文档内容
专题强化09：概率题型归纳
【题型归纳】
题型一：随机事件
题型二：简单的概率计算
题型三：几何概型
题型四：用列举法求概率
题型五:用列表法或树状图法求概率
题型六：频率与概率的关系
题型七：用频率估计概率问题
题型八：概率的应用
【题型探究】
题型一：随机事件
1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．下个月，南宁将下一场雨 B．三角形任意两边之和大于第三边
C．圆的直径平分任意一条弦 D．同位角相等
2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）下列事件中，①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚
硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员．属于不确定事件的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上 B．抛一颗骰子，点数不大于6
C．射击运动员射击一次，击中靶心 D．打开广播，正在播报新闻
题型二：简单的概率计算
4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海
镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文
化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）某学校开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动，现打算从 名（ 名男生和
名女生）候选人中随机选取 人担任本次活动的主持人，则选中的 人恰好都是女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·四川成都·期中）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它
完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则白球有（ ）个
A．27 B．30 C．33 D．36
题型三：几何概型7．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，一只蚂蚁在水平放置的圆形瓷砖上爬行，瓷砖上的图案是三条直径把
两个同心圆中的大圆分成六等份．则蚂蚁停留在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·山东烟台·期末）以正方形边长为直径作半圆，部分区域加上阴影后形成如图所示的图形，若
将飞镖随机投掷到正方形镖盘面上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正
方形 ，若 ， ，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形 区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型四：用列举法求概率
10．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位
数为“平稳数”．用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）某技工学校从成绩优秀的3名男同学和2名女同学中，随机选取2名同学
参加全国实践操作技能大赛，则选取的2名同学恰好都是男同学的概率为（ ）
A． B． C． D．12．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）两人一组，每人在纸上随机写一个不大于3的正整数，两人所写的正
整数的和恰好是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型五:用列表法或树状图法求概率
13．（24-25九年级上·河南郑州·期中）将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中
（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机
摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25九年级上·广东佛山·期中）用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色配成
紫色），那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，
成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和
《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随
机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型六：频率与概率的关系
16．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则 的值（ ）
A．一定是 B．一定不是C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在 附近摆动，呈现一定的稳定性
17．（20-21九年级下·江西·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是
0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
18．（20-21九年级上·河南三门峡·期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关
B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为
C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件
D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是
题型七：用频率估计概率问题
19．（2023·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐
子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一
个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子
里的白棋有（ ）
A．80个 B．75个 C．70个 D．60个
20．（22-23九年级上·福建莆田·期末）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘
制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率
C．将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率
D．从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率21．（21-22九年级上·山东青岛·期中）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现
的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
题型八：概率的应用
22．（23-24九年级上·河北保定·期中）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字 ，0，1，2，将卡片
的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡
片上的数字记录下来．
(1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率；
(2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的
数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
23．（24-25九年级上·山西运城·期中）游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭
欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、
“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”
胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，
则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局．
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____；
(2)如果用 ， ， ， 分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用 ， ， ，
分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明；
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？
24．（23-24九年级上·四川达州·期末）渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农
村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生
进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，图（1）与
图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．
(1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 度．
(2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人．
(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：现有 4 张卡
片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张
卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，
用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？
【专题强化】
一、单选题
25．（24-25九年级上·重庆·期中）在一个箱子内放有同种规格的白球和红球若干个，已知白球有20个，搅匀后多
次重复随机摸取，若摸到白球的频率为0.2，则箱子内的红球大约有（ ）
A．80个 B．98个 C．100个 D．120个
26．（24-25九年级上·山西运城·期中）某商场促销的方案是：在本商场一次性购物超过 元，就可以参加转转盘
抽取稷山四宝的活动，转盘如图所示（一个可以自由转动的转盘被分成面积相等的4个扇形，在4个扇形上分别写
有：麻花1小袋、饼子1小袋、鸡蛋5个、红枣1小袋的文字）．每个参与者转动转盘两次，当两次指针都指向同
一物品时，就领取指针指向的物品，当两次指针指向的物品不一样时，则不领取任何物品（若指针指向两个扇形
的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．问一个有幸参加转转盘的购
物者能领取到红枣1小袋的概率是（ ）A． B． C． D．
27．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，电路上有 ， ， ， 四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
28．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中
一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季
（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小
雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25九年级上·广东清远·期中）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，
结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
20 60
累计抽测的学生数n 100 300 400 500 700 800 900 1000
0 0
体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
A．0.92 B．0.91 C．0.903 D．0.9
30．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共 个，它们除颜色外都
相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发
现摸到红色小球的频率稳定在 左右，由此估计盒子中红色小球有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个31．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通
安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取
一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
32．（2024·山西·二模）一个不透明口袋中有白球、绿球、黑球各1个（除颜色外完全相同）．甲乙两人一起做摸
球游戏，规则如下：甲、乙各摸球一次，先由甲从袋中随机摸出一个球，不放回，再由乙从袋中随机摸出一个球，
摸到黑球者获胜．下列说法正确的是（ ）
A．此游戏规则对甲有利 B．此游戏规则对乙有利
C．此游戏规则对甲、乙双方公平 D．无法确定此游戏规则对谁有利
33．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，桌面上放置四张扑克牌（背面完全一样），将数字一面向下扣在桌
面上，小明和小李做如下游戏．小明和小李依次随机从中抽出一张，将得到的数字相加．若和为偶数，则小明获
胜；若和为奇数，则小李获胜．小明获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
34．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转
幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一
个活动的概率是（ ）
A． B． C． D．二、填空题
35．（24-25九年级上·重庆·期中）重庆因魔幻建筑被网友称为“8D魔幻城市”，小成和小都打算2025年元旦分
别从洪崖洞、李子坝、磁器口、解放碑四个景点选择一个景点一日游，小成和小都选择了同一个景点的概率为
．
36．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共 个，每个小球除颜色外
其他完全相同．将箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里．不断重复这一过程，共摸
了 次球，发现有 次摸到红色小球．估计箱子里红色小球的个数为 个．
37．（24-25九年级上·江西吉安·期中）如图，四边形 是平行四边形，从① ，② ，③
，这三个条件中任意选取两个，能使平行四边形 是正方形的概率为 ．
38．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）国庆假期，小丽和家人到博物馆参观，博物馆内部路线如图所示，由于时
间有限，在A展厅参观后，只能再选择一个展厅参观，假定在馆内每个路口都等可能地随机选择一条向左下或右
下的路径（比如A馆岔路口可以向左下到达B展厅，也可以向右下到达C展厅），其中A，B，C处都有岔路口，
D，E，F是三个出口．那么小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是
39．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图， 是 中 边的中线，点E，F，G分别是 ， ，
的中点，连接 、 ，现随机向 内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 ．三、解答题
40．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题
的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只
能任意选择一条线路．
(1)小强选择线路A的概率为__________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率．
41．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校劳动实践基地共开设四门
劳动实践课程，分别是 ：绿植栽培， ：衣物清洗， ：手工制作， ：简单烹饪，且每人只能参加一门实践
课程．
(1)九年级一班的王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“ ：绿植栽培”的概率为________；
(2)九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择
的实践课程相同的概率．
42．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中
国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立
秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
(1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ．
(2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或
列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．43．（24-25九年级上·广东深圳·期中）10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多
彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．
为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根
据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
AI
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(2)我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
(3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或
画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
44．（24-25九年级上·广东清远·期中）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且
还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素
质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
(1)本次抽测了_____名九年级学生， ______；
(2)若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
(3)在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
45．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术
的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游
戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．
某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路
线．
(1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的
方法求出两家选取同一条路线的概率．
46．（24-25九年级上·广东清远·期中）3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数
学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学
生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调
查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
(2)若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
(3)该校从 类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用
列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
