文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（上海专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 点、直线、圆的位置关系（3年2考选择或填空压轴）...................1
押题猜想二 平面向量（上海中考特色题必考题）.....................................................................3
押题猜想三 图形的翻折与旋转（3年2考填空压轴1考选择压轴）......................................4
押题猜想四 新定义问题（上海中考新趋势3年3考）（填空压轴第18题含多解题）.......6
押题猜想五 求锐角的三角比（上海中考新趋势3年3考）（解答第21题）.......................8
押题猜想六 一次函数的实际应用（生活情境题）（上海23年中考新题型）.....................11
押题猜想七 解直角三角形的相关计算（含上海24年中考新题型实践操作题）.................15
押题猜想八 几何证明（解答第23题必考题）.........................................................................19
押题猜想九 二次函数综合题（解答第24题必考题）（与二次函数平移有关3年3考）.22
押题猜想十 几何综合题（解答第25题必考题）.....................................................................28
押题猜想一 点、直线、圆的位置关系
限时：2min
. （原创）两圆的半径分别为 5cm 和 x cm，圆心距为 7cm，若两圆没有公共点，则 x 的取值范围是（ ）
A. 0 12 C. 0 < x < 2 或 x > 12 D. 2 < x < 12
押题解读
本考点为热考考点， 常以选择或填空压轴形式考查
考虑多种情况：在点、直线、圆的位置关系问题中，有些情况可能不唯一，需要分情况讨论。
例如，点与圆的位置关系中，点可能在圆内、圆上或圆外；
直线与圆的位置关系中，直线可能与圆相交、相切或相离，要全面考虑各种可能性，避免漏解。
圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种。没有公共点时为外离或内含；有一个公共点
是外切或内切；有两个公共点是相交。1．（圆与圆的位置关系）已知
e
O
1
和
e
O
2
，
e
O
1
的半径长为3，O
1
O
2
=5．如果
e
O
2
与
e
O
1
相交，那么
e
O
2
的半径长可以是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．2
2．（上海中考新趋势）已知圆心A到直线m的距离为d，
e
A的半径为r，若d、r是方程x2-7x+12=0的
两个根，则直线m和 A的位置关系是（ ）
e
A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交
3．（点与圆的位置关系）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P在对角线AC上，以点A为圆心，
2为半径长作
e
A，以点P为圆心作
e
P，如果点C在
e
P内而点D在
e
P外，并且
e
P与
e
A外切，那么可
以作为 P半径长的值是（ ）
e
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
4．（圆与圆的位置关系）如图，在Rt△ABC中，ÐC =90o，AC =4，AB=5，如果以点B为圆心的
e
B与
以边AC为直径的
e
O外切，那么
e
B的半径长是 ．
5．（点与圆的位置关系）如图，已知
V
ABC中，ÐC =90°，AC =6，BC =4，以A为圆心、2为半径作
圆，点D是圆A上一点，连接CD，点E是CD的中点，连接BE，那么BE长度的取值范围是 ．押题猜想二 平面向量
限时：2min
（原创）如图,在△ABC中，DE∥BC，AD=2DB，BC =a，则DE= (用含a的式
子表示)
押题解读
本考点为必考考点。
选择题多以考查对向量基本概念的理解。
向量的基本概念判断：如给出一些关于向量的描述，让学生判断哪些是正确的向量概念，哪些是错误的。
填空题考查方向
1.简单的向量线性运算：直接考查向量的加法、减法、数乘运算，或者是这些运算的组合，要求学生化
简向量表达式。
2.几何图形中的向量表示与运算：在三角形、平行四边形、梯形等常见几何图形中，给出一些已知向量，
要求学生用这些已知向量表示其他向量，或者进行相关的运算。多以相似相结合。
1．如图，D是
V
ABC的边AB上一点，BD=2AD，如果向量AB=m，BC =n，那么向量CD用向量m、n
表示为（ ）1 2 1 2
A． m-n B． m-n C．- m-n D．- m-n
2 3 2 3
2．如图，已知点O是 V ABC的重心，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，如果设 A B =a ，
AC =b，那么用a、b表示DE= ．
3．在Rt△ABC中，ÐC =90°，D是AB的中点，连接CD，设C A =a，C D =b ，那么向量 A B 用向量a、b
表示为 ．
4．如图，平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE=2EC，连结AE并延长交BC的延长线于点F ，设
B A =a， B C =b ．如果向量 E F 用向量a、b 表示，那么 E F = ．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC =2AD，点E是边BC的中点，连接AE、BD交于点F ，设
A D =a， D C =b ，那么用向量a、b 表示向量 B F 是 ．
押题猜想三 图形的翻折与旋转
限时：6min
（原创）如图，在△ABC 中，∠C = 90°，将△ABC 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合，若 AC = 8，BC
= 6，则折痕 DE 的长为______。押题解读
本考点为必考考点 常以选择或填空压轴形式考查
押题方向预测
翻折：
矩形、正方形中的折叠问题，求线段长度或角度。
三角形的折叠，涉及角平分线、中线、中垂线等特殊线段。
旋转：
以等边三角形、等腰直角三角形为背景的旋转问题。
四边形的旋转，如平行四边形、矩形绕某点旋转。
1．如图，在 V ABC中，ÐACB=90°，AC =2BC =2 5，D是AC上一动点，连接BD，将线段BD绕点B
顺时针旋转得线段BE（点D的对应点为E），连接CE．若CE∥AB，且CE= 19+1，则CD= ．
2．如图，矩形ABCD中，BC =2，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转得矩形A¢B¢CD¢，B¢C恰好落在对角
线AC上，连接A¢A，如果A¢C与边AD相交，且ÐA¢CB=ÐA¢AC，那么AC的长是 ．
3．如图，在直角三角形纸片ABC中，ÐBAC =90°，AB=4，AC =6．D是AC中点，将纸片沿BD翻折，
直角顶点A的对应点为A¢，AA¢交BC于E，则CE= ．4．在
V
ABC中，AB= AC =8，BC =6（如图）．点D在边BC上，DE^AB，E为垂足，将
V
BDE绕点D
按顺时针方向旋转后得到 B¢DE¢，点B、E分别与点B¢、E¢对应，ÐB¢DB=ÐB，射线B¢E¢与边AC交于
V
点P．如果B¢E¢=3PE¢，那么BD的长是 ．
5．如图，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AB=4，BC =3，先将
V
ABC沿AC翻折到
V
AB¢C处，再将
V
AB¢C
沿AB¢翻折到△AB¢C¢处，过点C作CD∥AB交AC¢于点D，则CD的长是 ．
押题猜想四 新定义问题
限时：2min
（改编）已知y是x的函数，若存在实数m,n(m0)．我
们将m£x£n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y=3x，存在m=1,n=2，当1£x£2时，
3£ y£6，即t=3，所以1£x£2是函数y=3x的“3级关联范围”．函数y=-x2+2x+1(x<1)的“6级关联范
围”是 ．
押题解读
本考点为必考考点。常以填空压轴形式考查。考查形式如下：
1.代数型新定义：例如定义函数的 “特征值” 等。对于这类问题，要准确理解新定义的概念，将其转化
为常规的代数运算或方程求解问题。如给定函数y=kx+b，根据 “坐标差” 的定义求出其表达式，再通过
分析函数的性质来确定 “特征值”。
2.二次函数型新定义：像 “好点”“和谐点” 等定义问题。解决此类问题需结合二次函数的图像与性质，
利用判别式、对称轴等知识进行分析。例如，根据 “好点” 的定义，将点的坐标代入二次函数，得到关
于x的方程，再根据方程有两个不同解的条件，利用判别式求出参数的取值范围。
3.几何型新定义：如 “等弦圆”“中内弧” 等概念。要熟练掌握几何图形的性质和定理，通过画图、分析图形的位置关系来解决问题。以 “等弦圆” 为例，根据圆的性质和等腰直角三角形的特点，找出圆的
半径与三角形边长的关系，进而求出圆的半径。
4.阅读理解型新定义：包括探究定理、方法证明类问题。需要仔细阅读材料，理解新定义的内涵和相关定
理、方法，然后运用所学知识进行推理和证明。比如对于 “等高底三角形”，根据其定义和重心的性质，
通过作辅助线，利用三角形的相似关系来求解相关线段的比值。
1．约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为
“P函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“P点”．已知关于x的二次函数
y=ax2+bx-4a(a<0)是“P函数”，其中A(2,-2)，B两点为一对“P点”，点C是该二次函数图象上A，B
25
两点之间的一个动点（含端点A，B)．若点C的纵坐标的最大值为- a，则a= ．
4
2．我们定义：有两边之比是1:2的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形ABC是倍半三角形，如果
AB=1，ÐB=90°，那么
V
ABC的面积= ．
3．定义：抛物线C 上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到新的抛物线C ，C 叫C 的“k倍衍
1 2 2 1
生抛物线”．例如：求抛物线L :y=3x2-2的“5倍衍生抛物线L ”．设抛物线L 上一点P¢x, y，则点P¢在
1 2 2
æx yö y æxö 2 3
抛物线L 1 上的对应点为因为点P è ç 5 , 5ø ÷，因为点P在抛物线L 1 上，所以 5 =3 è ç 5ø ÷ -2，整理得到y= 5 x2-10，
3
即抛物线L 的表达式为y= x2-10．参考上述方法，抛物线y=ax2+bx+ca¹0的“k倍衍生抛物线”的表
2 5
达式为 ．
4．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB=10，
3
BC =10，CD=5，tanB= ，那么边AD的长为 ．
4
5．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在
V
ABC中，AB= AC =3，
1
cosB= ，点M 、N分别在边AC、BC上．如果四边形ABNM 是“邻补四边形”，那么四边形ABNM 的面积
3
是 ．押题猜想五 求锐角的三角比
限时：5min
（改编）已知二次函数y=x2-2x-3的顶点为P，与y轴相交与点Q．
(1)求点P、Q的坐标；
(2)将二次函数图象向上平移，使平移后所得图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为M ，求sinÐOMQ
的值．
押题解读
本考点为必考考点，常以解答题形式考查。
1.以四边形为背景：给出平行四边形、矩形、菱形、正方形等四边形，通过作辅助线构造直角三角形，
求其中锐角的三角比。例如，在菱形中，已知对角线的长度，求菱形内角的三角比。
2.圆中的三角比问题：在圆中，结合圆周角、圆心角等知识，通过连接半径等辅助线，构造直角三角形
来求锐角三角比。比如，已知圆的半径和一条弦长，求弦所对圆周角的三角比。
3.与函数综合：和二次函数、反比例函数等结合。如在平面直角坐标系中，已知函数图象上的点，求与
坐标轴所成锐角的三角比。1．在Rt△ABC中，ÐB=90°，AB=1，AD是BC边上的中线，tanÐBAD=1，DE是△ADC的高线．
(1)求cosC的值．
(2)求AE的长．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O；
(1)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AC =4，BD=2，求cosÐBCE的值．
3．如图，在矩形ABDC中，点A，C的坐标分别为1,1,-3,1，点B，D在x轴上，O是坐标原点，直线OA
与BC相交于点E．
(1)求直线OA，BC的解析式；
(2)求tanÐOEC的值．3 10
4．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，ÐBCD=90°，BC=8，AC =2 10，sinÐDAC = ．
10
(1)求BD的长；
(2)求ÐABD的正切值．
5．如图，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y= k x>0的图象交于A1,m，B两点，与坐标轴交于
x
C，D两点，连接OB．
(1)求反比例函数的表达式，
(2)连接OA，求sinÐOAB的值．押题猜想六 一次函数的实际应用
限时：2min
（改编）周末，小海和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小海精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分
钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．小海距山脚出发地的路程s（米）与登山时间t（分钟）之间的
函数关系如图所示．
(1)小海减速前的速度为___________米/分钟；
(2)求小海减速后s与t之间的函数关系式；
(3)当小海爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是多少米？
押题解读
本考点为必考考点，常以解答题形式考查
在解决这类问题时，要紧密联系生活实际，将数学知识与实际情境相结合，同时要准确把握题目中的数
量关系，仔细分析各种优惠条件及其相互关系，从而正确建立数学模型并求解。1．（上海中考新趋势生活情境题）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速
带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼
接而成，封堵块长度为30cm，减速块长度为100cm．
(1)请你描述减速带长度L（单位：cm）随减速块n（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示L与n
的关系；
(2)在宽度为19.2m的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少
块减速块？
2．（上海中考新趋势科技与生活）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子
水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入3D动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲
击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中
的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购
了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计
430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元．
(1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？
(2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量
4
，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这
5
批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？3．（一次函数与二次函数综合应用）请根据以下素材，完成探究任务．
飞行汽车
飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空
背
中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通
景
拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力．
某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点
为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．它在
建 起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到
模 点B．此时点B距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一
定距离后到达点C，切换到直线下降飞行模式降落至地面点D．得到抛物线
y=ax2+2xa<0、直线y=0.3和直线y=-0.4x+b．
（1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点C距离起飞点O的水平距离
为10千米，求a和b的值；
任
务
（2）若飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.4千米．水平飞行了
t0.08£t£0.1小时到达点C后降落，求b的取值范围．
4．（上海中考新趋势科技与出行）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯
电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80(kw×h)，行驶150km时，剩余电量50kw×h；行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程
中耗电量是均匀的，若剩余电量用y(kw×h)表示，行驶路程用x(km)表示．
(1)求该车y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为100(kw×h)，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量
占“满电量”的百分之多少．
5．（上海中考新趋势科技与生产）2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，
人工智能DeepSeek的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用DeepSeek智能技术优化生产流程，
提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次
函数关系，其几组对应值如下表所示．
产品数量x/件 … 10 12 16 20 …
生产成本y/元 … 400 420 460 500 …
请你根据表中信息，解答下列问题．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？
押题猜想七 解直角三角形的相关计算
限时：6min（改编）【问题背景】
我们学过用尺规作图平分一条线段，乐乐同学想借助所学过的函数知识平分线段．
在如图1中，已知线段MN，为了平分线段MN，乐乐同学进行了如下的操作：
1
①在平面直角坐标系xOy中，画出函数y= x的图像；
2
1
②在x轴的正半轴上截取OA=MN ，过点A作AD^x轴交函数y= x的图像于点D；
2
③以点M 为圆心，AD长为半径作弧，交MN于点P．
所以点P平分线段MN．
【解决问题】
(1)根据乐乐同学的做法，如果要将线段MN三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段
1
AD上，找到点C，使AC = MN，于是可作出线段MN上的一个三等分点．（填函数解析式）
3
(2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点B在x轴的正半轴上，OB=b．运用我们学过的函
æ4 2ö
数知识，在图7-2中作出坐标为ç , ÷的点Q，写出画图步骤．（保留作图痕迹）
èb bø
押题解读
本考点为必考考点， 常以解答题形式考查
实际应用题型：如仰角俯角问题、坡度坡角问题。例如，在测量建筑物高度时，通过测量仰角和观测点到建筑物的距离，利用三角比来计算建筑物高度
实际应用问题增多：题目会更倾向于结合生活实际，以应用题的形式出现。涉及测量、建筑、导航等领
域，让学生通过建立数学模型，将实际问题转化为解直角三角形的问题来求解。
探究性和开放性增强：随着教育对学生综合素养的重视，中考命题可能会出现一些具有探究性和开放性
的解直角三角形作图题。如给定一些条件，让学生探究不同情况下图形的性质或求解相关量，或者要求
学生自己设计方案来解决问题，考查学生的创新思维和探究能力。
1 ．如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路A®C®D游览沿途风
光；路线二：先坐观光车从A至B，沿途游览，再在B点登船，沿水路BD游览沿途美景．已知点C在点A
的东北方向，点C在点B的北偏东30°方向，点B在点D的南偏西75°方向，点D在点C的南偏东75°方向，
BC相距20千米．（参考数据： 2 »1.41， 3»1.73， 6 »2.45）
(1)求AB的距离（结果保留根号）；
(2)小聪和小明同时从点A出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的
速度为10千米/小时，观光车的速度为20千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁
先到达点D，并说明理由．
2．某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆OA绕点O匀速旋转，另一曲臂杆AB始终保持与地面
平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度CD为1.2m，
OA= AB=1.5m，OD=0.2m，入口宽度为3m．(1)如图2，因机器故障，曲臂杆OA最多可逆时针旋转72°，求此时点A到地面的距离．（结果精确到0.01）
(2)在（1）的条件下，一辆宽为2.64m、高为2.2m的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：
sin72°»0.95，cos72°»0.31，tan72°»3.0）
3．如图，已知在
V
ABC中，BC =6，AC =4，ÐC =60°．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段AB上作点D，使得DB=DC（要求：不写作法，保留作
图痕迹）；
(2)求AD的长．
4．为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：
步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步
道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）．根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出
不同形状的花圃下半圆形步道的半径．
花圃一：如图1，
V
ABC是一个等腰三角形的花圃，经测量AB= AC =13m，BC =24m，半圆形步道的圆
心在边BC上；
花圃二：如图2，四边形DEFG是一个梯形的花圃，DG∥EF，经测量DG=9m，EF =27m，ÐE=45°，
tanF =2，半圆形步道的圆心在边EF上．（结果保留根号）
5．“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点M 是矩形ABCD内一点，求作一个四边形，使得四边形的四
边分别等于AM 、BM 、CM 、DM ，并且两条对角线互相垂直．
小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点M 作MN∥AB并截取MN =AB；2．分别连接BN 、CN ．那么四
边形MBNC就是所求作的四边形．
(1)请判断小杰的作法是否正确，并说明理由；
(2)如图2，点N 是菱形ABCD内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或
画出图形、结论，不必说明理由）．
押题猜想八 几何证明
限时：8min（改编）学完“相似三角形”之后，小华和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考
【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边
形的对应边的比等于相似比．
【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如：
①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似；
②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似；
③相似四边形的面积的比等于相似比的平方．
……
【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明．
已知：如图，四边形ABCD与四边形A¢B¢C¢D¢相似，点A、B、C、D分别与点
A¢、B¢、C¢、D¢对应
S
求证：
四边形ABCD =k2
．
S
四边形A¢B¢C¢D¢
证明：
【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，E、F分别是
边AD、AB上的点，AE= 1 AB，AF = 1 AD，试求 S 四边形AEGF 的值．
2 2 S
四边形CDGB
押题解读
本考点为必考考点。解题思路如下：
分析模型：熟悉常见的几何模型，如子母型、燕尾型、旋转型、双垂型等。若题目中出现相关模型的特征，可尝试利用模型的性质和结论来解题。比如看到有公共角且对边平行的情况，可考虑 “A 字”
型相似。
1．如图，在Rt△ABC中，ÐABC =90o，点D在边AC上，过点D作DE垂直AC交AB于点E，连接EC、
BD交于点F ．
(1)求证： ABD∽ ACE；
V V
1
(2)如果BC =BE，求证： CE2 =BF×BD．
2
2．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE^BC交BC的延长线于点E，
BO×BD=BC×BE．
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
CF OC
(2)连结AE交DC于点F ，如果AE ^CD，求证： = ．
DE BO
3．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD0个单位，顶点落在点P处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D，连结
PD，交x轴于点E．
①如果m=2，求 ODP 的面积；
V
②如果EC =EP，求：m的值．
押题解读
本考点为必考考点，常以解答压轴题形式考查。近三年考查与平移有关的二次函数综合题。
押题方向
函数解析式的求解：给定一些点的坐标、函数的性质（如对称轴、顶点等）或与其他函数的关系，求二次函数的解析式，可能涉及到待定系数法，联立方程求解参数。
函数图像的平移、旋转问题：考查二次函数图像经过平移或旋转后，解析式的变化以及相关点坐标的变
化。如 2023 年上海中考第 24 题就考查了二次函数的平移。
面积问题：求与二次函数图像相关的三角形、四边形等图形的面积，可能涉及到将不规则图形分割或补
全为规则图形来求解，也可能会利用到点的坐标与线段长度的关系，以及面积公式等。
点的坐标求解及存在性问题：根据给定的条件，判断在二次函数图像上是否存在满足特定条件的点，如
满足某种角度关系、线段关系或特殊三角形、四边形的顶点等，并求出这些点的坐标，常与相似三角形、
三角函数、勾股定理等知识结合
1．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（b、c为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点4,-5，
与y轴交点坐标为0,3．
(1)求此抛物线的函数表达式：
(2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为4-m，将此
抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G．
①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为5时，求m的值；
②设点D1,n，点E1,1-n，将线段DE绕点D顺时针旋转90°后得到线段DF，连结EF，（当 DEF不
V
含内部）和二次函数在x£1范围上的图象有且有一个公共点时，求n的取值范围．
2．已知抛物线C :y=-x2+bx+c与y轴交于点A0,3，顶点P在直线x=1上．
1(1)求抛物线C 的解析式及顶点P的坐标；
1
(2)将抛物线C 向右平移mm>0个单位，再向下平移nn>0个单位，得到新抛物线C ，新抛物线C 的顶
1 2 2
点为Q，与抛物线C 的交点为点B，如果四边形PABQ是平行四边形，求m、n之间的关系式；
1
(3)在（2）的条件下，抛物线C 的对称轴与直线AP交于点E，与抛物线C 交于点F ，且
2 1
S :S =3:1，求此时抛物线C 上落在平行四边形PABQ内部的点（不包括与平行四边形的交点）的
△PEQ △BFQ 1
横坐标t的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=ax2+bx-3a¹0的顶点A的坐标为(1,-2)，与y轴
交于点B．将抛物线沿射线BA方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与
原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n．
(1)求原抛物线的表达式；
(2)求m关于n的函数解析式；
(3)在抛物线平移过程中，如果ÐNBM 是锐角，求平移距离的取值范围．1 1
4．已知：直线y= x+2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y=- x2 +bx+c经过点A和点B，
2 2
顶点为M．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求 ABM 的面积；
V
(3)如果将直线AB绕点A顺时针旋转45°，求旋转后直线在y轴上的截距．3 5
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-2与y轴交于点C，与直线y=- x+ 交于点
4 2
A(-2,n)和B(m,1)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点D在y轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点D到直线AC的距离；
3 5
(3)设直线y=- x+ 与x轴交于点E，已知点P、Q在直线CE上且在直线AB的下方（点P在点Q的右
4 2
侧），如果PQ= 34,BQ= AP，求点P、Q的坐标．押题猜想十 几何综合题
限时：15min
3
（改编）如图，已知Rt△ABC中，ÐACB=90°，AC =6，sinB= ，点D是射线BA上一动点（不与A、
5
B重合），过点D作DE∥AC，交射线BC于点E，点Q为DE中点，连接AQ并延长，交射线BC于点P．
(1)如图，当点D在线段AB上时，
①若AD=2，求PC的长；
②当△ADQ与 ABP相似时，求AD的长．
V
(2)当△ADQ是以AD为腰的等腰三角形时，试判断以点A为圆心、AD为半径的
e
A与以C为圆心、CE为
半径的 C的位置关系，并说明理由．
e
押题解读
本考点为必考考点， 常以解答压轴题的形式考查。
研究命题规律
分析历年真题：仔细研究近几年上海中考第 24 题的几何综合题，明确常考的知识点和题型。如三角形
全等与相似、四边形的性质与判定、圆的相关定理等是高频考点。关注命题趋势：近年来，上海中考几何压轴题更强调基础知识和基本技能的考查，注重知识的综合运用，
增强了题目的灵活性和开放性，同时加强了对几何变换和图形运动的考查。
押题方向预测
三角形与四边形综合：以三角形和四边形为背景，结合全等、相似、直角三角形的性质等知识，考查线
段长度、角度大小、图形面积等问题。例如，给出一个平行四边形和一个三角形，通过添加辅助线，证
明三角形全等或相似，进而求解相关线段的长度。
圆与直线的位置关系：涉及圆的切线、弦长、圆心角、圆周角等概念，以及直线与圆的相切、相交等位
置关系。可能会结合三角形的知识，考查圆的相关计算和证明。如已知圆的半径和一条切线，求切线长
或相关角度。
1．如图，已知矩形ABCD中，AB=1，BC =2，点P是边AD上一动点，过点P作PE^ AC，垂足为点
E，连接BE，过点E作EF ^BE，交边AD于点F （点F 与点A不重合）．
(1)当F 是AP的中点时，求证：BA=BE；
(2)当AP的长度取不同值时，在 PEF中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果
!
不存在，请说明理由；
(3)延长PE交边BC于点G，连接FG，
V
EFG与△AEF 能否相似，若能相似，求出此时AP的长；若不能相
似，请说明理由．2．如图1，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的动点，以E为圆心，DE为半径作圆，AF 与
e
E
相切于点F ，连接EF并延长交BC于点G，连接AE，AG．
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)如图2，AE与
e
E相交于点H，连接BH 并延长交AD于点K，当满足DK+EG+CG=12时，试判断BK
与 E的位置关系并说明理由．
e3．如图1，
V
ABC中，AB= AC =6，BC =4，点D在BC的延长线上，联结AD，以AD为一边作
V
ADE，
使点E与点B位于直线AD的两侧，且AD= AE，ÐDAE=ÐBAC．
(1)如果AE∥BC，请判断四边形ABDE的形状并证明；
(2)如图2，设点M 是BC中点，点N 是DE中点，联结AM 、AN、MN，求证：△ABD∽△AMN；
(3)设BD=x，在（2）的条件下，以BC为直径的
e
M 与以DE为直径的
e
N 存在着哪些位置关系？并求出
相应的x的取值范围（直接写出结论）．4
4．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝ ，点D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点
5
E，点F是边AC上一点，联结DF、EF，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG．
（1）如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；
（2）如图2，如果AF＝AE，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长．5．已知圆O的直径AB上有一点C（不与A、B重合），AB=10，过点C作弦DE^AB，点F是弧BD的
中点，连接EF，交AB于点G．
(1)如图1，当点G与点O重合时，求AC的长；
DE
(2)如图2，连接OD，当OD^EF 时，求 的值；
EF
EG
(3)设AC =x，y= ，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
GF
