文档内容
23.2&23.3中心对称 图案设计
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一．中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或
中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）．
技巧：轴对称与中心对称的区别
轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的
连线被对称轴垂直平分．
中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的
连线被对称中心平分．知识点二．关于中心对称的图形的性质
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；
（3）关于中心对称的两个图形是全等图形．
技巧：．确定对称中心的方法
（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心．
（2）连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．
知识点三．利用尺规作关于中心对称的图形
这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各
个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来．
知识点四．中点对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图
形，这个点就是对称中心．
知识点四．关于原点对称的点的坐标特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）．
知识点五．图案设计
图案的设计与日常生活息息相关，通常是利用基本图形的变换来完成设计工作．图形之间基本变换关系有轴对
称、平移、旋转这三种基本形式，也有很多图形的形成是经过 n次变换复合而成的，其复合形式灵活多样，我
们可以根据各自的审美情趣，创造出各种各样的图案．
技巧：利用基本图案进行组合设计
几个基本图案组合在一起，可能形成一个复合型图案，我们还可以进行多次变换，设计出较大型美丽图案．
【题型探究】
题型一：中心对称的判断
【例1】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）下列各组图形中， 和 成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（
）
A． B． C． D．【变式2】．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形 是正方形， ， ， ， 分别为各边的中
点， 与 交于点 ，下列三角形中，与 成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：画中心对称图形
【例2】．（25-26九年级上·北京海淀·期中）已知，如图四边形 与点 ．
求作：四边形 ，使得四边形 与四边形 关于点 成中心对称图形．
【变式1】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别为
、 、 ．
(1)画 关于原点成中心对称的 ；
(2)求 的面积；
(3)若点 在第二象限，且以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，则 的坐标为_____．【变式2】．（25-26九年级上·广东·期中）在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ，
．
(1)画出 关于原点 O 成中心对称的 ；
(2)画出将 绕点 O 顺时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标．
题型三、中心对称的性质求解
【例3】．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ，对角线 ，且 ，点P
是边 上的一点（点P不与点B重合），作点A关于点P的对称点M，作点B关于点P的对称点N，连结
，
(1) 的面积为______．
(2)求证：四边形 是平行四边形．
(3)当四边形 为菱形时，求线段 的长．
(4)当四边形 为矩形时，连结 ， 的面积为______．
【变式1】．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，四边形 为菱形，对角线交于点E， 与关于B点中心对称，已知 ，则 的长为 ．
【变式2】．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在 中， ， 是 上一点， 和
关于点 对称，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，求四边形 是菱形时 的长．
题型四、判断中心对称图形
【例4】．（25-26九年级上·全国·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下
列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．A． B． C． D．
题型五、中心对称图形的对称中心
【例五】．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，若 与 关于点E成中心
对称，则对称中心点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（2023·北京大兴·一模）如图，在正方形网格中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是网
格线交点，若 与 中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点【变式2】．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 若 与 关于E点成中
心对称， 则对称中心E点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型六：中心对称图形的规律问题
【例6】．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， ， ， ， ……都是平
行四边形的顶点，点 ， ， ……在 轴正半轴上， ， ， ， ， ，
， ……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A． B． C． D．
【变式1】．（2025·河南周口·一模）如图，正方形 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵
爽弦图”．以顶点 为原点、 边所在直线为 轴建立平面直角坐标系，已知点 ，将正方形 绕点
顺时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转结束后，点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【变式2】．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 的坐标分别为 ，
， ．一个电动玩具从原点 出发，第一次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第二次
跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第三次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；
第四次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点 的坐标是
（ ）.
A． B． C． D．
题型七、关于原点对称的点的坐标问题
【例7】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 关于坐标原点的对称点 的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（25-26九年级上·西藏日喀则·期中）已知点 与 是关于原点的对称点，则 的值
是（ ）
A．8 B． C． D．11【变式2】．（25-26九年级上·重庆忠县·阶段练习）已知点 和 关于原点对称，则 的
值为（ ）
A．1 B． C． D．2025
题型八、图案设计
【例8】．（25-26九年级上·全国）如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（ ）
A．旋转 B．轴对称 C．轴对称和旋转 D．平移
【变式1】．（25-26九年级上·全国）下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示的图
案的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另
一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
题型九：中心对称综合问题
【例9】．（25-26九年级上·重庆）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图
所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上．(1)画出将 绕原点顺时针旋转 得到的 ．
(2)画出 关于原点成中心对称的 ，并直接写出点 的坐标．
(3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以 ， ，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出
所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ，
．
(1)请你画出 向左平移5个单位长度后得到的 ；
(2)请你画出 关于原点对称的 ；
(3)在x轴上求作一点P，使 的周长最小，此时点P的坐标为______．【变式2】．（22-23九年级上·全国·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建
立如图所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上．
(1) 的面积为 ；
(2)将 向右平移6个单位长度得到 ，请画出 ；
(3)画出 关于点O的中心对称图形 ；
(4)若将 绕某一点旋转可得到 ，旋转中心的坐标为 ．
【高分演练】
一、单选题
1．（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M 与点N 关于原点对称，则 的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·广西梧州·期末）下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（ ）
A． B． C． D．4．（24-25九年级上·安徽淮北·自主招生）能用来证明勾股定理的“赵爽弦图”曾作为2002年在我国举行的第24
届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ）
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知 和 关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（
）
A． B．
C． D．
6．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）若点 和点 关于原点对称，则 的值为
（ ）
A．1 B． C．8 D．
7．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图， 与 关于点 成中心对称，已知 ， ，
，则 （ ）
A．5 B． C． D．
8．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，正方形 和正方形 的对称中心都是点O，其边长分别是4
和3，则图中阴影部分的面积是（ ）A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25
9．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图所示， 与 关于点 成中心对称，则下列结论成立的是
（ ）
①点 与点 关于点 对称；② ；③ ；④ ．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
10．（23-24九年级上·广西玉林·期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面
上取定一点 称为极点：从点 出发引一条射线 称为极轴；线段 的长度称为极径．点 的极坐标就可以用
线段 的长度以及从 转动到 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如 或
或 ，则点 关于点 成中心对称的点 的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24九年级上·吉林·期中）如图， 是等腰三角形 的底边的中线， ， ， 与
关于点C成中心对称，连接 ，则 的长是（ ）A．4 B． C． D．
二、填空题
12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公司商品标志图案，有下列说法：①图案是按轴对称设计
的；②图案是按旋转设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正
确的是 （填序号）．
13．（25-26九年级上·陕西·期中）如图为某桥梁模型的示意图，其中 与 关于点 成中心对称，点 、
分别是 、 的中点，横梁 的长度为 ，则模型中的主承重钢梁 的长是 ．
14．（25-26九年级上·四川·阶段练习）已知点 和 关于原点对称，则 的值是 ．
15．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图是由边长为 的小正方形组成的 网格，点 ， ， ， ， ，
， 均在格点上，下列结论： 点 与点 关于点 中心对称； 连接 ， ， ，则 平分
； 连接 ，则点 ， 到线段 的距离相等．其中正确结论的序号是 ．
16．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，直线 ， 垂直相交于点 ，曲线 关于点 成中心对称，点 的
对称点是点 ， 于点 ， 于点 ．若 ， ，则阴影部分的面积之和为 。17．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如果两个二次函数 与 的图象的形
状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数
的梦函数解析式为 ．
三、解答题
18．（2018·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是
．
(1)将 以点 为旋转中心顺时针旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(2)画出 关于点 的中心对称图形 ；
(3)在 轴上有一点 ，使得 的值最小，请直接写出点 的坐标．
19．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形， 的顶
点均在格点上．(1)将 向右平移4个单位长度得到 ，画出 ，点 的坐标是_____；
(2)画出将 关于点 的中心对称图形 ，点 的坐标是_____；
(3)我们发现点 、 关于某点中心对称；对称中心的坐标是_____．
20．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中， 顶点的坐标分别是 ，
， ．
(1)把 向右平移4个单位长度后得到对应的 ，请画出平移后的 ；
(2)把 绕原点O旋转 后得到对应的 ，请画出旋转后的 ；
(3)观察图形可知， 与 关于点________中心对称．
21．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出 向左平移4个单位长度后得到的 ，并写出点 的坐标；
(2)作出 关于原点 对称的 ，并写出点 的坐标； 可看作 以点（____________，
____________）为旋转中心，旋转____________ 得到的．
(3)已知 关于直线 对称的 的顶点 的坐标为 ，请直接写出直线 的函数解析式．
22．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是点 ，
， ．
(1)请画出将 绕点 旋转180°得到的 ，并写出点 的坐标；
(2)将 沿着某个方向平移一定的距离后得到 ，已知点 的对应点 的坐标为 ，此时 与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为___________．
23．（25-26九年级上·北京·阶段练习）对于平面直角坐标系 内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕
原点O顺时针旋转 得到点 ，点 落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点
．
(1)在点 ， ， 中，点________是线段 关于原点O的“伴随点”；
(2)如果点 是 关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
(3)已知抛物线 ，其关于原点对称的抛物线上存在两个 关于原点O的“伴随点”，直接写出n
的取值范围．
