文档内容
专题强化03：二次函数的图像和性质、方程与不等式
【题型归纳】
题型一：二次函数的图像和性质
题型二：二次函数 的图像和性质
题型三：二次函数图像和系数的关系
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
题型五：二次函数的对称性问题
题型六：二次函数的最值问题
题型七：二次函数的最短路径问题
题型八：二次函数的平移问题
题型九：求二次函数解析式问题
题型十：二次函数与一元二次方程
题型十一：二次函数和不等式问题
【题型探究】
题型一：二次函数的图像和性质
【例1】．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．与 轴的交点坐标
C．与 轴有两个交点 D．顶点坐标
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解： 抛物线 ，
抛物线 的开口向下上，
故选项A错误；
令 ，则 ，
与 轴的交点坐标为 ，
故选项B错误；
令 ，则 ，即 ，
，
抛物线与 轴有两个交点，
故选项C正确；
抛物线的顶点坐标为 ，
故选项D错误
故选：C ．
【变式1】．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）关于二次函数 的性质，下列说法错误的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的对称轴是
C．该函数的最小值为 D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和图象上点的坐标
特征进行解答．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时，二次函数有最小值 ，
当 时， 随 的增大而增大，
故A，B，C选项说法正确，不符合题意，
D选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【变式2】．（23-24九年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中
错误的是（ ）
A．图象顶点坐标为 ，对称轴为直线
B． 的最小值为5
C．当 时， 的值随 值的增大而减小
D．抛物线与 轴的交点坐标为
【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、图像顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，原说法正确，不符合题意；
B、 的最小值为 ，原说法正确，不符合题意；
C、当 时， 的值随 的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
D、当 ， ，抛物线与 轴的交点坐标为 ，原说法错误，符合题意；
故选： D．
题型二：二次函数 的图像和性质
【例2】．（22-23九年级上·北京东城·期末）已知二次函数 部分自变量 与函数值 的对应值如下
表所示：
… …
… …
(1)求二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)当 时， 的取值范围是____________．
【答案】(1)
(2)画图见详解
(3)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）根据函数解析式，用描点法即可求解；
（3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围．
【详解】（1）解：当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，解方程得 ，
∴二次函数解析式为 ．
（2）解：二次函数解析式为 ，图像如图所示，
函数与 轴的交点是 ， ，与 轴的交点是 ，对称轴为 ，符合题意．
（3）解：当 时，根据（2）中图示可知，
当 时， ；当当 时， ；当 时， ．
∴当 时， ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值
范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键．
【变式1】．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数
(1)求开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
【答案】(1)开口向下，对称轴为：直线 ，顶点坐标为： ；
(2) 时，y随x增大而减小， 时，y随x增大而增大．【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可；
（2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小
进行解答即可．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线 ，顶点坐标为： ；
（2）解：∵抛物线的开口向下，
∴ 时，y随x增大而减小， 时，y随x增大而增大．
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2】．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）二次函数 的部分图象如图， 其中图象与 轴交于点
， 与 轴交于点 ， 且经过点 ．
(1)求此二次函数的解析式
(2)图象过三点 ， 比较 的大小．（用 <连接）
(3)直接写出不等式 的解集；
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求得解析式即可；
（2）根据解析式求得 的值，比较即可；
（3）根据图象开口方向和与x轴的交点即可作答．【详解】（1）将 、 、 分别代入 中得：
，
解得 ，
二次函数的解析式为 ；
（2）将 分别代入 中得，
， ， ，
；
（3）令二次函数 得， ，
解得 ，
∴二次函数的图象开口向上，与x轴的交点为 ，
∴ 的解集为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
题型三：二次函数图像和系数的关系
【例3】．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴
为直线 ，给出以下结论： ① ；② ；③ ；④若 、 为函数图
象上的两点，则 ；⑤当 时， ， 其中正确的结论是（ ）．（填写代表正确结论的序号）A．②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①②⑤
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．利用抛物线的开口
方向得到 ，根据对称轴方程得到 ，则可对①进行判断；利用抛物线与 轴有两个交点，对②进行判断；
利用抛物线的对称性得到抛物线与 轴的另一个交点为 ，则 ，把 代入得到 ，则可对
③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判断；利用抛物线在 轴上方对应的自变量范围可对⑤进行判断．
【详解】解：由图象可知， ， ， ，
，故①错误；
抛物线与 轴有两个交点，
，故②正确；
抛物线对称轴为 ，与 轴交于 ，
， ，
， ，
，故③正确；
、 为函数图象上的两点，
，故④错误；
抛物线对称轴为 ，与 轴交于 ，
抛物线与 轴另一个交点是
由图象可知， 时， ，故⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故选：C．
【变式1】．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数 的图象如图所示，在下列
五个结论中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．抛物线的开口方向判
断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将 ， ，2代入函数解析式判断y的值，
进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知， ，
由函数的对称轴 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵ ，对称轴在y轴左侧， ，
则 ，
图象与y轴交于负半轴，则 ，
故 ；故②正确；
③当 时， ，③正确；
④当 时， ，④错误；
⑤当 时， ，⑤错误；
故正确的有①②③，共3个．
故选：C．
【变式2】．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴是
，结合图象分析下列结论：① ；② ；③一元二次方程 的两根分别为
；④ ；⑤若两点 在二次函数图象上，则 ；⑥ ；其中正确的
结论有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质及应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关
系．
根据题干求出抛物线与x轴交点及a，b，c符号，然后逐一判断对错．
【详解】解： ∵抛物线与x轴一个交点为 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线与x轴另外一个交点坐标为 ，
∴ 时， ，
∴ ，故①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②错误，不符合题意．
∴ ，故⑥正确，符合题意．
∵抛物线与x轴交点为 ，
∴ 的两根分别为 ，故③正确，符合题意．
∵抛物线顶点在x轴上方，
∴ ，故④正确，符合题意．
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故⑤正确，符合题意．
综上所述，①③④⑤⑥符合题意．
故选：C．
题型四：一次函数与二次函数的交汇问题
【例4】．（25-26九年级上·海南·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，一次函数 与二次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象，依据题意，本题可先由一次函数 图象得到字母系数
的正负，再与二次函数 的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A．观察一次函数 的图象得： ，由二次函数 的图象得： ，相矛
盾，故本选项不符合题意；
B、观察一次函数 的图象得： ，由二次函数 的图象得： ，相矛盾，故本选
项不符合题意；
C、观察一次函数 的图象得： ，由二次函数 的图象得： ，有可能，故
本选项符合题意；
D、观察一次函数 的图象得： ，由二次函数 的图象得： ，相矛盾，故本选
项不符合题意；
故选：C．
【变式1】．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数
的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由一次函
数 ，图象得到字母系数的正负，再与二次函数 的图象相比是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ，由直线可知， ，但图象过 点，求得 ，矛盾，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式2】．（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数 （ ）和二次函数
（ ）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，从图象入手解决此类问题即可．
根据答案中的一次函数和二次函数的图象分析a、b的符号，观察是否一致即可判断．
【详解】A、由直线可知， ， ，由抛物线可知， ， ，故不符合题意；
B、由直线可知， ， ，由抛物线可知， ， ，故不符合题意；
C、由直线可知， ， ，由抛物线可知， ， ，故不符合题意；
D、由直线可知， ， ，由抛物线可知， ， ，故符合题意；
故选：D．
题型五：二次函数的对称性问题
【例5】．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象经过点
， ， ， ，其中 ， 为常数，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出 ， 两点关于抛物线的对称轴对称，据此得
出 ， 之间的关系，再将点 和点 代入二次函数解析式，进一步得出 ， 之间的关系，最后用 表示出 和
即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 在二次函数 图象上，
∴ ， 两点关于抛物线的对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 在二次函数 图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 在二次函数 图象上，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：A．
【变式1】．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数 图象的一部分，其对称轴是直线
，且过点 ，下列说法：① ；② ；③ ；④若 是抛物线上的
两点，则 ．其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式
的关系．根据抛物线开口向上，可得 ，再由抛物线对称轴为直线 ，可得 ， ，
②正确．再由 ，可得 ，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过 ，从而得到 时，
，③错误．再根据二次函数的对称性可得 ，④错误，即可求解．
【详解】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，则 ，所以②正确；
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，所以①正确；
时， ，
，③错误；
点 与点 关于对称轴 对称，
，所以④错误．
故选：A．
【变式2】．（2025·福建泉州·模拟预测）抛物线 图象上有三点 ， ，
．其中 ， ， ，以下说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．若 ， 、 、 三点在对称轴的同一侧
C．当 ，存在
D．当 ，总有
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象性质，涉及对称轴、开口方向及函数值比较．掌握二次函数图象性质是解题的
关键．
根据对称轴公式求得对称轴判断A错误；根据二次函数单调性判断B错误，C正确，D错误．
【详解】A．抛物线为 ，故对称轴为 ，故A错误；
B．抛物线开口向下（ ），对称轴为 ．左侧（ ）函数递增，右侧（ ）函数递减．若
，可能存在三点分布在对称轴两侧的情况．例如， 在左侧， 、 在右侧，此时 最大， 最小，
与条件一致，故三点未必在同一侧，故B错误；
C． 当 时，存在 ．例如： ，取 ， ， ，计算得 ， ，
，满足 ，故C正确；
D． 当 时，并非总有 ．例如： ，取 ， ， ，计算得 ， ，
，此时 ，不符合题意，故D错误．综上，正确答案为C．
题型六：二次函数的最值问题
【例6】．（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数 ， ，当 时，函数 的最小值
是m，函数 的最小值是n，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当 时，可
求出两个函数的最小值，然后即可求出答案．
【详解】解： 二次函数 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，
当 时，函数值最小， ，
二次函数 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小，
，
当 时，函数值最小， ，
，
故答案为： ．
【变式1】．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数 ，当 时，y的最大值为9，则k的
值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶
点式可得在 内，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，则可得当
时， 取得最大值，由此即可得．
【详解】解：将二次函数 化成顶点式为 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线开口向上，在 内，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
∵ 离二次函数的对称轴比 离二次函数的对称轴更远，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，又∵当 时， 的最大值为9，
∴ ，
解得 ，
故答案为：1．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 ，当 时， 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．
根据解析式 可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，由二次函数的图象和性质，结
合 的取值范围，可得当 时，函数值最小，当 时，函数值最大，代入计算可得最大值和最小值，从而
可得 的取值范围．
【详解】解：二次函数 ，开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时，随着 增大， 减小，当 时，随着 增大， 增大，
∵ ， ，
∴当 时， 取最小值，最小值为 ，
又∵ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ，
∴当 时， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
题型七：二次函数的最短路径问题
【例7】．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C，点B的坐标为 ．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，则点P的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质
转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知： ，所以当点 在线段 上时， 的值最小，
的周长也最小，以此为依据求解即可；
【详解】解：令 ，则 ，
解得 ， ，
， ，
抛物线 的对称轴为：
点 的横坐标为：
当 时， ；
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
由抛物线的对称性可知：
∴当点 在线段 上时， 有最小值，则 的周长最小，
将 代入 得：
故此时点 的坐标是
故答案为： ．
【变式1】．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，点 是抛物线的对称轴上一动点，连接 和 ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接 ， ，设 交抛物线对称轴于点 ，
当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，令 分别求得 的坐标，勾股定理求得 的长，
即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，设 交抛物线对称轴于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
∵ ，当 时， ，则
当 时， ，
解得： ,
∴ ，
∴
即 的最小值为 ，故答案为： ．
【变式2】．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，
对称轴是直线 ，点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】将 对称至 ，连接 ，与对称轴的交点即为 ，再根据直线 的解析式与对称轴求解 的坐标即可．
【详解】解：根据对称轴公式 ，可得： ，解得： ，
即抛物线的解析式为： ，
将 代入得： ，
抛物线的解析式为： ；
顶点坐标 ；
连接 交直线 于点 ，
此时 最小，点 即为所求 ，
由 ， ，
设直线 的解析式为 ，将点 代入得，
，
解得： ，
∴直线 ：
当 时： ，
．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
题型八：二次函数的平移问题
【例8】．（23-24九年级上·青海西宁·期中）抛物线 向下平移2个单位，再向左平移3个单位后
所得到的抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求得函
数解析式是解题的关键．根据二次函数图象平移的规律即可得到平移后的函数解析式．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线 向下平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式为
．
故答案为： ．
【变式1】．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数 向上平移 个单位长度（ ），如果
平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么 应满足条件 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、二次
函数图象与几何变换．先写出平移后的抛物线解析式为 ，根据题意平移后所得抛物线与x轴有
两个公共点，且不经过原点，则根据根的判别式的意义得到 且 ，然后解不等式组
得到k的取值范围．
【详解】解：∵二次函数 向上平移k个单位长度 ，∴平移后的抛物线解析式为 ，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，
∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，
∴ 且 ，
解得 且 ，
∴k的取值范围为 且 ．
故答案为： 且 ．
【变式2】．（2025·四川广元·三模）已知二次函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 个
单位长度得到抛物线 ， ， 在抛物线 上，则 （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线 的解析式为
，再利用二次函数图象的性质可得出答案．
【详解】解： ，
∵二次函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到抛物线 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 轴，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ 关于 轴对称的点为 ∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型九：求二次函数解析式问题
【例9】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式．
(1)已知抛物线顶点为 ，且过点 ；
(2)已知抛物线 经过点 和 ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数的解析式，根据所给条件求出对应的函数表达式是正确解答
此题的关键．
（1）设为顶点式，代入所给点的坐标即可求解；
（2）直接代入题中两点坐标，建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
由抛物线顶点为 ，得 ，
由抛物线过点 ，得 ，
解得 ，
；
（2）解：将点 和 代入抛物线 ，
得 ，
解得 ，
．
【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）求满足下列条件的二次函数的解析式：
(1)图象经过点 ， 和 ；
(2)图象顶点坐标为 ，且经过点 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题目特点灵活选取二次函数解析式的形式是解题的关键；
（1）由题意，设二次函数的表达式 ，把三点坐标代入函数式中，解方程组即可求解；
（2）设抛物线的解析式为顶点式为 ，把 代入求出a的值，即可得到解析式．
【详解】（1）解：由题意，设二次函数的表达式 ，
把 ， 和 代入 得： ，
．
二次函数的表达式 ．
（2）解：由题意，设抛物线的解析式为： ，
把 代入解析式得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为： ．
【变式2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知 是 的二次函数， 与 的部分对应值如下表：
… 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当 时， 的取值范围为_____．
(3)将该函数图象沿直线 翻折，所得图象的函数表达式为_____．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，翻折的性质，熟练运用二次函数图象的性质是解决问题的关键．
（1）先由表格得出抛物线的顶点，再求出顶点式即可；
（2）根据图象的性质即可求出 的取值范围；
（3）先求出翻折后的顶点坐标，再根据翻折的性质求解．
【详解】（1）解：由表格得，抛物线的顶点为 ，
设函数关系式为 ，
∵该二次函数过 ，则 ，
解得： ，
二次函数的表达式为 ．
（2）解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
又 开口向上，
图象上的点到对称轴的距离越大，函数值也越大，
，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
（3）解：由（1）得抛物线的顶点为 ，
点关于直线 的对称点为 ，
该函数图象沿直线 翻折，所得图象的函数表达式为 ．
故答案为： ．
题型十：二次函数与一元二次方程
【例10】．（23-24九年级上·广西梧州·阶段练习）已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
由图知抛物线与x轴交于点 ，代入 ，求出m的值，再解方程 即可．
【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点 ，
将 代入 ，得 ，
∴ ，
∴原方程为 ，
解得： ；
故选：B．
【变式1】．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，二次函数 （ 为常数）的图象与 轴的
一个交点坐标为 ，则关于 的一元二次方程 （ 为常数）的实数根是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由题意得，抛物线的对称轴为直线 ，则二次函数 （ 为常数）的图象与x轴的另一个
交点为 ，即可得关于x的一元二次方程 （ 为常数）的两实数根是 ， ．
【详解】解：二次函数 （ 为常数）的图象的对称轴为直线 ，
二次函数 （ 为常数）的图象与x轴的一个交点为 ，
二次函数 （ 为常数）的图象与x轴的另一个交点为 ，
关于x的一元二次方程 （ 为常数）的两实数根是 ， ．
故选：B．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江杭州）如图，抛物线 与x轴交于点 和 ，
则方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线与x轴交点的意义是解决本题的关键．
根据抛物线与x轴交点的意义得到当 或 时， ，即可得到方程的解．
【详解】解：∵抛物线 与x轴交于点 和 ，
∴当 或 时， ，即方程 的根为 ．
故选B．
题型十一：二次函数和不等式问题
【例11】．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线
，若该抛物线与x轴的一个交点为 ，则由图象可知，不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与 轴的另一个交点的坐标为
，再结合二次函数的图象即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关
键．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，
∴二次函数与 轴的另一个交点的横坐标为 ，
∴二次函数与 轴的另一个交点的坐标为 ，
∵二次函数的图象开口向下，
∴不等式 的解集为 ，
故选：C．
【变式1】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线 与直线 交
于 ， 两点，可得直线 与抛物线 交于点 ， 两点，根据图象
即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线 与直线 交于 ， 两点，
∴直线 与抛物线 交于点 ， 两点，
图象如图所示，
当 时， ，
∴ 的解集是 ，
故选：D．
【变式2】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：
① ；② ；③ ；④关于 的方程 有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为 ，其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题主要考查了 的图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、
抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a符号，然后根据抛物线与x轴无交点情况进行推理，进
而对所得结论进行判断．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与x轴没有交点，
∴ ， ，故①正确，②错误；
把点 代入 ，得：
，
∴ ，即 ，故③正确；
∵抛物线的顶点在x轴的上方，且开口向上，
∴抛物线 与直线 没有交点，
∴关于 的方程 没有实数根，故④错误；
如图，
设过点 的直线的解析式为 ，∴ ，解得： ，
∴过点 的直线的解析式为 ，
观察图象得：当 时，抛物线的图象位于直线 的下方，
∴不等式 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤，正确个数为3个，
故选：B
【专题训练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建·阶段练习）关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标为
C．对称轴为直线 D．当 时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键．
根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴ ，开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大
故A，C正确，D错误，
当 时， ，
∴顶点坐标为 ，
故B正确，
故选D．
2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知关于x的二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，
则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了 的图象和性质，对于二次函数 ，其顶点坐标为 ，对称轴
为直线 ，开口方向由 的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：二次函数 图象的开口向下，对称轴为直线 ，
∵当 时， 随 的增大而减小，
∴
故选：C．
3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）已知抛物线 经过 ， ，
三点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
求出抛物线的对称轴是直线 ，再由 和 进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
当 时，离对称轴越远，纵坐标越大，
∵ ，
∴ ；
当 时，离对称轴越远，纵坐标越小，
∵ ，
∴ ；
故选：A．
4．（25-26九年级上·重庆潼南·阶段练习）关于二次函数 ，下列命题错误的是（ ）
A．开口向下B．对称轴为
C．与y轴交点坐标为
D．用配方法得到的解析式为：
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数的性质进行分析即可
得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴对称轴： ，选项B正确；
∵ ，
∴二次函数图象开口向下，选项A正确；
令 ，则 ，
∴与y轴交点坐标为 ，选项C正确；
∴ ，选项D错误；
故选：D．
5．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，则以下五个结论中 ，
正确的 有 （ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可；
②根据对称轴求解即可；③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可；
④根据轴对称性求出当 时的函数值大小即可；
⑤由图可知，当 时的函数值为0，所以 ，再结合 ，可求得 ，即可判断．
【详解】解： 抛物线开口向上，
，
对称轴是直线 ，
，
，
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
，
，
故①正确；
对称轴是直线 ，
，
，
，
故②正确；
由图可知，抛物线与x轴有两个交点，
，
，
故③正确；
对称轴是直线 ，
当 时的函数值与当 时的函数值相等，
，
故④正确；
由图可知，当 时的函数值为0，
，
，
，
，
故⑤错误；
五个结论中，正确的是①②③④，有4个．故选：D．
6．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交
于点 ，小红同学得出了以下结论：① ；② ；③当 时， ；④ ；⑤
．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质，逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
∴抛物线对应的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
即 ，故①正确；
对称轴为直线 ，
整理得 ，故②正确；
由图象可知，当 时，即图象在x轴上方时，
或 ，故③错误，
由图象可知，当 时， ，
当 时， ，
，
即 ，
则 ，故④不正确；
，
，
，，
，
即 ，故⑤错误．
则正确的有①②，共2个，
故选：C．
7．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错
误的是（ ）
A． 的最大值是1
B．对称轴为直线
C．它的图象可以由 向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象的平移，根据二次函数的性质以及二次函数图象的平移法则
逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴二次函数的开口向下，对称轴为直线 ，当 时， 的最大，最大值是1，故AB正确；
它的图象可以由 向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故C正确；
当 时， 随 的增大而增大，故D错误；
故选：D．
10．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，二次函数 的函数图象经过点 ，且与
轴交点的横坐标分别为 ，其中 ，下列结论：① ；② ；③ ；
④当 （ ）时， ；其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，不等式的性质，根据二次
函数的图象和性质，由函数图象可得， ， ，根据函数图象可知，对称轴 ，可得 ，进行
判断①和②，当 ， ，可判断③，当 ，则 ，推出 ，根
据题意，二次函数 的函数图象经过点 ，可得 ， ，得到 ，进行判断，
即可．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴
∴ ， ，
∵对称轴在 轴和直线 之间，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，故①②错误；
由函数图象可知，当 时， ，故③错误；
由函数图象可知，当 ， ，
∴ ，
∵二次函数 的函数图象经过点 ，
∴当 时， ，即 ，
∴ ，
∵ ，对称轴在 轴和直线 之间，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∴正确的有1个，
故选：A．
二、填空题
11．（25-26九年级上·福建·阶段练习）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点 ，则．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，求代数式的值，求出平移后得到的新抛物线的解析式为 ，
再将 代入抛物线解析式可得 ，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线 向下平移5个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为
，
∵将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽
车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为 ，滑行的最
远距离是 米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌
握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，且开口向下，
∴当 时， 最大，此时滑行的距离最远，为 米，
故答案为： ．
13．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知二次函数 与一次函数 的图象
相交于点 ， ．如图所示，则能使 成立的x的取值范围是 ．【答案】 或
【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取
值范围即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数 与一次函数 的交点横坐标分别为 ，
∴使 成立的 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ．
14．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数 的部分图象如图，对称轴为直线 ，
与 轴的一个交点为 ，与 轴的另一交点为 ；方程 的根为 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系，根据二次函数图象的对称性
可求出另一交点坐标为 ，再通过图象和对称轴即可得出方程 的根，掌握二次函数图象
关于其对称轴对称，二次函数图象与 轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．
【详解】解：∵对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ，
∴与 轴的另一交点为 ，
∵当 时， ，∴方程 的一个根为 ，
∵对称轴为直线 ，
∴方程 的另一个根为 ，
故答案为： ； ， ．
15．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在正方形 中，点B，C的坐标分别是 ， ，点D
在抛物线 的图像上，则b的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，
构造全等三角形，证明对应边相等，利用B， C坐标，即可得出 点坐标，代入 ，即可得出 的值．
【详解】解：作 轴于 ，作 轴于 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
又 ，
，
，
设 ，点B，C的坐标分别是 ， ，
∴ ，解得： ，
，
∵D在抛物线 的图像上，
，
，
故答案为： ．
三、解答题
16．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数 （m为常数）．
(1)若点 在该函数图象上，则 ______；
(2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图象上有两个点 、 ，当 时，直接写出p的取值范围．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3) 或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将 代入 解关于m的方程即可；
（2）通过判别式判断二次函数图象与x轴交点情况；
（3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围．
【详解】（1）解：将 代入 ，
得： ，
解得 ，故答案为：2；
（2）解：由题可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）解： 的对称轴为直线 ，
∵二次项系数 ，
∴二次函数图象开口向上，
∵ ，
∴点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
∴ ，
即 ，
∴ 或 ．
17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于点 、 两点，
与 轴交于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 是该抛物线上一点，使得 ，求 点坐标．【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，解一元二次方程，采用待定系数法求出二次函数解析式是解题的
关键．
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）根据 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 、 两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：对于 ，当 时， ，
∴点C的坐标为 ，∵ ，∴ ，∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴ 点坐标为 ；
当 时， ，解得： ，
∴ 点坐标为 或 ；
综上所述： 点坐标为 或 或 ．
18．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，
，顶点为 D．(1)求此抛物线的解析式；
(2)在直线 下方的抛物线上，是否存在一点 ，使得 的面积为 ？若存在，请求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与三角形的结合，熟悉掌握二次函数点的特征是解题的关键．
（1）利用待定系数法运算求解即可：
（2）先设直线 的解析式为： ，将A，C两点的坐标代入后求出直线 的解析式，过点 作
轴 交 于点 ，设 ，则 ，再利用三角形面积公式列式运算即可．
【详解】（1）∵
∴ ， ，
把 ， 代入 可得：
解得：
∴抛物线的解析式为： ；
（2）存在，理由如下：
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入 可得：，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
过点 作 轴 交 于点 ，如图所示：
设 ，则 ，
，
∴ ，
解得： ，
∴把 代入 可得： ，
∴ ．
19．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，一次函数 的图象与二次函数 的图象交于点
和 ，与 轴交于点 ．
(1)求 的值：(2)求 的面积；
(3)直接写出 时， 的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2) 的面积为
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、三角形面积的计算以及根据函数图象比较函数
值大小，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，并结合数形结合思想解决函数值比较问题．
（1）先将点 代入二次函数 求 ；再将点 代入二次函数求 ，得到点 完整坐标；最后将 、 代入
一次函数 ，列方程组分别求 、 的值．
（2）先求一次函数与 轴交点 的坐标；将 分割为 和 ，以 为公共底，分别用点 、 的
横坐标绝对值作高，再用三角形面积公式计算总和．
（3）根据两函数图象的交点横坐标，结合图象中一次函数图象在二次函数图象上方的区域，直接确定 的取值范
围．
【详解】（1）解： 点 在 上，
∵
，即 ，解得 ；
∴
点 在 上，
∵
，即 ；
∴
点 、 在 上，
∵
，
∴
用第一个方程减第二个方程： ，解得 ；
将 代入 ，得 ，解得 ；
故 ， ，
（2）解： ，令 ，则 ，
∵
点 ，即 ； ，
∴， ，
∵
．
∴
答： 的面积为 ．
（3）解：由两函数图象交点为 、 ，观察图象可知，当 时， 的取值范围是 ．
20．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知拋物线的顶点为 ，拋物线与 轴交于点 ，与
轴交于C、D两点（点 在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当 时， 的取值范围是 ；
(3) 是抛物线上 轴上方的一个动点，当 的面积为7时，求点F的坐标；
(4)当 的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关
知识是解题的关键．
（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求可得离对称轴越远，函数值越小，推出 时的函数值小于 时的函数值，即可得到答
案；
（3）先求出点D的坐标，进而根据三角形面积计算公式推出点F的纵坐标，进而可求出点F的坐标；
（4）连接 ，由对称性可得 ，则当P、B、D三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值；求出直线 解析式即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
把点B的坐标代入 中得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴离对称轴越远，函数值越小；
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴ 时的函数值小于 时的函数值，
∴当 时， 的取值范围是 ；
（3）解：在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
∴ ；
∵ 的面积为7，且点F在x轴上方，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，当 时，解得 或 ，
∴点F的坐标为 或 ；
（4）解：如图所示，连接 ，
由对称性可得 ，
∴ ，∴当P、B、D三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值；
在 中，当 时， ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴点P的坐标为 ．
