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第2课时 利用导数研究函数的极值、最值
一、选择题
1.(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
解析 f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－2<x<2时，f′(x)<0，x>2时，
f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点.
答案 D
2.函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A. B.1 C.0 D.不存在
解析 f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1
处取得极小值也是最小值，且f(1)＝－ln 1＝.
答案 A
3.(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，
则x＋x等于( )
A. B.
C. D.
解析 由图象可知f(x)的图象过点(1，0)与(2，0)，x ，x 是函数f(x)的极值点，因
1 2
此1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以
f′(x)＝3x2－6x＋2.x ，x 是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x ＋x ＝2，x x
1 2 1 2 1 2
＝，所以x＋x＝(x ＋x )2－2x x ＝4－＝.
1 2 1 2
答案 C
4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面
半径为( )
A.3 B.4 C.6 D.5
解析 设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝，要使用料
最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.
由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.
∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小.故选A.
答案 A
5.(2017·东北四校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，
则实数a的取值范围是( )
A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)C.(－3，6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根.
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，
∴a>6或a<－3.
答案 B
二、填空题
6.(2017·肇庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个
极值点，则实数a＝________.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根，
所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值.
答案 5
7.(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________.
解析 当x>0时，f(x)＝－2x<0；
当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数.
∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.
答案 2
8.设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是
________.
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
答案 (－∞，－1)
三、解答题
9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(a>0，r>0).
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值.
解 (1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞).f(x)＝＝，
f′(x)＝＝.
所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0；
当－r<x<r时，f′(x)>0.
因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；
f(x)的单调递增区间为(－r，r).
(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减.
因此，x＝r是f(x)的极大值点，
所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100，
f(x)在(0，＋∞)内无极小值；
综上，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值.
10.已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值.
解 (1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) －ek－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0<k－1<1，即1<k<2时，
f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上，当k≤1时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当1<k<2时，f(x)在[0，1]上的最小值为
f(k－1)＝－ek－1；
当k≥2时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.11.(2017·石家庄质检)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有
极值，若t＝ab，则t的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.9
解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，
又a>0，b>0，则t＝ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号.
答案 D
12.(2017·长沙调研)若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数
a的取值范围是( )
A.[－5，0) B.(－5，0)
C.[－3，0) D.(－3，0)
解析 由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－
∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，
作出其图象如图所示.
令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，
解得a∈[－3，0)，故选C.
答案 C
13.函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间
是________.
解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
从而解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1，1).
答案 (－1，1)
14.(2017·济南模拟)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.
(1)若当x＝－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln.
解 (1)f′(x)＝＋2x，依题意，有f′(－1)＝0，故a＝.
从而f′(x)＝，且f(x)的定义域为，
当－<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<－时，f′(x)<0；
当x>－时，f′(x)>0.
∴f(x)在区间，上单调递增，在上单调递减.
(2)f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝.
方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－8，
①若Δ≤0，即－≤a≤时，f′(x)≥0，故f(x)无极值.
②若Δ>0，即a<－或a>，则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实根，x ＝，x ＝.
1 2
当a<－时，x <－a，x <－a，
1 2
故f′(x)>0在定义域上恒成立，
故f(x)无极值.
当a>时，－a<x <x ，故f(x)在(－a，x )上递增，(x ，x )上递减，(x ，＋∞)上递增.
1 2 1 1 2 2
故f(x)在x＝x ，x＝x 取得极值.
1 2
综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(，＋∞).
由上可知，x ＋x ＝－a，x x ＝.
1 2 1 2
所以，f(x)的极值之和为f(x )＋f(x )＝ln(x ＋a)＋x＋ln(x ＋a)＋x
1 2 1 2
＝ln(－x )＋ln(－x )＋(x＋x)
2 1
＝ln(x x )＋(x ＋x )2－2x x
1 2 1 2 1 2
＝ln＋a2－1>ln＋()2－1＝ln.
