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第 2 讲 用样本估计总体
一、选择题
1.(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是( )
A.19 B.20 C.21.5 D.23
解析 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间
两个数为20，20，故中位数为20，选B.
答案 B
2.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果
显示这些同学的支出都在[10，50](单位：元)内，其中支出在[30，50](单位：元)
内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为( )
A.100 B.120 C.130 D.390
解析 支出在[30，50]内的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n＝＝
100.
答案 A
3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来
米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米
内夹谷约为( )
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
解析 254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批
米内夹谷的数量.
设1 534石米内夹谷x石，则由题意知＝，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石.
答案 B
4.(2016·全国Ⅲ卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各
月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温
约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(
)
A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
解析 对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对
于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均
最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温
差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正
确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月、共2个月份，故
D错误.
答案 D
5.(2015·安徽卷)若样本数据x ，x ，…，x 的标准差为8，则数据2x －1，2x －
1 2 10 1 2
1，…，2x －1的标准差为( )
10
A.8 B.15 C.16 D.32
解析 已知样本数据x ，x ，…，x 的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x －1，2x
1 2 10 1 2
－1，…，2x －1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16，故选C.
10
答案 C
二、填空题
6.(2015·广东卷)已知样本数据x ，x ，…，x 的平均数x＝5，则样本数据2x ＋1，
1 2 n 1
2x ＋1，…，2x ＋1的平均数为________.
2 n解析 由条件知x＝＝5，则所求平均数
x ＝＝
0
＝2x＋1＝2×5＋1＝11.
答案 11
7.某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平
均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末
位数字记为x，那么x的值为________.
解析 170＋×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，
×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2.
答案 2
8.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中 60株树木的底部周长(单
位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽
测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
解析 底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的
频率为0.025×10＝0.25，
样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝
24.
答案 24
三、解答题
9.某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差.
解 (1)这20名工人年龄的众数为30；这20名工人年龄的极差为40－19＝21.
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：
(3)这20名工人年龄的平均数为(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋
40)÷20＝30；
所以这20名工人年龄的方差为
(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2
＝12.6.
10.(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 立
w
方米的部分按4元/立方米收费，超出 立方米的部分按10元/立方米收费.从
w
该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下
频率分布直方图：(1)如果 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为
w
4元/立方米， 至少定为多少？
w
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当 ＝3时，估计该市
w
居民该月的人均水费.
解 (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，
1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民
占45%.
依题意， 至少定为3.
w
(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频
率分布表如下：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
(12， (17， (22，
分组 [2，4] (4，6] (6，8] (8，10] (10，12]
17] 22] 27]
频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为
4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋
27×0.05＝10.5(元).
11.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总
体的平均数与中位数分别是( )
A.12.5，12.5 B.13，13
C.13.5，12.5 D.13.5，13
解析 第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.1×5＝0.5，则第3组
的频率为1－0.2－0.5＝0.3，估计总体平均数为7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3
＝13.由题意知，中位数在第2组内，设为10＋x，则有0.1x＝0.3，解得x＝3，从
而中位数是13.答案 B
12.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均
分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中
以x表示：
则7个剩余分数的方差为( )
A. B. C.36 D.
解析 由题意知＝91，
解得x＝4.所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋
(94－91)2＋(91－91)2]＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝.
答案 B
13.(2015·湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况
进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图
如图所示.
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________.
解析 (1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得
a＝3.
(2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1
－0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案 (1)3 (2)6 000
14.(2014·全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一
项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标
[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
值分组
频数 6 26 38 22 8(1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的
中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标
值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解 (1)样本数据的频率分布直方图如图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为
x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值
不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
