文档内容
24.1.3&24.1.4 弧、弦、圆心角 圆周角
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一：弧、弦、圆心角
（1）顶点在圆心的角叫做圆心角.
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相等，所对的弦也相等.
（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
知识点二：圆周角定理及其推论C
是 所对的圆心角，
定理：圆周角的度数等于它
是 所对的圆周角，
所对的弧的圆心角度
B O
数的一半
A
D C
和 都是 所对的圆周
角
圆 推论1：同弧或等弧所对的圆
周 周角相等
角 B O
定
A
理
是 的直径
C
是 所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是
知识点三：
直角， 的圆周
角所对的弦是直径 B A 是 所对的圆周角
O 圆内接四
是 的直径 边形
四边形 是 的内接四边形
D
C
圆的内接四边形对角互补
B
A E
【题型归纳】
题型一：弧、弦、圆心角关系求解
【例1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知 是 的直径，弦 与弦 交于点 ，且
，垂足为点 ，若 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的值；
(3)在（2）的基础上求 的值．【变式1】．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图， ，若 ，求 的长
【变式2】．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中，弦 是直径，点 ， 是 上的两点，连接
， ，且满足 ．
(1)若 的度数为 ，求 的度数．
(2)求证： ．
(3)连接 ，若 ， ，求 的长．
题型二：求圆弧的度数问题
【例2】．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在 中， ，以点C为圆心，
为半径的圆分别交 、 于点D、点E，则弧 的度数为（ ）
A． B． C． D．【变式1】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 经过五边形 的四个顶点，若 ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ，
，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
题型三：：弧、弦、圆心角关系求证
【例3】．（2025·广东广州·二模）如图，在 中， ， 于点D， 于点E，求证：
．
【变式1】．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图， 、 、 、 是 上的点， ，
．(1)求证： ；
(2)求 的长．
【变式2】．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图， 是 上的点， ， 分别交 ，
于点 ．求证：
(1) ；
(2) ．
题型四：圆周角定理
【例4】．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙ 中， ， ，则 的大小为
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，四边形 内接于⊙ ， 为⊙ 的直径，连接 ，
若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图所示，在 中，弦 ，连接 交半径 于点E，
平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型五：等（同）弧所对圆周角问题
【例5】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆 中， 是直径， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图， 内接于 ，点B是 的中点， 是 的直径，
若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式2】．（2025·山东青岛·二模）如图， ， 是 的直径， 是 的中点，连接 ， ， ，
， ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
题型六：90°所对的圆周角是直径问题
【例6】．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图， 为⊙ 的直径，点 ， 在⊙ 上，且 ， ，
，连接 ，则 的长为( )
A． B． C． D．
【变式1】．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图， 的直径 为8，P是 上一动点，半径 垂直于
， ，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形 中， ，垂足为E．(1)如图1，若 ，求证： 平分 ；
(2)如图2，若 ， ， 是圆的直径，连接 ，求 的半径．
题型七：圆内接多边形问题
【例7】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，四边形 内接于 ，连接 交于点M，延长 至
点E．
(1)若 ，猜想 和 的数量关系，并说明理由；
(2)若 ．求 的直径．
【变式1】．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图所示，在 中，以 为直径的 分别交 于点 ，
交 于点 ，连接 ，若 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【变式2】．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，四边形 是 的内接四边形，四边形 、四边
形 均为平行四边形，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求 的大小．
题型八：圆心角、圆周角的综合问题
【例8】．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，交 的延长线于点E，连接
平分 ．
(1)求证： ；
(2)若点B为 的中点， 时，求 的长．
【变式1】．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知 是 的直径，延长弦 到点 ，使 ，连接
并延长与 相交于点 ．
(1)如图①，若 ，求 和 的大小；
(2)如图②，若 ，求 和 的大小．
【变式2】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．(1)如图1，“等对角四边形” 内接于 ， ，则 ， ；
(2)如图2，“等对角四边形” 内接于 ，且 ， ，点E在 的延长线上，连接 ，
， ， ，请证明：四边形 是“等对角四边形”；
(3)如图3，“等对角四边形” 内接于 ，且其一个内角为 ， ， ，若 ，
求 的长．
【高分达标】
1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧：②等弧所对的圆心角相等；
③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；④过三点可以画一个圆；
⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等；⑥ 的角所对的弦是直径．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图， 、 是 的直径， ．若 ，则 的度
数为（ ）A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图， 、 是 的弦，且 ，若 ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
（ ）
A．100° B．50° C．130° D．80°
5．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）如图， ， ， 是 上的三点， ， ，那么 的半
径等于（ ）A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图， 内接于 ， ， ， 为 的直径，
，那么 的值为（ ）
A． B．4 C． D．3
7．（25-26九年级上·云南大理·期中）如图，在 的内接四边形 中， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图 中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若 ，则
； ② 若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则O
点到弦 的距离相等．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图， 均为 上的点，且 ，则下列说法不正确的
是（ ）A． B．
C． D．
10．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图， 是四边形 的外接圆， 交 于点 ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的
弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是
．
12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 为
半径的圆交 于点 ，交 于点 ，则 的度数为 ．
13．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，连接 ，与对角线 交于点M，若 的半径是6， ，则 的长是 ．
14．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图， 是半圆 的直径，点 、 在半圆上，且 ，
点 在 上，若 ，则 等于 度
15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，弦 在以 为直径的半圆 上滑动， 是 的中点，
于点 若弦 始终保持与半圆 的半径相等，则 的度数为 ．
16．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形 内接于 ，连接 ，其中 ， ，
若点 在 上，连接 ， ，则 的度数为 ．三、解答题
17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在 中，弦 ， 于E， 于H．
(1)求证： ．
(2)若 的半径为5， ， ，求 的长．
18．（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图： 是 的直径，点 、点 在 上， 于点 ，连
接 、 、 ， ， ， ．
(1)求 的长．
(2)求四边形 的面积．
19．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 为 的直径， ，垂足为 ，点 是 上一动点，连
接 分别交 ， 于点 ， ．
(1)当 时， 与 有何关系？证明你的结论．
(2)当点 在什么位置时， ？证明你的结论．20．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图， 是 的直径， 是 的中点，过点 作 ，交 于
点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
21．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知 的半径为3，弦 垂直于弦 ，垂足为 ．
(1)若 于点 ，求弦 的长；
(2)过点 作 于点 ，交 于点 ，求证： ．
22．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ，点 在
上，且 ，连接 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；(3)若 ，求 的长．
