文档内容
2025年中考押题预测卷（浙江卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在实数0， 4， 3， 1中，最小的数是（ ）
3
A． 3 − B − ． 4 C．0 D． 1
3
2．下列代数式变形正确的是−（ ） −
A． + 2 = 2+ 2 B． 2 = 2 2 C． + = + D．1 + 1 = 1
+
3．篆 刻是 中华 传统 艺术之一 ， 雕刻 印 章是篆刻基本 功． 如图 是一块 雕刻印 章 的材 料 ，其俯视图为
（ ）
A． B． C． D．
4．2024年底，DeepSeek 发布了新一代大语言模型 V3 并宣布开源，紧接着，在世界经济论坛2025
年年会开幕当天，DeepSeek 又发布了最新开源模型R1，再次引发全球人工智能领域的关注热潮．而
其训练成本却远低于美国开放人工智能研究中心、谷歌、“元”公司等美国科技巨头在人工智能技术
上的投入．据悉，R1模型训练成本仅为560万美元，数据560万用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.56 107 B．5.6 102 C．56 105 D．5.6 106
5．下列判
×
断正确的是（
×
）
× ×
第 1 页 共 30 页A．甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为 2 =1.5， 2 =2.5，则甲芭蕾舞团女演员的身高
甲 乙
更整齐
B．掷一次骰子，向上一面的点数是 6是不可能事件
C．“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
D．检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
6．如图， 为 的直径，弦 交 于点M，且 = 45 ，若 = 2， = 4，则 的
半径为（ ）
⊙ ∠ ° ⊙
A．3 2 B． 10 C．3 D．4
7．沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交
织．雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（ ）
A．10 5 20米 B．10 5 10米 C．20 5 20米 D．20 5 10米
8．如图．−在平面直角坐标系中，− 与 是位似−图形，位似中心为点 ，−若点 4,1 的对应
点 12,3 ，则 的面积与 △ 的 面积 △ 之 比 为（ ）
△ △
A．1:3 B．3:1 C．1:9 D．9:1
9．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数 = + 1的图象，发现它关
于原点中心对称．下面是关于函数 = +1+ 1 的描述，其中正确的是 （ ）
1
−
第 2 页 共 30 页A．函数图象的对称中心是 1,1
B．当 < 1 时， 随 的增大而增大
C．当 > 1 时， 函数 有最小值，且最小值为 4
D．二 次函数 = 2的图象与函数 = +1+ 1 的图象有3个不同的公共点
1
10．如图，正 方形 和正方形 的顶点 −C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一
条直线上．O是 的
中
点
， 的
平
分
线 过点D，交 于点H，连接 交 于点M，连接 ．以
下四个结论：① 垂直平∠分 ；② ； ③ =2 2； ④ = 2 1，其中 正确
△
的结论是（ ） △ ∽△ − △ −
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若a，b互为相反数，c，d互为倒数， 2 =6，则 + + 6 + 的值是 ．
12．分解因式： 2 2 + = ．
13．从 2， 1， 0 ， −1， 2， 4这 六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y 的二元一
次方程 − 组 − = + = 2 有整数解，且函数 = 2 +4 +2 与x轴有公共点的概率
是 ．
−
14．如图，在由相同的菱形组成的网格中， 等于60 ，小菱形的顶点称为格点．已知点 A，B，
C，D，E 都在格点上，连结 ， ，则 si∠n 的值为 ° ．
∠
15．如图，菱形 的边 ， 分别与 相切于点 ， ．若 = 60 ，若 = 3，则劣弧
的长为 ． ⊙ ∠ °
第 3 页 共 30 页16．如图，点 为等边 的边 上的一个动点， = 6，过点 作 于点 ，
交边 于点 ，连接 ，则 的面积最大值为 ．
△ ⊥ ⊥
△
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算 π 1 0 +4sin45 8+ 3 ．
（2）化简： 2 4 2 1 − °− −
2 1
−
− ÷ − −
18．（8分）习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程4 5 = 5 2
解：方程两边同时 −除以 5−得
4 = 5 第一步 −
4+5 =− 第二步
= 9 第三步
淇淇：解方程4 5 = 5 2
解：移项：4
5
−
5
−2
= 0 第一步
分解因式 5−4 − 5−=0 第二步
即 5 = 0− 或4 − −5 = 0 第三步
所 以 −1 =5, 2 =1− − 第四步
(1)分
别写出
嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
第 4 页 共 30 页19．（8分）点D，E分别在 ， 上，连接 ， ， = ， = ．
(1)如图1，求证： = ；
(2)如图2，连接
∠
，
若点
∠
D为 的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为
面积一半的所有三角形．
△
20．（8分）今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的
桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲
菲从某省的快递分拣站随机抽取 、 两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递
数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表：
第 5 页 共 30 页众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
型号 14和16 15
型号 20
请你根据以上数据，解 答下列问题：
(1)填空：表中 =___________， =___________；
(2)请计算表中
的值；（需要写出
计算过程）
(3)若该省共投
放市场的 型号智能机器人有80台， 型号智能机器人有100台，请你估计该省每天
用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
21．（8分）如图，在 中， 是对角线．
▱
(1)请你用无刻度的直尺和圆规，作线段 的垂直平分线，分别交 、 于点 、 （不写作法、
保留作图痕迹）；
(2)判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)若 ， = 10，则四边形 的周长为______．
⊥
22．（10分）一条公路上有相距80km 的A， 两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上匀速行驶．甲
从A地出发前往 地，速度为20km/h．甲出发
1小时后，乙也从A 地出发前往 地，出发半小时后
追上了甲，到达
地后停止不动．丙与甲同时出发，从 地前往A地，当丙与甲
相遇时，甲与乙相
距20km．设甲行 驶的时间为 h ，甲、乙、丙三人离A 地 的距离分别为 km ， km ， km ，
甲 乙 丙
， 关于 的函数图象如图所示．
甲 乙
第 6 页 共 30 页(1)求乙的行驶速度．
(2)求甲与乙相距20km 时甲行驶的时间．
(3)丙出发后多少小时与乙相遇？请直接写出答案．
23．（10分）设函数 = 2 2 + +4 的图象为图象 ，已知点 在该函数图象上，且点 的横坐标 =
，纵坐标为 ． −
4
(1)若图象 的 对称轴为直线 = 2，求其顶点坐标；
(2)证明：
若将图象 向下平
移4个单位后得到图象 ，则图象 与 轴有交点；
(3)设 为常数 > 0 ，当 < < 时，图象 与 轴无交点 ，结 合函数图象，求 的最大值．
−
24．（12分）如图1， 是 的直径，点 是 上一点， 平分 ， 交 于点 ，过点
⊙ ⊙ ∠
作 ， 交 延长线于点 ．
⊥
(1)求证： = ．
(2)当 = 5时 ，求 的值．
4
(3)如图 2，过点 作 交 延长线于点 ，求证： = ．
∥
第 7 页 共 30 页2025年中考押题预测卷（浙江卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在实数0， 4， 3， 1中，最小的数是（ ）
3
A． 3
−
B．
−4
C．0 D． 1
3
【答案】B − −
【分析】本题考查实数大小比较．实数大小比较的核心规则：正数＞0＞负数；负数比较时，绝对
值大的反而小．掌握这一规则是解题的关键．先将数分为正数、0、负数三类：正数大于0，0大于
负数；对于负数，通过比较绝对值大小判断，绝对值大的负数反而小，依此规则比较0， 4 , 3, 1
3
的大小． − −
【详解】解：根据 “正数> 0 >负数”，可知 3>0，且0大于 4 , 1，因此最小数在 4和 1中．
3 3
4 = 4 ,| 1| = 1， − − − −
3 3
∵ 4−
> 1，
4−
>| 1|
3 3
∵ 4 < 1 − 故选： − B．
3
∴2．−下列−代数式变形正确的是（ ）
A． + 2 = 2+ 2 B． 2 = 2 2 C． + = + D．1 + 1 = 1
+
【答案 】 B
【分析】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方、二次根式的性质、分式的加法运算等知识点，
灵活运用相关运算法则成为解题的关键.
根据完全平方公式、积的乘方、二次根式的性质、分式的加法运算逐项判断即可.
【详解】解：A. a+b 2 =a2+2ab+b2，故该选项不符合题意；
B. ab 2 =a2b2，故该选项符合题意；
C. a+b a+ b，故该选项不符合题意；
D.
1
+
1 =≠b
+
a
=
a+b，故该选项不符合题意.故选B.
a b ab ab ab
3．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为
（ ）
第 8 页 共 30 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．
根据俯视图的定义即可得到答案．
【详解】解：俯视图是： ，故选：D．
4．2024年底，DeepSeek 发布了新一代大语言模型 V3 并宣布开源，紧接着，在世界经济论坛2025
年年会开幕当天，DeepSeek 又发布了最新开源模型R1，再次引发全球人工智能领域的关注热潮．而
其训练成本却远低于美国开放人工智能研究中心、谷歌、“元”公司等美国科技巨头在人工智能技术
上的投入．据悉，R1模型训练成本仅为560万美元，数据560万用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.56 107 B．5.6 102 C．56 105 D．5.6 106
【答案】 ×D × × ×
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中1 a < 10，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多
×
少位，n的绝对值大
≤
于1与小数点
移动的位数相同．
【详解】解：560万= 5.6 106，故选：D．
5．下列判断正确的是（
×
）
A．甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为 2 =1.5， 2 =2.5，则甲芭蕾舞团女演员的身高
甲 乙
更整齐
B．掷一次骰子，向上一面的点数是 6是不可能事件
C．“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
D．检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
【答案】A
【分析】本题考查了方差、全面调查、命题、不可能事件等内容，方差越小的波动程度越小，正确
的命题是真命题，据此相关内容进行逐项分析，即可作答．
第 9 页 共 30 页【详解】解：A、∵S2 1 时， 函数 有最小值，且最小值为 4
D．二 次函数 = 2的图象与函数 = +1+ 1 的图象有3个不同的公共点
1
【答案】C −
【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数y = x+1+ 1 变形为y 2 = x 1+ 1 ，因此该函
x 1 x 1
数图象可看作由函数y = x+ 1的图象向右平移1个单位，向上− 平移2个单 − 位得到 − ，根据−由函数y = x+
x
1的图象逐项判断即可．
x
【详解】解：∵函数y = x+1+ 1 可变形为y 2 = x 1+ 1 ，
x 1 x 1
∴函数y 2 = x 1+ 1 的图象可−看作由函数 − y = x+ 1− 的图象−向右平移1个单位，向上平移2个单
x 1 x
位得到，− − −
∵函数y = x+ 1的图象的对称中心为原点 0,0 ，
x
∴函数y 2 = x 1+ 1 的图象的对称中心为 1,2 ，故A选项错误；
x 1
∵由图可 − 知，函数 − y = x − + 1在x < 0 时，不存在连续的增减性，
x
∴函数y 2 = x 1+ 1 的图象在x < 1 时，不存在连续的增减性，故B 选项错误；
x 1
∵由图象 − 可知，函 − 数y = − x+ 1图象在x > 0 时，有最低点，即存在最小值，
x
2 2
∵x+ 1 = x 1 +2 x 1 = x 1 +2 2，
x x x x
− ⋅ − ≥
第 12 页 共 30 页即当 x= 1时，x+ 1由最小值，为2，
x x
∴函数y = x+ 1在 x > 0 时，有最小值，为y = 2，
x
∴函数y 2 = x 1+ 1 在x > 1 时，由最小值，为y = 2+2 = 4，故C选项正确；
x 1
∵由函数 − y = x2与 − 函数 y − = x+1+ 1 ，可得x2 =x+1+ 1 ，即x3 2x2 =0，
x 1 x 1
解得x =2，x =x =0， − − −
1 2 3
∴二次函数y = x2的图象与函数y = x+1+ 1 的图象有2个不同的公共点，故D选项错误．
x 1
故选：C −
10．如图，正方形 和正方形 的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一
条直线上．O是 的
中
点
， 的
平
分
线 过点D，交 于点H，连接 交 于点M，连接 ．以
下四个结论：① 垂直平∠分 ；② ； ③ =2 2； ④ = 2 1，其中 正确
△
的结论是（ ） △ ∽△ − △ −
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】先利用正方形的性质证明 BCE DCG，然后有 BEC = DGC，通过等量代换可得
BEC+ HDE = 90 ，则EHD = 90△ ，通过直 ≌△ 角三角形斜边中 ∠ 线的性质 ∠ 得出点H在正方形CGFE 的
∠ 外接圆上 ∠ ，然后根据 ° 圆周角定理的推 ° 论得出 FHG = EHF, HEG = HFG；首先证明 EHG
BHG ，则有EG = BG，进而可得BC = ( 2∠ 1)CG,先∠得出∠HO 是 E∠BG 的中位线，则△HO B≌G△，
HO = 1 BG = 2 EF 然后根据平行线分线段成比 − 例得出 EM = EF = 2 △ ，则有OE = ( 2+1)OM， ∥ 进而
2 2 OM HO
可求出S HOM = OM = 2 1 ，又因为S =S ．综上可以得到答案．
HOG HOE
S OE
HOE
△
【详解】△∵四边形ABC−D 和四边形CG △ FE 是正 △ 方形，
∴BC = CD ，CE = CG， BCE = DCG，
∠ BC=C∠D
在 BCE 和 DCG 中， BCE= DCG
CE= CG
△ △ ∠ ∠
∴ BCE DCG(SAS) ，
△ ≌△
第 13 页 共 30 页∴ BEC = DGC．
∵ ∠DGC+∠CDG = 90 ， CDG = HDE，
∴ ∠BEC+ ∠HDE = 90° ， ∠ ∠
∴ ∠EHD = 9∠0 ， °
∴GH BE，
°
∵ EH⊥G是直角三角形，O是EG的中点，
∴ △OE = OG = OH，
∴点H在正方形 CGFE 的外接圆上．
∵EF = FG = CG，
∴ FHG = EHF = EGF = 45 ， HEG = HFG
∴ ∠ EHM ∠ GHF， ∠ 故②正确 ° ； ∠ ∠
∵ △GH平分 ∽△EGC，
∴ EGH =∠HGB．
∵ ∠GH BE∠ ，
∴ EH⊥G = BHG = 90 ．
∠ ∠ ° EGH= BGH
在 EHG和 BHG 中， GH=GH
∠EHG= ∠BHG
△ △
EHG BHG(ASA)，
∠ ∠
△ ∴EG =≌BG△ ，
∵EG = 2CG，
∴BC = ( 2 1)CG ，
∴BC = 2 − 1，故③错误；
CG
∵四边形C−GFE 是正方形，
∴CG = EF,OE = OG,EF CG．
∵ EHG BHG， ∥
∴ △EH = HB≌ ． △
∴GH垂直平分BE；故①正确；
∵EO = OG，
∴HO是 EBG 的中位线，
∴HO B△G，HO = 1 BG = 2 EF
2 2
∴HO ∥ EF ，
∥ 第 14 页 共 30 页∴EM = EF = 2 ，
OM HO
∴EM = 2OM ，
∴OE = ( 2+1)OM．
∵ HOM 与 HOE 高相同，
∴△ S HOM = OM △= 1 = 2 1 ，
S HOE OE 2+1
△
∵E△O = OG ， −
∴S =S ，
HOG HOE
∴S△HOM = 2 △ 1，故④正确．故选：B．
S
HOG
△
【点△睛】此题−考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线
段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成
比例是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若a，b互为相反数，c，d互为倒数， 2 =6，则 + + 6 + 的值是 ．
【答案】0或2 6
【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，二次根式的加减，
先根据相反数和倒数的定义得出a+b = 0,cd = 1，再根据平方根的意义得m = 6，然后分两种情
况代入待求式求出解即可． ±
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b = 0,cd = 1．
∵m2 =6，
∴m = 6．
±
当m = 6时，原式= 0+ 6 1+ 6 = 2 6；
×
当m = 6时，原式= 0+ 6 1 6 = 0．
− × −
所以a+b+ 6cd+m 的值是0或2 6．
故答案为：0或2 6．
12．分解因式： 2 2 + = ．
【答案】m b 1 2 −
− 第 15 页 共 30 页【分析】本题考查分解因式，完全平方公式等．根据题意先将m 提出后利用完全平方公式整理即
可．
【详解】解：∵mb2 2mb+m = m(b2 2b+1) = m(b 1)2，故答案为：m b 1 2．
13．从 2， 1，0， −1，2，4这六个数中
−
，任取一个数
−
作为a的值，恰好使得
−
关于x，y 的二元一
次方程 − 组 − = + = 2 有整数解，且函数 = 2 +4 +2 与x轴有公共点的概率
是 ．
−
【答案】1
2
【分析】本题考查解二元一次方程组，根的判别式，概率，先解方程组求出x = 4 ，根据整数解得
a+1
到a的值，然后利用抛物线与x轴有交点得到Δ≥0，进而得到满足条件a的值，利用概率公式计算
解题．
【详解】解方程组x y = ax+y = 2 得x = 4 ，
a+1
∵有整数解， −
∴a+1 为 1， 2， 4，解得a为 2，0， 3，1， 5，3；
又∵当二次 ± 函数 ±y =±ax2 +4x+2 与 −x轴有交 − 点， −
∴Δ=16−4a≥0，且 a 0，解得：a 4且a 0，
∵当a = 0 时，函数为 ≠ y = 4x+2， ≤ ≠
此时函数与x轴有公共点，
∴符合的a的值为 2，0，1，
∴概率是3
=
1，故答−案为：1．
6 2 2
14．如图，在由相同的菱形组成的网格中， 等于60 ，小菱形的顶点称为格点．已知点 A，B，
C，D，E 都在格点上，连结 ， ，则 si∠n 的值为 ° ．
∠
【答案】 19
38
【分析】取格点M,F，连接DF交BE 于点O，由菱形的性质易求 DME = 30 ，设菱形网格的边长
为a，则MD = DE = a，求出DO = 1 a,MO = 3 a，进而求出BO =∠5 3 a，由勾°股定理求出BD =
2 2 2
BO2 +DO2 = 19a，由sin EBD = DO即可求解．
BD
∠
第 16 页 共 30 页【详解】解：如图，取格点M,F，连接DFDF 交BE于点O，
则DF BE，
∵ AB⊥C = 60 ，此图为相同的菱形组成的网格，
∴
∠
四边形ABC°E，四边形 MDEF为菱形，
∴ DME = 30 ，
设 ∠ 菱形网格的边 ° 长为a，则MD = DE = a，
∴DO = 1 ND = 1 a,MO = MD2 DO2 = 3 a，
2 2 2
∴ME = 2MO = 3a， −
∴BO = 5 3 a，
2
∴BD = BO2 +DO2 = 19a，
1
∴sin EBD = DO = 2 a = 19．故答案为： 19．
BD 19a 38 38
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求一个角的正弦值，解题的
∠
关键是作出辅助线，熟练掌握菱形的性质．
15．如图，菱形 的边 ， 分别与 相切于点 ， ．若 = 60 ，若 = 3，则劣弧
的长为 ． ⊙ ∠ °
【答案】
【分析】本 π 题考查切线的性质，菱形的性质，求弧长，根据菱形的性质，切线的性质，求出 DOE
的度数，再利用弧长公式进行计算即可．
∠
【详解】解：∵菱形ABOC，
∴OB AC，
∵ B =∥ 60 ，
∴ ∠A = 18°0 B = 120 ，
∠ °−∠ °
第 17 页 共 30 页∵AB，AC 分别与 O 相切于点D，E，
∴OD AB,OE ⊙AC，
∴ OD⊥A = OEA⊥= 90 ，
∴ ∠DOE = 3∠60 90 ° 90 120 = 60 ，
∴∠劣弧DE的长°为−60 °−3= °；−故答°案为：° ．
180
π
16．如图，点 为等×边 π 的边 上的π一个动点， = 6，过点 作 于点 ，
交边 于点 ，连接 ，则 的面积最大值为 ．
△ ⊥ ⊥
△
【答案】27 3
8
【分析】本题考查等边三角形的性质，30 直角三角形的性质，二次函数的最值，过E作EM DF
于M，根据等边三角形可得 Rt△BDF，R°t△CDE，Rt△DEM 都是30 直角三角形，设BD = x⊥ ，利
用30 直角三角形的性质和勾股定理即可表示出 DF = 3x，EM = 3 6 ° x ，然后根据S = 1 EM
DEF
4 2
DF 列°出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可． − △ ⋅
【详解】解：过E 作EM DF 于M，
∵等边 ABC，BC = 6， ⊥
∴AB =△BC = AC = 6， B = C = 60 ，
∵DE AC，DF BC，
∠ ∠ °
∴ BD⊥F = DEC⊥= 90 ，
∴ ∠BFD = ∠EDC = 30° ，
∴ ∠EDF = 9∠0 EDC° = 60 ，
∴ ∠MFD = 30°− ， ∠ °
设 ∠BD = x，则 °CD = BC BD = 6 x，
Rt△BDF 中，BD = x， −BFD = 30− ，
∠ °
第 18 页 共 30 页∴BF = 2BD = 2x，DF = BF2 BD2 = 3x，
同理，Rt△CDE 中，由 EDC = − 30 可得DE = 3CE = 3 CD = 3 6 x ，
2 2
Rt△DEM 中，由 MFD ∠ = 30 可得 ° EM = 3DM = 3 DE = 3 6 x ， −
2 4
∴S = 1 EM D ∠ F= 1 3 6 ° x 3x= 3 3 x2 6x = 3 3− x 3 2+ 27 3，
DEF
2 2 4 8 8 8
∵ △ 3 3 < 0， ⋅ × − × − − − −
8
∴−当x = 3 时，S = 27 3最大，
DEF
8
△
即 DEF 的面积最大值为27 3．
8
三△、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算 π 1 0 +4sin45 8+ 3 ．
（2）化简： 2 4 2 1 − °− −
2 1
−
【答案】（1 ）−4 （÷2） −a+ −2
【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，分式的混合运算：
（1）先化简各数，再进行加减运算即可；
（2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可．
【详解】解：（1）原式= 1+4 2 2 2+3 = 1+2 2 2 2+3 = 4；
2
（2）原式= a+2 a 2 2a 2 a × − −
a a 1 a a 1
− − −
a+2 a 2
−
a(a ÷1)
−
=
a a 1 a 2
− −
= a+2． ⋅
− −
18．（8分）习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程4 5 = 5 2
解：方程两边同时 −除以 5−得
4 = 5 第一步 −
4+5 =− 第二步
= 9 第三步
淇淇：解方程4 5 = 5 2
解：移项：4
5
−
5
−2
= 0 第一步
分解因式 5−4 − 5−=0 第二步
− − −
第 19 页 共 30 页即 5 = 0 或4 5 = 0 第三步
所 以 −1 =5, 2 =1− − 第四步
(1)分
别写出
嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
【答案】(1)嘉嘉是第一步；淇淇是第二步；(2)见解析．
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关
键．
（1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
（2）根据因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：嘉嘉是第一步；淇淇是第二步；
（2）解：移项：4 x 5 x 5 2 = 0，
分解因式 x 5 4 −x 5−=0− ，
即x 5 = 0− 或4 −x+5−= 0，所以x
1
=5，x
2
=9．
19．−（8分）点D−，E分别在 ， 上，连接 ， ， = ， = ．
(1)如图1，求证： = ；
(2)如图2，连接
∠
，
若点
∠
D为 的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为
面积一半的所有三角形．
△
【答案】(1)见解析；(2) ADC, BDC, AEB, BEC
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线平分三角形的面积．
△ △ △ △
（1）根据题意可得AD = AE，根据全等三角形的判定和性质即可证明 B = C；
（2）根据三角形中线的性质求解即可．
∠ ∠
【详解】（1）证明：∵AD = AE，BD = CE，
∴AD+BD = AE+CE，
即AB = AC，
AB=AC
在 ABE 与 ACD中， A= A，
AE=AD
△ △ ∠ ∠
第 20 页 共 30 页∴ ABE ACD SAS ，
∴ △B = C≌ ． △
（ ∠2）解 ∠ ：由（1）得AD = AE，
∵点D为AB 的中点，AB = AC
∴点E为AC 的中点，
∴ ADC 和 BDC 的面积等于 ABC 面积的一半，
△AEB 和 B△EC 的面积等于 A△BC 面积的一半，
△ 综上所述： △ 面积为 ABC 面积 △ 一半的三角形有： ADC 和 BDC 和 AEB 和 BEC．
20．（8分）今年央
△
视春晚节目《秧BOT》别出心
△
裁，独树一
△
帜，人机
△
共舞为文
△
化传承搭建了新的
桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲
菲从某省的快递分拣站随机抽取 、 两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递
数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
型号 14和16 15
型号 20
请你根据以上数据， 解答下列问 题：
(1)填空：表中 =___________， =___________；
(2)请计算表中
的值；（需要写出
计算过程）
第 21 页 共 30 页
(3)若该省共投放市场的 型号智能机器人有80台， 型号智能机器人有100台，请你估计该省每天
用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
【答案】(1)20，15；(2)20．(3)3200 万件．
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，用样本估计总体，从统计图中得出数量
之间关系是解答本题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）运用加权平均数的计算公式求解即可；
（3）分别求出A型和B 型号智能机器人分别分拣的快递件数，再求和即可．
【详解】（1）解：B 型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多，
故众数a = 20；
A型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15，
故中位数b = 15+15 = 15；故答案为：20；15；
2
（2）解：1 16+17+20 5+22 2+23 =20（万件），
10
表中c的值×为20． × ×
∴ （3）解：15 80+20 100 = 3200（万件），
估计该省每天
×
用这两种
×
智能机器人分拣的快递共有3200万件．
∴21．（8分）如图，在 中， 是对角线．
▱
(1)请你用无刻度的直尺和圆规，作线段 的垂直平分线，分别交 、 于点 、 （不写作法、
保留作图痕迹）；
(2)判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)若 ， = 10，则四边形 的周长为______．
【答案 】 ⊥(1 )见 解 析 ；(2)四边形AMC N 是 菱形，理由见解析；(3)20．
【分析】（1）分别以A，C 为圆心，大于1 AC 长为半径作弧，在线段两侧分别得到一个交点，连
2
接两个交点，交于点M、N，交于点O即可；
（2）四边形是AMCN菱形，连接AN、CM，根据平行四边形的性质结合，直线MN是AC的垂
直平分线，证明 AOM CON(AAS)，得到OM = ON，AC MN，即可证明；
（3）证明 ABC△ ON≌C△，求出CN = 1 BC = 5，再根据四边形⊥ AMCN是菱形，即可得解．
2
【详解】（△1）解：∽如△图所示，直线MN即为的AC 垂直平分线：
第 22 页 共 30 页；
（2）解：四边形AMCN是菱形，理由如下：
连接AN、CM， ， 四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC， ∵
∴ AM∥O = CNO， CAM = ACN，
∴ 直 ∠ 线MN是 ∠ AC 的垂 ∠ 直平分线 ∠ ，
∵OA = OC，
∴ AOM CON(AAS)，
∴△OM = O≌N△ ，
∴AC MN，
∴
四边
⊥
形AMCN是菱形；
∴ （3）解： AC AB，AC MN，
AB MN， ∵ ⊥ ⊥
∴ AB∥C ONC，
∴△
BC
=
AC，∽△
CN OC
∴ OA = OC，BC = 10，
∵ BC = AC = 2，
CN OC
∴ CN = 1 BC = 5，
2
∴四边形AMCN是菱形，
∵ 四边形AMCN的周长为 4 5 = 20．故答案为：20．
【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边
∴ ×
形的性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的作法及性质，熟练掌握菱形的判定与平行四边
形的性质是解题的关键．
22．（10分）一条公路上有相距80km 的A， 两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上匀速行驶．甲
从A地出发前往 地，速度为20km/h．甲出发
1小时后，乙也从A 地出发前往 地，出发半小时后
追上了甲，到达
地后停止不动．丙与甲同时出发，从 地前往A地，当丙与甲
相遇时，甲与乙相
第 23 页 共 30 页距20km．设甲行驶的时间为 h ，甲、乙、丙三人离A 地的距离分别为 km ， km ， km ，
甲 乙 丙
， 关于 的函数图象如图所示．
甲 乙
(1)求乙的行驶速度．
(2)求甲与乙相距20km 时甲行驶的时间．
(3)丙出发后多少小时与乙相遇？请直接写出答案．
【答案】(1)60km/h；(2)1h或2h；(3) 7 h或7 h
6 4
【分析】（1）用甲1.5小时行驶的路程除以0.5小时即得；
（2）由甲乙的速度可得y =20x，y =60 x 1 ，分甲在乙前面20km，乙在甲前面20km，两种
甲 乙
情况解答； −
（3）根据乙与甲同时出发，相遇时行驶时间相等，可知y 过 1,20 或 2,40 ，设y =kx+b，当过 1,20 ，
丙 丙
0,80 时， y = 60x+80，当过 2,40 ， 0,80 时，y = 20x+80，由于丙与乙相遇，分别与y =
丙 丙 乙
60 x 1
联立，解−方程即得． −
【详解 − 】（1）解：乙的速度为20 1+0.5 0.5 = 60（km h）
（2）∵甲的速度为20km/h，由（1× ）知，乙的
÷
速度为 60km/h，
∴y =20x，y =60 x 1 ，
甲 乙
若甲在乙前面20km，则− 20x 60(x 1) = 20，解得x = 1，
若乙在甲前面20km，则60 x− 1 −20x = 20，解得x = 2，
综上所述，甲与乙相距20km 时
−
甲行
−
驶的时间为1h或2h．
（3）∵丙与甲同时出发，从B 地前往A地，当丙与甲相遇时，甲与乙相距20km，
∴甲与乙相距20km 时，甲和丙行驶时间相等，
第 24 页 共 30 页由（2）知，乙与甲相遇时间为1h或2h，
在y =20x 中，
甲
当x = 1 时，y =20，
甲
当x = 2 时，y =40，
甲
∴y 过 1,20 或 2,40 ，
丙
设y =kx+b，
丙
b=80 k= 60
把 1,20 ， 0,80 代入，得 ，解得 ；
k+b= 20 b=80
−
b=80 k= 20
或把 2,40 ， 0,80 代入，得 ，解得 ，
2k+b= 40 b=80
−
∴y = 60x+80 或y = 20x+80，
丙 丙
当丙与乙−相遇时， −
∵y =60 x 1 ，
乙
∴联立， −
得60 x 1 = 60x+80 或60 x 1 = 20x+80，
解得x =− 7或x−= 7，故丙与乙相遇−时间为−7 h或7 h．
6 4 6 4
【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题．熟练掌握路程、速度、时间的关系，列函数解
析式，待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，分类讨论，是解题的关键．
23．（10分）设函数 = 2 2 + +4 的图象为图象 ，已知点 在该函数图象上，且点 的横坐标 =
，纵坐标为 ． −
4
(1)若图象 的 对称轴为直线 = 2，求其顶点坐标；
(2)证明：
若将图象 向下平
移4个单位后得到图象 ，则图象 与 轴有交点；
(3)设 为常数 > 0 ，当 < < 时，图象 与 轴无交点 ，结 合函数图象，求 的最大值．
【答案 】(1) 2, 4 ；(2)见−解 析； (3)4 2
【分析】本题考−查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移，
第 25 页 共 30 页（1）先求出解析式，把x = 2 代入即可求解顶点坐标；
（2）先求出平移后图象T 的解析式为y = 2 x+ b 2 b2 +4 4 = 2 x+ b 2 b2 ，由 b2 0，则图
4 8 4 8 8
象T最低点在x轴上，或在x轴下方，而图象T 开口−向上，−故将图象P向下−平移4−个单≤位后得到
图象T，则图象T 与x轴有交点；
（3）利用二次函数的性质结合图象分析即可．
【详解】（1）解：∵图象P 的对称轴为直线 x = 2，在y = 2x2 +bx+4 中的二次项系数a = 2，
b = b = 2，
2a 2 2
∴−b = −8，×
∴ 此时图 − 象P 对应的解析式为y = 2x2 8x+4，
把x = 2 代入解析式，得y = 4， −
顶点坐标为 2, 4 ； −
∴（2）证明：y =−2x2 +bx+4 = 2 x+ b 2 b2 +4．
4 8
将图象P 向下平移4个单位后得到图象−T，
∵图象T的解析式为y = 2 x+ b 2 b2 +4 4 = 2 x+ b 2 b2 ，
4 8 4 8
∴图象T顶点纵坐标为 b2 ，且 b−2 0，− −
8 8
∴图象T最低点在 x轴−上，或在−x轴≤下方．
∴
又 图象T开口向上，
若
∵
将图象P 向下平移4个单位后得到图象 T，则图象T与x轴有交点．
∴ （3）解：∵在y = 2x2 +bx+4 中的二次项系数a = 2，
对称轴为x = b = b，
2a 4
∴
点A的横坐标
−
x =
−b，
4
∵点A为图象P 对应−的抛物线的顶点．
∴ y = 2x2 +bx+4，a = 2 > 0，
∵
抛物线y开口向上，
∴ 当顶点A的纵坐标n > 0 时，图象P 与x轴无交点．
∴点A的横坐标x = b，将其代入y = 2x2 +bx+4 中，
4
∵
得点A的纵坐标 n =
−b2 b2
+4，化简得n =
b2
+4．
8 4 8
n是关于b的二次函数−，其图象是抛物线，−记作图象Q，对称轴是纵轴，开口向下，
∴
第 26 页 共 30 页画图象如下：
令n = 0，得
b2
+4 = 0，解得b = 4 2，b =4 2，
1 2
8
图象Q与x−轴的两个交点分别为− 4 2,0 ， 4 2,0 ，
∴结合图象可知：当 4 2 < b < 4 2−时，n > 0，
∴又 m < b < m， −
m∵− 4 2，
∴ ≤
m 的最大值为4 2．
∴
综上所述，当 m < b < m 时，图象P 与x轴无交点，则m的最大值为4 2．
−
24．（12分）如图1， 是 的直径，点 是 上一点， 平分 ， 交 于点 ，过点
⊙ ⊙ ∠
作 ， 交 延长线于点 ．
⊥
(1)求证： = ．
(2)当 = 5时 ，求 的值．
4
(3)如图 2，过点 作 交 延长线于点 ，求证： = ．
【答案】(1)见解 析； (2)∥1或 2． ( 3)见解析
2
【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由圆周角定理、角平分线的性质、角的和差、等角对等边可证AD = CD，再根据圆的内接四
边形的性质以及邻补角的性质可得 DAF = DCB，然后通过ASA证明 DAF DCB，最后通
过全等三角形的性质即可证明结论；
∠ ∠ △ ≌△
第 27 页 共 30 页（2）设AF =a，则AF = aAB，由（1）易证AF = BC，在Rt△ABC 中，AC = AB a2 +1，在Rt△ADC
AB
中，AD = CD = AB 2a2+2，如图：过点B作 BM AC 于点M，连接OD，则OD = 1 AC = AB a2+1，
2 2 2
⊥ AB a2+1
运用等面积法可得BM = aAB ；再证明 ODE MBE 可得OD = DE = 5，即 2 = 5，最后求得a
a2+1 BM EB 4 aAB 4
a2+1
△ ∽△
即可；
（3）如图：设DF 交 O于点N，在DF上截取DP = DE，连接PA，AN，PG，，首先通过SAS
证明 DAP DCE⊙可证 PAG = 90 ，通过圆内接四边形的性质可得 ANF = ABD = 45 ，从而
FAN△= 90 ，≌△AF = AN，再∠通过ASA°证明 AGF APN，最后根据∠全等三角∠形的性质以°及等量
∠代换即可证°明结论． △ ≌△
【详解】（1）证明∶∵AC 是 O的直径，
∴ ABC = ADC = 90 ， ⊙
又
∠
∵BD 平分
∠
ABC，
°
∴ ABD = C∠BD = 1 ABC = 45 ，
2
∴∠ACD = ∠ABD = 4∠5 ， °
∵ ∠ADC = 9∠0 ， °
∴ ∠ACD = D°AC = 45
∴ ∠AD = CD∠ ， °
∵DF BD，
∴ BD⊥F = ADC = 90 ，
∴ ∠ADF =∠CDB， °
∵
∠
四边形A∠BCD 内接于 O，
∴ BCD+ BAD = 180⊙ ，
又 ∠ ∵ BAD∠+ DAF = 18°0 ，
∴ D∠AF = D∠CB， °
∴ ∠ DAF ∠ DCB ASA ，
∴ △AF = BC≌ ． △
（2）解：设AF =a，则AF = aAB
AB
∵ DAF DCB，
∴ △AF = BC≌ ， △
在Rt△ABC 中，AC = AB2 +BC2 = AB2 +AF2 = AB a2 +1，
第 28 页 共 30 页在Rt△ADC 中，AD = CD = AC sin45 = 2 AC = AB 2a2+2 ，
2 2
⋅ °
如图：过点B作BM AC 于点M，连接OD，则OD = 1 AC = AB a2+1，
2 2
∴BM = ABBC = ABAF⊥= aAB2 = aAB
AC AC AB a2+1 a2+1
⋅ ⋅
∵AD = DC,AO = OC，
∴OD BM，
∴ O⊥DE MBE，
△ ∽△ AB a2+1
∴OD
=
DE
=
5，即
2 =
5，解得：a
=
1或2
BM EB 4 aAB 4 2
a2+1
∴AF的值为1或2．
AB 2
（3）证明∶如图：设DF 交 O 于点N，在DF上截取DP = DE，连接PA，AN，PG，
⊙
由（1）知∶ ADF = CDB，AD = CD，
∴ DAP ∠DCE SA∠S ，
∴ △AP = CE≌,△DAP = DCE = 45 ，
∴ PAC = ∠DAP+ ∠DAC = 90 ° ，
∴ ∠PAG =∠90 ， ∠ °
∵
∠
四边形ABD°N内接于 O，
∴ ABD+ AND = 180⊙ ，
又 ∠ ∵ ANF∠+ AND = 18°0 ，
∴ A∠NF = A∠BD = 45 ， °
∵∠BDF = 9∠0 ， ABD°= 45 ，
∴∠BFD = 45°，∠ °
∠ °
第 29 页 共 30 页∴ FAN = 90 ，AF = AN，
∴∠PAN = G°AF，
又
∠
∵FG B∠D，
∴ GFA∥= FBD = 45 ，
∴ ∠GFA = ∠PNA = 45° ，
∴ ∠ AGF ∠ APN AS°A ，
∴ △AG = AP≌ ， △
∵AP = CE，
∴AG = CE．
第 30 页 共 30 页
