文档内容
24.1.1&24.1.2 圆 垂直于弦的直径
【考点归纳】【知识梳理】
知识点01 圆的基础知识
（1）圆的定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做
圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.此外，圆心为
0，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.如图中的AB，CD。
(3)直径：经过圆心的弦叫做直径.如图中的AB。
(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，筒称弧.以A，B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”
圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示，如图中的 ；
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的 ， 。
(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
(6)等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径
相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
知识点二：垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如下图，AB是直径且CP=PD，则CD⊥AB，
且 。【题型探究】
题型一：圆的基本概念
【例1】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列命题：正确的是（ ）
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能
够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查圆的基本性质，涉及弦、弧的关系及等弧的定义。需逐项判断命题的正确性。
【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为非直径的弦对的弧有优弧和劣弧之分，本
选项不符合题意；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧，本选项符合题意；
③能够完全重合的两条圆弧是等弧，本选项符合题意；
④长度相等的弧所对的弦不一定相等，本选项不符合题意；
∴正确命题为②和③，
故选：B．
【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧
是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧．
A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥
【答案】A
【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，
比半圆小的弧是劣弧” 即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是
否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分
组成．
【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确；
弧不一定是半圆，故②错误；
直径是线段不是直线，故③错误；
半圆是弧，故④错误；直径是弦，故⑤错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误；
圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误；
⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，
∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确．
∴正确的命题是①⑧．
故选：A．
【变式2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半
圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、半圆、等弧
等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可．
【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误；
②半径相等的两个半圆是等弧，正确；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；
④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误；
⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误；
综上，正确的有：②③，共2个，
故选：B．
题型二：弦的条数及最长的弦问题
【例2】．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 四点在 上，点 ，点
分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有 共三条，故选：B．
【变式1】．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在 中， 是直径， 是弦，点P是劣弧 上任
意一点．若 ，则 的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由 是 直径得 是 中最长的弦，且 ，故有 ，
所以可得结论．
【详解】解： 是 直径，
∴ 是 中最长的弦，
∴ ，
∵
∴
∴只有选项D符合题意，
故选：D．
【变式12】．（23-24九年级下·全国）如图，在 中，弦的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫
做弦．
根据圆的弦的定义解答．【详解】在 中，有弦 、弦 、弦 、弦 ，
共有4条弦．
故选：C．
题型三：垂径定理
【例3】．（25-26九年级上·北京·期中）如图， 是 的弦，半径 于点 ，若 ， ，则
半径的长为 ．
【答案】17
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解
答此题的关键．连接 ，先根据垂径定理求出 的长，设 的半径为r，在 中利用勾股定理求出r的
值即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 的弦 ，半径 ，
∴ ，
设 的半径为r，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
故 的半径的长为17．
故答案为：17．
【变式1】．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在 中，直径 于点E， ， ，则弦
的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
由垂径定理得 ，设 的半径为 ，则 ，在 中，由勾股定理得出
方程，求出 ，即可得出 ，在 中，由勾股定理即可求解．
【详解】解： ， ，
，
设 的半径为 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图， 是圆 的弦，直径 于点 ， ， ，
则线段 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，掌握数形结合、分类讨论的方法是解题关键．根据题意画出图
形，分两种情况讨论，由垂径定理和勾股定理先求出 的长，从而得到 的长，再结合勾股定理即可求出的长．
【详解】解：分两种情况讨论，
第一种情况：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ；
第二种情况：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ；
综上，线段 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
题型四：垂径定理求平行弦问题
【例4】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知 的半径为 ，弦 ，弦 ， ，则这两条平行弦 ， 之间的距离为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键，
分弦 和弦 在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦 和弦 到圆心的距
离，再计算两条弦之间的距离即可，
【详解】解：过点O作 于点M， 于点N，
，
点O、M、N三点共线，
由垂径定理得，M为 中点，N为 中点
在 中， 、 ，
由勾股定理得
在 中， 、 ，
由勾股定理得
当 、 在圆心同侧时，如图：
距离为
当 、 在圆心异侧时，如图：
距离为 ．故答案为：7或17．
【变式1】．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知 的半径为 ，弦 平行于弦
和 之间的距离是 ．
【答案】7或17
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当 的圆心O位于 、 之间时，当 的圆心O不在两
平行弦 、 之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到 和 的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图，当 的圆心O位于 、 之间时，作 于点E，并延长 ，交 于F点．分别
连接 、 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 和 之间的距离为17；
如图所示，当 的圆心O不在两平行弦 、 之间（即弦 、 在圆心O的同侧）时，
同理可得： ，
∴ ，
∴ 和 之间的距离为7；
综上所述， 和 之间的距离为7或17．
故答案为：7或17．
【变式2】．（2023九年级上·全国·专题练习）已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦， ，， ，则 与 之间的距离为 cm．
【答案】2或14
【分析】作 于E，延长 交 于F，连接 、 ，如图，利用平行线的性质 ，根据垂径定
理得到 ， ，则利用勾股定理可计算出 ， ，讨论：当点O在
与 之间时， ；当点O不在 与 之间时， ．
【详解】解：作 于E，延长 交 于F，连接 、 ，如图
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
在 中， ，
在 中， ，
当点O在 与 之间时，如图1， ，
当点O不在 与 之间时，如图2， ，
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
题型五：垂径定理的推论的理解
【例5】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理及其推论．
根据垂径定理，平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧．
【详解】A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误；
B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确；C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误；
D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误；
故选：B．
【变式1】．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直
径垂直平分弧所对的弦．
A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④
【答案】C
【分析】此题考查了垂径定理及其推论．
根据垂径定理及其推论判断各说法的正误，注意弦为直径时的特殊情况．
【详解】解：∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误；
∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误；
∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确；
∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确．
∴ 不正确的是①②，
故选C
【变式2】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列关于圆的说法不正确的是（ ）
A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
B．平分弦的直径平分弦所对的弧
C．垂直平分弦的直径必定经过圆心
D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理，
根据垂径定理及其逆定理逐项判断即可.
【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确；
因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确；
因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确；
因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确.
故选：B.
题型六：垂径定理的推论应用
【例6】．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图， 为 的直径，点D是弧 的中点，过点D作 于点
E，延长 交 于点F，若 ，则 的直径长为 ．【答案】15
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知 ， ，从而得
到 ， ，得 ，得到 ，得 ，设圆的半径为R，
连接 ，根据勾股定理，得到 ，计算 的值即可．
【详解】解： 点D是弧 的中点，
，
为 的直径， ，
，
， ，
，
，
，
设圆的半径为R，连接 ，
根据勾股定理，得到 ，
解得 ，
故答案为：15．
【变式1】．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，过 的中点 作 ，垂足为 ， ， ，则 所在圆的半径长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理的推论及勾
股定理是解题的关键．
由“点 是 的中点， ”，根据垂径定理的推论可知， 所在圆的圆心在 所在的直线上，延长
到圆心 ，连接 ，设 所在圆的半径长为 ，则 ， ，在 中，根
据勾股定理可得 ，即 ，解方程即可求出 所在圆的半径长．
【详解】解：如图，延长 到圆心 ，连接 ，
设 所在圆的半径长为 ，则 ，
，
，
在 中，根据勾股定理可得：
，
，
解得： ，
所在圆的半径长为 ，
故答案为： ．
【变式2】．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为半圆 的直径， 为弦 的中点， 为 的中点，
连接 ．若 ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了垂径定理的推论，矩形的性质与判定，勾股定理，连接 与 交于点M，则四
边形 是矩形．设 ，则 ，在 中，根据勾股定理建立方程，解方程得出
，进而得出 ， ，在 中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：连接 与 交于点M，
∵ 是直径，
∴ ， ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∴
∵ 为 的中点， 为半径，
∴
∴四边形 是矩形．
设 ，则 ，
在 中，
解得： （舍去），，
∴在 中， ．
故答案为： ．
题型七：垂径定理的实际应用问题
【例7】．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为 ，
罐内液体已经过半， 燃料液面弦长 为 ，则液面最大深度 为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
由题意可得 ，根据垂径定理得 ，再由勾股定理得 ，再根据线段的和差求解即
可．
【详解】解：如图：连接 ，
由题意可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故答案为：8．
【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合
用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是
其截面示意图， 为圆形框架的圆心，弦 和劣弧 围成的区域为种植区．若种植区的深度为 ，弦 的
长为 ，则圆形框架的半径为 ．
【答案】10
【分析】本题考查垂径定理的应用，如图，作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，设 的半径为
，利用垂径定理得出 ，利用勾股定理求出 即可．根据垂径定理正确地利用辅助线构造出直
角三角形解决问题是关键．
【详解】解：如图，作 交 于点 ，交 于点 ，连接
在 中，
∴
∵ ， ，
，
设 的半径为 ，则： ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得 ，
故 的半径为
故答案为：10．【变式2】．（25-26九年级上·广东惠州·期中）白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守
仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水
通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新
桥”（旧称“苏公桥”）．
(1)小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度 为6.4米，拱顶 高出水面1.6米，如图，请你帮助小明
求出此圆弧形拱桥的半径；
(2)微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面
1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞?说说你的理由．
【答案】(1)此圆弧形拱桥的半径为4米
(2)游船不能顺利通过该桥洞，理由见解析
【分析】此题考查了垂径定理的应用．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）方法（一）：连接 ，利用垂径定理得 米，利用勾股定理得 米，进而求出 ，
与1.2米比较即可得出结论；
方法（二）：由勾股定理求出 ，则 ，再与4.8米比较即可得出结论．
【详解】（1）解：连接
，
为 中点，
（米），
（米），
又∵ （米），设 （米），则 （米），
在 中，根据勾股定理得：
即： ，
解得 ，
答：此圆弧形拱桥的半径为4米；
（2）解：方法（一）：游船不能顺利通过该桥洞，理由如下：
如图， 米， ，交 于 ，
则 （米），
连接 ，
在 中，根据勾股定理得： ，
（米），
又∵ （米），
，
游船不能顺利通过该桥洞；
方法（二）： ，
船舱顶部为长方形并高出水面 米，
（米），
在 中，根据勾股定理得： ，
（米），
（米），
又∵ ，
，
游船不能顺利通过该桥洞．
题型八：垂径定理综合问题
【例8】．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知 、 、 为 上的点，且 ， 为 的直径，
于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理、三角形全等判定与性质、勾股定理：
（1）连接 并延长交 于点 ，根据垂径定理可得 ， ，再证明 可得
，由此即可得到结论；
（2）设 的半径为 ，在 中根据勾股定理列出方程求出R，在 中，根据勾股定理求出 ．
【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，
∵ ，
， ，
在 和 中，
，
∴ ，
，
；
（2）解：设 的半径为 则 ，
∵ ， ，∴ ，
在 中， ，
解得 ，
，
，
．
【变式1】．（17-18九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度 ，拱高
．
(1)求圆弧所在圆的半径 的长；
(2)当水位上涨至跨度只有 时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶 ，即 ，此时是否需采取紧
急措施？
【答案】(1)圆弧所在圆的半径 的长为 ；
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此
题的关键．
（1）连接 ，利用 表示出 的长，在 中根据勾股定理求出 的值即可；
（2）连接 ，在 中，由勾股定理得出 的长，进而可得出 的长，据此可得出结论．
【详解】（1）解：连接 ，设圆弧所在圆的半径为 ，
由题意得 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ；
答：圆弧所在圆的半径 的长为 ；
（2）解：连接 ，，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ．
．
，
不需要采取紧急措施．
【变式2】．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在等腰 中, 交 于 两点，半径
于H．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理．
（1）根据等腰三角形的三线合一定理可证 ，根据垂径定理可证 ，根据等式的性质可得
；
（2）连接 构造 ，由（1）知， ，设半径为 ，则 ，利用勾股定理求圆的半径．【详解】（1）证明：在 中， ， 于 ，
，
是 的弦， 是半径，且 于 ，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接 ，
由（1）知， ，
设半径为 ，则 ，
在 中，
解得： ，
的半径为 ．
【高分达标】
一、单选题
1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个
C．半径为 且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心， 长为半径的圆有无数个
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析
即可．
【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则：
A、经过一个点P的圆有无数个，正确；
B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确；
C、半径为 且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确；
D、以点P为圆心，以 为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误．
故选：D．2．（25-26九年级上·北京·月考）下列命题中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦
B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等
C．直径是一个圆中最长的弦
D．同圆中两条等弦所对的弧相等
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质．
根据圆的基本性质逐一分析即可．
【详解】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误；
B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误；
C．直径是一个圆中最长的弦，正确；
D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误；
故选：C．
3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图， 是 的直径， 是 的弦， 于点 ，连接 ．若
， ，则 的半径的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，连接 ，由垂径定理得到 ，由圆周角定理得到
，判定 是等腰直角三角形，求出 ，于是得到 的半径的长为 ．
【详解】解：连接 ，
∵直径 于点E，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的半径的长为 ．
故选：D．
4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是
圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对
的弧．正确的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查圆的基本概念，包括圆的定义、等弧的条件、圆心角与弧的关系以及垂径定理的逆命题．根据
以上知识逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵ ① 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，这是圆的定义，正确；
∵ ② 半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故能重合，是等弧，正确；
∵ ③ 相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定，错误；
∵ ④ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，但弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误；
∴ 正确的有①和②，共2个．
故选：B．
5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，圆形拱门的形状是以点 为圆心的圆的一部分，点 是 的弦
的中点，连接 并延长交 于点 ，若 ， ，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接 ，先证明 ，
设 半径为 ，在 中列方程求出即可．【详解】解：连接 ，
∵点 是 的弦 的中点，
，
设 半径为 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
，
解得： ，
则 的半径为 ，
故选：C．
6．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图， 是 的一条弦，直径 , 垂足为 ，下列结论不一定成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，准确分析判断是解题的关键．
根据圆的垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理分析判断即可；【详解】 直径 ，
， ， ，
， ，
选项 、 、 结论成立；
与 的关系不能确定，故选项 的结论不一定成立；
故选： ．
7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在 中，半径长为10，圆心O到弦 的距离 ，则弦
的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【分析】由圆心O到弦AB的距离 ，得 于点E，则 ， ，而 ，求得
，所以 ，于是得到问题的答案．
此题重点考查点的直线的距离、垂径定理、勾股定理等知识，推导出 ， 是解题的关键
【详解】解： 在 中，圆心O到弦 的距离 ，
于点E，
， ，
半径长为10，
，
，
，
故选：C．
8．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米
长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即 米，
取 的中点 ，再测出点 到圆的最低点 的距离为 米．则圆形拱门的直径是（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造垂径是解题的关键．
如图：连接 ，设该圆的半径为r，则 ，由题意可得： ，
然后代入得到关于r的方程求解，进而求得圆的直径．
【详解】解：如图：连接 ，设该圆的半径为r，则 ，
由题意可得： ，
∴ ，解得： ，
∴圆形拱门的直径是 米．
故选D．
9．（2025·陕西汉中·二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何
图形．已知 ， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ， ， 的半径 ，
则圆盘离桌面 最近的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理，连接 ， ，作 于点 ，交 于点，交 于点 ，证明四边形 是矩形，得出 ， ，由垂径定理可得 ，
由勾股定理可得 ，求出 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接 ， ，作 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴圆盘离桌面 最近的距离是 ，
故选：D．
二、填空题
10．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在半径为4的 中，弦 的长为6，则圆心 到 的距离为
．
【答案】【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．根
据题意画出图形，过点 作 于点 ，连接 ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出结果．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，则 为圆心 到弦 距离，连结 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
即圆心 到弦 距离为 ，
故答案为： ．
11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知圆心O在水面上方，且 被水面截得弦 长为4米， 半
径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦 所在直线的距离是 ．
【答案】 米
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
如图：连接 交 于D，由垂径定理得 （米），再由勾股定理得 ，然后求出 的
长即可．
【详解】解：如图：连接 交 于D，
由题意得： （米）， ，∴ （米）， ，
在 中， （米），
米，即点C到弦 所在直线的距离是 米．
故答案为 米．
12．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知 为 的直径， 为 的弦，且 ．若 ，
，则 的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出 的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得
的长，然后利用勾股定理即可求得 的长，即可得出答案．
【详解】解： ，
，
在 中， ，
，
故答案为：2．
13．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， 且 ，垂足为D．若 ， ，
则 的半径为______．
【答案】5【分析】本题考查了垂径定理、角平分线性质、圆周角定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
过点O作 的垂线交 于点E，交 于点F，连接 ，得出 是 的平分线，进而得到 ，
假设 的半径为 ，将 用 来表示，根据勾股定理进行解题即可．
【详解】解：如图，过点O作 的垂线交 于点E，交 于点F，连接 ．
， ，
， ，
，
是 的平分线
设 的半径为 ，则
在 中利用勾股定理得
即
解得 ．
故答案为： ．
14．（25-26九年级上·北京·月考）如图，点M坐标为 ，点A坐标为 ，以点M为圆心， 为半径作
，与x轴的另一个交点为B，点C是 上的一个动点，连接 ，点D是 的中点，连接 ，当线
段 取得最大值时，点D的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了垂径定理的推论、三角形中位线等知识点，由题意得点 是 的中点，推出 是 的
中位线，得出当 最大时，线段 取得最大，此时 为 的直径；即可求解；
【详解】解：∵ 为 的弦，且 ，
∴点 是 的中点，
∵点D是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即当 最大时，线段 取得最大，此时 为 的直径；
如图所示：
∵点M坐标为 ，点A坐标为 ， 垂直平分 ，
∴ ；
∵点M是 的中点，
∴ ；
∵点D是 的中点， ， ；
∴ ，
故答案为：三、解答题
15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图， 于B，圆心O在 上， ，D为 的中点．求证：
(1) ；
(2)四边形 是菱形．
【详解】（1）证明：∵ 于B，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）证明：连接 交 于点M，
∵D是 的中点，
∴ 垂直平分 ．
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形．
16．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，垂足为 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为 ．
17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度 为 米，拱高 为 米．为
保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架．
(1)圆弧桥拱所在圆的半径．
(2)若在 的中点处竖立一根垂直于 的立柱 ，求 的长．
【详解】（1）解：如图， 的半径为r，连接 ，
∵ 为16米， 为4米， ，∴ 米， ， 米，
∴在 中，
解得 米．
（2）解：连接 ，过点F作 于点H．
∵ ， ，
∴四边形 为矩形，
∵E是 的中点，
∴ 米，
∴在 中， ，
∴ 米．
18．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图， 是 的直径，弦 于点 ，点 在 上，
恰好经过圆心 ，连接 ．
(1)若 ，求 的直径；
(2)若 ，求 的度数．
【详解】（1）解： 是 的直径，弦 于点 ，
， ，
设 ，则 ，
，
，
解得： ，
的直径为20；（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
．
19．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点 ， ， ．
(1)用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点 ；
(2)若 为等腰三角形，且 ， ，求该圆板的半径．
(3)请在图中作弦 （ 在 左侧），求证： ．
【详解】（1）解：如图，点 为所作：
（2）解：连接 、 ， 交 于 点，如图，
，
，
垂直平分 ，
， ，
在 中， ， ，
，
设 的半径为 ，则 ， ，在 中， ，
解得 ，
即该圆板的半径为 ；
（3）证明：如图，作弦 ，
，
，
，
，
，
，
同理当 在 下方时，可得 ，
即可得到 ．
20．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知 为 的直径， 是弦，且 于点 ．连接 、
、 ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，求 长度．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（2）解：∵ ，且为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 为直角三角形，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
21．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，在 中， ，且 ，垂足为点E．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，当 ， ，求 的长度．
【详解】（1）证明：如图1，过点O作 ， ，垂足分别为M、N，
∵ ，
∴ ，∴四边形 是矩形，
又∵ ， ， ，∴ ， ，
∴四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，即 ．
（2）解：由（1）可得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
