2025中考数学押题预测卷（重庆卷）_幼小初教辅资料_中考_2025中考各科押题卷+模拟卷（含全国）

2025年中考押题预测卷（重庆卷） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（共 40分） 一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分．在每个小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A．bc0 B．ac0 C． a  c D．2b2c 2．如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成． 拿走甲、乙、丙、丁中的一个积木后，此 图形主视图的形状发生了变化，则拿走的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 1 3．估计 48  12 的运算结果应在（ ） 3 A．4 到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 4．如图，一条光线AB经平面镜的反射光线BC经凹透镜折射后，其折射光线CD的反向延长线过凹 透镜的一个焦点F ．已知光线AB的入射角为45，反射光线BC与折射光线CD的夹角BCD155， 1 则光线CD与光线AB所夹的锐角为（ ） 第 1 页 共 28 页A．65° B．60 C．35 D．25° 5．如图．在平面直角坐标系中，V ABC与 DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C4,1的对应 点F12,3，则V ABC的面积与 DEF的面积之比为（ ） A．1:3 B．3:1 C．1:9 D．9:1 6．若点Aa,m，Ba2,n是反比例函数y 1 图象上的两点，下列说法正确的是（ ） x A．nm B．当a2时，nm0 C．当2a0时，mn0 D．当a0时，0mn 7．将三项式展开，得到下列等式：  a2a1 0 1  a2a1 1 a2a1  a2a1 2 a42a33a22a1  a2a1 3 a63a56a47a36a23a1 … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第 0 行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之 和，第k行共有2k1个数，则关于x的多项式 a2ax3  x2x1 5的展开式中， x8项的系数为（ ） A．15  a2a1  B．15  a2a1  C．15  a22a3  D．15  a22a3  8．半圆的直径AB在直尺上所对的刻度如图所示，点C 在半圆上，且AC 2BC ，连接AC，取AC的 中点D，连接BD，则图中阴影部分的面积为（ ） 第 2 页 共 28 页25 15 25 65 A． B． C． D． 6 2 2 6 9．如图，矩形OABC中，A12,0，点D为BC的中点，点 P 为AB上一点，且BP2，将线段DP绕点 D顺时针旋转90得到线段DQ，若点Q恰好落在线段OP上，则点 B 的坐标为（ ） A．12,6 B．  12,6 3  C．12,8 D．12,10 10．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如 x x 在数轴上表示数x，x 对应的点之 1 2 1 2 间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求 和．例如：对2，1，2进行“Q运算”，得 21 22 12 8．下列说法正确的个数是（ ） ①对n，2，1进行“Q运算”的结果是8，则n2； ②对a，b，c，c 进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，L ，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是1013q1014． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（共 110分） 二、填空题（本大题共 6个小题，每题4 分，满分 24分，将答案填在答题纸上） 1 11．计算：20250   16 3821  ． 2 12．酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有 四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、CaOH 溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两 2 瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ． 13．如图，已知AB AC，BCD90，ADB2DBC，若AD2，则BD的长度为 ． 第 3 页 共 28 页x2   x1 14．若关于x的一元一次不等式组 3 至少有2个整数解，且关于y的分式方程  xa3 ya 1  1的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． y2 2y 15．如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C作CDAB于点D，点E为O上一点，连接CE 交AB于点F ，CE CB，延长BC与过点 A 的切线交于点 H ，若OA3， BC 2 6 ，则AH  ； DF  ． 16．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例 如 165232，16就是一个“智慧数”，可以利用m2n2 (mn)(mn)进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2 的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 （本大题共8小题，其中 17题16分，其余每题各 10分，共 86分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.） 17．先化简，再求值：  4  x3 (1)x2  ，其中x是满足条件x2的合适的非负整数．  x2 x2 4x4 (2) x2yx2yx2y22y，其中x1，y 3 ．   2 18．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对 角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边 形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 第 4 页 共 28 页(1)用直尺和圆规，过点 A 作对角线BD的垂线，垂足为点E，连接 AF 、CE．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，AEBD于点E，CF BD于点F．求证：四边 形AECF是平行四边形． 证明：四边形ABCD为平行四边形，ABCD且AB∥CD．①______．  AEBD，AEB 90，同理可得，CFD90．②______ ABE≌CDFAAS．③______． 又 AEBD，AEF 90，同理可得，CFE90． AEF CFE．④______．四边形AECF是平行四边形． 进一步思考：如果四边形ABCD是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两 个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______． 19．国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是 人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N 两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽 取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x 公里（1公里＝1千米）表示，分 成4组：A．300x350；B．350x400；C．400x450；D．x450）；进行整理、描述和分 析，下面给出了部分信息： a．10 辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆N 款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．10辆N 款纯电动汽车的实际续航里程在C 组中的数据是：402，425，410，425． d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 第 5 页 共 28 页M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)表格中的a ，b ； (3)根据上述数据，你认为M款和N 款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写 出一条即可）．(4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这 两款车的四项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3， 你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 20．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元， 用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以 每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 第 6 页 共 28 页21．景点A的南偏东76方向有景点B，景点A 的正南方向9km有景点C，景点A 和景点C 有一条 笔直的公路相连，景点B 在景点C 北偏东38方向，即线段AC9km，BAC76，ACB38， (1)求景点B 到公路AC的最短距离（结果取整数）； (2)景点B 的东南方向4.23km有景点D，求景点 D 到公路AC的最短距离（结果取整数）． 参考数据：tan76取4.0，tan38取0.8， 2 取1.41． 22．如图1，在矩形ABCD中，点E为DC中点，连接 BE ，AD4,DC6，点 P 沿着CBE的方 向运动，到点E时停止运动，连接 AP ，设点 P 运动的路程为x， ABP的面积为y ． 1 (1)直接写出y 的解析式及自变量x的取值范围；(2)在图2中画出y 的图象，并写出一条y 的性质； 1 1 1 8 (3)反比例函数y  如图所示，请直接写出y  y 时，自变量x的取值范围（结果保留1位小数， 2 x 1 2 误差不超过0.2）． 第 7 页 共 28 页23．如图1，已知抛物线C :yax2 bx3与x轴交于点A1,0和点B3,0，与y轴交于点C． 1 (1)求抛物线的解析式；(2)点 P 为第一象限抛物线上的一动点，作PH BC于点 H ，当PH最大时， 求点 P 的坐标；(3)如图2，将抛物线C 向右平移一个单位长度得到抛物线C ，点M ，N 都在抛物线 1 2 C 上，且分别在第一象限和第三象限，连接MN，分别交x轴、y轴于点E、F，若NOF MOE， 2 求证：直线MN经过一定点． 24．在V ABC中，ACB90，ACBC，BC绕点C 顺时针旋转角度α（0360）得到DC． (1)如图1，若30，连接AD交BC于点E，若AC 6，求DE的长； (2)如图2，若090，CF平分BCD交AD于点F，连接 BF ，过点C作CG AD，在射线CG上 取点G使得BGC 45，连接BG，请用等式表示线段CG、CF、 BF 之间的数量关系并证明； (3)如图3，若BC8，点P 是线段AB上一动点，将CP绕点P 逆时针旋转90得到QP，连接AQ，M 为AQ的中点，当2CM CQ取得最小值时，请直接写出 ABM 的面积． 第 8 页 共 28 页2025年中考押题预测卷（重庆卷） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（共 40分） 一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分．在每个小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A．bc0 B．ac0 C． a  c D．2b2c 【答案】B 【详解】解：由数轴可知3a2b13c4， ∴bc0，故A选项错误，不符合题意；ac0，故B选项正确，符合题意； a  c ，故C 选项错误，不符合题意； ∵bc，∴2b2c，故D选项错误，不符合题意；故选：B ． 2．如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成． 拿走甲、乙、丙、丁中的一个积木后，此 图形主视图的形状发生了变化，则拿走的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：由图形可知，拿走乙此图形主视图的形状发生了变化，故选B． 1 3．估计 48  12 的运算结果应在（ ） 3 第 9 页 共 28 页A．4 到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】D 1 【详解】解： 48  12 42 3， 3 ∵ 1.5 2.25 32 ，∴ 32 34 ，∴ 72 348 ， 1 ∴ 48  12 的运算结果在7到8之间，故选：D． 3 4．如图，一条光线AB经平面镜的反射光线BC经凹透镜折射后，其折射光线CD的反向延长线过凹 透镜的一个焦点F ．已知光线AB的入射角为45，反射光线BC与折射光线CD的夹角BCD155， 1 则光线CD与光线AB所夹的锐角为（ ） A．65° B．60 C．35 D．25° 【答案】A 【详解】解：如图：延长AB，DC相交于点E，由题意可得：HBC ABH CBGEBG45， ∵BCD155，∴BCE 180BCD25，∴BGE BCECBG70， ∵BGEEBGEBG180，∴BEG180BGEEBG65．故选A． 5．如图．在平面直角坐标系中，V ABC与 DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C4,1的对应 点F12,3，则V ABC的面积与 DEF的面积之比为（ ） A．1:3 B．3:1 C．1:9 D．9:1 第 10 页 共 28 页【答案】C 【详解】解：∵点C4,1，F12,3，∴ OC= 17 ， OF  12232 3 17 ， AC OC 17 1 ∵V ABC与 DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴    ， DF OF 3 17 3 2 2  AC 1 1 ∴V ABC的面积与 DEF积之比     ． 故选：C． DF 3 9 6．若点Aa,m，Ba2,n是反比例函数y 1 图象上的两点，下列说法正确的是（ ） x A．nm B．当a2时，nm0 C．当2a0时，mn0 D．当a0时，0mn 【答案】B 1 【详解】解：反比例函数y 的k 10，反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随 x x的增大而减小，A、无法确定a,a2的正负，故无法确定nm，故说法不符合题意； B、当a2时，aa20，nm0，故说法正确，符合题意； C、当2a0时，a0,a20，n0m，故说法错误，不符合题意； D、当a0时，0aa2，0nm，原说法错误，不符合题意；故选：B． 7．将三项式展开，得到下列等式：  a2a1 0 1  a2a1 1 a2a1  a2a1 2 a42a33a22a1  a2a1 3 a63a56a47a36a23a1 … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第 0 行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之 和，第k行共有2k1个数，则关于x的多项式 a2ax3  x2x1 5的展开式中， x8项的系数为（ ） A．15  a2a1  B．15  a2a1  C．15  a22a3  D．15  a22a3  【答案】D 第 11 页 共 28 页【详解】解：由题意得， x2x1 4  x84x710x616x519x416x310x24x1， ∴ x2x1 5   x8 4x7 10x6 16x5 19x4 16x310x2 4x1  x2 x1  ∴ x2x1 5的展开式中 x8项的系数为110415， x7项的系数为1610430， ∴ a2ax3  x2x1 5的展开式中， x8项的系数为 15a230a45 ，即15  a22a3  ，故选：D． 8．半圆的直径AB在直尺上所对的刻度如图所示，点C 在半圆上，且AC 2BC ，连接AC，取AC的 中点D，连接BD，则图中阴影部分的面积为（ ） 25 15 25 65 A． B． C． D． 6 2 2 6 【答案】A 【详解】解：取AB的中点O，连接OD，OC,BC， 由题意得，AB 166 10，∴OAOB5， ∵点D为AC中点，∴OD∥BC，∴S S ，∴S S △BCO △BCD 阴影 扇形BCO ∵AC 2BC ∴AOC 2BOC，∵AOCBOC180，∴BOC 60， 6052 25 ∴S S   ，故选：A． 阴影 扇形BCO 360 6 9．如图，矩形OABC中，A12,0，点D为BC的中点，点 P 为AB上一点，且BP2，将线段DP绕点 D顺时针旋转90得到线段DQ，若点Q恰好落在线段OP上，则点 B 的坐标为（ ） A．12,6 B．  12,6 3  C．12,8 D．12,10 【答案】C 第 12 页 共 28 页【详解】过点Q作QH  BC于点 H ， 四边形OABC是矩形，A(12,0)，OA BC 12，AB OC，B OAB 90， 1 点D为BC中点，BD BC 6．PDQ90，PDBQDH 90， 2 又PDBDPB90，DPBQDH ． DBPDHQ90  在 DBP和DHQ中，DPBQDH ，DBP≌QHD，  DPDQ BP  DH 2，BDQH 6，BH  BDDH 628， CH CBBH 1284，设AB OC h，则D(6,h)，P(12,h2)， h2 设直线OP的解析式为ykx(k 0)，把P(12,h2)代入得h212k， y  x， 12 h2 h2 点Q的横坐标为4，纵坐标为h6，把Q(4,h6)代入y  x得：h6 4，解得h8．选： 12 12 C． 10．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如 x x 在数轴上表示数x，x 对应的点之 1 2 1 2 间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求 和．例如：对2，1，2进行“Q运算”，得 21 22 12 8．下列说法正确的个数是（ ） ①对n，2，1进行“Q运算”的结果是8，则n2； ②对a，b，c，c 进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，L ，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是1013q1014． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：①对n，2，1进行“Q运算”的结果是8， 则 n2  n1128 ，n2  n1 5， 当n<2时，n2n15，解得：n3； 当21时，n2n15，解得：n2；故n3或2，则①错误； 第 13 页 共 28 页②对a，b，c，c 进行“Q运算”， ab 2ac 2bc  cc  ab 2ac 2bc ， 当ab0,ac0,bc0， ab 2ac 2bc ab2a2c2b2c3ab4c， 当ab0,ac0,bc0， ab 2ac 2bc ab2a2c2b2c3a3b， 当ab0,ac0,bc0， ab 2ac 2bc ab2a2c2b2ca3b4c， 当ab0,ac0,bc0， ab 2ac 2bc ab2a2c2b2c3ab4c， 当ab0,ac0,bc0， ab 2ac 2bc ab2a2c2b2ca3b4c， 当ab0,ac0,bc0， ab 2ac 2bc ab2a2c2b2c3a3b， 化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故②正确； ③若对4，5，6，7，L ，2025，进行“Q运算”，该数列共2022项，插入q后共2023项， 10141015 为使两两差绝对值最小，则q应位于原数列的中位数附近，原数列中位数为 1014.5， 2 则当q1014.5时，运算结果最小，故③错误；故选：B 第Ⅱ卷（共 110分） 二、填空题（本大题共 6个小题，每题4 分，满分 24分，将答案填在答题纸上） 1 11．计算：20250   16 3821  ． 2 【答案】2 1 1 1 1 1 【详解】解：20250   163821 1 42  2 2，故答案为：2． 2 2 2 2 2 12．酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有 四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、CaOH 溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两 2 瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ． 2 【答案】 3 【详解】解：将NaOH溶液、CaOH 溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作A、B、C、D，列表如下： 2 A B C D A B、A C、A D、A B A、B C、B D、B C A、C B、C D、C 第 14 页 共 28 页D A、D B、D C、D 由表可知，共有12种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有8种结果， 8 2 2 所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为  ；故答案为： ． 12 3 3 13．如图，已知AB AC，BCD90，ADB2DBC，若AD2，则BD的长度为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，延长BA、CD交于点N ，延长DC至点M ，使得CM CD，连接 BM ， ABAC，ABCACB， BCD90，ACBACD90，ABCAND90， ABC ACB，ACDAND，AC  AN，AB AN， AN 1 BN ABAN 2AN，  ，BCD90，BC DM ， BN 2 又Q CM CD，BC是DM 的垂直平分线，BM BD ， 又BCDM，DBCMBC，DBM DBCMBC2DBC， 又ADB2DBC，ADBDBM ，AD∥BM ，NAD∽NBM ， AD AN 1    ，BM 2AD224，BDBM 4，即：BD的长度为4．故答案为：4． BM BN 2 x2   x1 14．若关于x的一元一次不等式组 3 至少有2个整数解，且关于y的分式方程  xa3 ya 1  1的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． y2 2y 【答案】2 x2  x1 ① 5 【详解】解： 3 ， 解不等式①得：x 解不等式②得：x3a，   xa3 ② 2 5 则根据题意可知，不等式组的解集为：  x3a， 2 第 15 页 共 28 页 x1 x1 关于x的一元一次不等式组 3 至少有 2个整数解，  xa3 则该不等式的整数解至少包含：2，1，3a1，解得：a4， ya 1 a3 分式方程  1去分母得：ya12y，解得：y ， y2 2y 2 a3 7 ∵a4，∴y  ，y是正整数，且y2，∴y1或y3，a1或a3， 2 2 满足条件的整数a的和为132，故答案为：2． 15．如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C作CDAB于点D，点E为O上一点，连接CE 交AB于点F ，CE CB，延长BC与过点 A 的切线交于点 H ，若OA3， BC 2 6 ，则AH  ； DF  ． 4 【答案】 3 2 /0.8 5 【详解】解： AB 是O的直径，OA3ACB90,AB2OA6，  2 AC 2 3 2 AC AB2BC2  62 2 6  2 3,tanABC   ， BC 2 6 2 2 AH 是O的切线，HAB90，在Rt△HAB中，AH  ABtanABH 6 3 2， 2 连接EO,CO，设CO交EB于点G，BCCE,COCO,OEOB， CEO≌CBO，ECOBCO，CGEB，在Rt△ACB中，CABABC 90， CD AB,ADC90，CABACD90，ACDABC， AB AC  2 CABDAC，ABC∽ACD，  ，AC2  ADAB ，即 2 3  AD6， AC AD AD2,DO AOAD321， 第 16 页 共 28 页在Rt△CDO和RtBGO中，CDO BGO 90,COD BOG,CO  BO， RtCDO≌RtBGO，OG OD 1,CG COOG 4，BG BC2CG2   2 6 2 42 2 2 ， OGBE，BE 2BG4 2 ，ACE ABE,CABCEB，AFC∽EFB AF CF AC 2 3 6      ，AFFBEFCF ，设AF  6k,EF 4k，则BF 6 6k,CF 2 64k ， EF BF BE 4 2 4     6 6 6  6k 6 6k 4k 2 64k ，解得，k  ，AF  6  ， 5 5 5 6 4 4 FD AOAFDO3 1 ，故答案为：3 2, ． 5 5 5 16．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例 如 165232，16就是一个“智慧数”，可以利用m2n2 (mn)(mn)进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2 的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ mn2k1 【详解】解：设正奇数为2k1（k为非负整数），m2n2 (mn)(mn)，令 ，  mn1 将两式相加可得：mnmn2k11，即2m2k2，解得：mk1， 将mk1代入mn1，解得：nk．k为非负整数，m、n为正整数， 所有的正奇数都可以表示成两个正整数的平方差，即所有的正奇数都是“智慧数”，故①正确； mn2k 设能被4整除的正整数为4k（k为正整数且k1），m2n2 (mn)(mn)，令 ，  mn2 将两式相加可得：mnmn2k2，即2m2k2，解得：mk1， 将mk1代入mn2，解得nk1．k为正整数且k1，m、n为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整 除的正整数都是“智慧数”，故②正确； 假设存在正整数m、n，使得m2n2 (mn)(mn)是被4除余2的正整数，即 m2 n2 4k2 （k为 整数）．  mn与(mn)的奇偶性相同，若mn与(mn)都是奇数，则(mn)(mn)都是奇数，不可能是 4k2这种偶数；若mn与(mn)都是偶数，则(mn)(mn)能被4整除，也不可能是4k2； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”．故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③．故答案为：①②③． 第 17 页 共 28 页三、解答题 （本大题共8小题，其中 17题16分，其余每题各 10分，共 86分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.） 17．先化简，再求值：  4  x3 (1)x2  ，其中x是满足条件x2的合适的非负整数．  x2 x2 4x4 (2) x2yx2yx2y22y，其中x1，y 3 ．   2 x2 【答案】(1) ，1 (2)2x4y，4 x  4  x3 【详解】（1）解： x2   x2 x2 4x4  x2x24  x22  x2  x22  x2（4分） x2 x3 x2 x3 x ∵x是满足条件x2的合适的非负整数，x0，x2，∴x1， 12 此时原式 1．（8分） 1 （2）原式x2y  x2yx2y  2y x2y4y2y   4xy8y2 2y2x4y，（12分） 3 当x1，y 时， 2  3 原式214 264 ．（16分）  2 18．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对 角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边 形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点 A 作对角线BD的垂线，垂足为点E，连接 AF 、CE．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，AEBD于点E，CF BD于点F．求证：四边 形AECF是平行四边形． 证明：四边形ABCD为平行四边形，ABCD且AB∥CD．①______．  AEBD，AEB 90，同理可得，CFD90．②______ ABE≌CDFAAS．③______． 又 AEBD，AEF 90，同理可得，CFE90． AEF CFE．④______．四边形AECF是平行四边形． 第 18 页 共 28 页进一步思考：如果四边形ABCD是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两 个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______． 【答案】(1)见解析(2)①ABECDF；②AEBCFD；③AE CF；④AECF；⑤平行四边形 【详解】（1）如图，点E 即为所作； （2分） （2）证明：四边形ABCD为平行四边形，ABCD且AB∥CDABECDF AEBD ，AEB90，同理可得，CFD90 AEBCFD，ABE≌CDFAAS，AE CF， 又 AEBD ，AEF 90，同理可得，CFE90， AEF CFE，AE∥CF ，四边形AECF是平行四边形．（6分） 已知：如图，在矩形ABCD中，连接BD，AEBD于点E，CF BD于点F ．求证：四边形AECF是 平行四边形． 证明：四边形ABCD为矩形，ABCD且AB∥CDABECDF AEBD ，AEB90，同理可得，CFD90 AEBCFD，ABE≌CDFAAS，AE CF， 又 AEBD ，AEF 90，同理可得，CFE90， AEF CFE，AE∥CF ，四边形AECF是平行四边形． ∴在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足 构成的四边形是平行四边形．（10分） 19．国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是 人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N 两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽 取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x 公里（1公里＝1千米）表示，分 成4组：A．300x350；B．350x400；C．400x450；D．x450）；进行整理、描述和分 析，下面给出了部分信息： a．10 辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆N 款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： 第 19 页 共 28 页c．10辆N 款纯电动汽车的实际续航里程在C 组中的数据是：402，425，410，425． d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)表格中的a ，b ； (3)根据上述数据，你认为M款和N 款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写 出一条即可）．(4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这 两款车的四项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3， 你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)410,406；(3)N 款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），理由见解 析； (4)选择甲款车更合适，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意可得款抽取的纯电动车中D类的数量为101342，补全条形统计图 如下： （2分） 第 20 页 共 28 页（2）330 375 435 410 410 470 380 365 365 410中，410出现的次数最多，∴众数 a410； 在N 款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410， 402410 ∴中位数 b 406；故答案为：410,406；（5分） 2 （3）解：N 款的实际续航里程更长，理由如下： ∵N 款的平均数较大，∴N 款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）；（7分） （4）解：选择甲款车更合适，理由如下： 4 2 1 3 甲款车综合得分为：82 90 85 100 89.3（分）， 10 10 10 10 4 2 1 3 乙款车综合得分为： 80 100 90 90 88（分）， 10 10 10 10 89.388，∴选择甲款车更合适．（10分） 20．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元， 用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以 每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 【答案】(1)该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元 (2)购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个 【详解】（1）解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是x元，则购进敖丙挂件的单价是x1元， 400 360 由题意得：  ，解得：x10，（4分） x x1 经检验，x10是原方程的解，且符合题意，x19， 答：该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元；（6分） （2）设购进哪吒挂件m个，则购进敖丙挂件500m个， 由题意得：1410m129500m1800，解得：x300，500m200， 答：购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个．（10分） 第 21 页 共 28 页21．景点A的南偏东76方向有景点B，景点A 的正南方向9km有景点C，景点A 和景点C 有一条 笔直的公路相连，景点B 在景点C 北偏东38方向，即线段AC9km，BAC76，ACB38， (1)求景点B 到公路AC的最短距离（结果取整数）； (2)景点B 的东南方向4.23km有景点D，求景点 D 到公路AC的最短距离（结果取整数）． 参考数据：tan76取4.0，tan38取0.8， 2 取1.41． 【答案】(1)6km(2)9km 【详解】（1）解；如图所示，过点B 作BEAC于E，设BExkm， BE x 1 在Rt△ABE中，tanA ，∴tan76 ，∴AE  xkm； AE AE 4 BE x 在RtEBC中，tanC ，∴tan38 ，∴CE 1.25xkm， CE CE 1 ∵AC AECE9km，∴ x1.25x9，解得x6，∴BE 6km， 4 答：景点B到公路AC的最短距离为6km；（5分） （2）解：如图所示，过点B 作BH∥AC，过点 D 作DPAC于D，交BH 于H，则四边形BHPE是 矩形， DH ∴PH BE6km，在Rt△BDH中，sinDBH  ， BD DH ∴sin45 ，∴DH 3km，∴DPPH DH 9km， 4.23 第 22 页 共 28 页答：景点D到公路AC的最短距离为9km．（10分） 22．如图1，在矩形ABCD中，点E为DC中点，连接 BE ，AD4,DC6，点 P 沿着CBE的方 向运动，到点E时停止运动，连接 AP ，设点 P 运动的路程为x， ABP的面积为y ． 1 (1)直接写出y 的解析式及自变量x的取值范围；(2)在图2中画出y 的图象，并写出一条y 的性质； 1 1 1 8 (3)反比例函数y  如图所示，请直接写出y  y 时，自变量x的取值范围（结果保留1位小数， 2 x 1 2 误差不超过0.2）． 3x120 x4  【答案】(1)y 12 48 (2)作图见解析，性质见解析（答案不唯一） 1  x 4x9  5 5 (3)0.8x3.2或4.7x9.0 （答案不唯一） 【详解】（1）解：当点 P 沿着CB的方向运动时，设点 P 运动的路程为x，PCx， 在矩形ABCD中，BC  AD4，则BPBCPC 4x， 1 1  y S  ABBP 64x3x120 x4； 1 ABP 2 2 当点 P 沿着BE的方向运动时，设点 P 运动的路程为x，BPx4， 过点 P 作PF  AB，如图所示：PFB90， 在矩形ABCD中，ABDC6，C 90，AB∥CD，则CEBPBF，CPFB90， PF BC 1 PFB∽BCE，即  ，点E为DC中点，EC  DC 3， PB BE 2 在RtBCE中，BC4,EC3，则由勾股定理可得 BE BC2EC2 5 ， 第 23 页 共 28 页PF 4 4 1 1 4 12 48   ，解得PF  x4， y S  ABPF  6 x4 x 4 x9； x4 5 5 1 ABP 2 2 5 5 5 当点 P 与点 B 重合时， ABP不存在，没有面积； 3x120 x4  综上所述，y 12 48 ；（4分） 1  x 4x9  5 5 （2）解：如图所示： 性质：当0x4时，y 随x增大而减小；当4 x9时，y 随x增大而增大（答案不唯一）；（7分） 1 1 3x120 x4  8 （3）解：由（2）可知，y 12 48 、y  的图象如下： 1  x 4x9 2 x  5 5 3x120 x4  8 当y  y 时，y 12 48 函数图象在y  函数图象的上方， 1 2 1  x 4x9 2 x  5 5 过图象交点作x轴的垂线，如图所示： y3x12  8 12 48 2 3 联立 8 ，则3x12 ，即 3x212x80 ，解得x 2 ，  y x 6 3  x 2 3 2 3 x2 3.2或x2 0.8； 3 3  12 48 y x   5 5 12 48 8 12 264 66 联立 ，则 x  ，即 3x212x100 ，解得x 2 ，  y 8 5 5 x 6 3  x 66 66 x2 4.7 或 x2 0.7 （负值舍去）；当y  y 时，0.8x3.2或4.7x9.0．（10分） 1 2 3 3 23．如图1，已知抛物线C :yax2 bx3与x轴交于点A1,0和点B3,0，与y轴交于点C． 1 第 24 页 共 28 页(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 为第一象限抛物线上的一动点，作PH BC于点 H ，当PH最大时， 求点 P 的坐标；(3)如图2，将抛物线C 向右平移一个单位长度得到抛物线C ，点M ，N 都在抛物线 1 2 C 上，且分别在第一象限和第三象限，连接MN，分别交x轴、y轴于点E、F，若NOF MOE， 2 求证：直线MN经过一定点． 3 15 【答案】(1)yx2 2x3(2) , (3)见详解 2 4  【详解】（1）解：将点A1,0、点B3,0代入抛物线C :yax2 bx3， 1 ab30 a1 可得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为yx2 2x3；（2分） 9a3b30 b2 （2）解：如下图，过点 P 作PM  x轴于点M ，交直线BC于点N ， 对于抛物线yx2 2x3，当x0时，可有y3，∴C0,3，即OC3， 1 ∵B3,0，BOC90，∴OBOC3，∴OBCOCB 9045， 2 ∵PM  x轴，∴MNB90OBC45，∴PNH MNB45， ∵PH BC，∴NPH 90PNH 45PNH， 2 ∴PH NH，即△PNH 为等腰直角三角形，∴PH PNcosNPH PNcos45 PN ， 2 设直线BC解析式为ykxb k 0，将点B3,0，C0,3代入， 1 3kb 0 k 1 可得 1 ，解得 ，∴直线BC解析式为yx3， b 3 b 3 1 1 设P  x,x22x3 ，则Nx,x3，∴PN x22x3x3x23x， 第 25 页 共 28 页2 ∴PH  2 PN  2 x23x   2 x 3   9 2 ， 2 2 2  2 8 3 3 15 ∴当x 时，PH取最大值，此时点 P 的坐标为  ,  ；（6分） 2 2 4  （3）如下图，过点M 作MT x轴于点T，过点N 作NK  y轴于点K， ∵抛物线yx22x3x124， ∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线C ，则抛物线的解析式为yx1124x24x， 2 ∵点M,N都在抛物线C 上，且分别在第一象限和第三象限， 2 ∴可设点M 的坐标为  x,x2 4x  ，点N 的坐标为 x ,x 24x ， 1 1 1 2 2 2 ∴MT x24x ，OT  x ，NK x ，OK  x 24x ， 1 1 1 2 2 2 设直线MN的解析式为ymxnm0，联立直线MN的解析式和抛物线C 的解析式， 2 yx24x 可得 ，整理可得x2m4xn0，则有x x 4m，xx n， ymxn 1 2 1 2 ∵NOF MOE，NKOMTO90，∴ONK∽OMT ， OK NK x 24x x ∴  ，即 2 2  2 ，∴xx xx 24xx x x 16xx ， OT MT x x24x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ∴nn24n4m16n，整理可得nn4m10，由图像可知n0， 1n 1n ∴n4m10，∴m ，∴直线MN的解析式为y xn， 4 4 当x4时，可有y1，∴直线MN经过一定点4,1．（10分） 24．在V ABC中，ACB90，ACBC，BC绕点C 顺时针旋转角度α（0360）得到DC． 第 26 页 共 28 页(1)如图1，若30，连接AD交BC于点E，若AC 6，求DE的长； (2)如图2，若090，CF平分BCD交AD于点F，连接 BF ，过点C作CG AD，在射线CG上 取点G使得BGC 45，连接BG，请用等式表示线段CG、CF、 BF 之间的数量关系并证明； (3)如图3，若BC8，点P 是线段AB上一动点，将CP绕点P 逆时针旋转90得到QP，连接AQ，M 为AQ的中点，当2CM CQ取得最小值时，请直接写出 ABM 的面积． 【答案】(1)2 3；(2)CG BF 2CF ，见解析；(3)8． 【详解】（1）解：由旋转可得BCD30，CBCDCA， ∴CADCDA，ACD9030120， ∴CAEDBCD30，∴DE EC，AE2EC， 在Rt△AEC中， AC2EC2  AE2，∴62EC2 2EC2，∴ EC 2 3 ，∴DE EC 3 AC；（3分） 3 （2）证明：连接BD，AD与CG交于点O，如图2， 由旋转可得BCD，CBCDCA，∴CBDCDB90，ACD90， 1 ∵CF平分BCD，∴BCF DCF  ，∴BCF≌DCFSAS，∴BF DF ，∴FDBFBD ， 2 1 ∵CG AD，∴GODFOC90，ACGDCG45 ， 2 1 1 ∴OCF DCGFCD45  45，∴OCF OFC45， 2 2 2 1 ∴△OFC是等腰直角三角形，∴OCOF  CF，∵FDC OFCFCD45 ， 2 2  1   1  ∴FDBCDBFDC 90  45  45 ，∴FDBFBD45，  2   2  ∵BGC 45，GOD90，FDB45， ∴G、B、D 三点共线，且OGD是等腰直角三角形，∴OGOD， 2 2 ∴CGOGOCODOCOFFDOC CF CFBF，整理得 CG 2CFBF ；（7分） 2 2 （3）如图3，过P 作PH  AC交AC于H，交AQ于O，过Q作QH PH 交PH于G，延长CM 交QG 于N，延长CB至E，使CBBE8，过A作AF QG交QG于F， ∵将CP绕点P逆时针旋转90°得到QP，∴CPQP，CPQ90， 第 27 页 共 28 页∵QH PH ，PH  AC，∴CPQ PHC PGQ 90，HPC PQG 90GPQ， ∴PHC≌QGPAAS，∴PH GQ，GPCH ，设GPCH a， ∵ACB90，AC BC 8，∴AH  ACCH 8a，BACAPH 45， ∴AH  PH GQ 8a，∴GH GPPH 8BC，∴四边形BCHG是矩形， ∴点B在QG上，CBQG，HCBGa,∴四边形ACBF是正方形，∴BF  AF 8， ∵AH GQ 8a，AHPPGQ 90，GOQ AOH ， ∴AHO≌QGOAAS，∴OH OG，OAOQ，∴O为AQ的中点， 1 ∵M为AQ的中点，∴M 与O重合，S  S ，∴MGMH OGOH， ABM 2 ABQ ∴NMG≌CMHASA，∴CM MN ，NGCH a， ∴CN 2CM ，NQ  NGGQ 8aa8 AC ，∴四边形ACQN是平行四边形，∴CQ AN， ∵CBBE8，CBQG，∴CN  NE，∴2CM CQCN  AN  AN NE  AE， ∴当A、N、E三点共线时2CM CQ取得最小值，此时AFN≌EBN， 1 ∴FN BN  BF 42a,∴a2，∴GBa2，GQ8a6， 2 1 1 1 1 ∴BQCQBG4，∴S  S   BQAF  488．（10分） ABM 2 ABQ 2 2 4 第 28 页 共 28 页