文档内容
专题强化08：圆压轴题题型归纳
【题型归纳】
题型一：圆性质的综合问题
题型二：圆和三角形的综合
题型三：圆和四边形综合
题型四：圆和函数综合
题型五：圆与其他知识的交汇
【题型探究】
题型一：圆性质的综合问题
1．（21-22九年级上·云南昆明·期中）如图， 为 外接圆⊙O的直径，且 与⊙O相切于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求⊙O的半径．
2．（21-22九年级上·辽宁大连·期末）如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂
直，垂足为E．
(1)求证：BC平分∠DBA；
(2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝ 时，求⊙O的半径．3．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在等腰 中， ，以 为直径的 分别与边 ，
交于 ， 两点， 交 于点 ．连接 交 于点G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
题型二：圆和三角形的综合
4．（2024九年级上·全国）如图，E是 的内心， 的延长线与 的外接圆 相交于点D．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
5．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形 中， 平分 ．点O在 上，以点O为圆心， 为半径，
作 与 相切于点B， 延长线交 于点E，交 于点F，连接 ， ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
6．（2024·广东河源·模拟预测）综合探究
如1图、2图，已知 ，以 为直径作半圆O，半径 绕点O顺时针旋转得到 ，点A的对应点为C，当
点C与点B重合时停止．连接 并延长至点D，使得 ，过点D作 于点E，连接 ．
(1)如1图，当点E与点O重合时，求证： 是等边三角形；
(2)如2图，若点P是线段 上一点，连接 ，当 与半圆O相切时，求证： ．
(3)当 时，求 的长．
题型三：圆和四边形综合
7．（2024·湖南衡阳·一模）如图， 内接 ，点A为 的中点，D为 边上一点， ， 是
的切线， ，连接 ．(1)求证： ；
(2)当点A到弦 的距离为1时，求 的值．
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 的斜边 在 轴上，边 与 轴
交于点 ， 平分 交边 于点 ，经过点 、 、 的圆的圆心 恰好在 轴上， 与 轴相交于另一点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若点 、 的坐标分别为 ， ，求 的半径；
(3)在（2）的条件下，求 的长。
(4)试探究线段 、 、 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．9．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形．
(1)如图1，四边形 为等邻边圆内接四边形， ， ，则 ________；
(2)如图2，四边形 内接于 ， 为 的直径， ， ，若四边形 为等邻边圆内接四边
形，求 的长；
(3)如图3，四边形 为等邻边圆内接四边形， ， 为 的直径，且 ．设 ，四边形
的周长为 ，试确定 与 的函数关系式，并求出 的最大值．
题型四：圆和函数综合
10．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点 ，交x轴于点 ，
．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点B作线段 的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标；(3)如果以点C为圆心的圆与直线 相切，请判断抛物线的对称轴l与 有怎样的位置关系，并给出证明．
11．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线 的图象与x轴交于点 、 与y轴
交于点C，顶点为D．以 为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接 ，点Q
为 的中点．
(1)试用含a的代数式表示c；
(2)若 恒成立，求出此时该抛物线解析式；
(3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
12．（21-22九年级上·湖南长沙）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交
于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点
F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．题型五：圆与其他知识的交汇
13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形 中， ， ，点P从点A出发沿 边以
的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿 以 的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之
停止运动．设运动时间为t秒：
(1)如图1，几秒后， 的面积等于 ？
(2)在运动过程中，若以P为圆心、 为半径的 与 相切（如图1），求t值；
(3)若以Q为圆心， 为半径作 ．
①如图2，以Q为圆心， 为半径作 ．在运动过程中，是否存在这样的t值，使 正好与四边形 的一
边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②如图3，若 与四边形 的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理）
14．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心的 交 轴负半轴于 ，
交 轴正半轴于 ，交 轴于C、D．(1)若C点坐标为 ，求点 坐标．
(2)在（1）的条件下， 上是否存在点 ，使 ，若存在，求出满足条件的点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
(3)过 作 的切线 ，过 作 于 ，交 于 ，当 的半径大小发生变化时， 的长度是否变化？
若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．
15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知 的两边分别与 相切于点A，B， 的半径为r．
(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上， ，求 的度数；
(2)如图2，点C在圆上运动，当 最大时，要使四边形 为菱形， 的度数应为多少？请说明理由；
(3)若 交 于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
16．（24-25九年级上·江苏连云港）（1）【问题情境】 是 外一点， 是 上一动点．若 的半径为 ，且 ，则点 到点 的最短距离为 ．
（2）【直接运用】如图1，在 中， ， ，以 为直径的半圆交 于点 ， 是弧
上的一个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
（3）【构造运用】如图 ，已知正方形 的边长为 ，点 ， 分别从点 ， 同时出发，以相同的速度沿边 ，
向终点 ， 运动，连接 和 交于点 ，求点 到点 的距离最小值．
（4）【灵活运用】如图3， 的半径为 ，弦 ， 为优弧 上一动点， 交直线 于点 ，则
面积的最大值是 ．
【专题强化】
17．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图， 为 的直径，C为 上一点，D为 的中点，过C作 的
切线交 的延长线于E，交 的延长线于F，连 ．
(1)求证： 与 相切；(2)若 ， ，求 的半径．
18．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知 为 的直径， ，C为 上一点，连接 ．
(1)如图①，若 为 的中点，求 的大小和 的长；
(2)如图②，若 ， 为 的半径，且 ，垂足为 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，
求 的长．
19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ，E为 延长线上
一点，且 平分 ．
(1)如图①，若 ，求证： 为等边三角形；
(2)如图②，若 ，求 的半径．20．（24-25九年级上·湖北武汉）已知， 内接于 ， 为 的直径，点 为优弧 的中点．
(1)如图1，连接 ，求证： ；
(2)如图2，过点 作 ，垂足为 ．若 ，求 的半径．
21．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆 与 都经过A，B两点，点 在 上，点C是 上的一点，
连接 并延长交 于点P，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ， ．
①求 的半径；
②求图中阴影部分的面积．22．（24-25九年级上·江苏宿迁）如图， 是 的直径， ，点 是半圆上一动点，且与点 分别在 的
两侧．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)求证： ．
23．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线 交 的延长
线于点C，过点O作 交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 是 的切线；(2)若 ， ，求 的半径及 的长．
24．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，在锐角 中，以 边为直径的 交 于点 ，作
，依次交 于点E，交 于点G，交 于点H，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
25．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 、 于点D、
G，过点D作 于点E，交 的延长线于点F．(1)求证： 与 相切；
(2)当 时，求阴影部分的面积．
26．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，
， 是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)当AB变化时，求四边形 的面积的最大值．
27．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在 中，弦 ，点E在 上，延长 至点F，使 ，
延长 至点G，连结 ，使 ， ．(1)连结 ，求证： ．
(2)若 ， 为 直径，求 的度数．
(3)连结 ，求证： ．
28．（24-25九年级上·江苏泰州）如图， 是等边 的外接圆，P点是 劣弧 上的一个动点(不与点
A，B 重合)．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)若 ，点P在劣弧 上运动的过程中，
① 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．29．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形 中， ，点M从A点出发沿
以 的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿 以 的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，
另一点也停止运动．设点M、N的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时， ？
(2) 的面积能否为10，若能请求出t值，若不能请说明理由．
(3)当 时， 内有一个动点P，连接 ，若 ，线段 的最小值为 ．
30．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 为 的内接三角形， ， ，点 为
弧 上一点，连接 ．
(1)如图1，当 时，垂足为 ，连接 并延长分别交 ， 于点 ．
① ______ ；
②求证： ．
(2)如图，若 与 不垂直，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，如果 ， 求线段 的长．31．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）【模型建立】
如图①、②，点P分别在圆O外、在圆O内，直线 分别交圆O于点A，B，则 是点P到圆O上的点的最短距
离， 是点P到圆O上的点的最长距离．
【问题解决】
(1)请就图①中 为何最长进行证明．
(2)已知点P到圆O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆O的半径为______．
(3)如图③，在 中， ， ， ．点E在边 上，且 ，动点P在半径为2的圆E上，
则 的最小值是______．
(4)如图④，点 ，动点B在以 为圆心， 为半径的圆上， 的中点为C，则线段 的最大值为______．
(5)如图⑤，正方形 中，点M，N分别为 ， 上的动点，且 ， ， 交于E，点F为 的中点，
点P为 上一个动点，连接 ， ．若 ，则 的最小值为______．
