文档内容
第2课时 利用导数研究函数的极值、最值
一、选择题
1.(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
解析 f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－22时，
f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点.
答案 D
2.函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A. B.1 C.0 D.不存在
解析 f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00，即a2－3a－18>0，
∴a>6或a<－3.
答案 B
二、填空题
6.(2017·肇庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个
极值点，则实数a＝________.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根，
所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值.
答案 5
7.(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________.
解析 当x>0时，f(x)＝－2x<0；
当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当－10时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
答案 (－∞，－1)
三、解答题
9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(a>0，r>0).
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值.
解 (1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞).f(x)＝＝，
f′(x)＝＝.
所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0；
当－r0.
因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；
f(x)的单调递增区间为(－r，r).
(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减.
因此，x＝r是f(x)的极大值点，
所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100，
f(x)在(0，＋∞)内无极小值；
综上，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值.
10.已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值.
解 (1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) －ek－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当00，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有
极值，若t＝ab，则t的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.9
解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，
又a>0，b>0，则t＝ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号.
答案 D
12.(2017·长沙调研)若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数
a的取值范围是( )
A.[－5，0) B.(－5，0)
C.[－3，0) D.(－3，0)
解析 由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－
∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，
作出其图象如图所示.
令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，
解得a∈[－3，0)，故选C.
答案 C
13.函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间
是________.
解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
从而解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1，1).
答案 (－1，1)
14.(2017·济南模拟)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.
(1)若当x＝－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln.
解 (1)f′(x)＝＋2x，依题意，有f′(－1)＝0，故a＝.
从而f′(x)＝，且f(x)的定义域为，
当－0；当－1－时，f′(x)>0.
∴f(x)在区间，上单调递增，在上单调递减.
(2)f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝.
方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－8，
①若Δ≤0，即－≤a≤时，f′(x)≥0，故f(x)无极值.
②若Δ>0，即a<－或a>，则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实根，x ＝，x ＝.
1 2
当a<－时，x <－a，x <－a，
1 2
故f′(x)>0在定义域上恒成立，
故f(x)无极值.
当a>时，－aln＋()2－1＝ln.
