文档内容
2025年中考押题预测卷（湖南长沙卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．《哪吒之魔童闹海》在2025年春节期间在各大影院上映，广受大家喜爱，成为中国史上票房最
高的国产电影，哪吒的莲花宝座可以抽象视为一个“正六边形”，下列选项中俯视图为正六边形的是
（ ）
A． B． C． D．
2．2025年1月7日，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，标志着2025 年中
国航天发射任务的“开门红”．该火箭主要用于发射高轨航天器，并计划在2025年保持高密度发射，
完成小行星探测等十几次重大任务．长征三号乙运载火箭的载重高达11500千克，用科学记数法表
示为（ ）千克．
A．1.15 104 B．1.15 103 C．1.15 105 D．11.5 103
3．有理数× 2， 10 ， 0.3×，2，0，3.1415中，非×负整数的个数为（ ）×
3
A．2 个 − − B．−3−个 C．4个 D．5个
4．下列计算正确的是（ ）
A． 2 4 = 8 B． 3 2 = 5 C． 2 2 = 1 D． 2 = 2 2
4 2
−
5．在 “⋅智 慧城 市”创新大赛中−， 来自不 同城市的5支参 赛队伍 提交了他们的 方−案 作品． 大−赛 组委会
根据方案的创新性、实用性、可持续性等多个维度，为每支队伍评分（满分为100分）如下（单位：
分）：85，92，85，88，90．这组数据的中位数是（ ）
A．85 B．86.5 C．88 D．89
6．平面直角坐标系中有点 , 和点 2, 3 ，若线段 = 4 且与坐标轴平行，则 + =（ ）
A．3 或 5 B． 3 或 5 − C．3或5 D． 3或 5
− − 第 1 页 共 30 页 − −7．在同一平面直角坐标系中，函数 = 和 = + （ 为常数， > 0）的图象可能是（ ）
−
A． B． C． D．
8．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆 垂直底座 于点O，现调节台灯使外侧光线
∥ ， ∥ ，若 = 158 ，则 = （ ）
∠ ° ∠
A．58 B．68 C．32 D．22
9．如图
°
，正六边形 的
°
半径为4，以 A为圆心
°
， 的长为半径画弧
°
，连接 ， ，则
图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．8π C．2 3 π D．4 3 π
3 3
10．如图①，在 中， 是对角线，动点P从点A 出发，沿折线 匀速运动至
点D停止．若点▱P 的 运 动速度 为1cm/s，设点P 的运动时间为x（s）， → →的 面→积 为 cm2 ，y
与x的函数图象如图②所示．当 恰好平分 时， 的长为（ ） △
∠
A．2cm B．2 3cm C． 2 3 2 cm D．4cm
第Ⅱ卷 −
第 2 页 共 30 页二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知1 1 =1，则代数式 的值为 ．
4 +
− −
12．一个 不−透 明的箱子里装有 仅 −颜 色 不同的红色卡片和蓝色卡片共10张，随机从箱子里摸出 1张
卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近，由此
估计箱子中蓝色卡片有 张．
13．如图是甲、乙两名学生6次训练成绩的折线统计图，观察图形，甲、乙这6次训练成绩的方差
大小关系为 2 2 ．（填“>”“=”或“<”）
甲 乙
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴正半轴上和 轴正半轴上，反
比例函数 = ( > 0)的图象经过 的中 点 ，若矩 形 的面积 为3，则 的值 为 ．
15．如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为
6的圆，则这个几何体的侧面积是 ．（结果保留 ）
16．定义：在平面直角坐标系 中，若在函数图象 上存在一点 ，绕原点顺时针旋转90 后的
对应点 （点 与 不重合）仍
在
此
函数图象 上，则
称这个函数为
“凡尔赛函数”，其中点 称
°
为这
个函数 的“凡尔 赛 点”，点 叫作点 的“后凡尔 赛点”．若点 1,3 是二次函数 = 2 + + （其
中 , , 为常数， > > ）的“凡尔 赛点”，点 为 的“后凡 尔赛点”，此二次函 数图 象与 轴交 于 、
两点，由点 、 、 、 四点构成的四边形面积记为 ，则 的取值范围为 ．
第 3 页 共 30 页三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1 0
17.（6分）计算：2cos60 2 1 + 3 + 1 ．
2 − 2 1
°− × − −
18.（6分）先化简再求值： 2 2 2 + 2 2 ，其中 = 3， = 2．
− − − ÷ −
19.（6分）如图，点D在 的边 上，点E是 的中点， ∥ ．
(1)用直尺和圆规作出点E△ 及
直
线
（
不
写作法，保留
作图痕迹）
；
(2)连接 并延长交直线 于点G ． 求证： = ．
20.（8分）某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国
防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“ < 60”记为1分，“60 < 70”
记为2分，“70 < 80”记为3分，“80 < 90”记为4分，“90 100”记为5分． ≤ 现 随机将
全校学生以20人
≤
为
一组进行分组，并从中
≤
随
机抽取了3个小组的学
≤
生
≤
成绩进行整理，绘制统计图
表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
第 4 页 共 30 页请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
(2) =__________， =__________， =__________；
(3) 从第二组中得5分 的同学中选取男 、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，
请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．（8分）如图，A，B，C，D是 上的四点， 是直径， = ， 的切线 交 的
延长线于点E．
⊙ ⊙
(1)求证： ；
(2)若 = 5 ⊥6， = 5，求 的半径．
⊙
22．（9分）某机电厂有甲、乙两个发电机生产车间，甲车间每天产量为A 型发电机和 型发电机
共45台，其中A型发电机数量比 型发电机数量多5台．
(1)问甲车间每天生产A、 两种型
号发电机各多少台？
(2)乙车间每天产量为50台
，其中A 型发电机20台， 型发电机30台，现有一订单需A 型发电机
720台和 型发电机 台，但由于受原材料供应限制，
两车间不能同时生产，厂里决定由甲、乙两
车间先后
用30天完
成订单任务，求甲车间至少需安排生产多少天？由于甲车间还有其他生产任务，
最多只能安排27天参加此订单生产，求出 所有的可能值．
第 5 页 共 30 页23．（9分）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度 = 3cm，烧
杯高度 = 12cm，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分 = = 8cm，且 =
= 60 ，漏斗管位于烧杯的上方部分 = 6cm，玻璃棒斜靠 在 三层 滤纸的点 处∠， = 2 ，
3
∠玻 璃 棒 长°度为 30cm．
（结果
精
确到0.1cm）
(1)求漏斗口处点 到底座 的高度；
(2)某次过滤时，
玻璃棒与
水
平方向的夹角为53 ，求此时玻璃棒顶端 点到桌面的距离．（参考数
据：sin53 0.80，cos53 0.60，tan53 1.3°3， 3 1.73）
° ≈ ° ≈ ° ≈ ≈
24．（10分）【问题情境】
如图，四边形 是正方形．过点 在正方形 的外侧作射线 ， = 0 < < 90 ．作
∘ ∘
点 关于射线 的 对称点 ，线段 交射线 于 点 ，连接 交 直 线∠ 于 点 ．
【探究发现】
（1）当0 < 45 时， 的度数为___________度；
∘ ∘
≤ ∠
第 6 页 共 30 页【猜想论证】
（2）在（1）的条件下，猜想线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
（3）若 = 1， = 2，直接写出 的长．
25．（10分）对于函数定义变换：当 0时，函数值不变；当 < 0 时，函数值变为原来的相反
数，我们把这种变换后的函数称为原函
数
≥
的“变换函数”．
1 1
如：一次函数 = 1，变换函数为 = ．
+1 < 1
− ≥
(1)已知反比例 函数 − = 2，请写出它的 “变换 − 函 数”的 表达式；
(2)已知二次函数 = 2 2 3，点 ,4 在它的“变换函数”的图象上，求a的值；
(3)在平面直角坐 标系 内 − ，有 点 − 1,1 ， 3,1 ，将二次函数 = 2 2 3沿y 轴方向平移 t 个单
位长度（向上平移时 > 0，向下 平 − 移时 < 0），平移后的函数 记 为 − '． −
①若 '的“变换函数”经
过点M，求t 的值
；
②若
'的“变换函数”与线段 恰有两个公共点，求t 的取值范围．
第 7 页 共 30 页2025年中考押题预测卷（湖南长沙卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．《哪吒之魔童闹海》在2025年春节期间在各大影院上映，广受大家喜爱，成为中国史上票房最
高的国产电影，哪吒的莲花宝座可以抽象视为一个“正六边形”，下列选项中俯视图为正六边形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三视图，根据俯视图的定义得到所示的几何体的俯视图，即可得到答案．掌握从
上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图是解题的关键．
【详解】解： A．该几何体的俯视图是一个圆，故此选项不符合题意；
B．该几何体的俯视图是一个正方形，故此选项不符合题意；
C．该几何体的俯视图是一个矩形，故此选项不符合题意；
D．该几何体的俯视图是一个正六边形，故此选项符合题意．故选：D．
2．2025年1月7日，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，标志着2025 年中
国航天发射任务的“开门红”．该火箭主要用于发射高轨航天器，并计划在2025年保持高密度发射，
完成小行星探测等十几次重大任务．长征三号乙运载火箭的载重高达11500千克，用科学记数法表
示为（ ）千克．
A．1.15 104 B．1.15 103 C．1.15 105 D．11.5 103
【答案】 ×A × × ×
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成 10 的
形式，其中1 < 10， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多 × 少位，
的绝对值与小
≤
数点
移动的位
数相同．当原
数绝对值大于或等于10时
， 是正整数；当原数的绝对
值小于1时， 是负整数．据此解答即可．
【详解】解：
长征三号乙运载火箭的载重高达11500千克，用科学记数法表示为1.15 104千克．
故选：A．
×
3．有理数2， 10 ， 0.3 ，2，0，3.1415中，非负整数的个数为（ ）
3
A．2 个 − − B．−3−个 C．4个 D．5个
第 8 页 共 30 页【答案】B
【分析】本题考查了相反数和绝对值的概念，有理数的分类．先计算 10 ， 0.3 的值，即
可判断答案．
− − − −
【详解】解： 10 = 10， 0.3 = 0.3，
四个数中是非 ∵− 负整 − 数的是 2， − −10 ，0− ，共3个．故选：B．
∴4．下列计算正确的是（ ）
− −
A． 2 4 = 8 B． 3 2 = 5 C． 2 2 = 1 D． 2 = 2 2
4 2
−
【答 案⋅】 C − − −
【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂乘法运算法
则、积的乘方运算法则、负整数指数幂运算法则以及平方差公式，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 2 4 = 6，运算错误，本选项不符合题意；
B. 3 2 = 6， 运⋅算 错误 ，本选项不符合题意；
C. 2 − 2 = 1 ，运算正确，本选项符合题意；
4 2
−
D. 2 = 2 2 + 2，运算错误，本选项不符合题意．故选：C．
5．在 “− 智 慧城市 ”− 创新 大赛 中，来自不同城市的5支参赛队伍提交了他们的方案作品．大赛组委会
根据方案的创新性、实用性、可持续性等多个维度，为每支队伍评分（满分为100分）如下（单位：
分）：85，92，85，88，90．这组数据的中位数是（ ）
A．85 B．86.5 C．88 D．89
【答案】C
【分析】本题考查中位数的定义，熟练掌握中位数的定义是解题的关键；
将数据按照从小到大的顺序排列，找到位于最中间的数，即可求解；
【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列：85，85，88，90，92；
位于中间的数据为：88；故选：C
6．平面直角坐标系中有点 , 和点 2, 3 ，若线段 = 4 且与坐标轴平行，则 + =（ ）
A．3 或 5 B． 3 或 5 C． −3或5 D． 3或 5
【答案】 −A − − −
【分析】题目主要考查线段与坐标轴平行的点的坐标特点，两点之间的距离，一元一次方程应用等，
理解题意，利用绝对值表示两点之间距离是解题关键．
分两种情况讨论，①线段 与 轴平行，则 = 3，2 =4；线段 与 轴平行，则 = 2， 3
=4，解方程即可．
− − − −
【详解】解：由题意得，①线段 与 轴平行，则 = 3， 2 =4，
− −
第 9 页 共 30 页解得： = 2或 = 6，
∴ + = −2+ 3 = 5或 + = 6+ 3 = 3；
② 线段 与 − 轴平 − 行，则 − = 2， 3 =−4，
解得： = 1 或 = 7， − −
∴ + = 2+ 7−= 5或 + = 2+1 = 3；
综 上： + = 3− 或 5− ，故选 ：A ．
7．在同 一平 面直角坐 − 标系中，函数 = 和 = + （ 为常数， > 0）的图象可能是（ ）
−
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数图象与其系数的关系，正比例函数 = 中，
当 > 0 时，函数图象经过第一、三象限，当 < 0 时，函数图象进过第二、四象限；一次函数 = +
， 当 > 0， > 0 时，一次函数 = + 经过第一、二、三象限，当 > 0， < 0 时，一 次 函 数
= + 经过第一、三、四象限， 当 < 0， > 0 时，一次函数 = + 经过第一、二、四象
限，当 < 0， < 0 时，一次函数 = + 经过第二、三、四象限；据此判断出两个函数进过的
象限即 可得到答 案．
【详解】解：∵ > 0，
∴函数 = 的图 象经过第一、三象限，函数 = + 的图象经过第一、二、四象限，
∴四个
选项
中
，只有C 选项中的函数图象符合
题意
−
，
故
选：C．
8．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆 垂直底座 于点O，现调节台灯使外侧光线
∥ ， ∥ ，若 = 158 ，则 = （ ）
∠ ° ∠
A．58 B．68 C．32 D．22
【答案
°
】B
° ° °
第 10 页 共 30 页【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作 ，过点B 作 ，
则 ，由 得到 = 90 ，则 = ∥ = 68 ， 进 而 ∥ 得 到
∥= ∥ =∥68 ，再根 据 平 ⊥ 行 线 的性 ∠ 质 得 到 ° + ∠ = 1∠8 0 = −∠ + ° ，由此即可
∠ 得 到 ∠ = °= 68 ．正确作出辅助线是解 ∠ 题 的 关键 ∠ ． ° ∠ ∠
∠ ∠ °
【详解】解：如图所示，过点A 作 ，过点B作 ，
∵ ， ∥ ∥
∴ ，
∥
∵ ，
∥ ∥ ∥
∴ ⊥ ，即 = 90 ，
∵ ⊥ = 158 ， ∠ °
∴ ∠ = ° = 68 ，
∴ ∠ =∠ −=∠68 ， °
∵ ， ，
∠ ∠ °
∴ ∥ + ∥= 1 80 = + ，
∴ ∠ +∠ + ° =∠ 1 80 =∠ + + ，
∴ ∠ = ∠ =∠68 ， 故选： °B． ∠ ∠ ∠
9．
∠
如
图
，正
∠
六
边
形
°
的半径为4，以 A为圆心， 的长为半径画弧 ，连接 ， ，则
图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．8π C．2 3 π D．4 3 π
3 3
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式，作
于 ，由题意可得 = = = = 4， = = = 120 ，从而求出 =
⊥ ∠ ∠ ∠ ° ∠
第 11 页 共 30 页= 30 ，由等腰三角形的性质结合直角三角形的性质可得 = 1 = 2， = 2 ，求出 =
2
∠ °
2 = 4 3，同理可得 = 30 ， = 4 3，求出 = 60 ，再由扇形面积公式计算即可得
解 ． ∠ ° ∠ °
【详解】解：如图，作 于 ，
由题意可得： = = ⊥ = = 4， = = = 6 2 180 = 120 ，
6
− × °
∴ = = 18 0 = 3 0 ， ∠ ∠ ∠ °
2
°−∠
∵∠ ，∠ °
∴ ⊥= 1 = 2， = 2 ，
2
∴ = 2 = 2 2 2 = 2 2 3 = 4 3，
− ×
同理可得： = 30 ， = 4 3，
∴ = ∠ ° = 60 ，
2
∴∠图 中 阴影∠部 分 的−面∠积 为 6−0 π∠ 4 3 =8π °，故选：B．
360
× ×
10．如图①，在 中， 是对角线，动点P从点A 出发，沿折线 匀速运动至
点D停止．若点▱P 的 运 动速度 为1cm/s，设点P 的运动时间为x（s）， → →的 面→积 为 cm2 ，y
与x的函数图象如图②所示．当 恰好平分 时， 的长为（ ） △
∠
A．2cm B．2 3cm C． 2 3 2 cm D．4cm
【答案】C −
【分析】本题考查了动点函数图象间关系，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，解一元
二次方程，过点A作 于点H，过点P作 于点G，连接 ，由图象可得 = = 2cm，
⊥ ⊥
第 12 页 共 30 页= 4cm，利用三角形等面积法求出 = 3cm，解直角三角形求出 = 60 , = 30 ，
求 出 = 1cm，进而求出 = 3cm， 解 直角三角形求出 = 30 ，∠进 而 求出 ° ∠ = 90 ，由° 角
平分 线 的定义得到 = = 45 ，设 = ，则 ∠ = 2 ，求°出 = 3 ∠2 , = °2 ，利
用勾股定理建立方∠程 求 出 的∠ 值 ， 进而得° 到 ，即 可求解 ． −
【详解】解：过点A 作 于点H，过 点 P 作 于点G，连接 ，
⊥ ⊥
当点P在 上运动时， 的面积为定值，
由图象可得 点P运动到点△B 时 ，运动时间为2s， 的面积为2 3cm2，
∴ = = 2cm， △
∴ = 4 c m，
∵ 在 中， = = 1 =2 3cm2，
2
▱ △ △ ·
∴ = 3cm，
∵ si n = = 3，
2
∴ ∠ = 60 ，
∴ ∠ = 30° ，
∴∠ = 1 =° 1cm，
2
∴ = = 3cm，
∵ ta n −= = 3，
3
∴ ∠ = 30 ，
∴ ∠ = 90° ，
∵ 恰好平分 ，
∠ °
∴ = ∠ = 45 ，
设 ∠ = ， ∠ 则 = 2 ， °
∴ = 3 2 , = 2 ，
∵ 2 + −2 = 2
∴ 3 2 2 + 3 2 = 2 2 ，即 2 6 +6= 0，
− − 第 13 页 共 30 页解得： = 3 3或 = 3+ 3 > 3（舍去）
−
∴ = 3 6+2 3 = 2 3 3 cm，
− −
∴ = + = 1+2 3 3 = 2 3 2 cm．故选：C．
− − 第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知1 1 =1，则代数式 的值为 ．
4 +
− −
【答案】
−2
/
0.4
−
5
【分析】−本题−主要考查分式的化简求值，将已知条件变形为 = ，再将要求的分式变形为
，然后整体代入求值即可． − −
4
− −
【 详− 解− 】解：∵1 1 =1，
∴ = ， −
∴ − = ，
∴ − −
4 +
− −
−
=
4
− −
=
− −
4
− −
2
= − −
5
−
= 2 ，
5
故 − 答案为： 2．
5
12．一个不−透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共10张，随机从箱子里摸出 1张
卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近，由此
估计箱子中蓝色卡片有 张．
【答案】4【分析】本题考查的知识点是由频率估计概率，根据概率公式计算概率，解题关键是熟
练掌握由频率估计概率的方法．根据频率估计概率，然后根据概率公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设箱子中蓝色卡片有 张，
根据题意得： =0.4，解得： = 4 ，则箱子中蓝色卡片有4张．故答案为：4．
10
13．如图是甲、乙两名学生6次 训练成绩的折线统计图，观察图形，甲、乙这6次训练成绩的方差
大小关系为 2 2 ．（填“>”“=”或“<”）
甲 乙
第 14 页 共 30 页【答案】>
【分析】本题主要考查了方差的意义，折线统计图，熟练掌握是解题的关键．
利用折线统计图可判断甲运动员的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
【详解】解：由折线统计图得甲运动员的成绩波动较大，所以 2 > 2 ，故答案为：>．
甲 乙
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别 在 轴 正半轴上和 轴正半轴上，反
比例函数 = ( > 0)的图象经过 的中 点 ，若矩 形 的面积 为3，则 的值 为 ．
【答案】3
2
【分析】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的
性质．设点 , ，则 ,2 ，根据矩形 的面积为3，得出 2 =3，即可得出答案．
【详解】解 ： 点 D是 的 中点 ，四边形 是 矩形， ⋅
设点 , ，∵ 则 ,2 ，
∴矩形 的面积 为 3，
∵ 2 = 3 解得： = 3，故答案为：3．
2 2
∴15 ．⋅如 图是一个几何 体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为
6的圆，则这个几何体的侧面积是 ．（结果保留 ）
第 15 页 共 30 页【答案】15
【分析】本题考查圆锥表面积的计算及由三视图判断几何体；判断出几何体的形状及相关数据是解
题的关键．根据该几何体有两个视图为三角形，第三个视图是圆，可确定该几何体是圆锥，根据主
视图和左视图面积均是的等腰三角形，可以求出三角形的高，也就是锥体的高，再利用勾股定理求
出圆锥的母线长，然后计算侧面积即可．
【详解】解：如下图，过 作 于点 ，
∵这个几何体有两个视图
为等
腰
三
⊥
角
形，俯
视图是直径为6的圆，
∴这个几何体是圆锥，底面直径是6，半径为3，
∵主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，
∴等腰三角形的底边为 = 6，
∵ ，
∴ =⊥ 1 = 3，
2
∴ = 1 =12，即1 6 =12，
2 2
∴ △ = 4， × × ×
∴ = 2 + 2 = 42 +32 = 5，
∴ 圆 锥的母 线长 为 5，
∴圆锥的侧面积 = 3 5= 15 ．故答案为：15 ．
侧
16．定义：在平 面直角 坐×标×系 中 ，若在函数图象 上存在一点 ，绕原点顺时针旋转90 后的
对应点 （点 与 不重合）仍
在
此
函数图象 上，则
称这个函数为
“凡尔赛函数”，其中点 称
°
为这
个函数 的“凡尔 赛 点”，点 叫作点 的“后凡尔 赛点”．若点 1,3 是二次函数 = 2 + + （其
中 , , 为常数， > > ）的“凡尔 赛点”，点 为 的“后凡 尔赛点”，此二次函 数图 象与 轴交 于 、
两点，由点 、 、 、 四点构成的四边形面积记为 ，则 的取值范围为 ．
【答案】4 3 < < 2 39
【分析】过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，先求出点 的坐标为 3, 1 ，再代
入二次函数的 解析 式 可 ⊥ 得 = 2 4 + 2 +⊥3 +5，然 后设点 的坐 标为 1 ,0 ，点 − 的坐标为
2 ,0 ，求出 的长，根 据 = − + 求 出 关于 的函数 关系式，利 用 二次函数 的性质求
解即 可得． △ △
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
⊥ ⊥
第 16 页 共 30 页∴ = = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ， °
∵ ∠ 1 , 3 ， ∠ 轴 ° 于点 ，
∴ = 1, =⊥3 ，
由 旋 转的性 质 得： = 90 ， = ，
∴ + =∠9 0 ， °
∴ ∠ =∠ ， °
= =90
∠ ∠
在 和 中 = ，
∠ ∠= °
△ △ ∠ ∠
∴ AAS ，
∴ △ = ≌△= 3 , = = 1，
∵点 位于第四象限，
∴ 3, 1 ，
由
题意得
−
： 0，
+ + =3
将点 1,3 ， ≠ 3, 1 代入二次函数 = 2 + + 得： ，
9 +3 + = 1
= 4 2 −
解得 ，
−
=3 +5
− −
∴ = 2 4 +2 +3 +5，
设 点 的 坐 − 标为 1 ,0 ，点 的坐标为 2 ,0 ，
当 = 0 时， 2 4 +2 +3 +5 = 0 ，
∴ + = 4 + 2，− = 3 + 5，
1 2 1 2
∴ =
1 2
=
−2
1 2
−
= + 2 4
1 2 1 2
−
4 +2 2 4 3 +5
=
−
第 17 页 共 30 页2 +1
= 2
2
−
1 1
= 2 +1
2
−
= 2
1 1 2
+
3，
2 4
又∵ 1−,3 ， 3, 1 ，
∴ 与 − 的边 上的高之和等于 3 + 1 =4，
∴ △= △+ −
1
= 4 △ △
2
= 2×
2
= 4
1 1
+
3，
2 4
∵ > −> ，
∴ 3 + 5 > 4 2 > ，
∴ 1 < <− 2 ，−
5
∴ −5 < 1 < − 1，
2
当 − 1 = 1 时 − ， = 4 1 1 2 + 3 = 4 3，
2 4
当 1 = −5时， = 4 −5 −1 2 + 3 = 2 39，
2 2 2 4
由 二次−函数的 性质可知−，−在 5 < 1 < 1内， 1 1 2 + 3随1的增大而减小，
2 2 4
∴4 3 < < 2 39，故答案为−：4 3 < − < 2 3 9．−
【点睛】本 题考查了点坐标与旋转变换 、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的根与系数的关
系、二次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1 0
17.（6分）计算：2cos60 2 1 + 3 + 1 ．
2 − 2 1
【答案】1 °− × − −
【分析】本题考实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先进行特殊角的三角函数的值，负
整数指数幂，去绝对值和零指数幂的运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式= 2 1 2 2+3+1 = 1 4+3+1 = 1．
2
× − × −
第 18 页 共 30 页18.（6分）先化简再求值： 2 2 2 + 2 2 ，其中 = 3， = 2．
【答案】 2 ，8 − − − ÷ −
【分析】本题考查了整式的混合运算，先将括号内的根据完全平方公式和平方差公式化简后再计算
−
除法得最简结果，再把 = 3， = 2 代入计算即可．
【详解】解： 2 2 −2 + 2 2
− − − ÷
= 4 2 4 + 2 4 2 + 2 2
− − ÷
= 2 2 4 2
= 2− ÷
当 −= 3， = 2 时，原式= 2+6 = 8．
19 .（6− 分） 如图，点D在 的边 上，点E是 的中点， ∥ ．
△
(1)用直尺和圆规作出点E 及直线 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接 并延长交直线 于点G ． 求证： = ．
【答案】 (1)详见解析；( 2) 详见解析
【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、作一个角等于已知角及全等三角形的判定和性质，理
解题意，熟练掌握作图方法是解题关键
（1）根据题意作线段 的垂直平分线，作 的平行线 ，即可得出相应图形；
（2）根据平行线的性 质 得出 = ，再 由全等三角 形 的判定和性质即可证明．
【详解】（1）解：如图，点 ∠E ，直 ∠ 线 即为所求；
（2）证明：∵ ∥ ，
∴ = ，
∵ ∠ = ∠ , = ，
∴ ∠ (AS∠A )，
∴ △ = ≌ ． △
第 19 页 共 30 页20.（8分）某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国
防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“ < 60”记为1分，“60 < 70”
记为2分，“70 < 80”记为3分，“80 < 90”记为4分，“90 100”记为5分． ≤ 现 随机将
全校学生以20人
≤
为
一组进行分组，并从中
≤
随
机抽取了3个小组的学
≤
生
≤
成绩进行整理，绘制统计图
表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
(2) =__________， =__________， =__________；
(3) 从第二组中得5分 的同学中选取男 、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，
请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)①18；②见解析；(2)5；3.5；3；(3) 2
3
【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解
题的关键：
（1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人
数求出4分的人数，补全条形图即可；
（2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可；
（3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①360 1 30% 15% 10% 40% = 18 ；故答案为：18；
②第1小组“得分为4分”这 °× 一项 − 的人数 − 为20 −1 2−3 8 = 6（ ° 人），
− − − −
第 20 页 共 30 页补全第1小组得分条形统计图如下，
（2）由条形图可知，得到5分的人数最多，故 = 5；
由扇形图可知： = 1 1 30% 15% 10% 40% +2 30%+3 15%+4 10%+5
40% = 3.5； × − − − − × × × ×
由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分，
∴ = 3+3 = 3；
2
（ 3）由题意，列表如下：
男1 男2 女1 女2
男 1 男1，男2 男1，女1 男1，女2
男 2 男2，男1 男2，女1 男2，女2
女 1 女1，男1 女1，男2 女1，女2
女 2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴ = 8 = 2．
12 3
21 ．（8分）如图，A，B，C，D是 上的四点， 是直径， = ， 的切线 交 的
延长线于点E．
⊙ ⊙
(1)求证： ；
(2)若 = 5 ⊥6， = 5，求 的半径．
⊙
【答案】(1)见解析；(2)⊙O 的半径为3 5
第 21 页 共 30 页【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周
角定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．
（1）连接 并延长交 于 点，如图，先证明 垂直平分 得到 = 90 ，再根据切线的性
质得到 = 90 ，根 据 圆周 角定理得到 = 90 ，于是可 判断四 ∠ 边 形 ° 为矩形，所以 =
90 ，从 ∠ 而 得 到结论 ° ； ∠ ° ∠
（ °2）先利用 垂直平分 得到 = ，再利用四边形 为矩形得到 = = 5，接着在
Rt 中利 用勾股定理 计 算出 = 5 5，设 的半径 为 ， 则 = 5 5 ， = ，由勾股
△ 2 ⊙ −
定理可得 5 5 +52 = 2，然后解方程即可．
−
【详解】（1）证明：连接 并延长交 于 点，连接 ，如图，
= ， = ，
垂直平分 ，
∵
∴ = 90 ，
为 的切线，
∴ ∠ °
，
∵ ⊙
∴ ⊥ = 90
为 的直径，
∴ ∠ °
∵ ⊙= 90 ，
∴ ∴ ∠ = ° = = 90 ，
四边形 为矩形，
∠ ∠ ∠ °
∴ = 9 0 ，
；
∴ ∠ °
∴
（
2）
⊥
解
：
垂直平分 ，
= ∵= 1 ，
2
∴四 边形 为 矩形，
∵ = = 5，
∴在 R t 中， = = 5 6， = 5，
△ ∵ 2
= 2 2 = 5 6 52 = 5 5，
∴ − − 第 22 页 共 30 页设 的半径为 ，则 = 5 5 ， = ，
在⊙Rt 中， 2 + 2 = − 2，
∴ 5 △5 2 +52 = 2，
解得 = − 3 5，
即 的半径为 3 5．
22⊙．（ 9分）某机电厂有甲、乙两个发电机生产车间，甲车间每天产量为A 型发电机和 型发电机
共45台，其中A型发电机数量比 型发电机数量多5台．
(1)问甲车间每天生产A、 两种型
号发电机各多少台？
(2)乙车间每天产量为50台
，其中A 型发电机20台， 型发电机30台，现有一订单需A 型发电机
720台和 型发电机 台，但由于受原材料供应限制，
两车间不能同时生产，厂里决定由甲、乙两
车间先后
用30天完
成订单任务，求甲车间至少需安排生产多少天？由于甲车间还有其他生产任务，
最多只能安排27天参加此订单生产，求出 所有的可能值．
【答案】(1)甲车间每天生产A 型号发电机
25台，每天生产 型号发电机20台
(2) 所有的可能值为 660，650，640，630
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，
正确列出一元一次方程及根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式，
（1）设甲车间每天生产A 型号发电机 台，则每天生产 型号发电机 45 台，根据甲车间每天
生产的A型发电机数量比B 型发电机数
量多5台，即可
得出关于x的一元
−
一
次方程，解之即可得
出结论；
（2）设甲车间需安排生产 m天，则乙车间需安排生产 30 天，根据工作总量=工作效率x 工作
时间结合生产A型发电机不少于720台，即可得出关于m− 的 一元一次不等式，解之即可得出 m 的
取值范围，结合甲车间最多安排27天参加生产可得出甲车间可能生产的天数，再结合 = 900
10 M-900-10m 即可求出结论． −
曰 点评
【详解】（1）解：设甲车间每天生产A 型号发电机 台，则每天生产 型号发电机 45 台，依
题意，得：
−
45 = 5，
解 − 得 =−25 ，
所以 45 = 20．
答：甲车
−
间
每天生产A 型号发电机25台，每天生产 型号发电机20台．
（2）设甲车间需安排生产 天，则乙车间需安排生产 30 天，依题意，
第 23 页 共 30 页− 得：25 +20 30 720，解得 24，所以甲车间至少安排生产24天．
因为甲 车间最多安 − 排 27≥ 天参加生产， ≥
所以甲车间可以生产的天数为24，25，26，27．
因为 = 20 +30 30 = 900 10 ，
所以 所有的 可能值为 −66 0，650， −640， 630．
23．（ 9分）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度 = 3cm，烧
杯高度 = 12cm，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分 = = 8cm，且 =
= 60 ，漏斗管位于烧杯的上方部分 = 6cm，玻璃棒斜靠 在 三层 滤纸的点 处∠， = 2 ，
3
∠玻 璃 棒 长°度为 30cm．
（结果
精
确到0.1cm）
(1)求漏斗口处点 到底座 的高度；
(2)某次过滤时，
玻璃棒与
水
平方向的夹角为53 ，求此时玻璃棒顶端 点到桌面的距离．
（参考数据：sin53 0.80，cos53 0.60，tan°53 1.33， 3 1.73 ）
【答案】(1)24.9cm；° ≈(2)49.6cm ° ≈ ° ≈ ≈
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解
题的关键．
（1）由题意可知 ， ，延长 交 ，则 ，在Rt 中， =
cos = 4 3cm ， 根∥ 据 题意 可⊥知 点 到底座 的 高度等 于 ⊥ = + △+ ，即可 求 解； ⋅
（2∠） 过 点 作 ，交 于 ，过 点 作 ，由题意 可知 ， = 5 3 ，在Rt
中， = s in∥ 24 cm， 由题意 可知 ⊥= 1 = 8 cm，在R∠t 中，° = △
3 3
sin 4 3 cm ⋅ ，此 ∠ 时 玻 璃 ≈ 棒顶端 点到桌面的 距 离为 + + △ ， 由 此即 可 求解 ． ⋅
3
【详∠ 解 】 （1）解：由题意可知 ， ， −
延长 交 ，则 ，
∥ ⊥
⊥
第 24 页 共 30 页在Rt 中， = 60 ，则 = sin = 8 3 = 4 3cm，
2
∴ △ = + + ∠ = 4 3 ° +6+ 1 2 24 .9 ⋅ cm，∠ ×
≈
∴点 到底座 的高度24.9cm；
（2）
过点 作
，交 于 ，过点 作 ，
由题意可知 ， ∥ = 53 ， ⊥
在Rt 中 ∠ ， = ° sin = sin53 30 0.8 24cm，
∵ △= 8c m ， = 2 ，⋅ ∠ ⋅ ° ≈ × ≈
3
∴ = 1 = 8 cm，
3 3
在 R t 中， = sin = 8 3 = 4 3 cm，
3 2 3
此时玻 △ 璃 棒 顶端 点 到 桌 面 ⋅ 的 ∠ 距 离 为 × + + = 24 4 3 +24.9+3 49.6cm，
3
即玻璃棒顶端 点 到桌面的距离为49 .6 cm−． − ≈
24．（10分）
【问题情境】
如图，四边形 是正方形．过点 在正方形 的外侧作射线 ， = 0 < < 90 ．作
∘ ∘
点 关于射线 的 对称点 ，线段 交射线 于 点 ，连接 交 直 线∠ 于 点 ．
【探究发现】
（1）当0 < 45 时， 的度数为___________度；
∘ ∘
≤ ∠ 第 25 页 共 30 页【猜想论证】
（2）在（1）的条件下，猜想线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
（3）若 = 1， = 2，直接写出 的长．
【答案】（1）45；（2） = 2 + ，证明见解析；（3）BF的长为 2或3 2．
【分析】（1）连接 ，由对称 的性质 可 得， = ， = = ，结合正方形的性质 = ，
= 90 ，可 以 得到 是等腰三角 形， ∠ = 90 ∠+ 2 ，则 = 45 ，在 中 ，
∘ ∘ ∘
利用三角形外角和定理即可得到答案；
∠ △ ∠ ∠ − △
（2）线段 、 、 之间的数量关系为 = 2 + ，证明如下：过点 作 ，交
与点 ，由 题 意可 知 = = 45 ， 得 出 = ，结合正方形性 质得 ⊥= ，证 明
∘
AA∠S ， 得到∠ = ， = ∠ ， 可 得∠ 是等腰直角三角形， = 2 ，
△由 =≌△+ 即可得到答案 ； △
（ 3） 由 题 意可 得 45 ，需要对两种情况分别讨论：
∘
①当0 < < 45 时 ， ≠ 参照（2）中的结论即可求解；
∘ ∘
②当45 < < 90 时，连接 ，作过点 作 ，交 与点 ，由题意得 = = ， =
∘ ∘
= ，得到 = ，再根 据直 角 关 ⊥ 系 得到 = ，证明 ∠ A S A ，
∠得 到 = ， ∠ = ，∠ 是等腰直角三角形，∠ 是等∠ 腰 直角三角△形 ， ≌△= 2 ， =
△ △
2 ， = = ，即可求解．
−
【详解】解：（1）如图所示，连接 ， 四边形 是正方形，
= ， = 90 ， ∵
∘
∴ 由 对 称的 性质 ∠ 可 得 ， = ， = = ，
= ， = + ∠ + ∠ = 90 +2 ，
∘
∴ = ∠ = 180 ∠ =∠4 5 ，∠
∘ 2
−∠ ∘
∴ ∠ 是∠ 的一个外角， −
∵ ∠ =△ + = 45 + = 45 ，故答案为：45；
∘ ∘
∴（∠2） =∠ 2 +∠ ， 证明如下−：
第 26 页 共 30 页如图所示，过点 作 ，交 与点 ， = 45 ，
∘
= 90 = 90 = 45 ，
⊥ ∵ ∠
∘ ∘ ∘
∴ ∠ = −∠ ， −∠
∴ ∠ =∠ = 135 ，
∘
∴ ∠ = ， ∠
∵ = ，
∴ ∠ ∠ AAS ，
∴△ = ≌ ， △ = ，
∴ = 2 ，
∴
= + = 2 + ；
∴（ 3） = 1 ， 45 ， 根据题意分为两种情况：
∘
①当0∵< < 45 时 ∴ ， 由 ≠ （1）可知， = 45 ，
∘ ∘ ∘
由对称的性质可得： ，
∠
是等腰直角三角形，
⊥
∴△ = 2，
∵ = 2 = 2 2，
∴ = 1，
∵由 （ 2）得 = 2 + = 2+2 2 = 3 2；
②当45 < < 90 时 ， 如 图 所示，连接 ，作过点 作 ，交 与点 ，
∘ ∘
⊥
四边形 是正方形，
= ， = 90 ，
∵
∘
∴ + ∠ + = 180 ，
∘
∵ ∠ ∠ ∠
第 27 页 共 30 页+ = 90 ，
∘
∴ 由 ∠ 对 称 的性 ∠ 质 可 得， = ， = = ，
= ， + = 90∠ ， ∠
∘
∴ = ∠ ， ∠
∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∘
∵ ∠ =∠ ，
∴ ∠ ∠ ASA ，
∴△ = ≌△ ， = ，
∴ 是 等腰 直角 三 角形， = = 45 ，
∘
由对称的性质可得， ，
∴△ ∠ ∠
是等腰直角三角形，
⊥
∴△ = 2，
∵ = 2 = 2 2，
∴ = 1，
∵ = 2 = 2，
∴
= = = 2 2 2 = 2；综上所述：BF 的长为 2或3 2．
∴【 点 睛】 本 题考 查−了 正 方形的−性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定
和性质等，熟练掌握以上知识点，能够作出适当的辅助线并进行分类讨论是解题的关键．
25．（10分）对于函数定义变换：当 0时，函数值不变；当 < 0 时，函数值变为原来的相反
数，我们把这种变换后的函数称为原函
数
≥
的“变换函数”．
1 1
如：一次函数 = 1，变换函数为 = ．
+1 < 1
− ≥
(1)已知反比例 函数 − = 2，请写出它的 “变换 − 函 数”的 表达式；
(2)已知二次函数 = 2 2 3，点 ,4 在它的“变换函数”的图象上，求a的值；
(3)在平面直角坐 标系 内 − ，有 点 − 1,1 ， 3,1 ，将二次函数 = 2 2 3沿y 轴方向平移 t 个单
位长度（向上平移时 > 0，向下 平 − 移时 < 0），平移后的函数 记 为 − '． −
①若 '的“变换函数”经
过点M，求t 的值
；
②若
'的“变换函数”与线段 恰有两个公共点，求t 的取值范围．
2
> 0
【答案】(1) = ；(2)1 2 2或1；(3)①t 的值为 1；② 1 < 1 或3 < < 5
2
< 0
± ± − ≤
−
第 28 页 共 30 页【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函
数与方程的关系，通过数形结合求解．
（1）根据“变换函数”的定义即可得解；
（2）令 2 2 3= 0，求出抛物线与x 轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析
式，将 ,4− 分 别 − 代入其关联函数解析式中求解；
（3）① 将点 1,1 和他关于x轴的对称点为 ' 1, 1 代入 ' = 2 2 3+ ，求解即可；
②作线段 关于 − x 轴对称的线段 ' '，由二次 函数 − 解 − 析式可得 抛物 线 − 顶点 − 坐标， 结合图象求解．
2
> 0
【详解】（1）解：反比例函数 = 2的变换函数为 = ；
2
< 0
（2）解：令 2 2 3= 0，解得 1 = 1， 2 =3． −
∴抛物线 = 2 −2 −3与x轴的交 点坐 − 标为 1,0 ， 3,0 ．
∵1 > 0， − − −
∴抛物线的开口向上．
2 2 3 1或 3
∴变换函数为 = ．
2 +2 +3 1 < < 3
− − ≤− ≥
将点 ,4 代入 = 2 −2 3， 得4−= 2 2 3．
解得 =1 2 2 ，− = 1−+2 2． − −
1 2
将点 ,4 代−入 = 2 +2 +3，得4 = 2 +2 +3．
解得 3 = 4 = 1． − −
∴a的 值为 1 2 2或1；
（3）解：①由±题意，得 ' = 2 2 3+ ，点 1,1 关于x轴的对称点为 ' 1, 1 ，
∴将点 1,1 代入 ' = 2 2 − 3 +− ，得 = 1 ； − − −
将点 ' 1−, 1 代入 ' = 2 − 2 − 3+ ，得 = 1．
综上
所述
−
，t− 的值为
1；
− − −
②∵ ' = 2 2 3±+ = 1 2+ 4，
∴抛 物线 的开 − 口 向 − 上， 顶点 的 − 坐标为 −1, 4 ，对称轴为直线 = 1．
如图，作线段 关于x 轴对称的线段
'
−
'．
∵点 1,1 ， 3,1 关于直线 = 1 对 称 ，
∴抛
物线
−
过点M
时必过点N．同
理可得抛物线过点 '时必过点 '．
第 29 页 共 30 页如图1，当抛物线过点 '和点 '时，有2个交点，由①知 = 1．
如图2，当抛物线过点 M和点 N 时，有4个交点，由①知 =−1．
∴当 1 < 1 时， '的“变换函数”与线段 恰有两个公共 点（如图3所示）．
当抛 − 物线 ≤ 的 顶点在线 段 ' '上时，此时 4 = 1，解得 = 3．
当 = 1时， = 2 2 3+ = ． − −
∵ =−3 > 1，∴ 此时 有 −3 个 − 交点．
当 抛物线的顶点在线段 上时，此时 4 = 1，解得 = 5．此时有1个交点，
∴当3 < < 5 时， '的 “变 换函数”与线 段 − 恰有两个 公共点（如图4所示）．
综上所述 ，t 的取值 范围为 1 < 1 或3 < < 5．
− ≤
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