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专题强化08：圆压轴题题型归纳
【题型归纳】
题型一：圆性质的综合问题
题型二：圆和三角形的综合
题型三：圆和四边形综合
题型四：圆和函数综合
题型五：圆与其他知识的交汇
【题型探究】
题型一：圆性质的综合问题
1．（21-22九年级上·云南昆明·期中）如图， 为 外接圆⊙O的直径，且 与⊙O相切于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得出∠OAB+∠BAE=90°，根据圆周角定理得到∠DAO+∠OAB=90°，
∠D=∠C，再推出∠DAO=∠BAE，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAO，从而推出∠BCA=∠BAE
（2）根据垂径定理求出BF，根据勾股定理求出AF，再根据勾股定理求出OB即可．
【详解】解：证明：（1）连接OA交BC于点F，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AE，即∠OAB+∠BAE=90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DAB=∠DAO+∠OAB=90°，
∴∠DAO=∠BAE，∵OA=OD，
∴∠C=∠DAO，
∵由圆周角定理得：∠D=∠C，
∴∠D=∠DAO，
∴∠DAO=∠BAE，
∴∠BCA=∠BAE；
（2）解：∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴FB= BC= ×8=4，
∴在Rt△ABF中，AF= =2，
∵在Rt△OFB中，OB2=BF2+OF2，
∴OB2=42+（0B-2）2，
∴OB=5，
∴⊙O的半径为5．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，
能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
2．（21-22九年级上·辽宁大连·期末）如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂
直，垂足为E．
(1)求证：BC平分∠DBA；
(2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝ 时，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）连接 ，证明 ，得 ，由 ，得 ，则 ，
即 平分 ；
（2）连接 交 于点 ，由 得 ，则 垂直平分 ， 是 的中位线，则
，而 ，根据勾股定理列方程求出 的值即可．
【详解】（1）解：证明：如图1，连接 ，
与 相切于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ．（2）如图2，连接 交 于点 ，
，
，
， ，
，
， ， ，
，
设 的半径为 ，则 ，
，
， ，
，
，
解得 ， （不符合题意，舍去），的半径为 ．
【点睛】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定
理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
3．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在等腰 中， ，以 为直径的 分别与边 ，
交于 ， 两点， 交 于点 ．连接 交 于点G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明 ，可得结论；
（2）连接 ， ．设 ．利用勾股定理，构建方程求出 ，即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：如图， ，
，
， 是直径，
，
，
，；
（2）连接 ， ．设 ．
，
，
是直径，
，
，
， ，
，
，
，
或 （舍去），
，
半径为 ．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．题型二：圆和三角形的综合
4．（2024九年级上·全国）如图，E是 的内心， 的延长线与 的外接圆 相交于点D．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合运用，理解三角形内心的含义，掌握垂径定理的运用是解题的关键，
（1）连接 ，根据三角形中点 是内心可得 ，根据三角形外角的性质，等角对等
边的性质可得 ，由此即可求解；
（2）连接 交 于点F，连接 ，由角平分线的性质可得 ， 垂直平分 ，在 中，
，设 的半径为r，则 ，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 平分 平分 ，
，又 ，
，
，
， ，
，
；
（2）解：连接 交 于点F，连接 ，
，
，
垂直平分 ，
，
，在 中， ，
设 的半径为r，则 ，
，
解得 ，
的半径为 ．
5．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形 中， 平分 ．点O在 上，以点O为圆心， 为半径，作 与 相切于点B， 延长线交 于点E，交 于点F，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角等知
识，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接 ，根据圆的切线的性质，得到 ，根据角平分线的定义以及等边对等角的性质，得到
，进而得出 ，推出 ，得到
，即可证明结论；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，得到 ，进而得出 ，再根据直径所对的圆
周角是直角，得出 ， ，由30度角所对的直角边等于斜边一半，
得到 ，再结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
为圆O的切线，
．平分 ，
．
，
，
， ，
．
在 和 中，
，
，
．
是 的切线．
（2）解： ，
，
，
．．
是直径，
，
，
．
在 中， ， ，
．
．
6．（2024·广东河源·模拟预测）综合探究
如1图、2图，已知 ，以 为直径作半圆O，半径 绕点O顺时针旋转得到 ，点A的对应点为C，当
点C与点B重合时停止．连接 并延长至点D，使得 ，过点D作 于点E，连接 ．
(1)如1图，当点E与点O重合时，求证： 是等边三角形；
(2)如2图，若点P是线段 上一点，连接 ，当 与半圆O相切时，求证： ．
(3)当 时，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)BC的长为 或【分析】（1）证明 ，再证明 ，得到 ．即可得到结论；
（2）先证明 是 的中位线，得到 ，由 与半圆O相切，得到 ，即可得到结论；
（3）分点E在 上和点E在 上两种情况，利用勾股定理分别进行求解即可．
【详解】（1）证明： 是半圆O的直径，
．
又 ，
垂直平分 ，
．
点E与点O重合，
．
∵ ，
．
．
∴ 是等边三角形；
（2）证明： 点C是 的中点，点O是 的中点，
是 的中位线，
∴
又 与半圆O相切，
．（3）解： ，
．
①如图，当点E在 上时， ， ．
， ，
∴在 和 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ．
．
②如图，当点E在 上时，同理可得 ，
解得 ．
．
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】此题考查了切线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，
分类讨论是解题的关键．
题型三：圆和四边形综合
7．（2024·湖南衡阳·一模）如图， 内接 ，点A为 的中点，D为 边上一点， ， 是的切线， ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当点A到弦 的距离为1时，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据点A为 的中点， 与 相切，证明 ，得到 ，由
，得到 ，证明四边形 为平行四边形，即可证明结论；
（2）由 ，得到 ，在 中， ，求出 ，进而求出 ，
根据四边形 为平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 交 于点M，
∵点A为 的中点，∴ ，
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵点A到弦 的距离为1，即 ，
在 中， ，
∴ ，
∴| ，
，
由（1）可知四边形 为平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆与四边形综合，切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形全
等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键．
8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 的斜边 在 轴上，边 与 轴
交于点 ， 平分 交边 于点 ，经过点 、 、 的圆的圆心 恰好在 轴上， 与 轴相交于另一点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若点 、 的坐标分别为 ， ，求 的半径；
(3)在（2）的条件下，求 的长。
(4)试探究线段 、 、 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的半径为(3)
(4)
【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三线合一，
矩形的判定和性质，即可．
（1）连接 ，根据角平分线的性质，则 ，根据等边对等角，等量代换，则 ，根据平
行线的性质，直角三角形的性质，则 ，即可；
（2）连接 ，根据题意，则 ， ，设 的半径为 ，得到 ， ，根据勾股定理，则
，求出 ，即可；
（3）过点 作 交 于点 ，根据矩形的判定和性质，则四边形 是矩形， ，根据等腰三角形
三线合一，勾股定理求出 ，即可；
（4）由（3）得，四边形 是矩形， ， ，根据圆的性质，则 为 的直径，
，等量代换，则 ，根据 ，即可．
【详解】（1）证明如下：
连接 ，
∵ 是直角三角形， 为斜边，
∴ ，
∵ 平分 交边 于点 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 是 的切线．
（2）解：连接 ，
∵点 、 的坐标分别为 ， ，
∴ ， ，
设 的半径为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．（3）解：过点 作 交 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
（4） ，证明如下：
由（3）得，四边形 是矩形， ，∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
9．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形．
(1)如图1，四边形 为等邻边圆内接四边形， ， ，则 ________；
(2)如图2，四边形 内接于 ， 为 的直径， ， ，若四边形 为等邻边圆内接四边
形，求 的长；
(3)如图3，四边形 为等邻边圆内接四边形， ， 为 的直径，且 ．设 ，四边形的周长为 ，试确定 与 的函数关系式，并求出 的最大值．
【答案】(1)
(2) 或
(3) ，
【分析】（1）利用圆周角定理可得 ，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案；
（2）首先利用勾股定理求出 和 、 的长，再分类讨论，第一种情况是 ，第二种情况是 ，
结合三角函数以及勾股定理进行列式作答即可；
（3）连接 、 交于点H，过点O作 于G，利用三角函数表示出 的长，进而得出 ，再根据三角
形中位线定理可得 的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 为 的直径， ， ，
∴ ，
①当 时，连接 ，如图：∵ ， 为 的直径，
∴ ，
∴ ， 垂直平分 ．
∴
∴ ；
②当 时，连接 ，过点 作 ，交 于点 ．如图：
此时 为等腰直角三角形， ．
在 中，∵ ， ，
∴
∴
在 中，∵ ， ，
∴ ，∴ ．
综上可知， 或 ；
（3）如图，连接 ， ．
∵ ， ，
∴ 垂直平分
∵ 为 中点，
∴ 为 的中位线，有 ， ．
设 ，
则 ， ， ，
在 中，
在 中，
于是有：
整理得， ，
∴
当 时，
题型四：圆和函数综合10．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点 ，交x轴于点 ，
．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点B作线段 的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标；
(3)如果以点C为圆心的圆与直线 相切，请判断抛物线的对称轴l与 有怎样的位置关系，并给出证明．
【答案】(1)
(2)
(3)相交，证明见解析
【分析】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识；
（1）已知抛物线交 轴于 ，交 轴于 、 两点坐标分别为 ， ，把以上三点的坐标分别代入抛物
线 ，求出 ， ， 的值即可求出此二次函数的解析式；
（2）过点 作 轴与点 ，设 ，再证明 即可求解；
（3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴 的解析式及 、 的坐标，分别求出线段 、 、 的长度，再求
出 的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．
【详解】（1） 抛物线 交 轴于 ，交 轴于 两点坐标分别为 ，，
解得
抛物线的解析式为： ；
（2）过点 作 轴与点 ．
点 在抛物线上，
设 点坐标为 ．
， ，
， ，
，
，
，
．
解得： 或 （舍去）．．
点 的坐标为 ．
（3）相交．
证明：连接 ，则 ，
抛物线交 轴于 两点坐标分别为 ， ．
对称轴 ，
， ， ，
，
，
，
，
即 ，
解得： ，
，
抛物线的对称轴 与 相交．11．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线 的图象与x轴交于点 、 与y轴
交于点C，顶点为D．以 为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接 ，点Q
为 的中点．
(1)试用含a的代数式表示c；
(2)若 恒成立，求出此时该抛物线解析式；
(3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
【答案】(1)
(2)
(3)点Q在以 中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为
【分析】（1）根据点点 、 可得该函数的解析式为 ，展开括号即可进行解答；
（2）根据点Q为 的中点，且 ，可得点D在 上，进而得出点D的坐标，即可求解；
（3）根据题意得 ，则点Q在以 为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进
而得出 轴， ，则点Q在以 中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 的图象与x轴交于点 、 ，
∴该函数的解析式为 ，
∴ ．（2）解：连接 ，
∵P是半圆上一点，点Q为 的中点，且 ，
∴点D在 上，
∴ ，
∵该抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴该抛物线解析式为： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴点Q在以 为直径的圆上运动，
∵ 、 ， ，
∴当点P与点B重合时， ，即 ，当点P与点A重合时， ，即 ，
∴ 轴， ，
∴点Q在以 中点为圆心的半圆上运动，
点Q的路径长为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与圆的综合，解题的关键是掌握垂径定理，用待定系数法求解二次函数表达式
的方法，点的运动轨迹，点与圆的位置关系．
12．（21-22九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且
与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点
F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．
【答案】（1） ；（2）存在，点P坐标（ ， ）或（ ， ）；（3）面积的最小值为 ，E点坐标（ ， ）
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式求出点D的坐标，取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，得到直线EP为y＝x﹣
1，联立方程组求解即可；
（3）作BD⊥OA于D，得到OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，证明EF是△AEO的外接圆的直径，得到△EOF是等腰直
角三角形，当OE最小时，△EOF的面积最小，计算即可；
【详解】（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：
，解得： ，
故函数解析式为 ；
（2）∵抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，
∴ ，解得：x＝3，x＝2，
1 2
∴点D的坐标为（2，0），取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，
∵ED＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，
∵直线AB解析式为y＝x﹣3，
∴直线EP为y＝x﹣1，
由 解得 或 ，
∴点P坐标（ ， ）或（ ， ）．
（3）如图2中，作BD⊥OA于D．∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，
∴∠OAC＝∠BAD＝45°，
∵∠OAF＝∠BAD＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∴EF是△AEO的外接圆的直径，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EFO＝∠EAO＝45°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴当OE最小时，△EOF的面积最小，
∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，
∴CE＝AE，OE＝ AC＝ ，
∴E（ ， ），S EOF＝ ．
△
∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为 ，E点坐标（ ， ）．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键．
题型五：圆与其他知识的交汇
13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形 中， ， ，点P从点A出发沿 边以
的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿 以 的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之
停止运动．设运动时间为t秒：(1)如图1，几秒后， 的面积等于 ？
(2)在运动过程中，若以P为圆心、 为半径的 与 相切（如图1），求t值；
(3)若以Q为圆心， 为半径作 ．
①如图2，以Q为圆心， 为半径作 ．在运动过程中，是否存在这样的t值，使 正好与四边形 的一
边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②如图3，若 与四边形 的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理）
【答案】(1)2秒或4秒
(2)
(3)①0或 或 ；②
【分析】（1）由题意可知 ， ，从而得到 ， ，然后根据 的面积为 列
方程求解即可；
（2）如图1所示：连接 ．依据勾股定理可求得 的长，然后依据切线长定理可知 ，从而可求得
的长，由圆的半径相等可知 ，然后在 中依据勾股定理列方程求解即可；
（3）①先判断 不与 ， 相切，然后分 与 相切； 与 相切，根据半径等于 构建方程求解即
可．
②先求得 与四边形 有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，则 ，∵
∴ ，
解得 或 ，
故当运动时间为2秒或4秒时， 的面积为 ；
（2）解：如图1，设切点为 ，连接 ．
∵ ，
∴ 与 相切，
∴ 分别与 ， 相切，
∴ ．
∵ 与 相切，
∴ ，
在 中，依据勾股定理可得 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．在 中，依据勾股定理可得， ，
解得 ；
（3）解∶①由题意知 不与 ， 相切，
当 与 相切时，设切点为E，连接 ，
则 ， ，
则四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ；
当 与 相切时，
则 ，
∴ ，解得 ， （舍去），
综上，当t的值为0或 或 时， 正好与四边形 的一边（或边所在的直线）相切；
②解：（Ⅰ）当 时，如图4所示：
与四边形 有两个公共点；
（Ⅱ）如图5所示：
当 经过点D时， 与四边形 有两个公共点，则 ，
得方程 ，
解得： （舍）， ，
∴当 ， 与四边形 有三个公共点．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、
勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键．
14．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心的 交 轴负半轴于 ，
交 轴正半轴于 ，交 轴于C、D．(1)若C点坐标为 ，求点 坐标．
(2)在（1）的条件下， 上是否存在点 ，使 ，若存在，求出满足条件的点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
(3)过 作 的切线 ，过 作 于 ，交 于 ，当 的半径大小发生变化时， 的长度是否变化？
若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．
【答案】(1)
(2)存在；点P的坐标为 或 ；
(3) 的长不变，且长度为6
【分析】（1）结合题意，连接 ，根据点M和点C的坐标可得出 的半径，即 的长，利用M的坐标即可
得出A的坐标；
（2）假设存在这样的点P，根据题意，可知 为等腰直角三角形，且 ．根据圆的方程和两点直
接的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标；
（3）作 于H，则 ，易证 ，故 ．从而可证 为一定值．
【详解】（1）解：如图①，连接 ，在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：假设存在这样的点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
解得： ，
即存在两个这样的点P，且坐标为 或 ；
（3）解： 的长不变，且长度为6．
如图②，连接 ，作 于H，则 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题主要考查的是垂径定理的应用和切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与
性质，等腰三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系
是解题的关键．
15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知 的两边分别与 相切于点A，B， 的半径为r．
(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上， ，求 的度数；
(2)如图2，点C在圆上运动，当 最大时，要使四边形 为菱形， 的度数应为多少？请说明理由；(3)若 交 于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【答案】(1)
(2)当 时，四边形 是菱形
(3)阴影部分的周长
【分析】（1）连接 ，由切线的性质可求 ，由四边形内角和可求解；
（2）当 时，四边形 是菱形，连接 ，由切线长定理可得 ，
由“ ”可证 ，可得 ，可证 ，可得四边形
是菱形；
（3）分别求出 的长，由弧长公式可求 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：如图2，当 时，四边形 是菱形，
连接 ，
由（1）可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点C运动到 距离最大，
∴ 经过圆心，
∵ 为 的切线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（3）解：∵ 的半径为r， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 的长度 ，
∴阴影部分的周长 ．
【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，切线长定理，弧
长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质是解决本题的关键．
16．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）【问题情境】 是 外一点， 是 上一动点．若 的半
径为 ，且 ，则点 到点 的最短距离为 ．
（2）【直接运用】如图1，在 中， ， ，以 为直径的半圆交 于点 ， 是弧
上的一个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
（3）【构造运用】如图 ，已知正方形 的边长为 ，点 ， 分别从点 ， 同时出发，以相同的速度沿边 ，
向终点 ， 运动，连接 和 交于点 ，求点 到点 的距离最小值．
（4）【灵活运用】如图3， 的半径为 ，弦 ， 为优弧 上一动点， 交直线 于点 ，则
面积的最大值是 ．【答案】（1）3（2） （3） ，理由见解析（4）
【分析】（1）当点 是 与 的交点时， 为最短，故可求解；
（2）找到 中点 ，当 、 、 在同一直线上时，点 到点 的最短，故可求解；
（3）先证明 ，再得到 ，得到 的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求
解；
（4）先求出 ，要想 的面积最大，则需要点 到 的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作
根据三线合一得到 是等边三角形，故可求出此时的面积．
【详解】解：（1）当点 是 与 的交点时， 为最短，
，
故答案为： ；
（2）如图，连接 ，当 、 、 在同一直线上时，点 到点 的最短，
，
的最小值为
故答案为： ；（3） ，
，
，
，
，
，
故点 点在以 为直径的圆上运动，连接 ，与 的交点，此交点 即为 最小时的位置；
，
的最小值为 ；
（4）连接
，是等边三角形，
，
，
，要使 面积最大，则点 到 的距离最大，
如图， ，
点 在以 的 上，
当 时，点 到 的距离最大，
是等边三角形，
的最大面积为 ．
【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质、垂径定
理及圆周角定理的应用．
【专题强化】
17．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图， 为 的直径，C为 上一点，D为 的中点，过C作 的切线交 的延长线于E，交 的延长线于F，连 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积
法解决问题是关键．
（1）连接 ，由垂径定理得 ，根据垂直平分线的的性质可得 ，证明 ，利用全等
三角形的性质可得 即可；
（2）先利用勾股定理求得 ，设 ，再根据等面积法列 即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
是 的切线，
，
为 的中点， ，，则 垂直平分 ，
，
， ，
，
，
与 相切；
（2）解： ， ，
，
由（1）可知 ， ，
，
设 ，
，
，
，
解得 ，
故 的半径为 ．
18．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知 为 的直径， ，C为 上一点，连接 ．(1)如图①，若 为 的中点，求 的大小和 的长；
(2)如图②，若 ， 为 的半径，且 ，垂足为 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，
求 的长．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得 ，由C为 的中点，得 ，从而 ，即可求得 的度
数，通过勾股定理即可求得 的长度；
（2）证明四边形 为矩形， ，由勾股定理求得 的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
由 为 的中点，得 ，
∴ ，得 ，
在 中， ，
∴ ；
根据勾股定理，有 ，
又 ，得 ，∴ ；
（2）解：∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
∵ ，垂足为E，
∴ ，
同（1）可得 ，有 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，于是 ，
在 中，由 ，得 ，
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和
矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．
19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ，E为 延长线上
一点，且 平分 ．(1)如图①，若 ，求证： 为等边三角形；
(2)如图②，若 ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的半径为
【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、
勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理．
（1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可．
（2）过点 作 于点 ，连接 ，根据（1）中，得出 ，根据等腰三角形三线合一的性质，得
出 ，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出 的长和 垂直平分 ，进而得出圆心 在
的垂直平分线 上，再设 的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出 的半径．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，由（1）知：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 垂直平分 ，
∵ ，
∴圆心 在 的垂直平分线 上，
∴ ，
设 的半径为r，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
20．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知， 内接于 ， 为 的直径，点 为优弧 的中点．(1)如图1，连接 ，求证： ；
(2)如图2，过点 作 ，垂足为 ．若 ，求 的半径．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题
的关键．
（1）延长 交 于 ，根据垂径定理的推论可得 ，即 ；
（2）连接 并延长交 于 ，易得 ，进而可得 ，再证明 ，根据全等
三角形的性质得到 ，然后在 中，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如下图，延长 交 于 ，
∵点 为优弧 的中点，
∴ ，
∴ ，即 ；（2）解：连接 并延长交 于 ，
设 的半径为 ，
∵点 为优弧 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，可有 ，
即 ，解得 ，
∴ 的半径为 ．
21．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆 与 都经过A，B两点，点 在 上，点C是 上的一点，连接 并延长交 于点P，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ， ．
①求 的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①2
②
【分析】对于（1），连接 ，在 中，先根据同弧所对的圆周角相等得 ，然后在
中，根据圆周角定理得 ，可得答案；
对于（2）①，由 结合（1），可得 ，再连接 ，作 ，可得
， ，进而得出 ，然后在 中，根据 得出答案；
对于②，先说明 是等边三角形，即可求出其面积，在 中，求出弓形的面积，然后根据
得出答案．
【详解】（1）如图所示． 连接 ，在 中， ，
在 中， ，
∴ ；
（2）①，∵ ，
∴ ．
连接 ，过点 作 ，交 于点D，
∴ ， ，
∴ ．
在 中， ，
即 ，
∴ ，
所以 的半径是2；②∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴点 三点共线．
在 中， ，
在 中， ．
在 中， 上标点 ， ．
在 中，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面
积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键．
22．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 是 的直径， ，点 是半圆上一动点，且与点 分
别在 的两侧．(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，利用直径所对的圆周角是直角求出 ，从而可得 ，再根据已知
，求出 ，进而求出答案；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明 ，从而可得
， ，进而得到 是等腰直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）证明：过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ （ASA），
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
23．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线 交 的延长
线于点C，过点O作 交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径及 的长．
【答案】(1)见详解
(2) 的半径为3； 的长为6
【分析】（1）由切线的性质可得 ，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得 平方 ，从而可
得 ，进而可证 ，最后利用全等三角形的性质即可解答；（2）设 的半径为r，在 中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得 ，最后在
中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）证明： 与 相切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为 的半径，
直线 是 的切线；
（2）设 的半径为r，
在 中， ，
，
，，
，
由（1）得 ，
，
在 中， ，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与
性质以及勾股定理是解题的关键．
24．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，在锐角 中，以 边为直径的 交 于点 ，作
，依次交 于点E，交 于点G，交 于点H，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题
的关键．
（1）连接 ，由圆周角定理得出 ，根据等角的余角相等得 ，由圆周角定理得出，进而问题可求解；
（2）证出 ，得出 ，由勾股定理得出 ，即 ，解得
或 ，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；
（2）解：由（1）得： ，
∵ ，
是等腰直角三角形，
，，
， ，
，即 ，
解得： 或 ，
，
，
．
25．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 、 于点D、
G，过点D作 于点E，交 的延长线于点F．
(1)求证： 与 相切；
(2)当 时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由 可得 ，再由 可得 ，等量代换可得
，根据同位角相等两条直线平行可得 ，又因为 ，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到 ，即可证明结论；
（2）先证明 ，可得 ， ，利用含 的直角三角形的
性质与勾股定理可得 ， ，结合 ，从而可得答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
是⊙O的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的
应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键．
26．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，
， 是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)当AB变化时，求四边形 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)13
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性
质是解题的关键．
（1）如图1，作 于 ， 于 ，连接 ，则四边形 是矩形，则 ，
，由勾股定理得， ，则 ，即 为直径， ，根据，计算求解即可；
（2）如图1，设 ，由勾股定理得， ，即 ，
， ，则 ， ，
，则 ，当 时，四边形
的面积最大，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：如图，作 于 ， 于 ，连接 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，即 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ；
（2）解：如图，设 ，
由勾股定理得， ，即 ， ，
，
∴ ， ， ，
∴
，
∴当 时，四边形 的最大面积是 ．
27．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在 中，弦 ，点E在 上，延长 至点F，使 ，
延长 至点G，连结 ，使 ， ．
(1)连结 ，求证： ．
(2)若 ， 为 直径，求 的度数．(3)连结 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线构造圆周角．
（1）根据弦 可得 ， ，由弧、弦的关系可得结论；
（2）由 为 直径得 ，再根据圆周角定理可得结论； 、
（3）连结EC，得 ， ，证明 ，进一步可得结论．
【详解】（1）证明：∵弦 ，
， ，
∴ ．
，
．
（2）解：连接 如图，
为 直径，
．
，
．
．（3）证明：连结EC，
， 都是 所对的圆周角，
．
，
．
又 ， ，
．
．
，
．
28．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是等边 的外接圆，P点是 劣弧 上的一个动点
(不与点A，B 重合)．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)若 ，点P在劣弧 上运动的过程中，
① 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．【答案】(1)
(2)7
(3)① ；② 的值是定值96．
【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到 ，然后根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）延长 到点F使 ，首先证明出 是等边三角形，求出 ，然后证明出
，即可得到 ；
（3）①首先由（2）可得， ，然后得到当点P和点A或点B重合时， 的最小值为 ；当
点P，O，C三点共线时， 有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可；
②延长 到点F使 ，过点A作 ，由（2）得， 是等边三角形，得到 ，然后根据
勾股定理求出 ，进一步得到 ，然后结合
，代入得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形
∴
∵四边形 内接于
∴ ；
（2）如图所示，延长 到点F使 ，∵
∴
∵
∴ 是等边三角形
∴ ， ，
∴
∵
∴
∵
∴
∴在 和 中
∴
∴ ；
（3）①由（2）可得，∵点P在劣弧 上运动
∴当点P和点A或点B重合时， 的长度最小，即 或 的长度
∵ 是等边三角形
∴
∴ 的最小值为
∴ 的最小值为 ；
当点P，O，C三点共线时， 的长度最大，如图所示，
∴此时 是 的直径
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴∴ ，负值舍去
∴ 的最大值为8
∴ 的最大值为8；
∴ 的值的取值范围是 ；
②如图所示，延长 到点F使 ，过点A作
由（2）得， 是等边三角形
∴
∴ ，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴．
∴ 的值是定值96．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定
理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形．
29．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形 中， ，点M从A点出发沿
以 的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿 以 的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，
另一点也停止运动．设点M、N的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时， ？
(2) 的面积能否为10，若能请求出t值，若不能请说明理由．
(3)当 时， 内有一个动点P，连接 ，若 ，线段 的最小值为 ．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析(3)
【分析】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，勾股定理，三角形面积公式，圆周角定理推论，是解
题的关键．
（1）根据矩形性质和 ，得到 ，根据勾股定理得到 ，得到
，解得 ；
（2）根据 ， ， ，得到 ，即 ，根据 ，
得到方程没有实数根， 的面积不能为10；
（3）当 ，求得 ，根据 ，可得 ，可知点P是在以 的中点O为
圆心，以 长为直径的圆弧上运动，运用勾股定理求出 ，可得 最小值为：
【详解】（1）解：∵在矩形 中， ， ，且 ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
解得 ．
故当t值为1或 时， ．
（2）解： 的面积不能为10．理由：
∵ ， ， ，∴ ．
当 时， ，
即 ．
∴ ．
∴方程没有实数根，t不存在．
（3）当 时，
∵ ， ，
∴ ．
解得 ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴点P是在以 的中点O为圆心，以 长为直径的圆弧上运动．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴当点P在 上时， ， 最小．
最小值为： ．故答案为： ．
30．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 为 的内接三角形， ， ，点 为
弧 上一点，连接 ．
(1)如图1，当 时，垂足为 ，连接 并延长分别交 ， 于点 ．
① ______ ；
②求证： ．
(2)如图，若 与 不垂直，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，如果 ， 求线段 的长．
【答案】(1)① ；②见解析
(2)4
【分析】（1）①由垂径定理可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，再由8字模型求解即可；
②连接 ，根据圆周角定理及等腰三角形的判定和性质证明即可；
（2）连接 ，延长 ，过A作 于D，根据圆周角定理可得 平分 ，再根据角平分线的性质和全等
三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ，，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
故答案为： ；
②证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，．
（2）解：连接 ，延长 ，过A作 于D，
，
，
， ，
，
，
，
，
平分 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，．
【点睛】标题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的
性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
31．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）【模型建立】
如图①、②，点P分别在圆O外、在圆O内，直线 分别交圆O于点A，B，则 是点P到圆O上的点的最短距
离， 是点P到圆O上的点的最长距离．
【问题解决】
(1)请就图①中 为何最长进行证明．
(2)已知点P到圆O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆O的半径为______．
(3)如图③，在 中， ， ， ．点E在边 上，且 ，动点P在半径为2的圆E上，
则 的最小值是______．
(4)如图④，点 ，动点B在以 为圆心， 为半径的圆上， 的中点为C，则线段 的最大值为______．
(5)如图⑤，正方形 中，点M，N分别为 ， 上的动点，且 ， ， 交于E，点F为 的中点，
点P为 上一个动点，连接 ， ．若 ，则 的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)2或5
(3)
(4)(5)
【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；
（2）分两种情况讨论：①点P在 外，②点P在 内，根据线段的和差即可求解；
（3）连接 ，交 于点D，则 的最小值是 的长，根据勾股定理即可求出 ，进而得到 的长，即可解
答；
（4）取点 ，连接 ，可得 是 的中位线，因此当线段 取得最大值时，线段 也取得最大值．连
接 ，并延长 交 于点 ，当点B位于点 时，线段 有最大值，根据点P，点D的坐标与 的半径即可
求出 的长，进而即可解答；
（5）先证明 ，得到 ，进而证明 ，则点E在以 为直径的圆上运动；
如图所示，取 的中点O，作点F关于 的对称点H，连接 ，可证明当 三点共线时，
有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长，则当 三点共线时， 有最小值，即此
时 有最小值，求出 ，则 ，可得 ，则 的最小
值为 ．
【详解】（1）证明：如图，点C为 上任意一点（不与点B重合），连接 ， ，
当点C与点B不重合时，
∵在 中， ，又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的长是点P到 上的点的最长距离．
（2）解：若点P在 外，如图①，
则 ， ，
∴ ，
∴ 的半径为2；
若点P在 内，如图②，
则 ， ，
∴ ，
∴ 的半径为5；
综上所述， 的半径为2或5．
故答案为：2或5；
（3）解：连接 ，交 于点D，由[模型建立]可得 的长是点A到 上的点的最短距离，
∴ 的最小值是 的长，∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ；
（4）解：取点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴点A是线段 的中点，
∵点C是线段 的中点，
∴ ，
∴当线段 取得最大值时，线段 也取得最大值，
连接 ，并延长 交 于点 ，
∴当点B位于点 时，线段 有最大值，
∵ ， ，∴ ，
∵ 的半径为 ，即 ，
∴ ，
∴线段 有最大值为 ，
∴线段 的最大值为 ．
故答案为：
（5）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的圆上运动；
如图所示，取 的中点O，作点F关于 的对称点H，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长，∴当 三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，
∵点F为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，正方形的性质全等三角形的性质与判定，
三角形三边的关系，坐标与图形，三角形中位线定理，正确理解一点到圆上一点的距离取值最值的情形是解题的
关键．
