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专题强化09：概率题型归纳
【题型归纳】
题型一：随机事件
题型二：简单的概率计算
题型三：几何概型
题型四：用列举法求概率
题型五:用列表法或树状图法求概率
题型六：频率与概率的关系
题型七：用频率估计概率问题
题型八：概率的应用
【题型探究】
题型一：随机事件
1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．下个月，南宁将下一场雨 B．三角形任意两边之和大于第三边
C．圆的直径平分任意一条弦 D．同位角相等
【答案】B
【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、
随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事
件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解： 、下个月，南宁将下一场雨是随机事件，故本选项不符合题意；
、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，故本选项符合题意；
、只有当弦是直径或垂直于弦时，圆的直径才平分此弦，故不是必然事件，故本选项不符合题意；
、只有当两直线平行时，同位角才相等，故不是必然事件，故本选项不符合题意；
故选： ．
2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）下列事件中，①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚
硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员．属于不确定事件的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【分析】该题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：①一定不会发生，是不可能事件，不符合题意；
②③④可能发生，也可能不发生，属于随机事件，符合题意．
故选：C．
3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上 B．抛一颗骰子，点数不大于6
C．射击运动员射击一次，击中靶心 D．打开广播，正在播报新闻
【答案】B【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念等知识点．必然事件指在一定条件下，一定发生
的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发
生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项判断即可．
【详解】解：A．抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故选项不符合题意；
B．抛一颗骰子，点数不大于6必然事件，故选项符合题意；
C．射击运动员射击一次，击中靶心是随机事件，故选项不符合题意；
D．打开广播，正在播报新闻是不可能事件，故选项不符合题意，
故选：B．
题型二：简单的概率计算
4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海
镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文
化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据概率等于所求情况数与总情况数之比计算即可得解．
【详解】解：某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启
蒙》的概率是 ，
故选：A．
5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）某学校开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动，现打算从 名（ 名男生和
名女生）候选人中随机选取 人担任本次活动的主持人，则选中的 人恰好都是女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了本题考查了利用概率公式计算概率．首先计算出从 名同学中选取 主持人可能出现的所有情
况的数量，然后再计算出选取的 人恰好都是女生的情况的数量，然后利用概率公式计算恰好都是女生的概率．
【详解】解：第一次从 个人中随机选取一个人，共有 种情况，
第二次从剩下的 人中随机选取一个人，共有 种情况，
第三次再从剩下的 人中随机选取一个人，共有 种情况，
一共有 种情况，
第一次就选取到女生的情况有 种，
第二次又选取到女生的情况有 ，
第三次又选取到女生的情况有 ，三次都选取到女生的情况有 种情况，
选中的 人恰好都是女生的概率是 ．
故选：C．
6．（24-25九年级上·四川成都·期中）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它
完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则白球有（ ）个
A．27 B．30 C．33 D．36
【答案】D
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解
题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为 ，由此根据概率计算公式建立
方程求解即可．
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在 附近，
∴估计摸到红球的概率为 ，
∴红球有 （个），
∴白球有 （个）；
故选：D．
题型三：几何概型
7．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，一只蚂蚁在水平放置的圆形瓷砖上爬行，瓷砖上的图案是三条直径把
两个同心圆中的大圆分成六等份．则蚂蚁停留在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件
（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率，难度适中．根据几何
概率的求法：蚂蚁停留在阴影部分的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份
∴阴影区域与白色区域的面积相等，
蚂蚁停留在阴影部分的概率是 ，
故选B．8．（23-24九年级上·山东烟台·期末）以正方形边长为直径作半圆，部分区域加上阴影后形成如图所示的图形，若
将飞镖随机投掷到正方形镖盘面上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件
（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据正方形被均分成
4等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出阴影区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：如图，连接 交于点O，
∵正方形被均分成4等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中阴影区域的面积占了其中的2等份，
∴P ．
（飞镖落在阴影区域）
故选：D
9．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正
方形 ，若 ， ，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形 区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查几何概型，属于基础题．
先由勾股定理求出 ，然后求出大正方形面积为25，小正方形面积为1，根据几何概型公式计算即可．
【详解】解：∵ ， ，∴
∴故大正方形面积为25，四个全等的直角三角形面积之和为 ，
∴小正方形面积为 ，
∴正方形 区域内的概率为 ．
故选：D．
题型四：用列举法求概率
10．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位
数为“平稳数”．用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概
率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有456，465，546，564，645，654，共六种可能，
只有456，654是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为 ．
故选：C．
11．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）某技工学校从成绩优秀的3名男同学和2名女同学中，随机选取2名同学
参加全国实践操作技能大赛，则选取的2名同学恰好都是男同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查列举法求概率，先列出所有的可能结果，然后数出2名同学恰好都是男同学的结果数，利用公
式求概率即可．
【详解】解：设 名男同学分别为 ， ， ，2名女同学分别为 ， ，从成绩优秀的 名男同学和 名女同学中，
随机选取 名同学参加全国实践技能大赛，基本事件有 ，共10种，它们是等可
能性的，选取的 名同学恰好都是男同学的事件有AB， ， ，共 种，所以选取的 名同学恰好都是男同学
的概率为故选C．
12．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）两人一组，每人在纸上随机写一个不大于3的正整数，两人所写的正
整数的和恰好是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列举出所有情况，看两人所写的正整数的和恰好是偶数的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】解：列举如下，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
∵共有9种情况，两个数和为偶数的情况有5种情况，
∴两人所写的正整数的和恰好是偶数的概率是为 ．
故选A．
【点睛】本题考查用列举法解决概率问题；得到两人所写的正整数的和恰好是偶数的情况数是解决本题的关键；
用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
题型五:用列表法或树状图法求概率
13．（24-25九年级上·河南郑州·期中）将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中
（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机
摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等可能情形下的概率计算，能够准确地用画出树状图或列举法表示出所有等可能的结果是
解题的关键．
先根据题意列举出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球等可能的结果如下：
最 美 河 南
最 最最 最美 最河 最南
美 最美 美 美河 美南
河 最河 美河 河河 河南
南 最南 美南 河南 南南一共16种结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“河南”的结果有2种，
∴摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是 ，
故选D．
14．（24-25九年级上·广东佛山·期中）用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色配成
紫色），那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查树状图法以及概率的计算方法，用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现
的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，
所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是
故选：C．
15．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，
成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和
《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随
机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率
公式计算解决即可．
【详解】解：令三张邮票的正面是A，B，C，画树状图如下：
由图可知，一共有9种可能出现的结果，3种符合条件的结果，所以两次抽取的卡片正面相同的概率是 ．
故选C．
题型六：频率与概率的关系
16．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则 的值（ ）
A．一定是 B．一定不是
C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在 附近摆动，呈现一定的稳定性
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是 ，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，
是它的频率，随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生
的事件．
17．（20-21九年级下·江西·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是
0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等【答案】B
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而
不是一种必然的结果，根据选项一一判断即可．
【详解】某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，A错；
某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是 ，
B正确；
当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，C错；
试验得到的频率与概率有可能相等，D错．
故选：B
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
18．（20-21九年级上·河南三门峡·期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关
B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为
C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件
D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是
【答案】C
【分析】根据抛硬币简单概率求法判断选项A，利用求概率的方法判断选项B，根据三角形的内角和是180°判断
选项C，求出两次抛骰子的所有可能结果和点数和为偶数的结果数即可判断选项D，即可做出选择．
【详解】A、抛一枚质地均匀的硬币，出现的情况有两种一正一反，正面朝上的概率是 ，与抛硬币的次数无关，
故原选项正确；
B、随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎的共有4种等可能的结果，其中，都是男孩的有1种，所以随机选择一户
二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 ，此原选项正确，
C、任意一个三角形的内角和为180°，所以任意画一个三角形内角和为360°是不可能事件，为确定性事件，不是
随机事件，故原选项不正确，；
D、连续投两次骰子，前后点数之和共有36种等可能的结果，其中点数之和是偶数的有18种结果，所以前后点数
之和为偶数的概率是 ，故原选项正确，
故选择：C．
【点睛】本题考查求事件发生的概率，理解事件发生的概率的意义，会区分确定事件与随机事件，能根据所学概率知识对各个选项作出正确判断是解答的关键．
题型七：用频率估计概率问题
19．（2023·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐
子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一
个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子
里的白棋有（ ）
A．80个 B．75个 C．70个 D．60个
【答案】C
【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可．
【详解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子，
∴摸到黑色棋子的概率约为 ，
∴摸到白色棋子的概率约为 ，
∵共有10可黑色棋子，
∴设有 个白色棋子，则 ，
解得： ，经检验 是分式方程的解，
故选：C．
【点睛】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大．
20．（22-23九年级上·福建莆田·期末）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘
制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率
C．将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率
D．从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率
【答案】B
【分析】由折线统计图可知，试验结果在 附近波动，最后稳定在 附近，再分别计算四个选项的概率，约为
者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故此选项不符合题意；B、掷一枚正六面体的骰子，出现3的倍数的概率为 ，故此选项符合题意；
C、将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率为 ，故此选项不符合题意；
D、从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率为 ，
故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，属于基础题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关
键．
21．（21-22九年级上·山东青岛·期中）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现
的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【答案】B
【分析】根据统计图可得，实验结果在0.33附近波动，故概率 ，计算四个选项的概率即可得出答案．
【详解】A. 抛一枚硬币两次，出现得结果有（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四种，所以连续
两次出现正面的概率 ，故A排除；
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为 ，故B正确；
C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率为 ，故C排除；
D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为 ，故D排除．
故选：B【点睛】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，在解答过程中掌握概率公式是解决本
题的关键．
题型八：概率的应用
22．（23-24九年级上·河北保定·期中）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字 ，0，1，2，将卡片
的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡
片上的数字记录下来．
(1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率；
(2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的
数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】(1) ；
(2)不公平，理由见详解
【分析】本题考查了概率及利用列表法求概率判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概
率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率的求法是解题关键，即如果在一次试验中，有n种可能的结果，
并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率是 ．
（1）列举出所有可能数，再利用概率公式即可求出概率；
（2）利用列表法列举所有可能的结果，再利用概率公式求出两人的获胜概率即可得出答案．
【详解】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种，
∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是 ；
（2）解：列表如下：
0 1 2
1 0
0 0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 4
由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果，
所以小亮获胜的概率 ，小明获胜的概率 ，
∴此游戏不公平．
23．（24-25九年级上·山西运城·期中）游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭
欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”
胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，
则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局．
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____；
(2)如果用 ， ， ， 分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用 ， ， ，
分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的
概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明；
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)公平，见解析
【分析】本题考查列表法或画树状图法的概率计算，得到所有的等可能的结果是解答的关键．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先画树状图法得到所有的等可能的结果，再找出小刚胜小明的可能结果数，然后利用概率公式求解即可；
（3）首先求出某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为 ，然后判断即可．
【详解】（1）解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”4种情况，
∴每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为 ；
（2）解：列表如下：
小刚二叔
小刚父亲
A
B
C
D
由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种，
∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为 ；（3）解：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为 ，
∵
∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的．
24．（23-24九年级上·四川达州·期末）渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农
村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生
进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，图（1）与
图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．
(1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 度．
(2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人．
(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：现有 4 张卡
片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张
卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，
用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？
【答案】(1)72
(2)7500
(3)这种方法不公平，理由见解析
【分析】（1）用“其他”种类人数除以“其他”种类人数所占百分比即可求出本次调查抽取的人数；用“漫画”
种类人数除以本次调查抽取的人数乘 即可求出“漫画”所在扇形的圆心角度数；
（2）用25000乘“科普常识”所占的百分比，即可求出该市农村25000名学生中喜爱“科普常识”的小学生人数；
（3）列表得出所有可能的情况数，找到符合抽得的数字之和是5的倍数的情况数，是3的倍数的情况数，再分别
除以总情况数，即可求出数字之和是5的倍数的概率，数字之和是3的倍数的概率，进而比较求解即可．
【详解】（1）解： （人）
“漫画”所在扇形的圆心角为 ；
（2）解：估计喜爱“科普常识”的小学生约有 （人）；
（3）解：列表如下：两数之
1 2 3 4
和
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
∴共有16种等可能的结果，其中抽得的数字之和是5的倍数的有4种，是3的倍数的有5种，
∴则书给小丽的概率是 ，给小芳的概率是
∵
答：这种方法不公平．
【点睛】本题考查了结合扇形统计图和条形统计图获取相关信息，包括利用样本百分比估计总体数量，根据树状
图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．
【专题强化】
一、单选题
25．（24-25九年级上·重庆·期中）在一个箱子内放有同种规格的白球和红球若干个，已知白球有20个，搅匀后多
次重复随机摸取，若摸到白球的频率为0.2，则箱子内的红球大约有（ ）
A．80个 B．98个 C．100个 D．120个
【答案】A
【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率公式是解题的关键．
设箱子内的红球大约有x个，利用概率公式列式计算即可．
【详解】解：设箱子内的红球大约有x个，
则 ，
解得 ，
经检验： 是方程的解，
即箱子内的红球大约有80个．
故选A．
26．（24-25九年级上·山西运城·期中）某商场促销的方案是：在本商场一次性购物超过 元，就可以参加转转盘
抽取稷山四宝的活动，转盘如图所示（一个可以自由转动的转盘被分成面积相等的4个扇形，在4个扇形上分别写
有：麻花1小袋、饼子1小袋、鸡蛋5个、红枣1小袋的文字）．每个参与者转动转盘两次，当两次指针都指向同
一物品时，就领取指针指向的物品，当两次指针指向的物品不一样时，则不领取任何物品（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．问一个有幸参加转转盘的购
物者能领取到红枣1小袋的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合情况的结果数，再利用概率公式解题即可．
【详解】解：令 为麻花1小袋， 为饼子1小袋， 为鸡蛋5个， 为红枣1小袋，
列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果，其中两次指针都指到 红枣1小袋的情况只有1种，
∴购物者能领取到红枣1小袋的概率是为 ．
故选：D．
27．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，电路上有 ， ， ， 四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：
闭合两个的情况有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
闭合三个的情况有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
闭合四个的情况有： ， ， ， ，
故这些开关随机闭合至少两个共11种，
其中能让灯泡发光的结果有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，共9种，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为 ．
故选：D．
28．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中
一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季
（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小
雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案即可．
【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，
则抽到的节气在夏季的概率为 ，
故选：D．
29．（24-25九年级上·广东清远·期中）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，
结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
20 60
累计抽测的学生数n 100 300 400 500 700 800 900 1000
0 0
体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
A．0.92 B．0.91 C．0.903 D．0.9【答案】A
【分析】本题考查利用频率估算概率．根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近
稳定值，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知，该区初中生体质健康合格的概率约为 ；
故选：A．
30．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共 个，它们除颜色外都
相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发
现摸到红色小球的频率稳定在 左右，由此估计盒子中红色小球有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】本题考查利用频率估计概率，总个数乘以摸到红色小球的频率稳定值即可．解题的关键是理解：大量重
复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可
以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：由题意知，估计盒子中红色小球有： （个）．
故选：A．
31．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通
安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取
一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画树状图，共有 种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本
次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有 种，再由概率公式求解即可，熟练掌握列表法或树状图法求概
率是解题的关键．
【详解】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为 ，
画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有 种
∴他们两人选取的主题不同的概率是 ，故选： ．
32．（2024·山西·二模）一个不透明口袋中有白球、绿球、黑球各1个（除颜色外完全相同）．甲乙两人一起做摸
球游戏，规则如下：甲、乙各摸球一次，先由甲从袋中随机摸出一个球，不放回，再由乙从袋中随机摸出一个球，
摸到黑球者获胜．下列说法正确的是（ ）
A．此游戏规则对甲有利 B．此游戏规则对乙有利
C．此游戏规则对甲、乙双方公平 D．无法确定此游戏规则对谁有利
【答案】C
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．游戏是否
公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况
下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：画树状图如图所示：
由上述树状图或表格知：
1
甲获胜的概率为： ，
3
乙获胜的概率为： ，
甲获胜的概率乙获胜的概率，
∴此游戏对双方公平，
故选：C．
33．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，桌面上放置四张扑克牌（背面完全一样），将数字一面向下扣在桌
面上，小明和小李做如下游戏．小明和小李依次随机从中抽出一张，将得到的数字相加．若和为偶数，则小明获
胜；若和为奇数，则小李获胜．小明获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题主要考查树状图求概率，熟练掌握画树状图是解题的关键．根据树状图利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小明获胜的结果有4个，
小明获胜的概率为 ，
故选：B．
34．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转
幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一
个活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事
件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，
共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，
小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为 ，
故选：C．
二、填空题
35．（24-25九年级上·重庆·期中）重庆因魔幻建筑被网友称为“8D魔幻城市”，小成和小都打算2025年元旦分别从洪崖洞、李子坝、磁器口、解放碑四个景点选择一个景点一日游，小成和小都选择了同一个景点的概率为
．
【答案】
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：洪崖洞、李子坝、磁器口、解放碑四个景点分别用A、B、C、D表示，由题意，列表如下：
小
A B C D
成小都
A A，A A，B A，C A，D
B B，A B，B B，C B，D
C C，A C，B C，C C，D
D D，A D，B D，C D，D
共16种等可能的结果，其中小成和小都选择同一景点的情况有4种，
∴ ；
故答案为：
36．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共 个，每个小球除颜色外
其他完全相同．将箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里．不断重复这一过程，共摸
了 次球，发现有 次摸到红色小球．估计箱子里红色小球的个数为 个．
【答案】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【详解】解：估计箱子里红色小球的个数是 （个），
故答案为： ．
37．（24-25九年级上·江西吉安·期中）如图，四边形 是平行四边形，从① ，② ，③
，这三个条件中任意选取两个，能使平行四边形 是正方形的概率为 ．
【答案】【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握平行四边形的判定方法和概率公式是解题的关键．
列表可得出所有等可能的结果数以及能使 是正方形的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：由题意知，能使 是正方形的有①②，①③．
列表如下：
① ② ③
① （①②） （①③）
② （②①） （②③）
③ （③①） （③②）
共有6种等可能的结果，其中能使 是正方形的结果有：（①②），（①③），（②①），（③①），共4
种，
能使 是正方形的概率为
故答案为： ．
38．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）国庆假期，小丽和家人到博物馆参观，博物馆内部路线如图所示，由于时
间有限，在A展厅参观后，只能再选择一个展厅参观，假定在馆内每个路口都等可能地随机选择一条向左下或右
下的路径（比如A馆岔路口可以向左下到达B展厅，也可以向右下到达C展厅），其中A，B，C处都有岔路口，
D，E，F是三个出口．那么小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是
【答案】 /0.5
【分析】此题考查了树状图或列表法求概率．
准确画出树状图，用符合题意的情况数除以总的情况数即可．
【详解】解：列树状图：
共有4种等可能的情况，小丽一家人从A展厅出发到达E出口有2种情况，∴小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是 ，
故答案为： ．
39．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图， 是 中 边的中线，点E，F，G分别是 ， ，
的中点，连接 、 ，现随机向 内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 ．
【答案】 /0.375
【分析】本题考查几何概率，涉及三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质、三角形中线性质，能得到各
三角形面积之间的关系是解答的关键．先根据三角形的中线性质得到 ，
，再根据三角形的中位线性质得到 ， ，证明 ，利用
相似三角形的性质得到 ，进而求得 ，利用几何概率公式求解即可．
【详解】解：∵ 是 中 边的中线，
∴ ，
∵G是 的中点，
∴ ，
∵点E，F是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴针尖落在阴影区域的概率是 ．
故答案为： ．
三、解答题
40．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题
的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只
能任意选择一条线路．
(1)小强选择线路A的概率为__________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小强和小丽选择同一线路的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，小强选择线路A的概率为 ；
故答案为： ；
（2）列表如下：
A B C
A
B
C共有9种等可能的结果，其中小强和小丽选择同一线路的结果有3种，
∴小强和小丽选择同一线路的概率为 ．
41．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校劳动实践基地共开设四门
劳动实践课程，分别是 ：绿植栽培， ：衣物清洗， ：手工制作， ：简单烹饪，且每人只能参加一门实践
课程．
(1)九年级一班的王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“ ：绿植栽培”的概率为________；
(2)九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择
的实践课程相同的概率．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据“概率=所求情况数与总情况数之比”求解即可；
（2）画出树状图求解即可；
【详解】（1）解：王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“甘肃剪纸”的概率为 ．
故答案为： ；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们选择的实践课程相同的结果有4种，即 ，
，
∴他们选择的实践课程相同的概率 ．
42．（24-25九年级上·浙江温州·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中
国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立
秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．(1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ．
(2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或
列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了概率公式，画树状图求概率，
（1）根据概率公式计算；
（2）画出树状图，确定所有可能出现的结果，符合题意的结果，再根据概率公式得出答案．
【详解】（1）解：一共有4张邮票，符合题意的有1张，
所以，抽中B的概率是 ．
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少有一张
是D的概率是 ．
43．（24-25九年级上·广东深圳·期中）10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多
彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．
为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根
据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．AI
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(2)我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
(3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或
画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)200，图见解析
(2)810人
(3)
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是
解题关键．
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即
可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）利用画树状图法求解即可．
【详解】（1）解：结合两幅图可得： （人），
∴本次调查总人数为200；
∵ （人），
∴喜欢自制地球仪的有50人；
补全条形统计图如下：
（2）解： （人），∴该校参加环保调查学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 ．
44．（24-25九年级上·广东清远·期中）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且
还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素
质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
(1)本次抽测了_____名九年级学生， ______；
(2)若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
(3)在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级
运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
【答案】(1) ，
(2)该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人
(3)恰好抽取一男一女的概率为
【分析】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，加权平均数．
（1）先由 组的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，用 组人数所占百分比乘以 即可得出 的值；
（2）先求出 组人数所占的比例，再乘以22000即可得解；
（3）先求出 组的女生人数，再画出树状图，即可求出概率．【详解】（1）解：本次抽测了 名九年级学生，
，
故答案为：300，108；
（2）解：E组人数所占的比例为： ，
（人），
故该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人；
（3）解：∵抽取5名学生有3名男生，
∴E组的女生人数为： （人），
画出树状图如下：
由树状图可得，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，
故恰好抽取一男一女的概率为 ．
45．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术
的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游
戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．
某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路
线．
(1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的
方法求出两家选取同一条路线的概率．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查简单概率的计算，树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
两步或两步以上完成的事件．注意概率 所求情况数与总情况数之比．
（1）根据总的有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有16种等可能性结果，其中两家选取同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是 ；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种，
∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为 ．
46．（24-25九年级上·广东清远·期中）3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数
学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学
生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调
查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
(2)若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
(3)该校从 类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用
列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1) ，见解析；(2)估计该校参加魔方游戏的学生人数为 人；
(3)恰好抽到1名男生和1名女生的概率为
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是
解题关键．
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即
可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）利用画树状图法求解即可．
【详解】（1）解：本次调查总人数为 （人），
选择D类的学生人数为 （人），
补全条形统计图如下：
；
（2）解： （人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为 人；
（3）解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有 种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有 种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 ．
