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2025中考数学考前模拟卷 04
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
2．在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．5 个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a5＝a8 B．（a3）5＝a8 C．3x8÷x3＝3x5 D．x3•x5＝x15
5．巴黎奥运会中，全红婵代表跳水队参加女子十米台跳水项目，以总分425.60分获得了金牌．在
第四跳 407C 动作中，各裁判分别给出的得分如下：9.0、9.0、9.5、9.0、9.5、9.5、9.5，则她本次
得分的平均数（保留两位小数）为（ ）
A．9.25 B．9.29 C．9.35 D．9.50
6．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，则cos∠B等于（ ）
A．4 B．3 C．4 D．3
5 5 3 4
7．关于 x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A．k＜9 B．k≤9 C．k≥9 D．k＜ 9
8 8 8 8
8．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图 1，将−变阻器 R的滑片从一端滑到另
一端，绘制出变阻器 R 消耗的电功率 P 随电流 I 变化的关系图象，如图 2 所示，且该图象是经过
第 1 页 共 26 页原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R 消耗的电功率P最大为（ ）
A．160W B．180W C．200W D．220W
9．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进
行到不同阶段时进度条的示意图：
若圆半径为 2，当任务完成的百分比为m时，弦AB的长度记为d（m）（ ）
A．d（25%）＝2 B．当m＞50%时，d（m）＞4
C．当m ＜m 时，d（m ）＜d（m ） D．当m +m ＝100%时，d（m ）＝d（m ）
1 2 1 2 1 2 1 2
10．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的
直角三角形，得到一个恒等式，矩形ABCD 就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面
给出的条件中（ ）
A．BM与DM 的积B．BE 与DE 的积 C．BM 与DE 的积 D．BE 与DM的积
二、填空题
11．计算 + 1 的结果是 __________．
+1 +1
12．2024 年中国 新能源汽车销量突破12000000辆．请你将数据12000000用科学记数法表示为
__________．
13．一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球、1个白球、3个黑球，则任意摸出一
个球是黑球的概率为 __________．
14．如图，在□ABCD 中，以A 为圆心，与 BC 交于点 E，连接AE，AC，若 AC⊥AB，AD＝10，
第 2 页 共 26 页则DE 的长为 __________．
15．如图，矩形ABCD的顶点A、B 的坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，﹣4），反比例函数 = （ 0）
的图象经过顶点C，AD边交y 轴于点E，若四边形BCDE 的面积等于△ABE 面积的 5 倍， 则≠k 的
值等于__________．
16．如图，将两块不同的等腰直角三角板 OEF 和三角板OCG 放置在正方形ABCD中，直角顶点 O
重合，点 E，F，G 分别在边 AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若较小的斜边 EF 长为 2 5，
则BE 的长为 __________，较长的斜边CG长为 __________．
三、解答题
17．计算：( 1)3+2 60 12+( 2)0．
− °− −
18．解方程组和不等式组．
2 =3①
（1） ；
3 + =2②
−
第 3 页 共 26 页2 5 3（ 1）①
（2） ．
+7＞4 ②
2− ≤ −
19．如图，在由边长为 1的小正方形构成的 6×8 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上.
请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在网格内找一点P，使得△PBC≌△ABC，作出△PBC.
（2）如图2，作△ABC 中BC 边上的中线AD．
20．“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工
程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取
m 名学生进行测试（百分制））进行整理、描述和分析，成绩划分为 A（90≤x≤100），B（80≤x
＜90），C（70≤x＜80），D（60≤x＜70），四个等级，并制作出不完整的统计图如图．已知：B 等
级数据（单位：分）：80，80，81，82，85，86，86，88，89，89，回答下列问题：
（1）补全条形统计图，并填空：m＝__________，n＝__________；
（2）抽取的m名学生中，成绩的中位数是__________分；
（3）这所学校共有2100名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A 等级的学生人数．
第 4 页 共 26 页21．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．某单位计划在端午节前购买某
品牌的粽子发放给员工．经询价，已知甲、乙两超市都以80元/盒的价格销售该品牌粽子，并且同
时在做促销活动．
甲超市：办理本超市会员卡（卡费200元），商品全部打七折销售．
乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售．
活动期间，若该单位购买此品牌粽子 x 盒，在甲、乙超市所需总费用分别为 y 元、y 元，y 与 x
1 2 2
之间的函数图象如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出y 、y 与x（x≥40）之间的函数关系式；
1 2
（2）若该单位准备购买100盒粽子，你认为在哪家超市购买更划算？
22．如图△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC于点D，DE 是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，
延长 CA 交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE = 2，DE = 2 2，求AF的长．
第 5 页 共 26 页23．将正方形ABCD的边AB 绕点A逆时针旋转至 AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE 垂
直于直线 BB'，垂足为点E，连接DB'，CE，
,
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB'的形状为__________，连接BD，可求出 的值为__________；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明，请说明理由；
②当以点 B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请求出 .
,
24．已知，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴交于点 B，C，与 y 轴交于点 A，其
中B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，连接AB，点P是直线AB 上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB 于点 K，
过点 K 作KE⊥y 轴，垂足为点E；求PK+KE 的最大值并求出此时点P 的坐标；
（3）如图2，点P 在抛物线上，且满足在（2）中求出的点 P 的坐标，连 PC，将该抛物线向右平
移，使得新抛物线y′恰好经过原点，点C 的对应点是F，点M 是新抛物线y′上一点，连接CM，
当∠MCF+∠PCB＝135°时，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．
第 6 页 共 26 页2025中考数学考前模拟卷 04
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
【答案】A
【解析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的
反而小，即可得出答案．在选项A和B 这两个负数中，选项A中－4的绝对值更大，所以－4反
而更小，综上可知－4最小。
故答案选：A
2．在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，进行判
断：
选项 A、B、D 的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以
不是中心对称图形，
选项 C 的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图
形．
故选：C．
3．5 个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．从正面看，
共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1．
第 7 页 共 26 页故选 B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a5＝a8 B．（a3）5＝a8 C．3x8÷x3＝3x5 D．x3•x5＝x15
【答案】C
【解析】根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变，指数相乘；单项式除以单项式法则；同底数
幂相乘，底数不变，指数相加；逐项计算判断：
解：A、a3与a5不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、（a3）5=a15，故此选项不符合题意；
C、3i8÷x3=3x5，故此选项符合题意；
D、x3·x5=x8，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．巴黎奥运会中，全红婵代表跳水队参加女子十米台跳水项目，以总分425.60分获得了金牌．在
第四跳 407C 动作中，各裁判分别给出的得分如下：9.0、9.0、9.5、9.0、9.5、9.5、9.5，则她本次
得分的平均数（保留两位小数）为（ ）
A．9.25 B．9.29 C．9.35 D．9.50
【答案】B
【解析】根据平均数的定义求解：
平均数= 9.0+9.0+9.5+9.0+9.5+9.5+9.5 = 65 9.29
7 7
故选：B ≈
6．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，则cos∠B等于（ ）
A．4 B．3 C．4 D．3
5 5 3 4
【答案】B
【解析】过点A作BC 边的垂线，构造出直角三角形，再结合余弦的定义：
过点 A作BC 的垂线，垂足为M，
第 8 页 共 26 页∵AB=AC，AM⊥BC，BC=12，
∴BM= 1 BC=6．
2
在Rt△ABM 中，cos B= = 6 = 3 .
10 5
故选：B．
7．关于 x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A．k＜9 B．k≤9 C．k≥9 D．k＜ 9
8 8 8 8
【答案】B −
【解析】根据一元二次方程根的判别式:
因为关于 x的一元二次方程2x2-3x+k=0 有实数根，
所以△=（-3）2－4×2×k≥0，
解得 k≤9．
8
故选：B．
8．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图 1，将变阻器 R的滑片从一端滑到另
一端，绘制出变阻器 R 消耗的电功率 P 随电流 I 变化的关系图象，如图 2 所示，且该图象是经过
原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R 消耗的电功率P最大为（ ）
A．160W B．180W C．200W D．220W
【答案】D
【解析】用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数性质:
由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为P=aI2+bI，
+ =165
把（1，165），（4，0）代入得： ，
16 +4 =0
= 55
解得：
=220
−
∴抛物线解析式为P=－55I2+220I=－55（I－2）2+220，
∵－55＜0，
∴当 I=2 时，P取最大值220，
变阻器R消耗的电功率 P最大为220W；
故选：D．
第 9 页 共 26 页9．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进
行到不同阶段时进度条的示意图：
若圆半径为 2，当任务完成的百分比为m时，弦AB的长度记为d（m）（ ）
A．d（25%）＝2 B．当m＞50%时，d（m）＞4
C．当m ＜m 时，d（m ）＜d（m ） D．当m +m ＝100%时，d（m ）＝d（m ）
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【解析】根据已知，利用图象判断:
A、d（25%）=2 2＞2，本选项不符合题意；
B、当m＞50%时，0＜d（m）＜4，本选项不符合题意；
C、当m ＜m 时，d（m ）与d（m ）可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
1 2 1 2
D、当m ＜m =100%时，d（m ）=d（m ），本选项符合题意；
1 2 1 2
故选：D．
10．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的
直角三角形，得到一个恒等式，矩形ABCD 就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面
给出的条件中（ ）
A．BM与DM 的积B．BE 与DE 的积 C．BM 与DE 的积 D．BE 与DM的积
【答案】A
【解析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为x，在直角三角形
ABC 中，利用勾股定理建立关于x的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积:
设小正方形 EFCG的边长为x，设BM=BF=a，DG=DM=b，
则AB=a+x，BC=b+x.，
第 10 页 共 26 页∴AC=a+b，
在Rt△ABC 中，AC2=AB2+BC2，
即（a+b）2=（a+x）2+（b+x）2，
整理得，x2+（a+b）x=ab，
矩形的面积为：（a+x）（b+x）=x2+（a+b）x+ab=2ab，
该矩形的面积为2ab．
矩形的面积是BM 与DM 的积，
故选：A．
二、填空题
11．计算 + 1 的结果是 __________．
+1 +1
【答案】 1
【解析】利用分式的加减法则计算:
原式= +1 =1，
+1
故答案 为：1．
12．2024年中国新能源汽车销量突破12000000辆．请你将数据12000000用科学记数法表示为
__________．
【答案】1.2×107
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值…
10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数:
12000000=1.2×107
故答案为：1.2×107．
13．一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球、1个白球、3个黑球，则任意摸出一
个球是黑球的概率为 __________．
【答案】【解析】根据题意，可得黑球的数目与球的总数目，进而由概率的计算方法可得摸出的球
是黑球的概率:
根据题意，布袋中装有6个球，其中3个黑球，
则摸出的球是黑球的概率是3
=
1；
6 2
故答案为：1．
2
14．如图，在□ABCD 中，以A 为圆心，与 BC 交于点 E，连接AE，AC，若 AC⊥AB，AD＝10，
则DE 的长为 __________．
第 11 页 共 26 页【答案】8
【解析】由题意可知，AB=AE，由平行四边形的性质推出AD∥BC，AB＝CD，BC=AD=10，得到
AE=DC，判定四边形AECD 是等腰梯形，推出AC=DE，由勾股定理求出AC= 2 2=8，即
可得到 DE=AC=8． −
故答案为 8．
15．如图，矩形ABCD的顶点A、B 的坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，﹣4），反比例函数 = （ 0）
的图象经过顶点C，AD边交y 轴于点E，若四边形BCDE 的面积等于△ABE 面积的 5 倍， 则≠k 的
值等于__________．
【答案】﹣6
【解析】首先得出△AEB≌△GBE，再利用四边形BCDE 的面积等于△ABE 面积的5倍，进而得
出AE 与BC 之间的关系，由△BCF∽△EAO，得出C 点坐标，进而求出k的值:
如图，作 CF⊥y轴于F，作EG⊥BC 于G，
∵∠EGB=∠EAB=∠ABG=90°，
∴四边形 ABGE 是矩形，
在△AEB 和△GBE 中，
=
∵ = ，
=
∴△AEB≌△GBE（SSS），
∵A、B 的坐标分别是A（－2，0）、B（0，－4），
∴AB 直线线解析式为：y=kx+b，
2 + =0
故将两点代入得出： ，
= 4
−
= 2
解得： ，
−
= 4
−
故直线 AB 解析式为：y=－2x－4，
−
第 12 页 共 26 页∵AD⊥AB，
∴AD直线的方程为：y= 1 x+b，
2
再将 A（－2，0）代入解析式得：0= 1×（－2）+b，
2
解得：b=1，
∴E（0，1）
∵S ＝5S
四边形BCDE △AEB
∴S ＝5S
四边形BCDE △GBE
∴S ＝4S
四边形CDEG △GBE
∴CG＝2BG＝2AE＝2 2+ 2 =2 5，
∴BG= 5，
∵∠AEO＝∠CBF，∠EOA＝∠CFB＝90°，
∴△BCF∽△EAO，
∴ = = =3
∴ B F＝3 EO＝ 3，CF＝3AO＝6，
∴OF＝OB﹣BF＝4﹣3＝1，
设C 的坐标为（x，y）则x＝6，y＝﹣1．
故k＝xy＝6×（﹣1）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
16．如图，将两块不同的等腰直角三角板 OEF 和三角板OCG 放置在正方形ABCD中，直角顶点 O
重合，点 E，F，G 分别在边 AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若较小的斜边 EF 长为 2 5，
则BE 的长为 __________，较长的斜边CG长为 __________．
第 13 页 共 26 页【答案】2
【解析】分别过 O、G作AB 的平行线RQ、GP，作OM∥BC交AB 于点M，连接EC、GF，证明
△EOC≌△FOG，再证明Rt△EBC≌Rt△FPG （HL），可得BE＝FP，设BE＝x，BF＝y，然后根
据勾股定理:
如图，分别过 O、G作AB 的平行线RQ、GP，作OM∥BC 交AB 于点M，连接EC、GF，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB∥CD∥RQ∥GP，AD∥BC∥OM，
∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴四边形 MBQO、PCDG、QPGR 都是矩形，
∴AB＝BC＝CD＝GP＝10，GD＝PC，
由题意可知：OE＝OF，OC＝OG，∠EOF＝∠COG＝90°，
∴∠EOC＝∠FOG，
在△EOC 和△FOG 中，
=
= ，
=
∠ ∠
∴△EOC≌△FOG （SAS），
∴EC＝FG，
在Rt△EBC 和Rt△FPG中，
=
，
=
∴Rt△EBC≌Rt△FPG （HL），
∴BE＝FP，
第 14 页 共 26 页设BE＝x，BF＝y，
∴FP＝BE＝x，GD＝BF＝PC＝y，
∵EF＝2 5，CB＝10，
在Rt△BEF 中，根据勾股定理得：
BE2+BF2＝EF2，
∴x2+y2＝（2 5）2，
∵BF+FP+PC＝BC，
∴y+x+y＝10，
解得 x＝2，y＝4，
∴BE＝2，BF＝GD＝4，
∴GC= 2 + 2 = 42 +102 =2 29，
故答案为 ： 2，2 29．
三、解答题
17．计算：( 1)3+2 60 12+( 2)0．
【解析】先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即
− °− −
可得出答案．
解：( 1)3+2 60 12+( 2)0
= 1+−2 3 2 3+°−1 −
− × −
= 1+2 3 2 3+1
=0−． −
18．解方程组和不等式组．
2 =3①
（1） ；
3 + =2②
−
2 5 3（ 1）①
（2） ．
+7＞4 ②
2− ≤ −
【解析】（1）方 程组利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
2 =3①
解：（1） ，
3 + =2②
−
①+②得：2x﹣y+3x+y＝3+2，
整理得：5x＝5，
解得 x＝1，
第 15 页 共 26 页将x＝1代入①得：2×1﹣y＝3，
解得 y＝﹣1，
=1
∴方程组的解为： ；
= 1
2 5 3( 1)− ①
（2） ，
+7＞4 ②
2 − ≤ −
解①得，x≥﹣ 2；
解②得，x＜1；
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．
19．如图，在由边长为 1的小正方形构成的 6×8 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上.
请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在网格内找一点P，使得△PBC≌△ABC，作出△PBC.
（2）如图2，作△ABC 中BC 边上的中线AD．
【解析】（1）根据全等三角形的概念，结合全等三角形的判定定理找到符合要求的点P 即可；
（2）根据中位线的性质，通过AC 中点作中位线找到边BC 的中点D，从而画出中线AD。
解：（1）如下图所示，点P 即为所求。（点P在点A右侧一个单位格点处）
（2）如下图所示，线段AD即为所求。（过AC 中点M作MD∥AB，交BC 于点D，点D即为BC
中点，连接 AD即可。）
P
M
D
20．“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工
程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取
m 名学生进行测试（百分制））进行整理、描述和分析，成绩划分为 A（90≤x≤100），B（80≤x
＜90），C（70≤x＜80），D（60≤x＜70），四个等级，并制作出不完整的统计图如图．已知：B 等
级数据（单位：分）：80，80，81，82，85，86，86，88，89，89，回答下列问题：
第 16 页 共 26 页（1）补全条形统计图，并填空：m＝__________，n＝__________；
（2）抽取的m名学生中，成绩的中位数是__________分；
（3）这所学校共有2100名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A 等级的学生人数．
【解析】（1）由图得 D等级有 5人，占 10%，可求 m，从而可求 n的值，即可求解；求出 C 等级
的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据众数、中位数的定义解答即可；
（3）用总人数乘A 等级所占的百分比之和即可．
解：（1）由图得：D等级有5人，占10%，
∴m＝5÷10%＝50，
∴n%＝10×100%＝20%，
50
∴n＝20．
等级 C 的人数：50﹣20﹣10﹣5＝15（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：50，20；
（2）把数据按从小到大排列后，80，80，81，82，85，86，86，88，89，89
中间两个数是 85、86，
∴中位数是85+86＝85.5；
2
故答案为：85.5；
（3）20×2100＝840（人），
50
第 17 页 共 26 页答：成绩能达到A 等级的学生人数为840人．
21．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．某单位计划在端午节前购买某
品牌的粽子发放给员工．经询价，已知甲、乙两超市都以80元/盒的价格销售该品牌粽子，并且同
时在做促销活动．
甲超市：办理本超市会员卡（卡费200元），商品全部打七折销售．
乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售．
活动期间，若该单位购买此品牌粽子 x 盒，在甲、乙超市所需总费用分别为 y 元、y 元，y 与 x
1 2 2
之间的函数图象如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出y 、y 与x（x≥40）之间的函数关系式；
1 2
（2）若该单位准备购买100盒粽子，你认为在哪家超市购买更划算？
【解析】（1）根据题意可得y ＝80×0.7x＝56x+200（x≥40），用待定系数法可得y ＝50x+1200（x
1 2
≥40）；
（2）当x＝100时，求出y ，y 的值再比较可得答案．
1 2
解：（1）由图得：D等级有5人，占10%，
∴m＝5÷10%＝50，
∴n%＝10×100%＝20%，
50
∴n＝20．
等级 C 的人数：50﹣20﹣10﹣5＝15（人），
补全条形统计图如图：
第 18 页 共 26 页故答案为：50，20；
（2）把数据按从小到大排列后，80，80，81，82，85，86，86，88，89，89
中间两个数是 85、86，
∴中位数是85+86＝85.5；
2
故答案为：85.5；
（3）20×2100＝840（人），
50
答：成绩能达到A 等级的学生人数为840人．
22．如图△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC于点D，DE 是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，
延长 CA 交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE = 2，DE = 2 2，求AF的长．
【解析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠B＝∠ODB，由切线的性质得DE⊥OD，而DE⊥AC，
所以 AC∥OD，则∠C＝∠ODB，所以∠C＝∠B，则AB＝AC；
（2）连接AD、FD，则∠F＝∠B，由AB 是⊙O的直径，得∠ADB＝∠ADC＝90°，可证明∠ADE
2
＝∠F，进而证明△AED∽△DEF，得 = ，因为AE= 2，DE＝2 2，所以EF= =4 2，则
AF＝EF﹣AE＝3 2．
解：（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵DE 与⊙O 相切于点D，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴AC∥OD，
∴∠C＝∠ODB，
∴∠C＝∠B，
∴AB＝AC．
（2）解：连接AD、FD，则∠F=∠B，
∵AB 是⊙O的直径，
第 19 页 共 26 页∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝∠C，
∴∠ADE＝∠F，
∵∠AED＝∠DEF，
∴△AED∽△DEF，
∴ = ，
∵AE＝ 2，DE＝2 2，
∴EF＝ 2 = (2 2)2 =4 2，
2
∴AF＝EF﹣AE＝4 2 2 = 3 2，
−
∴AF 的长是3 2．
.
23．将正方形ABCD的边AB 绕点A逆时针旋转至 AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE 垂
直于直线 BB'，垂足为点E，连接DB'，CE，
,
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB'的形状为__________，连接BD，可求出 的值为__________；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明，请说明理由；
②当以点 B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请求出 .
,
2
【解析】（1）由正方形的性质得∠BDC＝45°， = ，∠BAD＝90°，AB＝AD，由旋转的性质
2
得 AB＝AB′，∠BAB′＝60°，推出△ABB′为
等边三角形，∠B′AD＝30°，∠AB'B＝60°，
∠AB′D＝75°，∠DB'E＝45°，易证△DEB'为等腰直角三角形，得出∠BDC＝∠B'DE＝45°， =
'
第 20 页 共 26 页 2
，再证△BDB'∽△CDE，即可得出结果；
2
（2）①由旋转的性质得AB＝AB'，∠BAB'＝α，推出∠AB′B＝90° ，∠AB′D＝135° ，∠
2 2
' − −
EB'D＝45°，易证△DEB'是等腰直角三角形，得出 = 2，由正方形的性质得 = 2，∠BDC
＝45°，再证明△B'DB∽△EDC，即可得出结论；
②若以点 B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：第一种以CD 为边时，
则CD∥B'E，此时点B'在线段BA 的延长线上，此时点E 与点A重合，BE＝CD＝B′E，即可得出
结果；第二种以CD为对角线时，由平行四边形的性质得B′F＝EF= 1 B′E，点F为CD 中点，
2
' '
证明△BCF∽△CB'F∽△BB'C，得出 = = =2，则BB'＝4B'F，BE＝6B'F，B'E＝2B'F，即
' '
可得出结果．
解：（1）如图1所示：
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°， = 2，∠BAD＝90°，AB=AD，
2
由旋转的性质得： A B＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴AB＝AD＝AB′，△ABB′为等边三角形，∠B′AD=90°－60°=30°，
∴∠AB'B＝60°，∠AB′D＝1 (180 30 )=75 ，
2
∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°×＝45°°，− ° °
∵DE⊥BB'，
∴∠DEB'＝90°，
∴∠B'DE＝45°，
∴△DEB'为等腰直角三角形，
∴∠BDC＝∠B'DE＝45°， = 2，
' 2
∴∠BDC﹣∠B'DC＝∠B'DE ﹣ ∠B'DC，即∠BDB'＝∠CDE，
∵ = = 2，
' 2
∴ △ BD B '∽△CDE，
∴ ' = = 2，
故答 案为 ：等腰直角三角形， 2；
第 21 页 共 26 页（2）①两个结论仍然成立，理由如下：
连接 BD，如图2所示：
由旋转的性质得：AB＝AB'，∠BAB'＝α，
∴∠AB′B＝1×（180°﹣α）＝90°－ ，
2 2
∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，
∴∠AB′D＝1×（180°－α+90°）＝135°－ ，
2 2
∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°－ －90°+ =45°，
2 2
∵DE⊥BB'，
∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，
∴△DEB'是等腰直角三角形，
∴ '＝ 2，
∵四 边形 ABCD为正方形，
∴BD = 2，∠BDC＝45°，
CD
∴ = '，
∵∠ ED B '＝∠BDC，
∴∠B'DB＝∠EDC，
∴△B'DB∽△EDC，
∴ ' = = 2，
∴（ 1） 中 的两个结论不变，依然成立；
②若以点 B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：
第 22 页 共 26 页第一种：以 CD为边时，则CD∥B'E，
此时点 B'在线段BA 的延长线上，如图3所示：
此时点 E与点A重合，
∴BE＝CD＝B′E，
∴ =1；
'E
第二种：当以 CD为对角线时，如图4所示：
∵四边形 CB′DE 是平行四边形，
∴B′F＝EF＝1 B′E，点F为CD中点，
2
∴BC＝CD＝2CF，
∵DE⊥BB'，
∴CB'⊥BB'，
∴∠BB′C＝∠CB′F＝90°，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠CB′F＝∠BB′C，
∵∠CBF＝∠B′BC，∠BFC＝∠CFB′，
∴△BCF∽△CB'F∽△BB'C，
∴ = ' = ' =2，
'F '
∴B B'＝ 4B'F ，
∴BE＝6B'F，B'E＝2B'F，
∴ = 6 'F =6，
'E 2 'F
综上所述， 的值为3或1．
'E
第 23 页 共 26 页24．已知，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴交于点 B，C，与 y 轴交于点 A，其
中B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，连接AB，点P是直线AB 上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB 于点 K，
过点 K 作KE⊥y 轴，垂足为点E；求PK+KE 的最大值并求出此时点P 的坐标；
（3）如图2，点P 在抛物线上，且满足在（2）中求出的点 P 的坐标，连 PC，将该抛物线向右平
移，使得新抛物线y′恰好经过原点，点C 的对应点是F，点M 是新抛物线y′上一点，连接CM，
当∠MCF+∠PCB＝135°时，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．
【解析】（1）将B（﹣3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+3 中，再计算即可．
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，得直线AB 的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣
t2﹣2t+3），则 K（t，t+3），故 PK+KE＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，当 t＝﹣2 时，KP+KE 的最大值
为4，此时 P（﹣2，3）；
（3）先求平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，再证明△PRC 为等腰Rt△，由∠MCF+∠
PCB＝135°，得∠MCF＝90°，过C作CM⊥CF，交移动后的抛物线于M．当x＝1时，y＝﹣（x
﹣2）2+4＝3，故M（1，3）．
解：（1）将B（﹣3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+3 中，
9 3 +3=0
∴ ，
+ +3=0
−
∴a＝﹣1，b＝﹣2．
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵A（0，3），B（﹣3，0），
∴直线 AB 的解析式为y＝x+3，
第 24 页 共 26 页设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣3t，
∵∠BAO＝45°，
∴AE＝KE，
∴KE＝3﹣t﹣3＝﹣t，
∴PK+KE＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
当t＝﹣2时，KP+KE 的最大值为4，此时P（﹣2，3）；
（3）设抛物线向右平移n个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣n）2+4，
∵抛物线平移后经过原点，
∴﹣（1﹣n）2+4＝0，
解得 n＝3或n＝﹣1（舍），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，
∵P（﹣2，3），
∴PR＝3，RO＝2，
∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴C（1，0），
∴OC＝1，
∴RC＝RO+OC＝3，
∴RC＝RP，
∴△PRC 为等腰Rt△，
∴∠PCB＝45°，
∵∠MCF+∠PCB＝135°，
∴∠MCF＝90°，
第 25 页 共 26 页过C 作CM⊥CF，交移动后的抛物线于M．
当x＝1时，y＝﹣（x﹣2）2+4＝3，
∴M（1，3）．
第 26 页 共 26 页
