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第 2 讲 导数的应用
一、选择题
1.函数f(x)＝xln x，则( )
A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减
C.在上递增 D.在上递减
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0得
00.
答案 C
3.已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调
递增”的充分不必要条件.
答案 A
4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝
f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增
长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.答案 B
5.设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围
是( )
A.(1，2] B.(4，＋∞]
C.[－∞，2) D.(0，3]
解析 ∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，
当x－≤0时，有00且a＋1≤3，解得10得x>1.
答案 (1，＋∞)
7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a
的取值范围是________.
解析 f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，
由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，
即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立.
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，
则有
即解得a≥.
答案
8.(2017·合肥模拟)若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则实数a
的取值范围是________.
解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a.
当x∈时，
f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
令＋2a>0，解得a>－.
所以实数a的取值范围是.
答案三、解答题
9.(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程
为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间.
解 (1)∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
由题意得即
解得a＝2，b＝e.
(2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex，
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上递增，
∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立，
∴f′(x)>0在R上恒成立.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).
10.设函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)若a>0，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数
a的取值范围.
解 (1)由已知得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，
单调递减区间为(0，a).
(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即x∈(－2，－1)时，a<＝－2，
当且仅当x＝即x＝－时等号成立.
所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－2).
11.(2017·承德调考)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)e2 017f(0)
B.f(1)>ef(0)，f(2 017)>e2 017f(0)
C.f(1)>ef(0)，f(2 017)0时，f(x)的增区间为(0，1)，
减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数.
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，
即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点.
由于g′(0)＝－2，∴
当g′(t)<0，
即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，即m<－9；
由g′(3)>0，即m>－，
所以－
