文档内容
24.1.1&24.1.2 圆 垂直于弦的直径
【考点归纳】【知识梳理】
知识点01 圆的基础知识
（1）圆的定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做
圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.此外，圆心为
0，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.如图中的AB，CD。
(3)直径：经过圆心的弦叫做直径.如图中的AB。
(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，筒称弧.以A，B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”
圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示，如图中的 ；
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的 ， 。
(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
(6)等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径
相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
知识点二：垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如下图，AB是直径且CP=PD，则CD⊥AB，
且 。【题型探究】
题型一：圆的基本概念
【例1】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列命题：正确的是（ ）
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能
够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧
是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧．
A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥
【变式2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半
圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：弦的条数及最长的弦问题
【例2】．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 四点在 上，点 ，点
分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在 中， 是直径， 是弦，点P是劣弧 上任
意一点．若 ，则 的长不可能是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【变式12】．（23-24九年级下·全国）如图，在 中，弦的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
题型三：垂径定理
【例3】．（25-26九年级上·北京·期中）如图， 是 的弦，半径 于点 ，若 ， ，则
半径的长为 ．
【变式1】．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在 中，直径 于点E， ， ，则弦
的长为 ．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图， 是圆 的弦，直径 于点 ， ， ，则线段 的长为 ．
题型四：垂径定理求平行弦问题
【例4】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知 的半径为 ，弦 ，弦 ， ，则这两
条平行弦 ， 之间的距离为 ．
【变式1】．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知 的半径为 ，弦 平行于弦
和 之间的距离是 ．
【变式2】．（2023九年级上·全国·专题练习）已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦， ，
， ，则 与 之间的距离为 cm．
题型五：垂径定理的推论的理解
【例5】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦
【变式1】．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直
径垂直平分弧所对的弦．
A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④
【变式2】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列关于圆的说法不正确的是（ ）
A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
B．平分弦的直径平分弦所对的弧
C．垂直平分弦的直径必定经过圆心
D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧
题型六：垂径定理的推论应用
【例6】．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图， 为 的直径，点D是弧 的中点，过点D作 于点
E，延长 交 于点F，若 ，则 的直径长为 ．【变式1】．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，过 的中点 作 ，垂足为 ， ， ，
则 所在圆的半径长是 ．
【变式2】．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为半圆 的直径， 为弦 的中点， 为 的中点，
连接 ．若 ，则 的长为 ．
题型七：垂径定理的实际应用问题
【例7】．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为 ，
罐内液体已经过半， 燃料液面弦长 为 ，则液面最大深度 为 ．
【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合
用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是
其截面示意图， 为圆形框架的圆心，弦 和劣弧 围成的区域为种植区．若种植区的深度为 ，弦 的
长为 ，则圆形框架的半径为 ．【变式2】．（25-26九年级上·广东惠州·期中）白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守
仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水
通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新
桥”（旧称“苏公桥”）．
(1)小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度 为6.4米，拱顶 高出水面1.6米，如图，请你帮助小明
求出此圆弧形拱桥的半径；
(2)微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面
1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞?说说你的理由．
题型八：垂径定理综合问题
【例8】．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知 、 、 为 上的点，且 ， 为 的直径，
于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式1】．（17-18九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度 ，拱高
．
(1)求圆弧所在圆的半径 的长；
(2)当水位上涨至跨度只有 时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶 ，即 ，此时是否需采取紧
急措施？
【变式2】．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在等腰 中, 交 于 两点，半径
于H．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【高分达标】一、单选题
1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个
C．半径为 且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心， 长为半径的圆有无数个
2．（25-26九年级上·北京·月考）下列命题中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦
B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等
C．直径是一个圆中最长的弦
D．同圆中两条等弦所对的弧相等
3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图， 是 的直径， 是 的弦， 于点 ，连接 ．若
， ，则 的半径的长为（ ）
A．3 B． C． D．
4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是
圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对
的弧．正确的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，圆形拱门的形状是以点 为圆心的圆的一部分，点 是 的弦
的中点，连接 并延长交 于点 ，若 ， ，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图， 是 的一条弦，直径 , 垂足为 ，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在 中，半径长为10，圆心O到弦 的距离 ，则弦
的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
8．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米
长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即 米，
取 的中点 ，再测出点 到圆的最低点 的距离为 米．则圆形拱门的直径是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
9．（2025·陕西汉中·二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何
图形．已知 ， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ， ， 的半径 ，
则圆盘离桌面 最近的距离是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
10．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在半径为4的 中，弦 的长为6，则圆心 到 的距离为
．
11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知圆心O在水面上方，且 被水面截得弦 长为4米， 半
径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦 所在直线的距离是 ．
12．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知 为 的直径， 为 的弦，且 ．若 ，
，则 的长是 ．
13．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， 且 ，垂足为D．若 ， ，
则 的半径为______．14．（25-26九年级上·北京·月考）如图，点M坐标为 ，点A坐标为 ，以点M为圆心， 为半径作
，与x轴的另一个交点为B，点C是 上的一个动点，连接 ，点D是 的中点，连接 ，当线
段 取得最大值时，点D的坐标为 ．
三、解答题
15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图， 于B，圆心O在 上， ，D为 的中点．求证：
(1) ；
(2)四边形 是菱形．
16．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，垂足为 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度 为 米，拱高 为 米．为
保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架．
(1)圆弧桥拱所在圆的半径．
(2)若在 的中点处竖立一根垂直于 的立柱 ，求 的长．
18．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图， 是 的直径，弦 于点 ，点 在 上，
恰好经过圆心 ，连接 ．
(1)若 ，求 的直径；
(2)若 ，求 的度数．
19．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点 ， ， ．(1)用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点 ；
(2)若 为等腰三角形，且 ， ，求该圆板的半径．
(3)请在图中作弦 （ 在 左侧），求证： ．
20．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知 为 的直径， 是弦，且 于点 ．连接 、
、 ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，求 长度．
21．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，在 中， ，且 ，垂足为点E．(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，当 ， ，求 的长度．
