ，
∴k =2 3´2=4 3，故②正确；
 
③∵A 3b,b ，A与B关于x轴对称， 
∴B 3b,-b ，
∵点B在直线y=mx-2b上，
∴ 3bm-2b=-b，
3
∴m= ，故③正确；
3
④菱形AOCB的面积= AB×OD=2b× 3b=2 3b2，故④不正确；
所以本题结论正确的有：②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、坐标与图形性质、勾股定理，关于x轴对称、
菱形的性质等知识点，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键．
3．如图，抛物线l :y =a(x+1)2+2与l :y =-(x-2)2-1交于点A(1,-2)，以下结论：
1 1 2 2
①无论x取何值，y 总是负数；
2
②l 可由l 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
2 1
③当-3<x<1时，随着x的增大，y -y 的值先增大后减小．
1 2
下列说法正确的是（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确
【答案】C
【详解】解： (x-2)2 ³0，
Q
\-(x-2)2 £0，
\y =-(x-2)2-1£-1<0，
2
\无论x取何值，y 总是负数，故①正确；
2抛物线l :y =a(x+1)2+2与l :y =-(x-2)2-1交于点A(1,-2)，
Q 1 1 2 2
\当x=1时，y=-2，即-2=a(1+1)2+2，解得：a=-1，
\y =-(x+1)2+2，
1
\l 可由l 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确；
2 1
y -y =-(x+1)2+2-[-(x-2)2-1]=-6x+6，
Q 1 2
\随着x的增大，y -y 的值减小；故③错误．
1 2
故选：C．
4．抛物线y=ax2+bx+ca<0的顶点为D-1,2，与x轴的一个交点A在点-3,0和-2,0之间，其部分
æ 3 ö æ1 ö
图象如图，有以下结论：①4ac-b2 >0；②若ç- ,y ÷，ç ,y ÷是图象上的两点，则y > y ；
è 2 1 ø è2 2 ø 1 2
③a+b+c<0；④若方程ax2 +bx+c-m =0没有实数根，则m>2；⑤3a+c<0．其中结论正确的是 ．
【答案】②③④⑤
【详解】解： 抛物线与x轴有两个交点，
Q
\b2-4ac>0，
\结论①不正确．
æ 3 ö æ1 ö
Q 抛物线的对称轴x=-1，开口向下， è ç- 2 ,y 1 ø ÷， è ç 2 ,y 2 ø ÷是图象上的两点，
\y > y ，
1 2
\结论②正确．
Q
抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
\抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
\当x=1时，a+b+c<0，
\结论③正确．
Q
y=ax2+bx+c的最大值是2，\方程ax2 +bx+c-m =0没有实数根，则m>2，
\结论④正确．
b
抛物线的对称轴x=- =-1，
Q
2a
\b=2a，
a+b+c<0，
Q
\a+2a+c<0，
\3a+c<0，
\结论⑤正确．
综上，可得正确结论的序号是：②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．
4
5．借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数y =x+1与y = 性质的基础上，进
1 2 x+1
一步探究函数y= y +y 的性质，以下结论：①当x>-1时，y存在最小值；②当x<-3时，y随x的增大
1 2
而增大；③当y≥5时，自变量的取值范围是x³3；④若点a,b在y的图像上，则点-a-2,-b也必定在y
的图像上．其中正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
4
【详解】解：∵y= y +y =x+1+ ，
1 2 x+1
x ．．． -5 -3 -2 0 1 3 ．．．
y ．．． -5 -4 -5 5 4 5 ．．．
x,y ．．． -5,-5 -3,-4 -2,-5 0,5 1,4 3,5 ．．．
随着描点的数量不断增加，其草图如下，令x+1=t，
2
4 4 æ 2 ö
当x>-1时，即t>0时，y=x+1+ =t+ = t - +4³4，
ç ÷
x+1 t è t ø
2
当且仅当 t - =0，y =4，即t=2，x=1，故①正确，符合题意；
t max
同理，结合图象得，当x=-3时，y=-4，即在x<-1时，y存在最大值-4，此时结合草图分析得：当x<-3
时，y随x的增大而增大，故②正确，符合题意；
由草图可知，当y³5时，-1<x£0或x³2，故③错误，不符合题意；
4
由描点可知，其图形关于-1,0对称，即当x=a时，y=b，b=a+1+ ，
a+1
4 4
则有x=-a-2,y=-b，-a-2+1+ =-a-1+ =-b．
-a-2+1 -a-1
故④正确，符合题意．
故答案为：①②④．
押题猜想六 尺规作图（解答）
限时：3min
如图，在矩形ABCD中，AC是一条对角线．
(1)尺规作图：作AC的垂直平分线，分别交AD和BC于点E，F （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：AE=CF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所作：（2）解：记EF,AC交点为点O
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴Ð1=Ð2,Ð3=Ð4，
∴ AEO≌ CFOAAS，
V V
∴AE=CF．
押题解读
在近三年的广州中考中，尺规作图题目每年都出现在解答题中出现，搭配证明问题或者求长度、角
度题目，所以该题型在2025年的广州中考中将很大概率会出现。
1．如图，
V
ABC中，ÐB=2ÐC．
(1)在BC上找一点M，使得MC =MA，并说明MC =MA理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的基础上，若AB=5，BM =6，求AC的长．（保留根号，无需化简）
【答案】(1)见解析
(2)AC =4 5．
【详解】（1）解：如图，点M即为所作；由作图知，DM 是线段AC的垂直平分线，
∴MC =MA；
（2）解：∵MC =MA，
∴ÐC =ÐMAC，
∴ÐAMB=ÐC+ÐMAC=2ÐC，
∵ÐB=2ÐC，
∴ÐAMB=ÐB，
∴MC = AM = AB=5，
作AE^BM 于点E，
1
∴BE=ME= BM =3，
2
∴AE= 52-32 =4，CE=5+3=8，
在Rt V ACE中，AC = AE2+CE2 = 42+82 =4 5．
【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出
辅助线解决问题是解题的关键．
2．如图，在等腰
V
ABC中，ÐA=30°，AB= AC，沿射线BE折叠
V
ABC，使点A恰好落在BC的延长线
上的点D处，射线BE与腰AC交于点E．(1)尺规作图：作出射线BE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，连接DE，若CE=2 2，求线段DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)2 3+2
【详解】（1）解：作ÐABD的平分线，交AC于点E，射线BE即为所求；
（2）过点C作CF ^DE，如图所示：
∵等腰
V
ABC中，ÐA=30°，沿射线BE折叠
V
ABC，使点A恰好落在BC的延长线上的点D处，
∴ÐABC =ÐACB=75°,ÐA=ÐD=30°，
∴ÐDEC =75°-30°=45°，
∴ÐECF =ÐDEC =45°，
∴EF =CF，
∵CE=2 2，
∴EF =CF =2，
CF
∴tanÐD= ，
DF
∴DF =2 3，
∴DE=2 3+2．
3．如图，在菱形ABCD中，ÐBAC =2ÐB．(1)实践操作：利用尺规作ÐBAC的平分线AE，交BC于点E；（要求，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：△ACE∽△BCA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：∵AE平分ÐBAC，
1
∴ÐCAE= ÐBAC，
2
∵ÐBAC =2ÐB，
1
∴ÐB= ÐBAC，
2
∴ÐCAE =ÐB，
∵ÐACE=ÐBCA
∴△ACE∽△BCA．
4．如题图，在
V
ABC中，ÐC是钝角．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂线平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作
e
O交AB于点
D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接CD，若ÐBCD=ÐA．求证：BC是
e
O的切线；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：作出AC垂直平分线，作出
e
O，如图即为所求；（2）证明：连接OC，
∵AD是直径，
∴ÐACD=90°，
∴ÐA+ÐADC =90°，
∵OC=OD，
∴ÐODC=ÐOCD，
∴ÐA+ÐOCD=90°，
∵ÐDCB=ÐA，
∴ÐDCB+ÐOCD=90°，
∴ÐOCB=90°，
∴OC ^BC，
∵OC是半径，
∴BC是 O的切线．
e
5．如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线．
(1)在AD边上确定一点E，将 BED沿BD翻折后，点E的对应点F 恰好落在BC边上；（要求：尺规作图，
V
不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接BE、DF，若BD=10，EF =8，判断四边形BEDF的形状，并求其面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形EBFD为菱形，40
【详解】（1）解：如图所示，此时点E为所求．（2）如图，四边形EBFD为菱形．
BED沿BD翻折至△BFD
QV
\ BED≌ BFD
V V
\BE=BF，DE=DF，ÐEBD=ÐDBF
Q
平行四边形ABCF
\AD∥BF
\ÐEDB=ÐDBF
又 ÐEBD=ÐFBD
Q
\ÐEBD=ÐEDB
\BE=DE
\BE=BF =DF =DE
\四边形EBFD为菱形
\EF ^BD
又 EF =10，BD=8
Q
1
∴S = ´EF´BD=40
菱形EBFD 2
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，证明四边形
EBFD为菱形是解答本题的关键．
押题猜想七 二次方程与整式、分式的混合运算（解答）
限时：2min
关于x的方程x2-6x+10-m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；4-m2 m-2 m-1
(2)化简： ¸ ´ ．
1-m 2 m+2
【答案】(1)m>1
(2)-2
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2-6x+10-m=0有两个不等的实数根．
\D=(-6)2-4´1´(10-m)>0，
解得：m>1；
（2）解：∵m>1，
4-m2 m-2 m-1
∴ ¸ ´
1-m 2 m+2
-(m+2)(m-2) 2 m-1
= × ×
m-1 m-2 m+2
=-2．
押题解读
本考点主要考查的是根的判别式，求参数问题是初中数学中的主要问题之一，其中一元二次方程中
根与系数的关系，根的判别式求参数是考试中常见题型之前，近三年中有两年考察了根据二次方程
根的情况求解参数，然后结合整式或者分式的混合运算进行化简，难度并不大，所以在2025的成
都中考试卷中可能再次出现
1．已知关于x的方程x2-2x+3-m=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简： 2-m - m-12 ．
【答案】(1)m>2
(2)-1
【详解】（1）解：解：∵关于x的方程x2-2x+3-m=0有两个不相等的实数根
∴D=b2-4ac=-22-4´3-m>0
解得：m>2
（2）解：∵m>2∴ 2-m - m-12 =m-2-m+1=-1
æ a+b ab-b2 ö 1+b  
2．先化简再求值：ç + ÷¸ ，其中a，b是一元二次方程x2- 3+1 x-2=0的两个
èa2+2ab+b2 a2-b2 ø ab
根．
ab
【答案】 ，1- 3
a+b
é a+b ba-b ù ab
【详解】解：原式=ê + ú´ ．
êë (a+b)2 a+ba-b úû 1+b
æ 1 b ö ab
=ç + ÷×
èa+b a+bø 1+b
1+b ab
= ×
a+b 1+b
ab
= ，
a+b
 
∵a,b是一元二次方程x2- 3+1 x-2=0的两个根．
∴a+b= 3+1，ab=-2．
 
-2 3-1
-2
∴原式= = =1- 3．
  
3+1 3+1 3-1
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握分式的化简求值以及一元
二次方程根与系数的关系是解题的关键．
3．关于x的一元二次方程x2-3x+2=0．
(1)试判断该方程根的情况；
æ a b ö æ a2+b2 ö
(2)若a，b是该方程的两个实数根，化简并求下面式子的值：ç - ÷¸ç1+ ÷
èab-b2 a2-abø è 2ab ø
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
2 2
(2) ，
a+b 3
【详解】（1）解：∵x2-3x+2=0，
∴D=-32-4´2´1=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵a，b是该方程的两个实数根，
∴a+b=3,ab=2，é a b ù æ2ab+a2+b2 ö
原式=ê - ú¸ç ÷
êë ba-b aa-b úû è 2ab ø
é a b ù 2ab
=ê - ú×
êë
ba-b aa-b
úû
a+b2
a 2ab b 2ab
= × - ×
ba-b a+b2 aa-b a+b2
2a2 2b2
= -
a+b2a-b a+b2a-b
2
 a2-b2
=
a+b2a-b
2a+ba-b
=
a+b2a-b
2
= ；
a+b
∵a+b=3，
2
∴上式= ．
3
4．已知T =a-b2-aa+b-b2．
(1)化简T ；
(2)若a，b是方程x2+x-6=0的两个根，求T 的值．
【答案】(1)-3ab
(2)18
【详解】（1）解：T =a-b2-aa+b-b2
=a2-2ab+b2-a2-ab-b2
=-3ab；
（2）解：∵a，b是方程x2+x-6=0的两个根，
∴ab=-6
∴T =-3´-6=18
æ a 1 ö 1
5．先化简，再求值：ç - ÷¸ ,其中a,b是方程x2+x-6=0的两个根．
èa2-b2 a+bø a2-abab
【答案】 ；6
a+b
é a 1 ù
【详解】解：原式=
ê
-
ú
×a(a-b)
ë(a+b)(a-b) a+bû
a a(a-b)
= ×a(a-b)-
(a+b)(a-b) a+b
a2 a2-ab
= -
a+b a+b
ab
= ，
a+b
ab -6
Q
a,b是方程x2+x-6=0的两个根，\a+b=-1，ab=-6，∴原式= = =6．
a+b -1
押题猜想八 解直角三角形的应用举例（解答）
限时：4min
如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是其平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底
座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC =2.5m，折臂底座高CD=1.8m．上折臂AE与下折
臂DE的夹角ÐAED=85°，下折臂DE与折臂底座的夹角ÐCDE=135°，下折臂端点E到地面MN距离是
5.2m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin40°»0.64，cos40°»0.77，tan40°»0.84， 2 »1.41）
(1)求下折臂DE的长；
(2)求路灯AB的高．
【答案】(1)下折臂DE的长约为4.8m；
(2)路灯AB的高约为10.2m．
【详解】（1）解：过点E作EG^MN于点G，过点D作DH ^EG于点H，由题意可得四边形HGCD是矩形，
\HG=DC =1.8m，ÐHDC =90°，
ÐCDE=135°，
Q
\ÐEDH =ÐEDC-ÐHDC=45°．
\EH =HD=EG-HG=5.2-1.8=3.4m，
\在Rt V EHD中，ED= 2EH »3.4´1.41=4.794»4.8m，
答：下折臂DE的长约为4.8m；
（2）解：过点E作EK ^ AB，垂足为K．
EK∥HD，
Q
\ÐKED=ÐEDH =45°．
ÐAED=85°，
Q
\ÐAEK =ÐAED-ÐKED=40°．
GC =HD=3.4m，BC=2.5m，
Q
\BG=5.9m，
由题意可得四边形EGBK是矩形，
\EK =5.9m，KB=EG=5.2m，
AK
在Rt AEK中，tan40°= »0.84，
V
EK
\AK =5.9´0.84»5m．
\AB=KB+AK =5+5.2=10.2m．
答：路灯AB的高约为10.2m．押题解读
本考点为高频考点，近三年中考中出现了两次，而在2024年的广州中考中，这个题型结合了2024
年的嫦娥六号，所以接下来，这类题型将更侧重与情境问题、跨学科问题（如物理、化学等）进行
结合，所以解直角三角形类的题型仍然会继续出现在今年的中考数学试卷中。
1．如图，灯塔C位于港口A的北偏东58°方向，且A，C之间的距离为30km，一艘轮船从港口A出发，
沿正南方向航行到达B处，测得灯塔C位于北偏东37°方向上，求这时轮船到港口A的距离（结果取整数，
参考数据：sin58°»0.85，cos58°»0.53，tan58°»1.60，sin37°»0.60，cos37°»0.80，tan37°»0.75）．
【答案】这时轮船到港口A的距离为18km．
【详解】解：作CD^BA交BA的延长线于点D，
AD CD
在Rt△ACD中，cos58°= ，sin58°= ，
AC AC
AD CD
则 »0.53， »0.85，
30 30
解得AD=15.9，CD=25.5，
CD
在Rt△BCD中，tan37°= ，
BD
25.5
则 »0.75，
BD
解得BD=34，∴AB=BD-AD=34-15.9=18.1»18km，
答：这时轮船到港口A的距离为18km．
2．随着人们对于提高身体素质的重视，喜欢步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定
对如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=300米，坡度为1: 3：斜坡AB改造为斜
坡CD，斜坡CD=400米，其坡度为1:3．
(1)求AE的长；
(2)求斜坡AB下降的高度AC．（结果保留根号）
【答案】(1)150米
 
(2) 150-40 10 米
【详解】（1）解：
Q
斜坡AB的坡度为1: 3，
1 3
\tanÐABE= = ，
3 3
\ÐABE=30°，
Q
斜坡AB=300米，
1
\ AE=sinÐABE AB= ´300=150（米）；
g
2
CE 1
（2）
Q
斜坡CD的坡度为1:3，即tanÐCDE= = ，
DE 3
\设CE=x，DE =3x，
Q
斜坡CD=400米，CE2+DE2 =CD2，
\x2+3x2 =4002，
解得：x=40 10，
即CE=40 10米，
由（1）得AE=150米， 
\ AC = AE-CE= 150-40 10 米．
3．水碓（duì）是中国古代利用水利驱动的舂捣工具，主要用于谷物脱壳（如稻谷去壳成米）、粉碎药材或
加工其他物料．水碓主要由水轮、碓体、碓臼组成，当水轮转动时利用杠杆原理使得凸轮或齿轮带动碓杆
上下运动，图1为为水碓的结构简图，图2为碓体平面示意图．已知OE是垂直水平地面AF 的支柱，碓杆AB
可绕支点O在竖直平面内转动，且AB垂直碓头CD于点B．若OE=0.3米，OA=0.6米，OB=1.8米，BD=0.6
米，当碓杆AB的一端点A接触到水平地面时，碓头顶点C抬升到最大高度．
(1)求碓头顶点C抬升到最高时，ÐBAF的度数；
(2)当碓头顶点C抬升到最高时，求碓头点D到水平地面AF 的距离（精确到0.1米，参考数据： 3=1.73）．
【答案】(1)30°
(2)0.7
【详解】（1）解：在Rt△AOE中，OA=0.6，OE=0.3，
OE 1
\sinÐOAE= = ，
OA 2
\ÐOAE =30°
即ÐBAF的度数为30°；
（2）解：如图所示，过点B作BM ^AF于点M ，过点D作DN^AF于点N ，过点D作DG^BM于点G，
由图可知，四边形DGMN为矩形，
∴DN =GM ，
在Rt ABM 中，AB=OA+OB=0.6+1.8=2.4,ÐBAM =30°,
V
1
\BM = AB=1.2,ÐABM =90°-ÐBAM =60°,
2\ÐGBD=90°-ÐABM =30°，
在Rt△BDG中，BD=0.6，
GB 3
\cosÐGBD=cos30°= = ，
BD 2
3 3
\GB= ，
10
3 3
\GM =BM -GB=1.2- »0.7（米），
10
所以，点D到水平地面AF 的距离为0.7米．
4．如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B
的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为24km，求港口
8 3
C到航线的距离．（参考数据：tan21°» ，tan37°» ，tan76°»4．）
21 4
【答案】16km
【详解】解：过点C作CE^航线于点E，过点B作BD^AE，过点B作BF ^CE于点F ，则四边形BDEF
为矩形，
∴BD= EF,BF = DE，
由题意，得：BD=24km，设CE=xkm，则：CF =x+24km在Rt BAD中，ÐBAD=37°,BD=24km，
V
BD 4
∴AD= »24´ =32km，
tan37° 3
在Rt△AEC中，ÐCAE=21°,CE=xkm，
CE 21x
∴AE= » km，
tan21° 8
æ21x ö
∴BF =DE= AE-AD=ç -32÷km，
è 8 ø
FC
在Rt△BFC中，tanÐFBC =tan76°= »4，
BF
æ21x ö
∴x+24=4ç -32÷，
è 8 ø
解得：x=16；
∴CE=16km；
即：港口C到航线的距离为16km．
5．一座辽阳城，半部东北史．在辽阳城中，巍峨耸立着一座千年辽塔——辽阳白塔．辽阳白塔因其塔檐间
立壁和塔腰八面涂有白垩而得名白塔．某校九年级“综合与实践”小组开展“辽阳白塔高度的测量”实践活动，
如图2，在距离白塔底部中心92米的点A 处有一坡角为30°的斜坡，斜坡AB长为10米，在斜坡上点B 处
用测角仪测得白塔最高点M的仰角为33°，点A，B，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计．
(1)求点 B 到水平地面 NA的距离；
(2)求辽阳白塔MN的高度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin33°»0.54，cos33°»0.84,tan33°»0.65, 3»1.73)
【答案】(1)点B到水平地面NA的距离为5米
(2)辽阳白塔的高度约为70.4米
【详解】（1）解：过点B作BD^NA于点D，
根据题意，AB=10米，ÐBAD=30°，
BD
在Rt△ABD中，sinÐBAD= ，
AB
1
∴BD= AB×sinÐBAD=10´sin30°=10´ =5（米），
2
答：点B到水平地面NA的距离为5米．
（2）解：过点B作BE^MN于点E，
∵ÐBEN =ÐEND=ÐBDN =90°，
∴四边形ENBD是矩形，
∴EN =BD=5（米），
AD
在Rt△ABD中，cosÐBAD= ，
AB
3
∴AD= AB×cosÐBAD=10´cos30°=10´ =5 3（米），
2
 
∴BE=ND= AN+AD= 92+5 3 米，
ME
在Rt MBE中，ÐMBE=33°，tanÐMBE= ，
V
BE
∴ME=BE×tanÐMBE=  92+5 3  tan33°»0.65´92+5´1.73»65.4（米），
∴MN =ME+EN =65.4+5=70.4（米）
答：辽阳白塔的高度约为70.4米．
押题猜想九 函数的实际应用（解答）
限时：5min
在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为x分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为y 克、y 克，其中y ，y 与x的几组对应值如下表：
1 2 1 2
x 0 5 10 15 20 24
y 25 23.5 20 14.5 7 0
1
y 25 20 15 10 5 1
2
(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画y 与x,y 与x之间的关系，且y 与x之间满足某种特殊的变化规律：
1 2 2
①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
②直接写出y 与x之间的函数表达式是_____；
2
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一
位）；
②随着实验的进行，当y = y 时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）．
1 2
【答案】(1)①见解析；②y =-x+25
2
(2)①4.5；②22.5
【详解】（1）解：①描点并连线如图所示：
②∵y 与x之间的函数图象是一条直线，
2
∴y 与x之间是一次函数的关系，
2
设y 与x之间的函数表达式是y =kx+b（k、b为常数，且k ¹0），
2 2将坐标0,25和5,20分别代入y =kx+b，
2
ìb=25
得í ，
î5k+b=20
ìk =-1
解得í ，
îb=25
∴y 与x之间的函数表达式是y =-x+25；
2 2
（2）解：①当实验时间为7.5分钟时，结合（1）函数图象，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为
22.5-17.5=5.0克，
故答案为：5.0；
②随着实验的进行，当y = y 时，结合（1）函数图象，实验时间约为22.5分钟．
1 2
故答案为：22.5．
押题解读
该考点为广州中考的必考考点，近三年考察了一次函数及反比例函数，一般会通过图像或者表格的
信息对函数的解析式进行求解，所以该题型应该会继续出现在2025年的中考数学试卷中，继续考
察一次函数、反比例函数。
1．某电影院推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收
费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式；
(2)求观影多少次时，两者花费一样？费用是多少？
【答案】(1)y =20x；y =10x+80
甲 乙
(2)观影8次时，两者花费一样，费用为160元
【详解】（1）解：设y =k x
甲 1根据题意得4k =80，解得k =20，
1 1
∴y =20x；
甲
设y =k x+80，
乙 2
根据题意得：12k +80=200，
2
解得k =10，
2
∴y =10x+80；
乙
ìy=20x
（2）解：联立í ，
îy=10x+80
ìx=8
解得：í ，
îy=160
即观影8次时，两者花费一样，费用为160元．
2．为实行乡村振兴，返乡创业的小红利用网络平台，直播销售一批成本为每斤30元的农产品．经调查发
现，该农产品每天的销售量y（斤）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，且当x=35时，y=110；
当x=40时，y=100．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)销售期间，网络平台要求每斤农产品获利不得高于70%，该产品每天的销售利润能为1800元吗？若能，
求出销售单价；否则，请说明理由．
【答案】(1)y=-2x+180；
(2)不能，理由见解析．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵当x=35时，y=110；当x=40时，y=100，
ì35k+b=110
∴í ，
î40k+b=100
ìk =-2
解得：í ，
îb=180
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+180；
（2）解：不能，理由：根据题意，得x-30-2x+180=1800
化简得x2-120x+3600=0
解得x =x =60
1 2
60-30
当x=60时， ´100%=100%>70%，不符合题意
30
∴不能使每天的销售利润为1800元．
3．科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小
组为探究空气的温度x（单位：℃）与声音在空气中传播的速度y（单位：米秒）之间的关系，在标准实验
室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据．
温度x/℃ … 0 5 10 15 20 …
声音在空气中传播的速度y/
… 331 334 337 340 343 …
（米/秒）
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中数据所对应的点．
(2)根据描点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是______（填“一次函
数”或“二次函数”），求出该函数的解析式．
(3)某地春季的室外温度是25℃，小明在看到闪电2秒后听到雷声，求小明与发生打雷的地方的距离．（光的
传播时间忽略不计）
【答案】(1)见解析
(2)y=0.6x+331
(3)小明与燃放烟花地的距离为346´2=692（米）．
【详解】（1）解：根据题意描点如图：（2）解：根据（1）的图象得这个函数可能是一次函数，
设这个函数的解析式为y=kx+b，
将点0,331，5,334代入，得：
ì5k+b=334 ìk =0.6
í ，解得：í ，
îb=331 îb=331
∴这个函数的解析式为y=0.6x+331．
（3）解：在y=0.6x+331中，
当x=25时，y=0.6´25+331=346，
∵小明同学看到烟花2秒后才听到声响，
∴小明与燃放烟花地的距离为346´2=692（米）．
4．人类免疫缺陷病毒（HIV ）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏人
类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护．HIV 攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要是T
细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被HIV 侵入后，宿主体内T
细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将HIV 侵入机体的时刻设为0时刻，在0~ 2h内T细胞的相
对浓度变化量为二次函数，2h~6h内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且t =1时，T细胞的相对浓
度为60%．
(1)写出C关于t的函数解析式；
(2)若T细胞相对浓度变化量在60%以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段．ì-20t2+80t0£t£2
ï
【答案】(1)C =í160
ï
t>2
î t
8
(2)1£t£
3
【详解】（1）解：当0£t£2时，设C =at2+bt+ca¹0，
Q
抛物线C经过0,0,2,80，1,60，
ìc=0
ï
\代入得：í4a+2b=80，
ï
îa+b=60
ìa=-20
ï
解得：íb=80 ，
ï
îc=0
\C =-20t2+80t0£t£2，
当t>2时，
k
Q
反比例函数C经过2,80，设C:C = k >0，
t
\代入得：k =160，
ì-20t2+80t0£t£2
ï
\C =í160 ；
ï
t >2
î t
（2）解：
Q
当0£t£2时，函数C随着t的增大而增大，
此时令C =60，解得t =1，
当t>2时，C随着t的增大而减小，
160
令C =60，则 =60，
t
8
解得t = ，
3
8
\该机体患病的时间段为1£t£ ．
3
5．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁BC段滑动
（点P不与B,C重合）．已知OA=OC =10cm,BC =25cm，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：
左盘砝码质量´OA=右盘物体质量´OP（不计托盘与横梁质量）．(1)设右侧托盘中放置物体的质量为y(g),OP的长为x(cm)，求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值
范围．
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C
向点B滑动，向空瓶中加入28g的水后，发现点P移动到PC的长为15cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶
的质量．
1000
【答案】(1)y= (10£x£35)
x
(2)这个空矿泉水瓶的质量为12g
【详解】（1）解：∵左盘砝码重量´OA=右盘物体重量´OP，右侧托盘中放置物体的质量为yg，OP的
长为xcm，砝码的质量是100g，OA=10cm，
∴100´10=xy，
1000
∴y= ．
x
∵OC =10cm，BC =25cm，
∴OB=35cm，
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴10£OP£35．
即10£x£35．
1000
答：y关于x的函数表达式为：y= (10£x£35)；
x
（2）解：设空矿泉水瓶的质量为mg．
根据题意，得100´10=10+1528+m，
解得m=12．
\这个空矿泉水瓶的质量为12g．
押题猜想十 二次函数的动点问题（解答）
限时：10min
已知二次函数y=x2-mx-2m（m为常数）．(1)当m=2时．求函数顶点坐标；并结合图象，直接写出当-1<x<2时，y的取值范围是_________．
(2)若点Pn+1,y 和Q2n-1,y 都在该二次函数的图象上，且不论n取何值总有y £ y 成立，求m的值；
1 2 1 2
(3)①两位同学尝试代入不同的m值后，提出了两个观点．请你选择一个，继续完善它．
甲说：“不论m取何值，函数图象必过一个定点”
乙说：“不论m取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动”
我选择_________（填“甲”或“乙”）的观点，他的具体答案是_________（填写定点坐标或抛物线表达式）；
②已知点M(-3,1),N(3,4)，若二次函数图象与线段MN只有一个交点，直接写出m的取值范围_________．
【答案】(1)1,-5，-1< y£-5
(2)m=6
9
(3)①甲，-2,4；或乙y=-x2-4x；②m>1或m=- + 10
2
【详解】（1）解：当m=2时，y=x2-mx-2m=x2-2x-4=x-12 -5，
∴此时函数顶点坐标为1,-5；
当x=-1时，y=x-12 -5=-1-12 -5=-1；
当x=2时，y=x-12 -5=2-12 -5=-4；
函数图象如下：
∴当-1<x<2时，y的取值范围是-1< y£-5，
故答案为：-1< y£-5．
（2）解：∵点Pn+1,y 和Q2n-1,y 都在该二次函数y=x2-mx-2m的图象上，
1 2
∴y =n+12 -mn+1-2m，y =2n-12 -m2n-1-2m，
1 2∴y -y =2n-12 -m2n-1-2m-én+12 -mn+1-2mù=3n2-6+mn+2m，
2 1 ë û
∵不论n取何值总有y £ y 成立，
1 2
∴不论n取何值总有y -y =3n2-6+mn+2m³0成立，
2 1
∴关于n的二次函数y =3n2-6+mn+2m与x轴只有一个交点或没有交点，
3
∴Δ=6+m2 -4´3´2m£0，
整理得Δ=6-m2 £0，
∵6-m2 ³0，
∴6-m=0，
解得m=6；
（3）解：①选“甲”的观点，
∵y=x2-mx-2m=x2-mx+2，
∴当x=-2时，y=x2-mx+2=4，
∴不论m取何值，函数y=x2-mx-2m的图象必过一个定点-2,4；
选“乙”的观点，
æ mö 2 1
∵y=x2-mx-2m=çx- ÷ - m2-2m，
è 2 ø 4
æm 1 ö
∴函数顶点坐标为ç ,- m2-2m÷，
è 2 4 ø
ì m
x=
ï
ï 2
令í ，
1
ïy=- m2-2m
îï 4
m
由x= 得m=2x，
2
1 1
代入y=- m2-2m得y=- 2x2-2´2x=-x2-4x，
4 4
∴不论m取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动，固定抛物线解析式为y=-x2-4x；
故答案为：甲，-2,4；或乙y=-x2-4x；
当x=-2时，y=x2-mx+2=4，∴不论m取何值，函数y=x2-mx-2m的图象必过一个定点-2,4；
②设直线MN解析式为y=kx+b，
ì 1
k =
ì1=-3k+b ï ï 2
把M(-3,1),N(3,4)代入得í ，解得í ，
î4=3k+b
ïb=
5
ïî 2
1 5
∴直线MN解析式为y= x+ ，
2 2
当直线MN与抛物线有且只有一个交点时，
1 5
即方程 x+ = x2-mx-2m有两等根，
2 2
æ 1ö 5
整理得x2-çm+ ÷x-2m- =0，
è 2ø 2
1
æ 1ö 2 æ 5ö m+
∴Δ= è çm+ 2ø ÷ -4 è ç-2m- 2ø ÷=0，两等根 x 1 = x 2 = 2 2 = 1 2 m+ 1 4 ，
9
解得m=- ± 10，
2
∵二次函数图象与线段MN只有一个交点，
1 1
∴-3£ m+ £3，
2 4
13 11 9
解得- £m£ ，只有m=- + 10符合条件；
2 2 2
当直线MN与抛物线有两个交点时，
1 5
即方程 x+ = x2-mx-2m有两不等根，
2 2
æ 1ö 5
整理得x2-çm+ ÷x-2m- =0，
è 2ø 2
æ 1ö 2 æ 5ö
∴Δ=çm+ ÷ -4ç-2m- ÷>0，
è 2ø è 2ø
9 9
m<- - 10或m>- + 10，
2 2
∵不论m取何值，函数y=x2-mx-2m的图象必过一个定点-2,4，
1 5 1 5 3
∴当x=-2时，y= x+ = ´-2+ = <4，即定点-2,4在直线MN上方，
2 2 2 2 2
∵二次函数图象与线段MN只有一个交点，
1 5
∴直线x=3与抛物线的交点位于直线MN下方，即32-3m-2m< ´3+ ，
2 2
解得m>1，此时m>1，
9
综上所述，二次函数图象与线段只有一个交点，m的取值范围为m>1或m=- + 10，
2
9
故答案为：m>1或m=- + 10．
2
押题解读
该考点都会是以压轴题的形式出现，难度偏大，要求考生熟练掌握与二次函数有关的基础知识、二
次函数的图象和性质，而且要抓住运动过程中的不变量进行求解，将运动过程中某一时刻动点的运
动距离转化为几何图形的条件或将满足几何图形条件时动点需运动的距离作为条件进行解答.
1．我们约定：对于抛物线C :y=ax2+bx+cabc¹0，称抛物线C : y=bx2+cx+a是抛物线C 的“幸福抛
1 2 1
物线”．根据该约定，解答下列问题：
(1)若抛物线C :y=mx2+2x+1-n的“幸福抛物线”是C :y= px2-2x-1，则m=______；n =______；p=
1 2
______；
æ 1öæ 1ö
(2)已知抛物线C :y=ax2+bx+c上的两点Ax,y ，Bx ,y ，若çx - ÷çx - ÷>0时，y -y ¹0，且C
1 1 1 2 2 è 1 2øè 2 2ø 1 2 1
的顶点在其“幸福抛物线”C 的图象上，试探究抛物线C 的图象是否经过某定点？若存在，求出定点的坐标；
2 2
若不存在，请说明理由；
(3)在同一平面直角坐标系中，抛物线C :y=ax2+bx+c与y轴交于点M，其“幸福抛物线”C 与y轴交于点N
1 2
（M在N的上方），两抛物线始终有一个交点P，在一条与某坐标轴平行的定直线上运动．若 PMN是以MN
V
为底边的等腰三角形，且a-c+ba+3c+b<0时，试求抛物线C 的“幸福抛物线”C 截x轴得到的线段长
2 3
度l的取值范围．
【答案】(1)m=-1，n=3，p=2
 
(2) 1± 2,0
(3)1<l< 17且l¹ 2
【详解】（1）解：由抛物线C :y=mx2+2x+1-n的“幸福抛物线”是C :y= px2-2x-1，可得：m=-1，
1 2
1-n=-2，p=2，
解得：m=-1，n=3，p=2．æ 1öæ 1ö
（2）解：∵Ax,y ，Bx ,y 在抛物线C :y=ax2+bx+c上，çx - ÷çx - ÷>0，y -y ¹0，
1 1 2 2 1 è 1 2øè 2 2ø 1 2
1 b 1
∴C 的对称轴为直线x= ，即- = ，b=-a，
1 2 2a 2
æ1 1 ö
\C : y=ax2-ax+c，其顶点为ç ,- a+c÷；代入C : y=-ax2+cx+a得c=2a，
1 è2 4 ø 2
\C :y=-ax2+2ax+a=-a  x2-2x-1  ，令y=0，得x=1± 2
2
 
\C 所过定点为 1± 2,0 ；
2
ìy=ax2+bx+c
（3）解：联立í ，
îy=bx2+cx+a
得a-bx2+b-cx+c-a=0，
发现x=1是方程的一个根，
故C 与C 的交点P1,a+b+c在直线x=1上运动，
1 2
Q
M0,c，N0,a，PM =PN，
a+c
\ =a+b+c，得a=-2b-c，
2
对于C :y=cx2+ax+b，
3
-a+ a2-4cb -a- a2-4cb a2-4cb
2b+c2-4bc
4b2+c2
l = - = = = ，
2c 2c c c c
a-c+ba+3c+b<0，
Q\-b-2c-b+2c<0，即b2 <4c2，0< æ
ç
bö
÷
2 <4，
ècø
又 Qabc¹0，
\b¹0，且a¹0，
b
\ ¹0且-2b-c¹0，
c
b 1
即 ¹- ，
c 2
4b2+c2 æbö 2 æbö 2 æbö 2 1
\l = = 4ç ÷ +1（0<ç ÷ <4且 ç ÷ ¹ ），
c ècø ècø ècø 4
\1<l< 17且l¹ 2．
【点睛】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，等腰三角形的定义，
求根公式等知识点，解题的关键是理解题意，掌握以上知识点．
2．已知拋物线y=ax2+bx+4(a¹0)．
(1)若拋物线的对称轴是直线x=2，拋物线与x轴的交点坐标为(2,0)．
①求抛物线的表达式；
②若点A的坐标为(3,3)，动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断 AOP的面积是否存
V
在最大值？若存在，求出最大值；
(2)若b=-6a，拋物线过点B(-2,0)，与y轴交于点C，将点B绕点N(0,n)(n<0)顺时针旋转（旋转角小于
180°）得到点B¢，当点B¢恰好落在抛物线上，且满足ÐBNB¢+ ÐBCB¢=180°时，求n的值．
27
【答案】(1)①y=x2-4x+4；②存在，最大值为
8
(2)-16
ì b
ï- =2 ìa=1
【详解】（1）解：①由题意，得í 2a ，解得í
ï î4a+2b+4=0
îb=-4
\抛物线的表达式为y=x2-4x+4．
27
②存在， AOP的面积的最大值为 ．
V
8
如图1，作直线OA，过点P作PQ∥y轴交OA于点Q．设P(m,m2-4m+4)．
O(0,0)，A(3,3)，
Q
\直线OA的表达式为y=x，
\Q(m,m)，
\PQ=m-(m2-4m+4)=-m2+5m-4，
\S =S +S
△AOP △OPQ △APQ
1 1
= m(-m2+5m-4)+ (3-m)(-m2+5m-4)
2 2
3
=- (m2-5m+4)
2
3 5 27
=- (m- )2+
2 2 8
3
- <0，
Q
2
5 27
\当m= 时， AOP的面积有最大值 ．
V
2 8
（2）解：将点B(-2,0)代入y=ax2+bx+4，得4a-2b+4=0．
1 3
把b=-6a代入4a-2b+4=0，解得a=- ，b= ，
4 2
1 3
\抛物线的表达式为y=- x²+ x+4，
4 2
\C(0,4)．
如图2，过点N作NF ^B¢C于点F，过点N作NG^BC交CB的延长线于点G，则ÐG=ÐCFN =90°，
\ÐFCG+ÐGNF =180°
设CB¢与x轴的交点为K，由旋转可得BN =B¢N．
ÐBNB¢+ÐBCB¢=180°，
Q
\ÐBNB¢=ÐGNF，
\ÐBNG=ÐB¢NF．
ÐG=ÐB¢FN =90°，
Q
\ NGB≌ NFB¢(AAS)，
V V
\NG=NF，
∴CN 平分ÐBCB¢．
CO^OB，
Q
\OK =OB=2，
\K(2,0)．
C(0,4)，
Q
\直线CK的表达式为y=-2x+4，
1 3
当-2x+4=- x2+ x+4时，解得x =0，x =14，
4 2 1 2
\B¢(14,-24)．
N(0,n)，BN =B¢N，
Q
\4+n2 =142+(24+n)2，
解得n=-16，
即n的值为-16．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，二次函数与一次函数图象的交点等，综合运用相关知识是解题的关键．
3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）的顶点为P，且2a+b=0，与x轴相交于A-1,0
和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
(1)若a=1．
①求点P和点B的坐标；
②点P为抛物线第四象限上一动点，过点D作DF ^x轴于点F，交BC于点E，记△BCD，△BEF的面积
分别为S ，S ，求S -S 最大值时点D的横坐标；
1 2 1 2
(2)点Q为直线y=3上一动点，点M在x轴下方一点，满足AQ= AM ，ÐQAM =90°，连接BQ，PM ，当
BQ+PM 的最小值为4 2时，求点M和Q的坐标．
15
【答案】(1)①1,-4,3,0；②
8
(2)M2,-7，Q6,3
【详解】（1）解：①∵a=1，2a+b=0，
\b=-2，
则抛物线的解析式为y=x2-2x+c，
把A-1,0代入上式得c=-3，
\y=x2-2x-3=x-12 -4，
则点P的坐标为1,-4．
令x2-2x-3=0，解得x =-1，x =3，
1 2
\点B的坐标为3,0．
② B3,0，C0,-3
Q
∴设直线BC的解析式为y=kx-3，把B3,0代入，得：k=1，
\直线BC的解析式为y=x-3
设点D的坐标为  m,m2-2m-3  ，则点E为m,m-3，F为m,0，
则DE=m-3-  m2-2m-3  =-m2+3m，EF =-m+3，1 3 9m
S = ´3´  -m2+3m  =- m2+ ，
VBCD 2 2 2
OB=OC =3，
Q
\ÐOBC=45°，则BF =EF =-m+3，
1 1 9
S = ´(-m+3)2 = m2 -3m+
△BEF 2 2 2
15 9
\S -S =-2m2 + m-
1 2 2 2
15
∴当 2 15时，S -S 取最大值，
m=- = 1 2
-2´2 8
15
故当S -S 取最大值时，点D的横坐标为 ．
1 2 8
（2）作QH ^ x轴于点H，MN ^x轴于点N，取点G-1,-4，连接GM ．
ÐQAH +ÐAQH =90°，ÐQAH +ÐMAN =90°，
Q
\ÐAQH =ÐMAN，
ÐAHQ =ÐMNA=90°，AQ= AM ，
Q
\ AHQ≌ MNAAAS；
V V
\QH = AN =3，AH =MN，
\N2,0．
\点M在直线x=2上运动，
AB= AG=4，ÐGAM =ÐBAQ，AM = AQ，
Q
\ AGM≌ ABQSAS，
V V
\GM = BQ，
则BQ+PM 的最小值即是GM +PM 的最小值．
作点G关于直线MN的对称点G¢5,-4．当P，M、G¢三点共线时，GM +PM 的值最小．
即PG¢= 4 2
y=ax2-2ax-3a，
Q
\顶点P为1,-4a，
则5-12 +-4+4a2 =  4 2 2 ，解得a=2，a=0（舍），
则P1,-8．
设直线PG¢的解析式为：y=mx+n，
ìm+n=-8 ìm=1
∴í ，解得：í ，
î5m+n=-4 în=-9
∴直线PG¢解析式为y=x-9，令x=2，则M2,-7，
AH =MN=7，
Q
\OH =7-1=6．
\Q6,3
综上：M2,-7，Q6,34．二次函数y=mx2-3mx-4m的图象交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C．
(1)若点C坐标为0,4．
①求该二次函数的解析式及A，B的坐标；
②若点P为直线BC上方二次函数图象上一个动点，求△PBC的最大值；
(2)当m>0时，已知点M-1,1，N5,9m-1，且二次函数图象与线段MN只有一个公共点，请求出m的取
值范围．
【答案】(1)①y=-x2 +3x+4，A-1,0，B4,0；②最大值为8
1
(2)0<m£
3
【详解】（1）解：①
Q
点C坐标为0,4，即-4m=4，
\m=-1．
\该二次函数的解析式为y=-x2 +3x+4，
令y=0，则-x2+3x+4=0，
解得：x =-1，x =4，
1 2
\抛物线与x轴交点为A-1,0，B4,0
②过点P作x轴的垂线，交BC于点E，交x轴于点F ，设直线BC的解析式为y=kx+b，
ì4k+b=0
将B4,0，C0,4代入y=kx+b可得í ，
îb=4
ìk =-1
解得í ，
îb=4
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
设点P  x,-x2+3x+4 0<x<4，则Ex,-x+4，
\PE =-x2+3x+4--x+4=-x2+4x，
1 1 1 1
∴S =S +S = PE×OF+ PE×BF = PE×OB=  -x2+4x  ´4=-2x2+8x，
VPBC VPCE VPEB 2 2 2 2
\S =-2x2+8x=-2x-22 +8，
VPBC
∵-2<0，
\当x=2时，△PBC的值最大，最大值为8；
（2）解：当m>0时，
Q
抛物线经过-1,0，
\点M-1,1在抛物线内部，
当点N 在抛物线上或外部时，抛物线与线段MN只有一个公共点，
将x=5代入y=mx2-3mx-4m得y=25m-15m-4m=6m，
\9m-1£6m，1
解得m£ ，
3
1
\0<m£ ．
3
5．已知抛物线y=ax2+bx-2经过点A4,2 ， B2,-4
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上找一点C，使
V
ABC是以AB为直角边的三角形，求点C的坐标；
(3)AB交x轴于点D，点P是抛物线上一动点，过点P作PF ^ AB于点F ，过点P作AB的平行线，交x轴
于点E．
①点P在AB下方的抛物线上时， 10PF+DE的值记为d，求d的最大值及此时点P的坐标；
②抛物线与四边形DEPF交点的纵坐标的最大值记为y ，最小值记为y ，当y -y =2时，直接写出点P的
1 2 1 2
坐标．
【答案】(1)y= x2 -3x-2
æ 4 34ö æ2 32ö
(2)Cç- , ÷或ç ,- ÷
è 3 9 ø è3 9 ø
4 æ8 26ö æ10 8ö
(3)①d的最大值为 ,P3,-2；②Pç ,- ÷或ç ,- ÷
3 è3 9 ø è 3 9ø
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx-2经过点A4,2， B2,-4
ì16a+4b-2=2
∴í
î4a+2b-2=-4
ìa=1
解得：í
îb=-3
∴抛物线的表达式为y= x2 -3x-2
（2）解：如图所示，过点A,B分别作x,y轴的垂线交于点E，
作AC^ AB，CF ^ AE，则ÐCAB=90°∵A4,2， B2,-4
∴E4,-4
∴BE=2,AE=6
BE 1
∴tanÐBAE= =
AE 3
∵ÐCAB=90°
∴ÐBAE=90°-ÐCAF =ÐACF
AF 1
∴tanÐACF = =
CF 3
设AF =a，则CF =3a
∴F4,2+a，C4-3a,2+a
∵C在抛物线y= x2 -3x-2上，
∴2+a=4-3a2 -34-3a-2
16
解得：a= 或a=0（舍去）
9
16 4 16 34
∴4-3a=4-3´ =- ，2+a=2+ =
9 3 9 9
æ 4 34ö
∴Cç- , ÷；
è 3 9 ø
1
当ÐCBA=90°时，同理可得tanÐCBD=
1 1 3
设CD=b，则DB=3b
1
∵B2,-4
∴D2-3b,-4，C 2-3b,-4+b
1
∵C 2-3b,-4+b在抛物线y= x2 -3x-2上，
1∴-4+b=2-3b2 -32-3b-2
4
解得：b= 或b=0（舍去）
9
4 2 4 32
∴2-3b=2-3´ = ，-4+b=-4+ =-
9 3 9 9
æ2 32ö
∴C ç ,- ÷
1 è3 9 ø
æ 4 34ö æ2 32ö
综上所述，Cç- , ÷或ç ,- ÷
è 3 9 ø è3 9 ø
（3）①如图所示，点P在AB下方的抛物线上时，过点P作PM∥DE交AB于点M ，过点A作AN∥x轴，
过点B作BN ^ AN 于点N ，过点P作PQ∥BN 交AB于点Q，
∵A4,2， B2,-4
∴AN =2,BN =6
1
∴tanÐABN = ，AB= 22+62 =2 10
3
AN 2 10
∴sinB= = =
AB 2 10 10
∵PQ∥BN
∴ÐPQF =ÐB，
PM 1 PF 10
∴tanÐPQF = =tanB= ,sinÐPQF = =
PQ 3 PQ 10
1
∴PQ= 10PF ,PM = PQ
3
∵PM∥DE,AB∥PE，
∴四边形MPED是平行四边形，
∴PM =DE1 4
∴d = 10PF+DE=PQ+ PQ= PQ
3 3
∴当PQ取得最大值时，d取得最大值
设直线AB的解析式为y=kx+bk ¹0，代入A4,2， B2,-4
ì4k+b=2
∴í
î2k+b=-4
ìk =3
解得：í
îb=-10
∴直线AB的解析式为y=3x-10
设P  t,t2-3t-2  ，则Qt,3t-10
∴PQ=3t-10-  t2-3t-2  =-t2+6t-8=-t-32 +1
当t=3时，PQ的最大值为1,此时t2-3t-2=-2
4
∴d的最大值为 ,P3,-2
3
②解：依题意，y -y =2，则P点只能在AB的下方，如图所示，设PE与抛物线的另一个交点为P¢
1 2
由①可得直线AB的解析式为y=3x-10
∵PE∥AB
设PE的解析式为y=3x+m，
ìy=3x+m
联立í
îy=x2-3x-2
消去y，得x2-6x-2-m=0
设P,P¢的横坐标为x ,x ，则y -y =3x +m-3x -m=3x -x 
1 2 1 2 1 2 1 2∴x +x =6,x ×x =-2-m
1 2 1 2
∴x -x 2 =x +x 2 -4xx =36-4-2-m=4m+44
1 2 1 2 1 2
∵y -y =2=3x -x ，
1 2 1 2
∴9x -x 2 =4
1 2
∴94m+44=4
98
解得：m=-
9
98
∴设PE的解析式为y=3x-
9
ì 98
ïy=3x-
联立í 9
ï îy=x2-3x-2
ì 8 ì 10
x= x=
ï ï
ï 3 ï 3
解得：í 或í
26 8
ïy=- ïy=-
ïî 9 ïî 9
∵P,P¢可以互换
æ8 26ö æ10 8ö
∴Pç ,- ÷或ç ,- ÷
è3 9 ø è 3 9ø
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，解直角三角形，线段最值问题，平行四边
形的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
押题猜想十一 特殊四边形的综合（解答）
限时：13min
在矩形ABCD中，AB=6，点E为直线AD上一动点，连接BE，将 ABE沿BE所在直线折叠，点A的对
V
应点为点F，连接EF并延长，交BC于点G．
(1)如图（1），填空：GB________GE（填“>”“<”或“=”），并说明理由．AB
(2)如图（2），若BF的延长线经过点D，且点F恰好是BD的中点，求 的值．
AD
(3)如图（3），AD=6 3，当点E在直线AD上运动，若
V
CDF为等腰三角形时，请直接写出DF的长度．
【答案】(1)=；见解析
AB 3
(2) =
AD 3
(3)6，6 3或6 7
【详解】（1）解：∵折叠，
∴ÐAEB=ÐBEF，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴ÐEBG=ÐAEB，
∴ÐBEG=ÐEBG，
∴GE=GB；
故答案为：=；
（2）∵折叠，
∴AB=BF =6，
∵F 为BD的中点，
∴BD=2BF =12，
∵矩形ABCD，
∴ÐBAD=90°，
∴AD= DB2-AB2 =6 3，
AB 6 3
∴ = = ；
AD 6 3 3
（3）∵矩形ABCD，
∴CD= AB=6，BC = AD=6 3，
∵折叠，
∴BF = AB=6，
∴点F 在以B为圆心，半径为6的圆上运动；
∵
V
CDF为等腰三角形时，分3种情况：①DF =CD=6；
②当CD=CF =6，点F 在矩形内部时，此时CF =BF =6，
∴点F 在BC的中垂线上，
作FH ^BC,FG^CD，则四边形FHCG为矩形，
1
∴FG=CH = BC =3 3，FH =CG= CF2-CH2 =3，
2
∴DG=CD-CG=3，
∴在Rt△FGD中，DF = FG2+DG2 =6；
当CD=CF =6，点F 在矩形外部时，同理：FG=3 3,CG=3，
∴DG=CD+CG=9，
∴DF = FG2+DG2 =6 3；
③当DF =CF 时，则点F 在CD的中垂线上，作CD的垂直平分线MN，则MN与
e
B的交点即为点F ，四
边形BCNM 为矩形，MN =BC =6 3,BM =CN =DN =3，如图，当点F 在矩形内部时，则：MF = BF-BM =3 3，
∴NF =MN-FM =3 3，
∴DF = DN2+NF2 =6；
当F 在矩形外部时，同理，FM =3 3，
∴FN =MF+MN =9 3，
∴DF = FN2+DN2 =6 7；
综上：DF的长为：6，6 3或6 7．
押题解读
该考点都会是以压轴题的形式出现，难度偏大，要求考生熟练掌握与平行四边形、特殊平行四边形
的性质和判定、全等三角形、相似三角形等知识。解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联
信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算。
1．实践操作 矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=4，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为MN
（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平．
初步思考 （1）如图1，当点N在AB上，点M和点P在DC上，AP与MN交于点O．求证：四边形AMPN
为菱形；
继续探究 （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求AM 的长；拓展延伸 （3）如图3，当点N和点B重合，点M在AD上运动时（点M不与点A重合），作ÐCBP的平
分线，与MP的延长线交于点Q．求出点Q到CD的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线AD
的最大距离．
13 24
【答案】（1）证明见解析；（2）AM = ；（3）
3 5
【详解】（1）证明：当点M,P在DC上，点N在AB上时，
由折叠知：MN是AP的中垂线，
∴AO=PO,MN ^ AP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB DC，
P
∴ÐNAO=ÐMPO，
又∵ÐAON =ÐPOM ，
∴ AON≌ POMASA，
V V
∴AN =PM ，
∵AN∥PM ，
∴.四边形AMPN 是平行四边形，
∵MN ^ AP，
∴四边形AMPN 为菱形；
（2）解：设菱形AMPN 的边长为x，则AM= CM= x，
∴DM =6-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ÐD=90°，
∴AD2+DM2 = AM2，
∴42+6-x2 =x2，13
解得：x= ，
3
13
∴AM = ；
3
（3）解：①如图，过点Q作QG^BC，交BC的延长线于点G，延长GQ交AD的延长线于点H，
∵四边形ABCD为矩形，QG^BC，
∴四边形ABGH,DCGH 均为矩形，
∴GH = AB=6，
由折叠知 PBM≌ ABM ，
V V
∴ÐBPM =ÐA=90°,BP= AB=6，
∴ÐG=ÐBPQ=90°，
∵BQ为ÐCBP的角平分线，
∴QP=QG，
∴Rt BPQ≌Rt BGQHL，
V V
∴BG=BP=6，
∵BC = AD=4，
∴CG=2，
∴点Q到CD的距离等于CG=2，即点Q在GH上运动；
②如图：在DA延长线上截取AT =GQ，连接DT ，则ÐBAT =ÐG=90°∵Rt△BPQ≌Rt△BGQ， PBM≌ ABM
V V
∴Ð1=Ð2，Ð3=Ð4，BA=BP=BG，
∴Ð1+Ð2+Ð3+Ð4=ÐABC=90°，
V
BAT≌
V
BGQSAS
∴Ð1+Ð4=45°，Ð2=Ð5，BT =BQ，
∴Ð2+Ð3=Ð5+Ð3=45°，
∴ÐTBM =ÐQBM =45°，
∵BM =BM ，
∴ BMT≌ BMQSAS，
V V
∴MT =MQ，
∵ÐMBQ=45°，Q在GH上运动，
∴当点M,D重合时，QH最大，如图：
设QH = y，则AT =GQ=6-y，
∴DQ=DT = AD+AT =4+6-y=10-y，
∵四边形ABGH,DCGH 均为矩形，
∴ÐH =90°，DH =CG=2
∴DH2+HQ2 =DQ2，
∴22+y2 =10-y2，
24
解得：y= ，
5
24
∴点Q到直线AD的最大距离为 ．
5
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，
角平分线的性质定理等知识点，难度较大，解题的关键是熟练掌握各知识点，正确添加辅助线．
2．如图1，点E是正方形ABCD对角线BD的延长线上任意一点，以线段DE为边作一个正方形DEFG，连结AE、CG，线段AE和CG相交于点H．
(1)判断AE，CG的位置关系：______，AE，CG的数量关系：______；
(2)若AB=4，DE= 2，求CG的长．
(3)如图2，正方形DEFG绕点D顺时针旋转a（0<a<90°），连结AG、CE， CDE与△ADG的面积之
V
差是否会发生变化？若不变，请求出 CDE与△ADG的面积之差；若变化，请说明理由．
V
【答案】(1)CG^ AE，CG= AE
(2)CG= 26；
(3) CDE与△ADG的面积之差不变，其值为0．
V
【详解】（1）解：CG^ AE，CG= AE；
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DG=DE，ÐADC =ÐEDG=90°，
∴ÐADC+ÐADG=ÐEDG+ÐADG，即ÐADE =ÐCDG，
在 CDG和 ADE中，
V V
ìCD= AD
ï
íÐCDG=ÐADE，
ï
îDG=DE
∴ CDG≌ ADESAS，
V V
∴CG= AE，ÐDCG=ÐDAE，
如图，设AD,CG交于点O，∵ÐAOH =ÐCOD，
∴ÐAHO=180°-ÐAOH -ÐDAE=180°-ÐCOD-ÐDCG=ÐADC =90°，
∴CG^ AE；
（2）：如图，连接AC与BE交于点M ，
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
1
∴AC^BD，BM = AM =DM =CM = AC，BC = AB=4，ÐABC =90°，
2
∴AC = AB2+BC2 =4 2，
∴BM = AM =DM =CM =2 2，
∵DE= 2，
∴ME=DM +DE=3 2，
在Rt△AME中，AE= AM2+ME2 = 26，
由（1）已证：CG= AE，
∴CG= 26；
（3）解：如图，过点A作AP^DG于点P，过点C作ED的垂线，交ED延长线于点Q，∴ÐAPD=ÐQ=90°，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，ÐADC =ÐEDG=90，
∴ÐADP+ÐADQ=90°=ÐCDQ+ÐADQ，
∴ÐADP=ÐCDQ，
在△ADP和
V
CDQ中，
ìÐAPD=ÐQ=90°
ï
íÐADP=ÐCDQ ，
ï
îAD=CD
∴ ADP≌ CDQAAS，
V V
∴AP=CQ，
1 1
∴S = DE×CQ= DG×AP=S ，
VCDE 2 2 VADG
所以 CDE与△ADG的面积之差不变，其值为0．
V
3．（1）如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°，CO为斜边AB上的中线，那么OC与AB之间存在什么样的的
数量关系呢？
为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长CO到D，使DO=CO，连接AD，BD……请你顺着
小明的思路完成解答；
【深入探究】
（2）如图3，已知AC ^BC,AD^DB，E为AB的中点．则ÐCED与ÐCAD之间的数量关系为___________；
【应用提升】
（3）如图4，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为AE的中点，以CF，DF为边在AE的右侧作平行
四边形FCGD．
①求证：四边形FCGD为菱形；
②如图5，连接AC，过点E作AC的垂线，垂足为M，若ÐDFM =45°,EC =8，求四边形FCGD的面积．
1
【答案】（1）OC = AB；（2）
Ð
CED
=
2
Ð
CAD；（3）①证明见解答；②48+32 3．
2
【详解】（1）解：如图 2 ，延长CO到D，使DO=CO，连接AD,BD，
∵CO为斜边AB上的中线，
∴AO=OB，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵ÐACB=90°，
∴ ADBC是矩形，
Y
∴AB=CD，
∵OC=OD，
1
∴OC = CD，
2
1
∴OC = AB；
2
（2）解：如图3，∵AC ^BC，
\ÐACB=90°，
∵E为AB的中点，1
\CE= AB= AE，
2
∴ÐACE=ÐCAE，
∵ÐBEC =ÐACE+ÐCAE，
∴ÐBEC =2ÐCAE，
∵AD^BD，
\ÐADB=90°，
∵E为AB的中点，
1
\DE= AB= AE，
2
∴ÐADE=ÐDAE，
∵ÐBED=ÐADE+ÐDAE，
∴ÐBED=2ÐDAE，
\ÐBEC+ÐBED=2ÐCAE+2ÐDAE，
∴ CED 2 CAD；
Ð = Ð
故答案为： CED 2 CAD；
Ð = Ð
（3）①证明：如图4，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
\AD=BC,ÐDAB=ÐABC =90°，
∵F 是AE的中点，
1
\BF = AE=AF，
2
∴ÐABF =ÐBAF，
\ÐDAB-ÐBAF =ÐABC-ÐABF，
\ÐDAF =ÐCBF，
∵AF =BF,AD=BC，
\ AFD≌ BFCSAS，
V V\DF =CF，
∴ FCGD为菱形；
Y
②解：如图5，连接BF并延长交AD于H，作直线FG，交AB于P，交CD于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
\ÐBAC =ÐACB=45°，
EM ^ AC，
Q
\ÐAME=90°=ÐABE，
∵F 是AE的中点，
∴（2）可得：ÐBFM =2ÐBAC =90°，
ÐDFM =45°，
Q
\ÐDFH =45°，
由（1）知： AFD≌ BFC，
V V
\ÐAFD=ÐBFC，
ÐAFH =ÐBFE，
Q
\ÐDFH =ÐEFC =45°，
\ÐEFC =ÐACE=45°，
ÐFEC =ÐCEA，
Q
\ FEC∽ CEA，
V V
FE CE
\ = ，
CE AE
\CE2 =FE×AE，
AE=2FE，
Q
\CE2 =2FE2，
CE=8，
Q
\FE=4 2,AE=8 2，设BE=x，则AB=BC =8+x，
由勾股定理得：(x+8)2+x2 =(8 2)2，
解得：x =-4-4 3（舍），x =-4+4 3，
1 2
\BE=4 3-4，
\BC =CD=4 3-4+8=4 3+4，
∵四边形FCGD为菱形，
\CD^PG，
\PQ=BC =4 3+4，
Q
PF∥BE,AF =EF，
\AP=PB，
1
\PF = BE=2 3-2，
2
\FQ=PQ-PF =4 3+4-(2 3-2)=2 3+6，
\FG=2FQ=4 3+12，
1 1
\S = ×FG×CD= (4 3+12)´(4 3+4)=48+32 3．
四边形FCGD 2 2
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，
直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键．
4．综合与实践
课本再现
如图1，
Y
ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
V
AOB是等边三角形，且AB=4．
（1）求 ABCD的面积．
Y
拓展延伸
（2）如图2，M是AD边上一点，连接OM ，过点O作ON ^OM ，与直线AB交于点N，连接MN．①若OM =3，求ON的长；
②求 OMN面积的最小值．
V
（3）在（2）的条件下，若BN =3，直接写出MN的长．
2 39 2 111
【答案】（1）16 3；（2）①ON =3 3；②2 3；（3）若BN =3,MN 的长为 或
3 3
【详解】解：（1）
Q
四边形ABCD是平行四边形，
V
AOB是等边三角形，
\OA=OB=OC =OD，
\AC =BD，
\ ABCD是矩形．
Y
AB=4，
Q
\AC=8，
在Rt△ABC中，BC = AC2-AB2 =4 3，
\S = AB×BC =4´4 3=16 3；
YABCD
（2）①如图1，过点O分别作AD与AB的垂线，垂足分别为P,Q．
由（1）可知 ABCD是矩形，
Y
∴ÐBAD=ÐAQO=ÐAPO=90°，
∴四边形APOQ是矩形，
1 1
\AQ=OP= CD=2,AP=OQ= BC =2 3,ÐPOQ=90°，
2 2
又 ÐMON =90°，
Q
\ÐMOQ+ÐMOP=ÐMOQ+ÐNOQ=90°，
\ÐMOP=ÐNOQ，
又 ÐMPO=ÐNQO=90°，
Q
\ MPO∽ NQO，
V V
OM OP 3 2
\ = ，即 = ，
ON OQ ON 2 3
\ON =3 3；②由①可知， MPO∽ NQO，
V V
OM OP OM 2
\ = ，即 = ，
ON OQ ON 2 3
\ON = 3OM ，
1 3
\S = ON×OM = OM2，
VOMN 2 2
\当OM 的值最小时，即OM ^ AD时， OMN的面积最小，
V
1
如图2，此时OM = CD=2，
2
3
\ V OMN 面积的最小值为S = ´22 =2 3；
2
（3）由（2）可知
V
MPO∽
V
NQO，
OM OP OM 3
\ = ，即 = ，
ON OQ ON 3
OM 3
\tanÐMNO= = ，
ON 3
\ÐMNO=30°．
如图3，当点N在线段AB上时，QN =BN-BQ=1，
\ON = QN2+OQ2 = 12+(2 3)2 = 13．
3 39
\OM = ON = ，
3 3
2 39
\MN =2OM = ．
3
如图4，当点N在AB的延长线上时，QN =BN+BQ=5，
\ON = QN2+OQ2 = 52+(2 3)2 = 37．
MPO∽ NQO，
QV V
OM OP OM 3
\ = ，即 = ，
ON OQ 37 3
111
\OM = ，
32 111
\MN =2OM = ．
3
2 39 2 111
综上所述，若BN =3,MN 的长为 或 ．
3 3
【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定、等边三角形的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟
练掌握矩形的性质与判定、等边三角形的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
5．如图，等腰△ABD中，AB= AD，O为边BD的中点，射线BC交AO的延长线于点C，
ÐDBC =ÐDBA．
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若ÐBAD=120°，点E、F分别在射线BC、射线CD上，且EA=EF，求证：ÐAEF =60°；
(3)在（2）的条件下，连接DE，若△AED为直角三角形，AB=2，直接写出DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)DF的长为1．
【详解】（1）证明：∵等腰△ABD中，AB= AD，O为边BD的中点，
∴AO^BD，
∴ÐAOB=ÐCOB=90°，
∵ÐDBC =ÐDBA，BO=BO，
∴ AOB≌ COBASA，
V V
∴AB=BC，AO=OC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD，
∴AD=CD= AB=BC，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）证明：在BA上取点H，使BH =BE，作AM ^EH交EH 的延长线于点M ，作EN ^FC交FC的延长
线于点N ，
∵四边形ABCD为菱形，ÐBAD=120°，
∴ÐABC =180°-120°=60°，ÐBCD=120°，AB=BC，
∴△BEH是等边三角形，AH =EC，ÐECN =180°-120°=60°，
∴ÐAHM =ÐBHE=60°=ÐECN，
∵ÐM =ÐN =90°，
∴ AHM≌ ECNAAS，
V V
∴AM =EN，ÐHAM =ÐCEN =90°-60°=30°，
∵ÐM =ÐN =90°，EA=EF，
∴Rt EAM≌Rt FENHL，
V V
∴ÐEAM =ÐFEN，
∴ÐBAE=ÐEAM -30°=ÐFEN-30°=ÐFEC，
由三角形的外角性质知ÐAEC =ÐABC+ÐBAE=60°+ÐFEC，
又ÐAEC =ÐAEF+ÐFEC，
∴ÐAEF =60°；
（3）解：连接AF ，
∵ÐAEF =60°，EA=EF，
∴△AEF 是等边三角形，
∵四边形ABCD为菱形，ÐBAD=120°，
1
∴ÐBAC =ÐCAD= ´120°=60°，AD∥CB，AB=CD=2，
2∴
V
ABC和△ADC都是等边三角形，
∴ÐBAC =ÐEAF =ÐCAD=60°，
当ÐEAD=90°即EA^ AD时，此时EA^BC，
1
∴ÐEAC =ÐBAE= ÐBAC =30°，
2
∴ÐCAF =60°-ÐEAC =30°=ÐDAF，
1
∴CF =DF = CD=1；
2
当ÐADE=90°即ED^ AD时，此时ED^BC，
∵△AEF 和△ADC都是等边三角形，
∴AC= AD，AE=AF，ÐCAD=ÐEAF =60°，
∴ÐCAE=60°-ÐEAD=ÐDAF，
∴ CAE≌ DAFSAS，
V V
∴CE=DF，
∵ÐBCD=120°，
∴ÐDCE=60°，ÐCDE=30°，
1
∴CE= CD=1；
2
∵ÐAED恒小于90°，
∴不存在ÐAED=90°的情况，
综上，DF的长为1．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，直角三角形的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．押题猜想十二 圆与其他几何的综合（解答）
限时：15min
在平面直角坐标系xOy中，
e
O的半径为1．对于
e
O的弦AB．给出如下定义：若存在点C，使得直线AC
与
e
O有且仅有一个公共点．并且ÐACB=a，则称点C为弦AB的“α伴随点”．
(1)已知点A的坐标为0,1，B的坐标为0,-1，在点C æ ç 2 3 ,1 ö ÷，C  2 3,1  ，C æ ç- 2 3 ,1 ö ÷中，点______
1ç 3 ÷ 2 3ç 3 ÷
è ø è ø
是弦AB的“60°伴随点”；
(2)若弦AB的长度为 3，且存在唯一的点D为弦AB的“α伴随点”，直接写出α的取值范围；
(3)已知直线l:y=-x+m与x轴交于点N，与y轴交于点M，若 e O上存在弦EF = 2，使得线段MN上总
存在弦EF的“45°伴随点”，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)C，C
1 3
(2)0°<a£90°
(3)- 10£m£- 5或 5£m£ 10
æ2 3 ö   æ 2 3 ö
【详解】（1）解：∵点C ç ,1÷，C 2 3,1 ，C ç- ,1÷
1ç 3 ÷ 2 3ç 3 ÷
è ø è ø
2 3
∴由坐标知，点C，C，C 在过点A且平行于x轴的直线上，且AC = AC = ，AC =2 3，
1 2 3 1 2 3 2
∵点A的坐标为0,1，B的坐标为0,-1，
∴AB=2，
AB
在Rt
V
ABC
1
中，tanÐAC
1
B=
AC
= 3，则ÐAC
1
B=60°；
1
同理得ÐAC B=60°，ÐAC B=30°，
3 2
∵ÐACB=ÐAC B=60°，且AC 是圆的切线，
1 3 1∴C，C 是弦AB的“60°伴随点”，而点C 则不是弦AB的“60°伴随点”；
1 3 2
故答案为：C，C ；
1 3
（2）解：如图，连接OA，OB，过点O作OF ^ AB于点F，过点B作BE^ AD于点E，
∵OA=OB=1，OF ^ AB，
1 3
∴AF = AB= ，
2 2
AF 3
∴cosÐFAO= = ，
OA 2
∴ÐFAO=30°；
∵点D为弦AB的“α伴随点”，
∴OA^ AD，ÐADB=a，
∴ÐBAD=60°，
3 3
∴BE= AB×sinÐBAD= 3´ = ；
2 2
BE 3
在Rt△BDE中，sina= = ，
BD 2BD
3
∵BD³BE= ，
2
∴0<sina£1，
∴0°<a£90°
即a的取值范围为0°<a£90°；
（3）解：如图，当M，N 分别在y轴正半轴，x轴负正半轴上时，连接OE，OF，OC，
∵OE =OF =1，OE2+OF2 =2=EF2，
∴ÐEOF =90°，ÐOEF =45°；∵点C为弦EF的“45°伴随点”，
∴ÐECF =45°，OE^EC，
∴ÐFEC =ÐOEC-ÐOEF =45°，
∴ÐFEC =ÐECF =45°，
∴ÐEFC =90°，EF =CF = 2；
由勾股定理得EC = ( 2)2+( 2)2 =2，
在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC = OE2+EC2 = 5，
则伴随点C的运动轨迹是以O为圆心， 5为半径的圆；
设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接GD，直线PH与直线DG平行且与此圆相切，则D(0, 5)，
G( 5,0)，
当MN与DG重合时，把点D坐标代入0+m= 5，即m= 5；
∵直线PH∥DG，且与圆相切，ÐOHP=ÐOPH =45°，
∴点O到切线的距离为 5，OP=OH，
∴PH =2 5，
2
∴OH = PH = 10，即H(0, 10)；
2
当线段MN与直线PH重合时，把点H的坐标代入0+m= 10，即m= 10；
当线段MN位于直线PH与直线DG间时满足题意，此时 5£m£ 10；
由对称性，当M，N 分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围为- 10£m£- 5；
综上，m的取值范围为：- 10£m£- 5或 5£m£ 10．
【点睛】本题是圆的综合，考查了直线与圆相切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数，三角
函数等知识，理解新概念，构造适当辅助线是解题的关键．押题解读
2024年的广州中考中的压轴题24题出现了圆与菱形的综合问题，故2025年中考也大可能会在压
轴题考察圆，需对圆的垂径定理、切线的证明等知识点进行掌握。
1．如图，
V
ABC的外接圆
e
O的直径AE交BC于点F ，过点A作AD^BC于点D，延长AD交
e
O于点
G，连接BE，CG．
(1)求证：BE=CG；
(2)若AE平分ÐBAD．
①已知AB=10，BF =5，求FD的长；
②若点N 为AB的中点，且N ，O，D三点在同一直线上，试猜想BF与CF的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
2
(2)①FD=3；②BF = CF，见解析
2
【详解】（1）证明：如图1．
∵AE是
e
O的直径，AD^BC，
∴ÐABE=ÐADC =90°，
∵AB对的圆周角是ÐE和ÐACB，
∴ÐE=ÐACB，
又ÐE+ÐABE+ÐBAE=180°，ÐACD+ÐADC+ÐDAC =180°，∴ÐBAE=ÐDAC，
∴BE=CG，
∴BE＝CG．
（2）解：①如图2，过点B作BM ^ AE于点M，则ÐAMB=90°，
∵AE平分ÐBAD，
∴ÐBAE=ÐDAF，
∵ÐABE=ÐADF =90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴ÐE=ÐAFD，
∵ÐBFE=ÐAFD
∴ÐE=ÐBFE，
∴BE=BF =5，
在Rt△ABE中，AB=10，由勾股定理，得：AE= AB2+BE2 = 102+52 =5 5．
1 1
∵S = AB·BE= AE·BM ，
VABE 2 2
AB·BE 10´5
∴BM = = =2 5，
AE 5 5
∵BE=BF，BM ^ AE，
∴EM =FM = BE2-BM2 = 52-(2 5)2 = 5，
∴EF=2 5，
∴AF = AE-EF =5 5-2 5=3 5，
∵ÐBMF =ÐADF =90°，ÐAFD=ÐBFM ，
∴ BFM∽ AFD，
V VBF FM 5 5
∴ = ，即 = ，
AF FD 3 5 FD
∴FD=3．
2
②BF与CF的数量关系是BF = CF，理由如下：
2
如图．
∵ÐADB=90°，点N 为AB的中点，
∴AN =BN =DN ，
∵OA=OE，
∴ON∥BE，
∴ÐAND=ÐABE=90°，
∴ AND、BND都是等腰直角三角形，
V V
∴ÐBAD=ÐABD=45°，
过点F作FM ^ AB于点M，
∵AE平分ÐBAD，FD^ AD，
∴FD＝FM ，
在Rt△BMF中，BF = 2FM = 2FD，
由①，得：ÐE＝ÐAFD，
∵ÐE=ÐC，
∴ÐAFD=ÐC，
∴AF = AC，
又∵AD^BC，
∴FD=CD，
设FD=CD= x，则BM =FM =x，BF = 2x，
BF 2x 2 2
∴ = = ，即BF = CF．
CF 2x 2 2【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握
相关知识是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2ax-3a(a>0)的图像与x轴分别相交于A、B两点（A在B的
左侧），与y轴相交于点C，ÐCBA=45°．
(1)请求出a的值；
(2)已知点D是函数图像上一动点（不与A、B重合），过点D的直线l平行于y轴，与△ABD的外接圆交于
另一点E，连接AE，CE．请问是否存在点D，使得AE+CE最小？若存在，请求出点D坐标并求出AE+CE
的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)a=1
(2)存在，1,-4, 26
【详解】（1）解：把y=0代入函数表达式得：ax2-2ax-3a=0
解得：x =-1，x =3，
1 2
\A(-1,0)，B(3,0)．
ÐCBA=45°，
Q
\OC =OB，
∵a>0
\C(0,-3)．
把x=0，y=-3代入函数表达式得，-3a=-3
解得a=1；
（2）解：如图，设D(m,n)，
∵由题意得△ABD的外接圆心在AB的垂直平分线上，而A-1,0,B3,0，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∴设△ABD的外接圆心为M(1,k)，
过点M 作MH ^DE于点H，则EH =DH ，
∴Hm,k
\E(m,2k-n)，
连接BM,DM ，
BM2 =DM2，
Q
\(3-1)2+k2 =(m-1)2+(n-k)2．①
y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
Q
\n=(m-1)2-4．即(m-1)2 =n+4．②
把②式代入①式，得：4+k2 =n+4+(n-k)2．
整理得：n2-2kn+n=0，
\n(n-2k+1)=0，
Qn¹0，
\n-2k+1=0，即2k-n=1．
\E坐标为(m,1)，
\E在过(0,1)且平行于x轴的直线上运动．
过点A作直线y=1的对称点A¢，则A¢-1,2，
∴AE+CE= A¢E+CE³ A¢C，
∴当点A¢,E,C三点共线时，最小值为A¢C = -1-02 +-3-22 = 26，
\ AE+CE的最小值为 26．
【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合问题，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，外接圆，垂径定理，两
点之间距离公式，动点的轨迹问题，难度大，解题的关键在于确定点E轨迹．
3．如图，在Rt△ABC中，ÐC =90°,
e
O为
V
ABC的外接圆，点D为优弧AC的中点，DE∥AC交CB的延
长线于点E．(1)求证：DE是
e
O的切线
(2)若AD=2 3,BC =2求 e O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【详解】（1）证明：连接DO并延长交AC于点F ，连接OC，
Qe
O为
V
ABC的外接圆，ÐC=90°，
\AB为
e
O的直径，OA=OC，
Q
点D为优弧AC的中点，
\ AD=DC，
\DF为AC的垂直平分线，
QDE∥AC，
\DO^DE，
QDO是
e
O的半径，
\DE是
e
O的切线；
（2）解：设
e
O的半径为r，
由（1）知OF为
V
ABC的中位线，
1
\OF = BC =1．
2
在Rt AOF中，OA=r，
V
\ AF2 =r2-1
在Rt
V
ADF中，DF =r+1，AD=2 3，\ AF2 =  2 3 2 -r+12
\r2-1=  2 3 2 -r+12，
解得，r =2或r=-3（舍去），
故
e
O的半径为2．
【点睛】本题考查了圆周角定理，中位线性质，勾股定理，平行线的性质，垂直平分线的判定和性质等，
熟练掌握知识点是解题的关键．
4．如图，
e
O是
V
ABC的外接圆，AD是
e
O的切线，且AD∥BC，作射线DB交
e
O于点E，连接EA交BC
于点G，连接EC．
(1)求证：AB= AC；
GF 1
(2)作CF平分ÐBCE，交AE于点F ， = ．
AG 2
GF
①判断AF 与AC的数量关系，并求 的值；
EF
②若CF∥AB，CF =3，则
e
O的半径为_________．
【答案】(1)见解析
GF 2
(2)①AF = AC， = ；②2 6
EF 3
【详解】（1）证明：连接AO交BC于H，
∵AD是
e
O的切线，
∴OA^ AD，
∵AD∥BC，
∴OA^BC，∴BH =CH ，
∴OA是BC的垂直平分线，
∴AB= AC；
（2）解：①∵AB= AC，
∴AB= AC，
∴ÐABC=ÐACB=ÐAEC，
∵CF平分ÐBCE，
∴ÐFCG=ÐECF，
又ÐAFC=ÐAEC+ÐECF，ÐACF =ÐACB+ÐFCG，
∴ÐAFC =ÐACF，
∴AF =CF，
GF 1
∵ = ，
AG 2
设GF =a，则AG=2a，AF =AC=3a，
∵ÐACG=ÐAEC，ÐCAG=ÐEAC，
∴ ACG∽ AEC，
V V
AC AG 3a 2a
∴ = ，即 = ，
AE AC AE 3a
9
∴AE= a，
2
3
∴EF = AE-AF = a，
2
GF a 2
= =
∴EF 3 3；
a
2
②∵AB∥CF，
∴△ABG∽△FCG，
AB BG AG
∴ = = ，
CF CG FG
GF 1
又 = ，CF =3，
AG 2
∴AB=6=AC，BG=2CG，
由①知AC =3a，
∴3a=6，解得a=2，
3
∴GF =2，EF = ´2=3，
2
∴EG=5，
∵AB∥CF，
∴ÐFCG=ÐABC=ÐAEC，
又ÐCGF =ÐEGC，
∴ CGF∽ EGC，
V V
CG FG CG 2
∴ = ，即 = ，
EG CG 5 CG
∴CG= 10，
∴BG=2 10，
∴BC =3 10，
3
又BH =CH = 10，
2
3
∴AH = AB2-BH2 = 6，
2
连接OB，
在Rt
V
BOH 中BO2 =BH2+HO2，
æ3 ö 2 æ 3 ö 2
∴BO2 =ç 10÷ +çBO- 6÷ ，
è2 ø è 2 ø
解得BO=2 6，
故答案为：2 6．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾
股定理等知识，明确题意，正确找出相似三角形的解题的关键．
5．（1）［特殊发现］如图1，在正方形ABCD中，F ，E分别是边AB，BC上的点，连接DE，CF当DE^CFDE
时，求 的值．
CF
AB 3
（2）［类比探究］如图2，在矩形ABCD中， = ，F ，E，G分别是边CD，BC，AB上的点，连接
BC 4
DE
DE，FG，当DE
^
FG时，求 的值．
GF
（3）［拓展应用］如图3，在四边形ABCD中，ÐABC =90°，AB= AD=5，CB=CD=15，F ，E分别是
DE 3
边AB，BC上的点，连接DE，CF相交于点G，连接BG，当 = 时，求线段BG的最小值．
CF 5
3 9 5-15
【答案】（1）1；（2） ；（3）
4 2
【详解】解：（1） DE^CF
Q
\ÐFCB+ÐDEC =90°，
Q
四边形ABCD为正方形，
\ÐB=ÐECD=90°，BC=DC，
\ÐFCB+ÐDEC =ÐFCB+ÐBFC，
即ÐDEC =ÐBFC，
\ FCB≌ EDCAAS，
V V
\DE=CF，
DE
\ =1；
CF
（2）如图，过点C作CH∥FG，交AB于点H，
，
Q
四边形ABCD是矩形，\GH∥FC，AB=CD，
CH∥FG，
Q
\四边形GHCF为平行四边形，
\GF =CH，
GF ^DE，
Q
\HC ^DE，
同（1）中原理可得ÐDEC =ÐBHC，
\ÐDEC =ÐBHC，
\ DEC∽ BHC，
V V
DE DE DC AB 3
\ = = = = ；
GF HC BC BC 4
（3）如图，作DM ^BA交BA的延长线于点M ，作NC ^BC交MD的延长线于点N ，连接AC，过点N
作NP∥DE交BC于点P，设O为DC的中点，
ÐABC =ÐM =ÐMNC=90°，
Q
\四边形MBCN 为矩形，
AB= AD=5，CB=CD=15，AC= AC，
Q
\ ADC≌ ABCSSS，
V V
\ÐADC =ÐABC =90°，
ÐMDA+ÐMAD=ÐMDA+ÐNDC，
Q
ÐMAD=ÐNDC，
Q
ÐM =ÐMNC=90°，
Q
\ MDA∽ NCD，
V V
CN DN DC
\ = = =3，
MD AM AD
设MD=x，则CN =3x，AM = y，则DN =3y，
根据AM +AB=NC,MD+ND=BC，ì y+5=3x
可得í ，
îx+3y=15
ìx=3
解得í ，
îy=4
\MD=3,DN =12,AM =4,NC =9，
Q
DN∥EP,DE∥NP，
\四边形DEPN 为平行四边形，
\DE=NP，
DE NP 3
\ = = ，
CF CF 5
NC NP 3
= = ,ÐNCP=ÐCBF =90°，
Q
BC CF 5
\ NCP∽ CBF ，
V V
\ÐFCB=ÐPNC，
\ÐFCB+ÐNPC =ÐPNC+ÐNPC =90°，
\NP^FC，则DE^FC，
\D,G,C,N 四点共圆，在以O为圆心，DO长度为半径的圆上，如图，
，
当点B,G,O三点共线时，BG最短，
如图，连接BO，过点O作OQ^BC于点Q，
1 15
则OC= DC= ，
2 2
Q
ÐOCQ=ÐNDC，
NC 3 OQ
sinÐOCQ=sinÐNDC = = = ，
Q
DC 5 OC
3 9
\OQ=OC´ = ，
5 2
根据勾股定理可得CQ= OC2-OQ2 =6，\BQ=9，
9 5
\OB= OQ2+BQ2 = ，
2
9 5-15
\BG的最小值为OB-OD= ．
2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，点到圆上的最短
距离,正方形的性质、矩形的性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键．