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专题强化07：圆题型归纳
【题型归纳】
题型一：圆的基本认识
题型二：垂径定理及其推论
题型三：圆心角和圆周角问题
题型四：直线和圆的位置关系
题型五：切线的性质和判定问题
题型六：切线长定理
题型七：三角形内外接圆问题
题型八：圆内接四边形问题
题型九：正多边形和圆的问题
题型十：弧长和扇形面积问题
题型十一：圆综合问题
【题型探究】
题型一：圆的基本认识
1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个半圆是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．三角形的外心到三角形的三边距离相等 D．等弧所对的圆心角相等
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外心，等弧的概念，圆心角与弧的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据
三角形的外心，半圆，等弧的概念，圆心角与弧的关系去判断即可．
【详解】解：A、能够重合的弧是等弧，而两个半圆不一定重合，故本选项不符合题意；
B、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，选项不符合题意；
D、等弧所对的圆心角相等，选项说法正确，符合题意．
故选：D．
2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列命题：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；②相等的
弧所对的圆心角相等；③经过圆内任意一点只可以作一条直径；④半圆是弧．其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查判断命题真假．熟练掌握圆心角定义和性质，直径定义，弧定义．是解决问题的关键．
根据圆心角性质，直径定义，弧定义．逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，∴①正确；
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，∴②不正确；
③经过圆内任意一点作直径，分两种情况，一、这点是圆心，可以作无数条直径；二、这点不是圆心，只可以作一条直径。∴③不正确；
④半圆是弧，∴④正确．
∴正确的有2个．
故选：B．
3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；
（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的
个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．
【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意；
（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
（3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
（4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意；
（5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意；
正确的命题有2个，
故选：B．．
题型二：垂径定理及其推论
4．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最
大深度CD=7cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）
A．4cm B．4❑√6cm C．2❑√21cm D．2❑√29cm
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
1
由垂径定理得AC=BC= AB，再由勾股定理得AC，进而完成解答．
2
【详解】解：连接OA，由题意得：OC⊥AB，
1
∴AC=BC= AB，∠OCA=90°，
2
∵OA=OD=5cm，CD=7cm，
∴OC=OD-CD=7-5=2(cm)，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC=❑√52-22=❑√21(cm)，
∴AB=2AC=2❑√21cm．
∴截面圆中弦AB的长为2❑√21cm．
故选：C．
5．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则下列结论
不一定正确的是要（ ）
A．CE=ED B．B´C=B´D C．OE=BE D．OA=OB
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于AB⊥CD，根据垂径定理有CE=ED，
B´C=B´D，因为OA、OB都为圆的半径，可得OA=OB，不能得出OE=BE．
【详解】解：∵AB⊥CD，
∴CE=ED，B´C=B´D，所以A选项、B选项正确，不符合题意；
只有当CD垂直平分OB时，OE=BE，所以C选项符合题意；
∵OA、OB都为圆的半径，
∴OA=OB，所以D选项正确，不符合题意．
故选：C．
6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
(1)求证：AC=BD；
(2)若CD=6，EF=1，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)⊙O的半径是5．
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；
（1）由垂径定理得CF=DF，根据等腰三角形的性质可得AF=BF，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接OC，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
∴CF=DF，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴AF=BF，
∴AF-CF=BF-DF，
∴AC=BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB CD ⊙O
， 为 的弦，
1
∴ CF= CD=3，∠OFC=90°，
2
∴CO2=CF2+OF2
设⊙O的半径是r，
∴r2=32+(r-1) 2，
解得r=5，
∴⊙O的半径是5．
题型三：圆心角和圆周角问题7．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，在⊙O中，A是B´C的中点，点D在⊙O上．若∠AOB=α，则
∠ADC= （ ）
1
A．α B．2α C． α D．90°-α
2
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理及其推论、弧与圆心角关系等知识，连接OC，如图所示，由等弧所对的圆心角相等、
同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案，熟记圆周角定理及其推论是解决问题的关键．
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵ A B´C
是 的中点，
∴B´A=A´C，则∠AOC=∠AOB=α，
∵A´C=A´C，
1 1
∴∠ADC= ∠AOC= α，
2 2
故选：C．
8．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠BOD=170°，
则∠DCE的度数为（ ）
A．85° B．62° C．80° D．50°
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，灵活运用圆的相关性质成为解题的关键．
1
由圆周角定理可得∠BAD= ∠BOD=85°，再根据圆的内接四边形的性质可得
2∠BCD=180°-∠BAD=95°，最后求出邻补角即可解答．
【详解】解：∵∠BOD=170°，
1
∴∠BAD= ∠BOD=85°，
2
∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=180°-∠BAD=95°，
∴∠DCE=180°-∠BCD=85°．
故选：A．
9．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若
∠BEC=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，根据
圆周角定理得到∠CAB=∠BEC=20°，得到∠ABC=90°-∠BAC=70°，再由圆内接四边形对角互补得到
答案.
【详解】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BEC=20°，
∴∠CAB=∠BEC=20°
∴∠ABC=90°-∠BAC=70°
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°-∠ABC=110°，
故选：B
题型四：直线和圆的位置关系
10．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=12,BC=5，若以C为圆心，r
长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ ）
60
A．5≤r≤12或r= B．53，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5>3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3=半径，
∴直线BC与⊙A相切，所以C选项符合题意，D选项符不合题意．
故选：C．
12．（22-23九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为(3,5)，半径为方程
x2-2x-15=0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【分析】解方程得到半径，再根据圆心坐标判断位置关系．
【详解】解：解方程x2-2x-15=0得：x=-3或x=5，
∵半径大于零，
∴⊙A的半径为5，
∵圆心坐标为(3,5)，
∴⊙A与x轴的位置关系是相切，
故选B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解题的关键是根据圆心位置和半径的关系判断位置
关系．
题型五：切线的性质和判定问题
13．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点为点D，过点A的直线
与DC交于点C，则下列结论错误的是（ ）A．∠BOD=2∠BAD
B．如果AD平分∠ODC，AD=❑√3OD
C．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC
D．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线
【答案】B
【分析】A．由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAD，便可判断正误；
B．由角平分线与等腰三角形的性质可知△AOD为等腰直角三角形，可得AD与OD的数量关系，便可判断正误；
C．由角平分线与等腰三角形的性质得AC∥OD，便可判断正误；
D．证明△OAC≌△ODC，得∠OAC=∠ODC=90°，便可判断正误．
【详解】解：A．∵∠BOD、∠BAD是B´D所对的圆心角、圆周角，
∴∠BOD=2∠BAD；故选项正确，不合题意；
B．∵AD平分∠ODC，DC是⊙O的切线，
1
∴∠ADC=∠ADO= ∠ODC=45°
2
∵OA=OD，则∠OAD=∠ODA=45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴AD=❑√2OD，
故选项错误，符合题意；
C．∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∵OA=OD，则∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∵DC是⊙O的切线，OD为半径，
∴OD⊥CD，
∴AC⊥DC，故选项正确，不合题意；
D．∵CO⊥AD，
∴A´E=D´E，
∴∠AOC=∠DOC，
∵OC=OC，OC=OC，
∴△OAC≌△ODC（SAS），
∴∠OAC=∠ODC=90°，
∴AC也是⊙O的切线，
故选项正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的有关性质与定理，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，综合
应用这些知识解题是关键．
14．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线
于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE．
(1)求证：直线BE与⊙O相切；
(2)若CA=2，CD=4，求直径AB的长．
【答案】(1)见解析(2)6
【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ODE=90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得
∠DOE=∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE(SAS)，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，即可求出直径的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE=90°，
∵AD∥OE，
∴∠ADO=∠DOE，∠DAO=∠EOB，
∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DOE=∠EOB，
∵OD=OB，OE=OE，
∴△DOE≌△BOE(SAS)，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2=OC2，
∴r2+42=(r+2) 2，
∴r=3，
∴AB=2r=6．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性
质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．
15．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，且∠A=∠CDE．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若AD=18,CD=12，求⊙O的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关
键．
（1）连接OC．由OC=OA可得∠A=∠ACO，从而得出∠CDE=∠ACO，再证明∠CDE+∠ECD=90°，
再证得OC⊥CD，最后可得结论；
（2）设⊙O的半径长为r．在Rt△OCD中，可得OC2+CD2=OD2，再列方程r2+122=(18-r) 2．求解可得出
答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OC．
∵OC=OA,
∴∠A=∠ACO．
∵∠A=∠CDE,
∴∠CDE=∠ACO，
∵DE⊥AE,
∴∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠ACO+∠ECD=90°，
∴∠OCD=180°-(∠ACO+∠ECD)=90°,
∴OC⊥CD．
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径长为r．
在Rt△OCD中，OC=r,OD=AD-OA=18-r．
OC2+CD2=OD2，
即r2+122=(18-r) 2．
解得r=5，即⊙O的半径长为5．
题型六：切线长定理
16．（23-24九年级上·云南大理·期末）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，
交PB于点G，若△PFG的周长是12cm，则PA的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．13cm
【答案】B
【分析】本题主要考查的是切线长定理，根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解即可，分析图形时
关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
【详解】解：根据切线长定理可得：PA=PB，FA=FE，¿=GB；
∴△PFG的周长=PF+FG+PG
=PF+FE+EG+PG，
=PF+FA+GB+PG，
=PA+PB
=12cm，
∴PA=6cm，
故选：B．
17．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O
于点M．给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△ABP的内心．其
中所有正确说法的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证
1
△OAP≌△OBP即可判断②；取OP的中点Q，连接AQ,BQ，可得AQ= OP=BQ，即可判断③；连接
2
AM,BM，根据∠OAB+∠PAB=∠APM+∠PAB=90°可得∠OAB=∠APM，结合∠OAM=∠OMA
可得∠BAM=∠PAM，即可判断④．
【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，故①正确；
∵OA=OB，
∴△OAP≌△OBP，
∴△OAP,△OBP关于OP对称，
∴OP⊥AB，故②正确；
取OP的中点Q，连接AQ,BQ，如图所示：
1
则AQ= OP=BQ，
2
即：QA=QO=QP=QB，
∴以Q为圆心，QA为半径，则B,O,A,P四点共圆，故③正确；
连接AM,BM，如图所示：
则∠OAB+∠PAB=∠APM+∠PAB=90°，
∴∠OAB=∠APM，
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∴∠OAB+∠BAM=∠APM+∠PAM，
∴∠BAM=∠PAM，即：AM平分∠BAP；
同理可得：BM平分∠ABP；
∴M是△ABP的内心．故④正确；
故选：D．
18．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，CD切⊙O于点E，交PA、
PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理即可得结论．
【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=4，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA=CE，DB=DE，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=4+4=8．
则△PCD的周长是8．
故选：B．
题型七：三角形内外接圆问题
19．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，内心为I，连接AI并延长交
△ABC的外接圆于D，若∠ABD=45°，则AI= （ ）
A．❑√3-1 B．1 C．❑√6-2 D．❑√6-❑√3
【答案】D
【分析】设△ABC的外接圆的圆心为O，连接AO，BO，DO，BI，根据圆周角定理证得△OBD是等边三角形，1 3
再根据垂径定理可得OD⊥BC，BE=CE= BC= ，再根据三角形内心证得DI=DB=❑√3，进而解决问题．
2 2
【详解】解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为O，连接AO，BO，DO，BI，
在△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，内心为I，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴DB=OD=OB=OA，
∵∠BAD=∠CAD=30°，
∴B´D=C´D，
1 3
∴OD⊥BC，BE=CE= BC= ，
2 2
∵∠BAD=∠CBD=30°，
3 ❑√3 ❑√3
∴DE=BE⋅tan30°= × = ，
2 3 2
∴DB=2DE=❑√3，
∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠IAB+∠IBA，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBA=∠CBI，
∴∠DBI=∠DIB，
∴DI=DB=❑√3，
∴∠ABD=45°，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD=DB=❑√3，
∴AD=❑√2OA=❑√6，
∴AI=AD-DI=❑√6-❑√3．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得△OBD是等边三角形是解题的关键．
20．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点
D，与BC相交于点G．则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③若点G为
BC的中点，则∠BGD=90°；④AE=DE=DB．其中不一定正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角
形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性
质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE，则可对④进行判
断．
【详解】解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，故①正确；
如图，连接BE,CE，
∵E是△ABC的内心，
1 1
∴∠EBC= ∠ABC,∠ECB= ∠ACB，
2 2
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
1
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°- (∠ABC+∠ACB)=120°，故②正确；
2∵∠BAD=∠CAD，
∴B´D=C´D，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD=90°，故③正确；
∵ BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠DBC=∠DAC=∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC=∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE，
若AE=DE，则CA=CD，显然不可能，故④错误．
故选：D．
21．（21-22九年级上·山东淄博·期末）如图，O是 ABC的外心，I是 ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O
于D，E． △ △
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
【答案】(1)见解析
(2)AI=4
【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB；（2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明 AEM≌ AEN和 BME≌ CNE，再利用勾
股定理计算即可解决问题． △ △ △ △
【详解】（1）证明：∵I是 ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠△ABC，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BIE=∠EBI，
∴EB=EI；
（2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，
∵∠BAE=∠CAE，
∴^BE=C^E，
∴BE=EC=4．
∵AE=AE，EM=EN，
∴△AEM≌△AEN，
∴AM=AN．
∵BE=EC，EM=EN，
△BME≌△CNE(HL)，
∴BM=CN．
设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，
∴AM=7．
又∵BE=4，由勾股定理得，EM=❑√42-12=❑√15．
∴AE=❑√ (❑√15) 2+72=8，
∵EI=BE=4，
∴AI=AE−EI=4．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
题型八：圆内接四边形问题
22．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数
为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【答案】D
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
1
于这条弧所对的圆心角的一半．由圆周角定理知，∠C= ∠BOD=50°．由圆内接四边形的对角互补知，
2
∠A=180°-∠C=130°．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A+∠C=180°
1
∵∠C= ∠BOD=50°
2
∴∠A=180°-∠C=130°．
故选：D
23．（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若
∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（ ）
A．56° B．60° C．68° D．70°
【答案】C
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关
键．
根据圆的内接四边形的性质得∠BAD+∠BCD=180°，由∠BAE+∠BCD=236°得∠EAD=56°，由切线长定理得EA=ED，即可求得结果．
【详解】解：如图，连接AD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAE+∠BCD=236°，
∴∠BAE+∠BCD-(∠BAD+∠BCD)=236°-180°，
即∠BAE-∠BAD=56°，
∴∠EAD=56°，
∵EA，ED是⊙O的切线，根据切线长定理得，
∴EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=56°，
∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-56°-56°=68°．
故选：C．
24．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，
连接CI并延长交⊙O于点D，E是B´C上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
(1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数：
(2)求证：DI=DA；
13
(3)若AC=5，DI= ❑√2，求BC的长．
2
【答案】(1)115°
(2)见解析
(3)BC=12
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据三角形的内角和定理求∠CAB=65°，然后利用圆内
接四边形的对角互补求解即可；（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI，然后利用圆周角定理得到
∠DAB=∠DCB=∠ACI，AD=BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI=∠DIA，然后利用等角对等边可
得结论；
13
（3）由（2）可知DI=DA=DI= ❑√2，然后由勾股定理依次求出AB=❑√2DA=13，BC=❑√AB2-AC2=12
2
即可．
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，又∠ABC=25°，
∴∠CAB=90°-25°=65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB=180°，
∴∠CEB=180°-∠CAB=115°；
（2）证明：连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
1
∴∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI= ∠ACB=45°，
2
∴A´D=B´D，
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI，AD=BD，
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI，∠DIA=∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI=∠DIA，
∴DI=DA；
13
（3）解：∵DI= ❑√2，
2
13
∴DI=DA= ❑√2，
2
∵∠ADB=90°，
∴AB=❑√2DA=13，
∵AC=5，∠ACB=90°
∴BC=❑√AB2-AC2=12．
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
题型九：正多边形和圆的问题
25．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是A´E上一点，则∠DFC的度数
为（ ）
A．72° B．54° C．36° D．30°
【答案】C
360°
【分析】本题考查了正五边形的中心角的计算，圆周角定理的应用，连接OD,OC，求得∠DOC= =72°，
5
1
结合圆周角定理，∠DFC= ∠DOC，计算即可．
2
【详解】连接OD,OC
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，F是A´E上一点，
360°
∴∠DOC= =72°，
5
1
∴∠DFC= ∠DOC=36°，
2
故选C．
26．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AB∥x
轴，点Q为AO的中点，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2024时，点Q的坐
标为（ ）A．(-1,❑√3) B．(2,0) C．(2,-❑√3) D．(-2,0)
【答案】B
【分析】本题考查的是正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
根据正多边形的性质得到∠AOH=30°，AH=2，根据勾股定理求出OH，根据规律解答即可．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，
360°
∴∠AOF= =60°，
6
∴∠AOH=30°，AH=2，
∴OH=❑√OA2-AH2=2❑√3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴点A的坐标为(-2,2❑√3)，点B的坐标为(2,2❑√3)，点C的坐标为(4,0)，点D的坐标为(2，-2❑√3)，点E的坐
标为(-2,-2❑√3)，点F的坐标为(-4,0)，
∵点Q为AO的中点，
∴点Q的坐标为(-1，❑√3)，旋转1次后的坐标为(1,❑√3)，旋转2次后的坐标为(2,0)，旋转3次后的坐标为
(1,-❑√3)，旋转4次后的坐标为(-1,-❑√3)，旋转5次后的坐标为(-1,0)，旋转6次后的坐标为(-1，❑√3)，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
∵2024÷6=337…2，
∴当n=2024时，点Q的坐标为 (2,0)，
故选：B．27．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，则下列说法错误
的是（ ）
A．点O是正六边形ABCDEF的中心 B．正六边形ABCDEF的边长是2
C．正六边形ABCDEF的中心角是60° D．正六边形ABCDEF的边心距OM=2❑√3
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的性质，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆可判断选项A，连接
OC,OD，证明△OCD是等边三角形可判断B，C；由勾股定理求出OM可判断D
【详解】解：∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴点O是正六边形ABCDEF的中心，故选项A正确，不符合题意；
连接OC,OD，如图，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
1
∴∠COD= ×360°=60°，
6
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD=2，
∴正六边形ABCDEF的边长是2，故选项B正确，不符合题意；
∴正六边形ABCDEF的中心角是60°，故选项C正确，不符合题意；
∵OM⊥CD，
1
∴CM=DM= CD=1，
2
∴OM=❑√OD2-DM2=❑√22-12=❑√3，
∴选项D错误，符合题意；
故选：D．
题型十：弧长和扇形面积问题
28．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图, 在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,BC=4，分别以点B，点 C
为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8-π B．8-2π C．4-2π D．4-π
【答案】D
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进
行求解是解决本题的关键．
先根据等腰直角三角形的性质计算出AB,AC的长，再计算出△ABC的面积，根据∠B+∠C=90°，两个扇形
的半径相等，即可算出扇形的面积之和，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得
出答案．
【详解】解：∵AB=AC,∠A=90°，
∴BC2=AB2+AC2，
∴AB=AC=2❑√2，
1 1
∴S = AB·AC= ×2❑√2×2❑√2=4，
△ABC 2 2
1
∵∠B+∠C=90°,BE=CE= BC=2，
2
nπr2 90π×22
∴两个扇形面积之和= = =π，
360 360
∴S =S -S =4-π．
阴 △ABC 扇
故选：D．
29．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，半径为6的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是A´B上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为（ ）
9 3 3
A． π B．9π C． π D． π
2 4 2
【答案】A
【分析】本题考查扇形面积的计算、正方形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据
计算即可．
【详解】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD=CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠DCE=90°，△DCE和△OEC全等，
∴S =S +S
阴影 △DCE 半弓形BCE
=S +S
△OCE 半弓形BCE
=S
扇形COB
45π×62
=
360
9π
= ，
2
故选：A．
30．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，设O为△ABC的边AB上一点，⊙O经过点B且恰好与边AC相切于点C．若∠B=30°,AC=3，则阴影部分的面积为（ ）
❑√3 π 3❑√3 π 3❑√3 ❑√3
A． - B． - C． -π D． -π
2 2 2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角函数，求不规则图形的面积，连接OC，由切线的性质
得到∠OCA=90°，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出∠AOC=60°，由锐角的正切求出OC长，求
出△ACB的面积，扇形ODC的面积，即可求出阴影部分的面积，利用锐角的正切求出OC的长是解题的关键．
【详解】解：连接OC，设AB与 ⊙O的交点为D，
∵⊙O与AC相切于C，
∴OC⊥AC，
∴∠OCA=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=30°+30°=60°，
AC
∵tan∠AOC= ，AC=3，
OC
3 3
∴OC= = =❑√3，
tan60° ❑√3
1 1 3❑√3
∴△ACB的面积 = AC·OC= ×3×❑√3= ，
2 2 2
60π×(❑√3) 2 1
扇形ODC的面积= = π，
360 2
3❑√3 1
∴阴影部分的面积= - π，
2 2
故选：B．题型十一：圆综合问题
31．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是A´C的中点，延长BC到点E，使
CE=AB，连接BD、ED．
(1)求证：BD=ED；
(2)若∠ABC=60°，AD=5，则⊙O的直径长为______．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的弦相等、圆周角定理、等边
三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；
（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，证明
△ABD≌△CED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；
（2）连接OA，OD，根据圆周角定理，可得∠AOD=60°，根据等边三角形的判定定理可得△AOD是等边三
角形，故半径为5，即可求得直径．
【详解】（1）证明：∵D是A´C的中点，
∴A´D=C´D，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE，
在△ABD和△CED中，
¿，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED．
（2）解：连接OA，OD，如图，
∵D是A´C的中点，
∴A´D=C´D，1 1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC= ×60°=30°，
2 2
∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴半径OA=AD=5，
∴直径长=10，
故答案为：10
32．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A、B两点，且与BC边
交于点E，OD⊥BE，连接AD交BC于点F，若AC=FC．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径是6，∠ADB=60°，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
【答案】(1)见解析
(2)18❑√3-6π
【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积；
（1）连接AO．由OA=OD，可得∠OAD=∠ODA．由AC=CF，可得∠CAF=∠CFA．由OD⊥BE，可
得∠DOB=∠DOF=90°，所以∠OFD+∠ODA=90°．结合∠OAD=∠ODA，∠CAF=∠CFA，
∠OFD=∠CFA，可得∠CAF+∠OAD=90°．则OA⊥AC，即AC是⊙O的切线．
（2）连接AO，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AO，AC，进而根据阴影部分面积等于
S -S ，即可求解．
△AOC 扇形OAE
【详解】（1）证明：连接OA，
∵OD⊥BE，
∴∠ODF+∠OFD=90°，
∵CA=CF,
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠CFA=∠OFD,
∴∠ODF+∠CAF=90°，
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°,∴OA⊥AC，
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ADB=60°，
∴∠AOB=2∠ADB=120°,
∴∠AOE=60°,∠C=30°，
在Rt△OAC中，AO=6,
∴OC=2OA=12,AC=❑√122-62=6❑√3，
1 60π×62
∴阴影部分的面积= ×6×6❑√3- =18❑√3-6π．
2 360
33．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，BD是⊙O的直径，直线AC切⊙O于点C,DF⊥AC于点F，连接
CD,AO,AB，且CD∥AO．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AB=BD=10，求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接OC，根据直线AC切⊙O于点C，得出OC⊥AF，证明△AOB≌△AOC，得出
∠ABO=∠ACO=90°，即可证明AB是⊙O的切线；
（2）延长FD交⊙O于点E，连接BE．作BG⊥AF于点G，根据BD为⊙O的直径，得出∠BED=90°．证出
四边形GBEF为矩形，再证明△ABG≌△DBE，得出BG=BE，证出矩形GBEF为正方形．延长CO交BE于
1
点M，根据垂径定理得出BM=EM，根据三角形中位线定理得出OM= DE．设MO=x，则DE=2x．
2
CM=EF=BE=5+x．在Rt△BDE中，根据勾股定理求出DE=6即可求解．
【详解】（1）解：连接OC，∵直线AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AF，
∵CD∥AO，
∴∠CDO=∠AOB,∠DCO=∠AOC．
∵OC=OD，
∴∠CDO=∠DCO
∴∠AOB=∠AOC．
∵OB=OC,OA=OA，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：延长FD交⊙O于点E，连接BE．作BG⊥AF于点G，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED=90°．
∵DF⊥AC,BG⊥AF，
∴四边形GBEF为矩形，
∴BG=EF,∠GBE=90°．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABG=∠DBE．
∵AB=BD，
∴△ABG≌△DBE(AAS)，
∴BG=BE，
∴矩形GBEF为正方形．
延长CO交BE于点M，
∵OC∥DF,∠BED=90°，
∴∠BMO=90°，
∴BM=EM，
1
∴OM= DE．
2设MO=x，则DE=2x．
∵BD=10，
∴CO=BO=DO=5，
∴CM=EF=BE=5+x．
在Rt△BDE中，(5+x) 2+(2x) 2=100，
解得：x =3,x =-5（舍去），
1 2
∴DE=6,DF=EF-DE=8-6=2．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，三角形中位线定理，
矩形和正方形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【专题强化】
一、单选题
34．（24-25九年级上·湖北恩施）下列说法：①三点确定一个圆；②每一个三角形都确定一个外接圆；③三角形
的外心在其外部；④经过两个定点的圆的圆心在一条定直线上．其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是定圆的条件，三角形的外接圆与外心，掌握确定圆的条件、三角形的外心是各边垂直平分
线的交点是解题的关键．
根据确定圆的条件、三角形的外心的概念判断即可．
【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故①说法错误；
②三角形有且只有一个外接圆，故②说法正确；
③三角形的外心是各边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边上，钝角三
角形外心在三角形外部，故③说法错误；
④经过两个定点的圆的圆心在连接两定点的线段垂直平分线上，即在一条定直线上，故④说法正确；
故正确的有②④，共两个，
故选：B．
35．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，
∠BCD=50°，则∠AED=（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，结合∠BCD=50°，可求
∠ACD的度数，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠AED=∠ACD=∠ACB-∠BCD=40°，
故选：D．
36．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点C、D在以AB为直径的半⊙O上，AD平分∠BAC，
DE⊥AB于E，若AC=6，AB=10，则DE=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关
键．
连接OD，作OF⊥AC于点F．根据垂径定理求得AF=3，再证明△OED≌△AFO(AAS)，得OE=AF=3，
然后由勾股定理求解即可．
【详解】解：连接OD，作OF⊥AC于点F．
∵AB为半⊙O的直径，AB=10，1
∴OD= AB=5，
2
∵OF⊥AC，
1 1
∴AF= AC= ×6=3，∠AFO=90°，
2 2
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD=∠ODA，
∴∠DOE=∠OAD+∠ODA=∠OAD+∠CAD=∠OAF，
∵DE⊥AB
∴∠OED=90°，
∴∠OED=∠AFO，
在△OED与△AFO中，
¿，
∴△OED≌△AFO(AAS)，
∴OE=AF=3
∴DE=❑√OD2-OE2=❑√52-32=4，
故选：C．
37．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为
坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则
BF的长为（ ）
A．12 B．8❑√2 C．8❑√3 D．16❑√3
【答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进
行计算即可．
【详解】解：如图，连接OA，OB，OA交BF于G，∵ ABCDEF ⊙O
六边形 是 的内接正六边形，
360°
∴AB=AF=8，∠AOB= =60°，OA=OB，
6
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AF=OA=OB=8，∠AOB=60°，
∵AB=AF，
∴A´B=A´F，
∴OA⊥BF，BF=2BG，
∴∠BGO=90°，
∴∠GBO=30°，
1
∴∴OG= OB=4，
2
∴BG=❑√OB2-OG2=❑√82-42=4❑√3，
∴BF=2BG=8❑√3，
故选：C．
38．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为边BC上的一点，
7
以P为圆心， 长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段CP的取值范围为（ ）
2
❑√13 7 7 1 5
A． r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d ，即可求解．
2
【详解】解：当点C在圆内，
7
∴PC< ，
2
7
当⊙P经过点A时，则PA= ，
2
∵∠C=90°，
∴此时PC=❑√PA2-AC2=❑
√ (7) 2
-32=
❑√13
，
2 2
❑√13
∴要使得点A在圆外，则PC> ，
2
❑√13 7
∴满足题意时，
