2025中考数学押题预测卷（河南卷）_幼小初教辅资料_中考_2025中考各科押题卷+模拟卷（含全国）

2025年中考押题预测卷（河南卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣6的相反数是（ ） 1 1 A．﹣6 B．﹣ C．6 D． 6 6 2．中国提出的“一带一路”倡议将有力推动我国与世界各国深化互利共赢合作．根据规划文件，“一 带一路”倡议沿线国家和地区涉及总人口逾 45亿人，数据45亿用科学记数法表示为（ ） A． 45108 B． 4.5109 C． 4.5108 D． 4.51010 3．甲骨文是汉字的早期形式，最早出土于河南省安阳市殷墟．下列甲骨文经破译，对应的汉字分 别为“泉”，“合”，“禾”，“丰”．以下甲骨文中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． 2a23 6a6 B．(a2)2 a2 4 C． a8a3 a2 D． 18 8  2 5．甲、乙、丙、丁四名运动员参加掷标枪比赛，下表记录了四人选拔测试（每人掷5次）的相关 数据： 甲 乙 丙 丁 平均距离/m 45 54 48 54 方差 3.2 0.4 4.8 6.4 根据表中数据，选拔测试中成绩又好又稳定的是（ ） 第 1 页 共 31 页A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程 x2mxn0 的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 7．如图，在菱形ABCD中，AB10，AC16，AC交 BD于点O，DEBC于点E，连接OE，则OE 的长为 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．如图，AB是O的切线， B 为切点，连接AO交O于点C，延长AO交O于点D，连接BD．若 AD，且AC3，则AB的长度是（ ） A．3 B．4 C． 3 3 D． 4 2 9．二次函数yax2bxc的图象如图所示，对称轴是直线x1，则点A  b24ac,abc 的位置在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在 这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度 第 2 页 共 31 页Sg与温度TC之间的对应关系如图1所示，关于溶液浓度计算的相关信息见图2，则下列说法 正确的是（ ） A．甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大 B．当T 10C时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 C．当T 30C时，分别向100g水中添加20g的甲、乙，则乙溶液最终一定能达到饱和状态 D．当T 15C时，100g的甲饱和溶液所含溶质甲的质量是10g 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．请写出一个y随x增大而增大的一次函数表达式 ． x0 12．不等式组 的解集为xa，请你写出一个符合条件的a的值： ． xa 13．如图是一个并联电路图，电路连接完好，且各元件正常，随机闭合开关中的两个，能使灯泡发 亮的概率是 ． 14．如图，在扇形AOB中，AOB90，AO4，点C 为AB的中点，过点C作CD∥OB交AB于点 D， 则阴影部分的面积为 ． 15．如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点P是对角线BD上一个动点，连接AP，以AP为直 角边在AP右侧作等腰直角三角形APE，APE90，连接DE． （1）当点E落在BD上时，DE的长为 ； （2）DE的最小值是 ． 第 3 页 共 31 页三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 0 1 16．（10分）（1）计算：3 27  22； 3 x24  2 （2）化简： 1  ． x  x 17．（9分）随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，AI聊天机器人的智能化 水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业 市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B 两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查， 并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100分，分为四 个等级：不满意x70、比较满意70x80、满意80x90、非常满意x90），下面给出了部分信 息． 抽取的对A款AI 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI 聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款AI聊天机器人的评分统计表 AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87.5 c 40% 第 4 页 共 31 页根据以上信息，解答下列问题 (1)上述图表中，a_____________，b_____________，c_____________． (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分．请 通过计算，估计此次调查中对AI聊天机器人不满意的共有多少人． 18．（9分）如图，在V ABC中，∠ABC=90°． (1)在BC的上方求作一点D，使DCBC，且BD AC．（要求：请用无刻度的直尺和圆规作图，保 留作图痕迹，不写作法）． (2)连接AD．求证：四边形ABCD为矩形． 19．（9分）如图，在直角坐标平面内，线段OB与反比例函数的图象交于点 B ，线段OB的表达式 4 为y x，点 B 的坐标为a,4，线段OA与反比例函数的图象交于点 P ，且AB∥x轴． 3 (1)求a的值及反比例函数的关系式； (2)当OA平分OB与x轴正半轴的夹角时，求点 A 的坐标． 第 5 页 共 31 页20．（9分）【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同 学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上 的点E处，使得A，D，E 在一条直线上，通过调节点E 的高度可控制“天幕”的开合，AC AD2m， BF 3m． 【数据应用】 (1)天晴时打开“天幕”，若76，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）； (2)下雨时收拢“天幕”，从76减少到45，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：sin760.97，cos760.24，tan764.01， 2 1.41 ） 21．（9分）为建设新农村，某村从某厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知每盏甲种路灯的价格 比每盏乙种路灯的价格贵80元，用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯 的数量相同． (1)求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元． (2)该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏．为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠： 甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半， 则购买这批路灯最少需要花费多少元？ 第 6 页 共 31 页22．（10分）掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路 线是一条抛物线，行进高度ym与水平距离xm之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度 5 为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． 3 (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等 于7.80m，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当 掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 23．（10分）新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片ABCD和 ABCD，其中正方形ABCD的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片ABCD， 将 正 方 形 纸 片ABCD的顶点D'与点O重合，并将纸片ABCD绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片ABCD和ABCD，其中菱形ABCD 的 对 角 线相交于点O，AABC 60．赵老师让学生固定菱形纸片ABCD，将菱形纸片ABCD的顶 点 D ¢与点O重合，并将纸片ABCD绕着点O 旋转，OA交AB边于点E，OC交BC边 于 点 F， 如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形OEBF） 的面积 ．（填“变了” 或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线BO是ABC的 ； ②ABCAOC ． 第 7 页 共 31 页【迁移探究】 如图（3）， BM 平分ABC，点 P 在 BM 上，点E，D 分别是BA，BC上的动点，且ABCEPD180， 当点D，E 分别在BC，BA 上运动时，试判断四边形BDPE的面积是否发生变化，并利用图 （3） 说明理由． 【拓展应用】 如图（4），平行四边形ABCD中 ，AB3，ABC 60，BCm，点E 为AD边上一点，且 BE 平分 ABC， 连接EC．将EC绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在AB上时，点F 恰好为AB的三等 分点，请直接写出m 的值． 第 8 页 共 31 页2025年中考押题预测卷（河南卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣6的相反数是（ ） 1 1 A．﹣6 B．﹣ C．6 D． 6 6 【答案】C 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：6的相反数是6，故选：C． 2．中国提出的“一带一路”倡议将有力推动我国与世界各国深化互利共赢合作．根据规划文件，“一 带一路”倡议沿线国家和地区涉及总人口逾 45亿人，数据45亿用科学记数法表示为（ ） A． 45108 B． 4.5109 C． 4.5108 D． 4.51010 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 a10n的形式，其中1|a|10，n为整 数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将45亿写成 a10n其中1|a|10，n为整数的形式即可． 【详解】解：45亿45000000004.5109．故选B． 3．甲骨文是汉字的早期形式，最早出土于河南省安阳市殷墟．下列甲骨文经破译，对应的汉字分 别为“泉”，“合”，“禾”，“丰”．以下甲骨文中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿某条直 线折叠后直线两旁的部分可重合，判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180度后可与自 身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案． 【详解】A．是轴对称图形，故不符合题意； B 是轴对称图形，故不符合题意； C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故符合题意； D．是中心对称图形，故不符合题意；故选：C． 第 9 页 共 31 页4．下列运算正确的是（ ） A． 2a23 6a6 B．(a2)2 a2 4 C． a8a3 a2 D． 18 8  2 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，完全平方公式，整式加法运算，二次根式的加法运算等知 识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 根据积的乘方运算，完全平方公式，整式加法运算，二次根式的加法运算法逐项分析判断即可． 【详解】解：A： 2a23 23  a23 8a6 6a6，故运算错误，不符合题意； B：(a2)2 a24a4a24，故运算错误，不符合题意； C： a8与 a3不是同类项，不能合并，不符合题意； D： 18 8 3 22 2  2 ，运算正确，符合题意．故选：D． 5．甲、乙、丙、丁四名运动员参加掷标枪比赛，下表记录了四人选拔测试（每人掷5次）的相关 数据： 甲 乙 丙 丁 平均距离/m 45 54 48 54 方差 3.2 0.4 4.8 6.4 根据表中数据，选拔测试中成绩又好又稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的意义判断即可求解，掌握平均数和方差的 意义是解题的关键． 【详解】解：由表中数据可知，乙、丁的平均数高于甲、丙的，但乙的方差小于丁的方差， ∴乙的成绩又好又稳定，故选：B． 6．m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程 x2mxn0 的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C【分析】本题考查了数轴，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b24ac0 时，方程有两个相等的实数根；当 b24ac0 时，方程没有实数根． 先根据数轴确定m0n，再由根的判别式得到Δm241nm24n，即可确定符号． 第 10 页 共 31 页【详解】解：由数轴得，m0n ∵关于x的一元二次方程 x2mxn0 ， ∴Δm241nm24n0， ∴有两个不相等的实数根，故选：C． 7．如图，在菱形ABCD中，AB10，AC16，AC交 BD于点O，DEBC于点E，连接OE，则OE 的长为 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜 1 1 边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得OBOD BD,OAOC  AC 8， 2 2 再运用勾股定理可得OB6，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，AC16， 1 1 OBOD BD,OAOC  AC 8， 2 2 Q AB10,OA8， OB AB2OA2 6 ， 1 Q DE BC,OBOD BD， 2 1 OE  BDOB6，故选：A． 2 8．如图，AB是O的切线， B 为切点，连接AO交O于点C，延长AO交O于点D，连接BD．若 AD，且AC3，则AB的长度是（ ） A．3 B．4 C． 3 3 D． 4 2 【答案】C 第 11 页 共 31 页【分析】此题主要考查了切线的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，熟悉是切 线的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 连接OB，得出OB AB，OBD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和含30直角三角形的性质 求出A30，OB AC3，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接OB， ∵OBOD， ∴OBD是等腰三角形， ∴OBDD， ∵AOB是OBD的一个外角， ∴AOBOBDD2D， ∵AB是O的切线， ∴OB AB， ∴ABO90， ∵AD， ∴AAOBA2D3A90， ∴A30， ∴AO2OB ACOC， 又∵OBOC， ∴OB AC3， OB ∵ tanAtan30， AB OB 3 ∴AB  3 3． tan30 tan30 故选：C． 9．二次函数yax2bxc的图象如图所示，对称轴是直线x1，则点A  b24ac,abc 的位置在 （ ） 第 12 页 共 31 页A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数图象确定相应一元二次方程根 的情况、判断点所在的象限，解题关键是根据二次函数图象确定相应一元二次方程根的情况．由该 二次函数与x轴无交点，顶点在第二象限推得 b24ac0 ，abc0即可得解． 【详解】解：由图象可得，该二次函数与x轴无交点，顶点在第二象限， 一元二次方程 ax2bxc0 无解， b24ac0 ； 当x1时，yabc0， 点A  b24ac,abc 在第二象限．故选：B． 10．在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在 这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度 Sg与温度TC之间的对应关系如图1所示，关于溶液浓度计算的相关信息见图2，则下列说法 正确的是（ ） A．甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大 B．当T 10C时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 C．当T 30C时，分别向100g水中添加20g的甲、乙，则乙溶液最终一定能达到饱和状态 D．当T 15C时，100g的甲饱和溶液所含溶质甲的质量是10g 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图像上的数据分析得出函数的类 型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据函数图象解答即可． 第 13 页 共 31 页【详解】解：A．甲物质的溶解度都随着温度的升高而增大，乙两种物质的溶解度都随着温度的升 高而减小，故不正确； B．当T 10C时，甲物质的溶解度小于乙物质的溶解度，故不正确； C．当T 30C时，分别向100g水中添加20g的甲、乙，则乙溶液最终一定能达到饱和状态，正确； 10 D．当T 15C时，100g的甲饱和溶液所含溶质甲的质量是100 9.1g，故不正确．故选C． 10100 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．请写出一个y随x增大而增大的一次函数表达式 ． 【答案】yx（答案不唯一） 【分析】在此解析式中，当x增大时，y也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写 一个即可． 【详解】解：如yx，y随x 的增大而增大． 故答案为：yx（答案不唯一）． x0 12．不等式组 的解集为xa，请你写出一个符合条件的a的值： ． xa 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．根据不等式组的解及 解集可得出a的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可． x0 【详解】解：关于x的不等式组 的解集是xa， xa a0 a的值可以是1．故答案为：1（答案不唯一）． 13．如图是一个并联电路图，电路连接完好，且各元件正常，随机闭合开关中的两个，能使灯泡发 亮的概率是 ． 2 【答案】 3 【分析】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．根据题 意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有 4种等可能性，根据概率 公式求解即可． 【详解】解：画树状图得 第 14 页 共 31 页4 2 由树状图得共有6种等可能性，其中能让小灯泡同时发光有4种等可能性，所以概率为  ． 6 3 2 故答案为： 3 14．如图，在扇形AOB中，AOB90，AO4，点C 为AB的中点，过点C作CD∥OB交AB于点 D， 则阴影部分的面积为 ． 8 【答案】 π22 3 3 1 【分析】延长DC交OA于点E，连接OD，由平行线等分线段定理得AE OE  AO2，即得CE是 2 1 VAOB的中位线， ED OD2OE2 2 3 ，得到CE  OB2，又根据三角函数可得DOE60，最 2 后根据S S S S 即可求解． 阴影 扇形AOD AEC DEO 【详解】解：如图，延长DC交OA于点E，连接OD， ∵点C为AB的中点，CD∥OB，AOB90， AE AC ∴AEC OED90，  1 EO BC 1 ∴ AE OE  AO2， 2 ∴CE是VAOB的中位线， ED OD2OE2  4222 2 3 ， 1 ∴CE  OB2， 2 OE 1 在RtVOED 中，cosDOE  ， OD 2 ∴DOE60， ∴S S S S 阴影 扇形AOD AEC DEO 第 15 页 共 31 页60π42 1 1   22 22 3 360 2 2 8 8  π22 3，故答案为： π22 3． 3 3 15．如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点P是对角线BD上一个动点，连接AP，以AP为直 角边在AP右侧作等腰直角三角形APE，APE90，连接DE． （1）当点E落在BD上时，DE的长为 ； （2）DE的最小值是 ． 8 4 2 【答案】 5 5 24 【分析】（1）当点E落在BD上时，先求出BD10,再由三角形的面积公式求出APPE  ,进而由 5 18 勾股定理求出BP ,然后根据DE BDBPEP 即可得出答案； 5 （2）过点 P 作PF  AB于点F ，FP的延长线交CD于点 H ， 过点E作ET PH 于点T， EK CD于 3x 3x 点K， 设PF  x,证明PFB∽BAD，利用相似三角形的性质求出BF  , 则AF 6 ，证明 4 4 3x FAP≌ TPE得PF ET  x, PT  AF 6 ,证明四边形BFHC和四边形EKHT均为矩形，则 4 x 7x 58 88 2 32 EK TH 2 , DK 6 , 在RtDEK中，由勾股定理得 DE2  x   ，最值解题即可． 4 4 8  25 25 【详解】解：（1）当点E落在BD上时，如图1所示： APE 是以AP为直角边的等腰直角三角形， APE 90,APPE， ∵四边形ABCD是矩形，AB6,BC 8， ABCD6,ADBC 8,DAB90， ABCD， 在RtABD中， 由勾股定理得： BD AB2AD2  6282 10 ， 1 1 由三角形的面积公式得：S  BD·AP AB·AD， ABD 2 2 第 16 页 共 31 页AB•AD 68 24 AP   ， BD 10 5 24 APPE  ， 5 2 24 18 在RtABP中，由勾股定理得： BP AB2AP2  62   ，  5  5 24 18 8 DE BDBPEP10   ， 5 5 5 8 故答案为： ； 5 （2）过点 P 作PF  AB于点F ， FP的延长线交CD于点 H ， 过点E作ET PH 于点T ， EK CD于 点K， 如图2所示： 设PF x， ∵PFBDAB90， PBF DBF ， ∴ PFB∽BAD， BF PF   ， AB AD AB•PF 6x 3x BF    ， AD 8 4 3x AF  ABBF 6 ， 4 ∵PF  AB， ET PH ， ∴AFPPTE90， ∴FAPAPF 90， ∵APE90， APFTPE 90， FAPTPE ， AFBPTE 90  在 FAP和 TPE中， FAPTPE ，  APPE  FAP≌TPEAAS， 3x PF ET  x,PT  AF 6 ， 4 第 17 页 共 31 页EK CD,ABCD,PF  AB， ∴四边形BFHC和四边形EKHT均为矩形，  3x x EK TH BCPFPT 8x6 2 ，  4  4 3x 7x DK CDET BF 6x 6 ， 4 4 在RtDEK中， 由勾股定理得： DE2 EK2DK2， 2 2 2  x  7x 25 58 88 32 DE2 2  6   x222x 40 x   ，  4  4  8 8  25 25 88 32 ∴当 x 时， DE2为最小，最小值为 , 25 25 32 4 2 ∴ DE的最小值为：  ， 25 5 4 2 故答案为： ． 5 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 0 1 16．（10分）（1）计算：3 27  22； 3 x24  2 （2）化简： 1  ． x  x 9 【答案】（1） ；（2）x2 4 【分析】（1）根据开立方运算法则、零指数幂的运算法则、负数指数幂的运算法则解答即可； （2）根据分式的混合运算法则解答即可． 0 1 【详解】解：（1）3 27  22 3 1 =31 4 9 = ； 4 x24  2 （2） 1  x  x x24 x2 =   x  x  x24 x   x x2 x2x2 x   x x2 x2． 17．（9分）随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，AI聊天机器人的智能化 水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业 第 18 页 共 31 页市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B 两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查， 并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100分，分为四 个等级：不满意x70、比较满意70x80、满意80x90、非常满意x90），下面给出了部分信 息． 抽取的对A款AI 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI 聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款AI聊天机器人的评分统计表 AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87.5 c 40% 根据以上信息，解答下列问题 (1)上述图表中，a_____________，b_____________，c_____________． (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分．请 通过计算，估计此次调查中对AI聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】(1)10，88.5，98 (2)A 款，因A款中位数 88.5大于B 款的87.5，所以A 款好（理由不唯一） (3)85 人 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数 的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众 数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B 款的评分统计表的数据解答即可； 第 19 页 共 31 页（3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 6 【详解】（1）解：由题意得：A 款“满意”所占百分比为 100%30%， 20 ∴“不满意”所占百分比为130%45%15%10%， ∴a10； ∵A款的评分非常满意有2045%9个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 8889 ∴b 88.5， 2 在B款的评分数据中，98出现的次数最多， ∴c98； 故答案为：10，88.5，98； （2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A 款评分数据的中位数比B款高，所以A 款AI聊天机器 人更受用户喜爱（理由不唯一）； 3 （3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为 100%15%， 20 估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有30015%40010%85（人）． 18．（9分）如图，在V ABC中，∠ABC=90°． (1)在BC的上方求作一点D，使DCBC，且BD AC．（要求：请用无刻度的直尺和圆规作图，保 留作图痕迹，不写作法）． (2)连接AD．求证：四边形ABCD为矩形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本作图及矩形 的判定是解题的关键． （1）首先以点B 圆心、AC长为半径画弧，然后作DCBABC，CD与弧交于点D，则点 D 即为 所求； （2）连接BD，可证明△ABC≌△DCB，得到ABDC，再证明AB∥CD，即可得到四边形ABCD为 平行四边形，最后结合BD AC，即可证明结论． 第 20 页 共 31 页【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求作的点； （2）证明：连接BD， 由（1）知BCDABC 90，BDCA， 又BCCB， ABC≌DCB(HL)， ABDC， 又BCDABC90， AB∥CD， 四边形ABCD为平行四边形， BD AC， 四边形ABCD为矩形． 19．（9分）如图，在直角坐标平面内，线段OB与反比例函数的图象交于点 B ，线段OB的表达式 4 为y x，点 B 的坐标为a,4，线段OA与反比例函数的图象交于点 P ，且AB∥x轴． 3 (1)求a的值及反比例函数的关系式； (2)当OA平分OB与x轴正半轴的夹角时，求点 A 的坐标． 12 【答案】(1)3，y ；(2)A8,4 x 4 4 【分析】（1）把a,4代入解析式y x中，得到4 a，求得a4，继而确定点B3,4，设反比 3 3 k 例函数解析式为y ，把点B3,4代入计算解答即可； x （2）根据题意，得 OB 3242 5 ，A1，设Am,4，ABm3， 证明ABOB，建立等式m35，求得m8，解答即可． 4 【详解】（1）解：把a,4代入解析式y x中， 3 第 21 页 共 31 页4 得到4 a，解得a3，故点B3,4， 3 k 设反比例函数解析式为y ， x k k 把点B3,4代入y ，得4 ， x 3 解得k 12， 12 故反比例函数的解析式为y ； x （2）解：∵AB∥x轴，B3,4， ∴点A的纵坐标为4， OB 3242 5 ，A1， 设Am,4， ∴ABm3， ∵OA平分OB与x轴正半轴的夹角， ∴12， ∴A2， ∴ABOB， ∴m35， 解得m8，故点A8,4． 20．（9分）【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同 学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上 的点E处，使得A，D，E 在一条直线上，通过调节点E 的高度可控制“天幕”的开合，AC AD2m， BF 3m． 第 22 页 共 31 页【数据应用】 (1)天晴时打开“天幕”，若76，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）； (2)下雨时收拢“天幕”，从76减少到45，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：sin760.97，cos760.24，tan764.01， 2 1.41 ） 【答案】(1)3.8m；(2)2.3m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识 点并灵活运用是解此题的关键． （1）由对称的性质可得，CD2OD，AOD90，解直角三角形得出OD ADsin761.9m，即可 得解； EH （2）作EH  AB于 H ，四边形BFEH为矩形，得出EH BF 3m，解直角三角形得出AH  ，分 tan 别求出76和45时AH的值，作差即可得解． 【详解】（1）解：由对称的性质可得，CD2OD，AOD90， 在RtAOD中，OAD76，AD2m， ∴OD ADsin7620.971.9m， ∴CD2OD3.8m； （2）解：如图，作EH  AB于 H ， ， ∴EHB90， ∵ABBF，EF BF， ∴HBF EFB90， ∴四边形BFEH为矩形， ∴EH BF 3m， HE 在Rt△AEH中，tan ， AH EH ∴AH  ， tan 3 3 当76时，AH   0.7m， tan76 4.01 3 3 当45时，AH   3m， tan45 1 ∴下雨时收拢“天幕”，从76减少到45，求点E 下降的高度为30.72.3m． 第 23 页 共 31 页21．（9分）为建设新农村，某村从某厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知每盏甲种路灯的价格 比每盏乙种路灯的价格贵80元，用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯 的数量相同． (1)求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元． (2)该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏．为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠： 甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半， 则购买这批路灯最少需要花费多少元？ 【答案】(1)乙种路灯每盏的价格为400元，则甲种路灯每盏的价格为480元 (2)购买这批路灯最少需要花费23000元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确 列出方程和一次函数解析式是解此题的关键． （1）设乙种路灯每盏的价格为x元，则甲种路灯每盏的价格为x80元，根据“用12000元购买甲 种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设购买这批路灯花费w元，其中购买甲种路程m盏，则购买乙种路灯60m盏，根据题意得 出w关于m的关系式，再根据“甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半”求出m的取值范围， 最后根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙种路灯每盏的价格为x元，则甲种路灯每盏的价格为x80元， 12000 10000 由题意得：  ， x80 x 解得：x400， 经检验，x400是原方程的解，且符合实际， ∴x80480， ∴乙种路灯每盏的价格为400元，则甲种路灯每盏的价格为480元； （2）解：设购买这批路灯花费w元，其中购买甲种路程m盏，则购买乙种路灯60m盏， 由题意得：w48050m4000.960m70m21600， 1 由题意得：m 60m， 2 解得：m20， ∵700， ∴w随着m的增大而增大， ∴当m20时，w取最小值，最小值为23000， ∴购买这批路灯最少需要花费23000元． 第 24 页 共 31 页22.（10分）掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线 是一条抛物线，行进高度ym与水平距离xm之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为 5 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． 3 (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等 于7.80m，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当 掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 4 【答案】(1)y x323 27 (2)没有得满分，见解析 52 (3)当掷出点的高度至少达到 m时，可得满分 25 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程 问题． （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y0，解方程即可； 4 256 （3）把x7.80，y0代入得解析式y x32h，求出h ，再令x0即可求解． 27 75 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为yax323，  5 把 0,  代入上式得，  3 5 a0323 3 4 解得a ． 27 4 ∴y关于x的函数表达式为y x323． 27 （2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下： 第 25 页 共 31 页4 当y0时，即： x3230， 27 解得x 7.5，x 1.5（舍去）， 1 2 ∵7.57.80， ∴该女生在此项考试中没有得满分． 4 （3）解：可设y x32h． 27 4 把x7.80，y0代入得，0 7.832h， 27 256 求出h ． 75 4 256 ∴y x32 ． 27 75 4 8 52 ∴y x2 x . 27 9 25 52 答：当掷出点的高度至少达到 m时，可得满分． 25 23．（13分）新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片ABCD和 ABCD，其中正方形ABCD的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片ABCD， 将 正 方 形 纸 片ABCD的顶点D'与点O重合，并将纸片ABCD绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片ABCD和ABCD，其中菱形ABCD 的 对 角 线相交于点O，AABC 60．赵老师让学生固定菱形纸片ABCD，将菱形纸片ABCD的顶 点 D ¢与点O重合，并将纸片ABCD绕着点O 旋转，OA交AB边于点E，OC交BC边 于 点 F， 如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形OEBF） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线BO是ABC的 ； ②ABCAOC ． 【迁移探究】 如图（3）， BM 平分ABC，点 P 在 BM 上，点E，D 分别是BA，BC上的动点，且ABCEPD180， 当点D，E 分别在BC，BA 上运动时，试判断四边形BDPE的面积是否发生变化，并利用图 （3） 说明理由． 【拓展应用】 第 26 页 共 31 页如图（4），平行四边形ABCD中 ，AB3，ABC 60，BCm，点E 为AD边上一点，且 BE 平分 ABC， 连接EC．将EC绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在AB上时，点F 恰好为AB的三等 分点，请直接写出m 的值． 【答案】[操作判断]①不变；②不变； [探索发现]①平分线；②180； [迁移探究]不变，理由见详解； [拓展应用]m的值为7或8 【分析】[操作判断] ①作OX  AB于X ，作OY BC于Y，设OA与AB交于点A，OC与BC交于点A ， 1 2 根据正方形的性质证明XOA≌YOA ASA，即可得结论；②取BC的中点G，连接OG，得OGC是 1 2 2 S 1 1 等边三角形，证明AOE≌GOF， ABC∽OGC，得， OGC    ，进而可得不变这一结论； S 2 4 ABC [探索发现]①由正方形、菱形的性质即可得线BO是ABC的平分线；②由正方形、菱形的性质即 可得ABCAOC180； [迁移探究] 过点 P 作PG AB，PH BC，垂足分别为G， H ，证明 GEP≌HDP，进而可证明 RtBPG≌RtBPH，利用面积和差可得结论； [拓展应用]根据上面所得结论，过点E作EM BA，垂足为M ，过点E作EN BC ，垂足为N ，可得 EM EN，证明RtEMF≌RtENC，RtBME≌RtBNE ，求得 1 27 3 S S  2S  2 3 3cos303 3sin30 ，进而可得BFBC 9， 分以下两 四边形BCEF 四边形BMEN BEN 2 4 种情况讨论：当点F 是靠近点 A 的三等分点时，当点F 是靠近点 B 的三等分点时，结合图形求解即 可． 【详解】解：[操作判断] ①不变；理由如下： 作OX  AB于X ，作OY BC于Y，设OA与AB交于点A，OC与BC交于点A ， 1 2 第 27 页 共 31 页由题意可得，正方形ABCD中，BD平分ABC， OX OY， OXBABC BYO90， 四边形OXBY 是正方形， XOY 90， XOA AOY AOYYOA 90， 1 1 1 2 XOA YOA ， 1 2 XOA≌YOA ASA， 1 2 S S S ， 四边形A1BA2O 四边形A1BYO OYA2 1 S S S S  S ， 四边形A1BA2O 四边形A1BYO OXA1 正方形OXBY 4 正方形ABCD 故答案为：不变； ②不变； ABC60， 又菱形ABCD中，ABBC，AOBD,AOCOBODO， ABC是等边三角形， BAC60， 如图，取BC的中点G，连接OG， OG是V ABC的中位线， OG∥AB， OGCABC60,GOCBAC60， OGC GOC ACB60， 第 28 页 共 31 页则OGC是等边三角形， OGOC OA， AOG120AOC， AOEGOF ， AOE≌GOF ， GOC BAC 60， OG∥AB， ABC∽OGC， OG CG 1    ， AB BC 2 2 S 1 1  OGC    ， S 2 4 ABC 3 S  S ， 四边形ABGO 4 ABC S S S 四边形OEBF 四边形OEBG OGF 3 3 S S S  S  S ， 四边形OEBG AOE 四边形OABG 4 ABC 8 菱形ABCD 故答案为：不变； [探索发现] ①四边形ABCD是正方形， BO平分ABC； 四边形ABCD是菱形， BO平分ABC； 故答案为：平分线； ②在图（1）中，ABC 90,AOC 90， ABCAOC180， 在图（2）中，ABC 60,AOC 120， ABCAOC180， 故答案为：180； [迁移探究] 不变，理由如下： 如图，过点 P 作PG AB，PH BC，垂足分别为G， H ， 第 29 页 共 31 页则PGE PHBPHD90， ABCGPH 180， ABCEPD180， GPH EPD， GPE HPD， BP平分ABC，PG AB，PH BC， PGPH ， GEP≌HDP， BP BP，PGPH ， RtBPG≌RtBPH ， S S S S S S 2S ， 四边形BDPE 四边形BHPE PHD 四边形BHPE GEP 四边形BHPG PGB S 为定值， PGB 故四边形BDPE的面积不发生变化； [拓展应用] 解：m的值为7或8； BE 平分ABC， ABECBE30， ADBC， CBEAEB， ABEAEB， AE AB3，MAE ABEAEB60， 3 3 3 ME AEsin60 3  ； 2 2 3 3 BE 2ME 2 3 3 ， 2 过点E作EM BA，垂足为M ，过点E作EN BC ，垂足为N ， 可得EM EN， 同上可证明RtEMF≌RtENC，RtBME≌RtBNE ， 第 30 页 共 31 页1 27 3 S S  2S  2 3 3cos303 3sin30 ， 四边形BCEF 四边形BMEN BEN 2 4 1 1 27 3  BFEM  BCEN  ， 2 2 4 1 3 3 27 3  BF BC  ， 2 2 4 BFBC 9， 分以下两种情况讨论： 如图，当点F 是靠近点 A 的三等分点时，AF 1，BF 2，则BC927； 当点F 是靠近点 B 的三等分点时，AF 2，BF 1，则BC 918， 综上所述，m的值为7或8． 第 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