文档内容
24.1.3&24.1.4 弧、弦、圆心角 圆周角
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一：弧、弦、圆心角
（1）顶点在圆心的角叫做圆心角.
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相等，所对的弦也相等.
（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
知识点二：圆周角定理及其推论C
是 所对的圆心角，
定理：圆周角的度数等于它
是 所对的圆周角，
所对的弧的圆心角度
B O
数的一半
A
D C
和 都是 所对的圆周
角
圆 推论1：同弧或等弧所对的圆
周 周角相等
角 B O
定
A
理
是 的直径
C
是 所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是
知识点三：
直角， 的圆周
角所对的弦是直径 B A 是 所对的圆周角
O 圆内接四
是 的直径 边形
四边形 是 的内接四边形
D
C
圆的内接四边形对角互补
B
A E
【题型归纳】
题型一：弧、弦、圆心角关系求解
【例1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知 是 的直径，弦 与弦 交于点 ，且
，垂足为点 ，若 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的值；
(3)在（2）的基础上求 的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）连接 ，由垂径定理得到 ，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到
，进而得到 即可求解；
（2）由（1）易得 ，利用含 角直角三角形的性质得到 的长度，进而求解；
（3）由（2）可得到 的长度， ，利用含 角直角三角形的性质得到 ，再结合 ，利
用勾股定理求出， 的长度，进而求出 的值．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
，
， ．
又 ，
，
即 ，
，
，
．
（2）解： ，
．
，
．
又 ，
，
，．
（3）解：由（2）得 ， ,
.
， ，
，
．
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含 角直角三角形的性质，勾股定理，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式1】．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图， ，若 ，求 的长
【答案】
【分析】本题考查了圆心角定理，掌握在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的
弧相等，所对的弦心距也相等是解答本题的关键．
由已知条件 ，得到 = ，而 是公共弧，故 = ，因此 ．
【详解】解：由已知得，
，
= ，
是公共弧，
= ，故 ．
【变式2】．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中，弦 是直径，点 ， 是 上的两点，连接
， ，且满足 ．
(1)若 的度数为 ，求 的度数．
(2)求证： ．
(3)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵
活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接 ，根据弧 的度数求出 ，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出 的度数；
（2）利用平行线的性质可得 ， ，结合 从而得出 ，即可得证；
（3）连接 ，交 于点 ，先根据勾股定理得出 ，再利用勾股定理求出 ，最后再利用勾股定理进行计
算即可得出答案．
【详解】（1）解：连接 ，
， 的度数为 ，
，
，
；
（2）证明： ，
， ，又∵ ，
，
；
（3）解：连接 ，交 于点 ，
， 弦 是直径，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
题型二：求圆弧的度数问题
【例2】．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在 中， ，以点C为圆心，
为半径的圆分别交 、 于点D、点E，则弧 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出 ，再根据等
腰三角形的性质求出 ， 即为弧 的度数，即可得解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
弧 的度数为 ，
故选： ．
【变式1】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 经过五边形 的四个顶点，若 ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接 、 ，如图，利用等腰三
角形的性质得 ， ，则根据三角形内角和定理得到 ， ，
则 ，于是得到 的度数为 ．
【详解】解：连接 、 ，如图，
， ，
， ，
， ，
，∴ 的度数为 ．
故选：B．
【变式2】．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ，
，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解 ，再求解 ，从而可得
，再利用周角的含义可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数20°．
故选：C．
题型三：：弧、弦、圆心角关系求证【例3】．（2025·广东广州·二模）如图，在 中， ， 于点D， 于点E，求证：
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接 ，根据题意得出 ，进
而证明 ，即可得证．
【详解】证明：连接 ．
，
，
，
．
又 ，
，
．
【变式1】．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图， 、 、 、 是 上的点， ，
．(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理；
（1）先证明 即可得到结论；
（2）由 证明 即可.
【详解】（1）证明： ，
，
即 ．
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
．
【变式2】．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图， 是 上的点， ， 分别交 ，
于点 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到 ，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判
定定理得到 ，最后由全等三角形的性质即可得证；
（2）由等腰三角形性质得到 ， ，再结合（1）中 ，即可得到
，从而由两个三角形全等的判定定理得到 ，最后由全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
在 和 中，
；
；
（2）证明： ，
， ，
由（1）知 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
题型四：圆周角定理
【例4】．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙ 中， ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接 ，根据垂径定理可知 ，根据同圆
或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出 的度数．
【详解】解：如下图所示，连接 ，
，
，
，
．
故选：B．
【变式1】．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，四边形 内接于⊙ ， 为⊙ 的直径，连接 ，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定
理；根据圆内接四边形对角互补，直径所对的角为直角求解即可．【详解】解： 四边形 内接于 ，
，
为 的直径，
，
，
故选：C．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图所示，在 中，弦 ，连接 交半径 于点E，
平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线定义、圆周角定理和三角形外角的性质，由 平分 可得
，由 得 ，由圆周角定理得 ，再由三角
形外角性质可得结论．
【详解】解：∵ 平分 ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 所对圆心角是 ，圆周角是 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
题型五：等（同）弧所对圆周角问题
【例5】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆 中， 是直径， ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余．由圆周角定理得到 ，再根据 是直径得
到 ，根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【变式1】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图， 内接于 ，点B是 的中点， 是 的直径，
若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加
辅助线是解题的关键．
连接 ，则 ，由 是 的直径，得 ，而 ，则 ，
由点B是 的中点，得 ，则 ，由 ，求得 ，于是得到问
题的答案．
【详解】解：连接 ，则 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵点B是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【变式2】．（2025·山东青岛·二模）如图， ， 是 的直径， 是 的中点，连接 ， ， ，
， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接 ，先利用圆周角定理可得 ，再利用等腰三角形的性质可得 ，从而可得
，从而可得 ，进而可得 ，最后根据圆周角定理进行计算即可解答．
【详解】解：连接 ，，
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，
．
故选：A．
题型六：90°所对的圆周角是直径问题
【例6】．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图， 为⊙ 的直径，点 ， 在⊙ 上，且 ， ，
，连接 ，则 的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，含 度角的直角三角形的性质．连接 ，根据题意得出
，根据勾股定理求出 ，再根据 角的直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：如图，连接 ，为 的直径，
，
在 中， ， ，
，
，
，
在 中， ，
．
故选：B．
【变式1】．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图， 的直径 为8，P是 上一动点，半径 垂直于
， ，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆上动点恒直角问题，勾股定理，圆周长公式，根据 得到 ，即可得到点H
是以 为直径的圆上运动，根据勾股定理求出 ，最后利用周长公式求解即可得到答案；
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴点H是以 为直径的圆上运动，
∵ 的直径 为8，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故选：B．
【变式2】．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形 中， ，垂足为E．
(1)如图1，若 ，求证： 平分 ；
(2)如图2，若 ， ， 是圆的直径，连接 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可；
（2）连接 ，首先得到 ，然后得到 ，推出 ，得到 ，然
后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：如图2，连接 ，
∵ 是 的直径，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径是5．
题型七：圆内接多边形问题
【例7】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，四边形 内接于 ，连接 交于点M，延长 至
点E．
(1)若 ，猜想 和 的数量关系，并说明理由；
(2)若 ．求 的直径．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、勾股定理、圆周角定理，熟记有关定理是解题的关键．
（1）根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可；
（2）连接 并延长，交 于点 ，连接 ，根据圆周角定理求出 ，根据
三角形内角和定理求出 ，则 ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵四边形 内接于 ，
∴ ，∴ ，
，
∴ ，
，
∴ ；
（2）解：如图，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的直径为 ．
【变式1】．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图所示，在 中，以 为直径的 分别交 于点 ，
交 于点 ，连接 ，若 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得 ， ，然后可得 ，进而问题可求证；
（2）连接 ，由题意易得 ，设 ，则有 ，然后根据勾股定理可建立方程进
行求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图所示：
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴设 ，则有 ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【变式2】．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，四边形 是 的内接四边形，四边形 、四边
形 均为平行四边形，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求 的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）由平行四边形的性质可得 ， ， ， ，即得到 ，
，进而即可求证；
（ ）由圆内接四边形的性质可得 ，再根据平行四边形的性质可证
，即可求解；
本题考查了平行四边形的判定和性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题
的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形 、四边形 均为平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是 的内接四边形， ，
∴ ，
∵四边形 、四边形 、 均为平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
题型八：圆心角、圆周角的综合问题
【例8】．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，交 的延长线于点E，连接
平分 ．
(1)求证： ；
(2)若点B为 的中点， 时，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾
股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明 ，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相
等得到 ，即可证明 ；
（2）过点C作 于H，设 ，则 ，由角平分线的性质得到 ，证明
，得到 ，证明 ，得到 ，则
，再由弧与弦之间的关系得到 ，由勾股定理得 ，解方
程即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点C作 于H， ，
设 ，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
同理可证明 ，
∴ ，
∴ ，
∵点B为 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
【变式1】．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知 是 的直径，延长弦 到点 ，使 ，连接
并延长与 相交于点 ．
(1)如图①，若 ，求 和 的大小；
(2)如图②，若 ，求 和 的大小．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直
角等知识点，掌握相关结论是解题关键．
（1）由题意得 垂直平分 ，推出 得 即可求解；
（2）根据 ， ，可推出 ； 是等腰三角形，进而得 ；结合
（1）得 ，推出 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是 的直径，∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ， 是等腰三角形，
∴ ；
由（1）可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式2】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，“等对角四边形” 内接于 ， ，则 ， ；
(2)如图2，“等对角四边形” 内接于 ，且 ， ，点E在 的延长线上，连接 ，
， ， ，请证明：四边形 是“等对角四边形”；
(3)如图3，“等对角四边形” 内接于 ，且其一个内角为 ， ， ，若 ，
求 的长．
【答案】(1)90，120
(2)见解析(3) 或
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解；
（2）由“等对角四边形”的定义可得 ， ， ，再由等腰三角
形的性质并结合圆周角定理得出 ，即可得证；
（3）连接 ，分四种情况：当 时，则 ；当 时；当 时；当 时；
分别结合“等对角四边形”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵“等对角四边形” 内接于 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为：90，120；
（2）证明：∵“等对角四边形” 内接于 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是“等对角四边形”；
（3）解：如图1，连接 ，当 时，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴四边形 是“等对角四边形”， 是 直径，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图2，当 时，此时 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是“等对角四边形”，
作 ，交 于E，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，当 时，则 ， ， ，
∴四边形 不是“等对角四边形”，
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 不是“等对角四边形”，
综上所述： 或 ．
【高分达标】
1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧：②等弧所对的圆心角相等；
③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；④过三点可以画一个圆；
⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等；⑥ 的角所对的弦是直径．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心
的性质，掌握以上基础知识是解题的关键．逐句判断即可．
【详解】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧，故①不符合题意；
等弧在同圆或等圆中对应的圆心角相等，故②符合题意；
在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，故③符合题意；
过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故④不符合题意；
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故⑤不符合题意；
的圆周角所对的弦才是直径，故⑥不符合题意．
正确的有②③共2个，
故选：B．
2．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图， 、 是 的直径， ．若 ，则 的度
数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查弧和圆心角的关系，解决此题的关键是熟练运用等弧所对的圆心角相等，反之亦如此；根
据圆心角相等得到弧相等，根据弧相等得到圆心角相等，即可得到答案；
【详解】解：∵ 、 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图， 、 是 的弦，且 ，若 ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．
连接 ，由已知可得 ，从而可得 ，根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的
性质计算即可．
【详解】解：连接 ，∵ 、 是 的弦，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
故选：D．
4．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
（ ）
A．100° B．50° C．130° D．80°
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键．
由 由圆内接四边形对角互补可得 ，进而求出圆心角 ．
【详解】解： 四边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．5．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）如图， ， ， 是 上的三点， ， ，那么 的半
径等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键．根据圆周角定理
求得 ，结合 ，可证明 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解： ， ， 是 上的三点， ，
，
，
是等边三角形，
， 的半径等于 ．
故选：D．
6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图， 内接于 ， ， ， 为 的直径，
，那么 的值为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出
的度数，再结合圆周角定理得到 ，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出
结果．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ 内接于 ， 为 的直径，
∴ ，
∴ ；
故选B．
7．（25-26九年级上·云南大理·期中）如图，在 的内接四边形 中， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得 ，
再在 中，由三角形内角和定理求 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故选：C．
8．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图 中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若 ，则
； ② 若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则O
点到弦 的距离相等．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两
条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ．
【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那
么它们对应的其余各组量也相等．
∴①若 ，则 ，所以，此说法正确；
②若 ，则 ，所以，此说法正确；
③若 ，则 ，所以，此说法正确；
④若 ，则O点到弦 的距离相等，所以，此说法正确；
∴说法正确的是①②③④，共4个，
故选：D．
9．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图， 均为 上的点，且 ，则下列说法不正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点， ，根据在同圆或等圆
中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组
量都分别相等作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，故A选项说法正确，不符合题意；
∴ ，即 ，故B选项说法正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故C选项说法正确，不符合题意；不能证明 ，故D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
10．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图， 是四边形 的外接圆， 交 于点 ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出 的度数是解
题关键．利用圆内接四边形的性质得出 ，利用 得出 ，再由 得出
，根据圆内接四边形的性质即可求出 的度数．
【详解】解：∵ 是四边形 的外接圆， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
二、填空题
11．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的
弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是
．
【答案】①④
【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是掌握相关的圆的相关概念．
根据圆的基本性质，包括弦的定义、垂径定理、等弧的概念、圆的对称性以及弧长与圆心角和半径的关系，判断
各语句的正确性．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确；②平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径，否则不一定垂直，错误；
③等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，错误；
④圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，正确；
⑤弧长由圆心角和半径共同决定，半径不等时相等的圆心角所对弧长不一定相等，错误．
故答案为①④．
12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 为
半径的圆交 于点 ，交 于点 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接 ，如图，先根据三角形内角和计算出 ，再根据等腰
三角形的性质由 得到 ，然后再利用三角形内角和计算出 ，最后根据圆心角
的度数等于它所对的弧的度数求解．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ，
故答案为： ．
13．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，连接 ，与对角
线 交于点M，若 的半径是6， ，则 的长是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据 ，
得到 ，则由 ，证明 为 的中位线，得到 ，则可求出 ，
利用勾股定理求出 ，即可利用勾股定理求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，点M为 的中点，
∵点O为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ 的半径是6，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
故答案为： ．
14．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图， 是半圆 的直径，点 、 在半圆上，且 ，
点 在 上，若 ，则 等于 度【答案】100
【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，连接 、 、 ．根据圆心角、弧、弦的关系证明
、 均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出 ，再由圆周角定理求出 ，根据“
”求出 即可．熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键．
【详解】解：连接 、 、 ．
是半圆 的直径，
，
，
，
，
、 均是等边三角形，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，弦 在以 为直径的半圆 上滑动， 是 的中点，
于点 若弦 始终保持与半圆 的半径相等，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出C、M、O、E四点共圆，且 为圆的直径， 为圆的一条弦，圆周角定理及直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图，连接 ， ， ，
， 是 的中点，
，
，
， ， ， 四点共圆，且 为圆的直径， 为圆的一条弦．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形 内接于 ，连接 ，其中 ， ，
若点 在 上，连接 ， ，则 的度数为 ．
【答案】 /130度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形的
性质可求得 ，根据等边对等角可得 ，求得 ，根据圆内接四边形的性质即可
求解．
【详解】解：∵四边形 为 的内接四边形，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为 的内接四边形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在 中，弦 ， 于E， 于H．
(1)求证： ．
(2)若 的半径为5， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键．
（1）由题意易得 ，进而问题可求证；
（2）连接 ，由勾股定理，得 ．根据垂径定理可进行求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， ，
即 ，
∴ ．
（2）解：连接 ，∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
同理可得 ，
∴ ．
18．（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图： 是 的直径，点 、点 在 上， 于点 ，连
接 、 、 ， ， ， ．
(1)求 的长．
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先设圆 的半径为 ，根据已知条件和垂径定理求出 ，再根据勾股定理在 和 中，列
出关于 的二元一次方程，求出半径，从而求出直径 即可；
（2）在 中，根据勾股定理求出 ，再由垂径定理求出 ， ，然后根据三角形中位线定理求出 ，
最后根据四边形 的面积 进行计算即可．
【详解】（1）解：设圆 的半径为 ，
． ，
， 为半径，
， ，，
在 和 中： ，
，
解得： ， （舍），
，
；
（2）解：在 中， ， ，
，
，
，
，
为 中点， 为 中点，
为 中位线，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的中位线，解题关键是正确
识别图形，找出线段与线段之间的关系．
19．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 为 的直径， ，垂足为 ，点 是 上一动点，连
接 分别交 ， 于点 ， ．(1)当 时， 与 有何关系？证明你的结论．
(2)当点 在什么位置时， ？证明你的结论．
【答案】(1) ；证明见解析
(2)当弧 弧 时， ．证明见解析
【分析】主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键．
（1）由圆周角定理知： ，在 中， ，证得 ，已知 ，可得
，所以 ，即 ；
（2）当弧 弧 时， ，可得 ，进而可得 ，因此当弧 弧 时，
．
【详解】（1） ；
证明：连接 ，
为 的直径，
．
又 ，
．
，
．
．
．
（2）当弧 弧 时， ，
证明：∵弧 弧 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
20．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图， 是 的直径， 是 的中点，过点 作 ，交 于
点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）证明 即可证明 ，即可解答；
（2）连接 ，设 ，则 ， ， ，利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明： 点是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接 ，由（1）可知 ，
设 ，则 ，
， ，
由题意得： ，
解得： ， （舍去），
的半径 ．
21．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知 的半径为3，弦 垂直于弦 ，垂足为 ．
(1)若 于点 ，求弦 的长；
(2)过点 作 于点 ，交 于点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，正确作出辅
助线是解题的关键．
（1）连接 ，由垂径定理得到 ，由勾股定理求出 的长即可得到答案；
（2）连接 ，可证明 ， ．则可证明 ，得到 ，再由三线
合一定理即可证明结论．
【详解】（1）解：如图1，连接 ．∴ ．
在 中，由勾股定理得 ，
；
（2）证明：如图2，连接 ，
，
∴ ，
∴ ．
，
∴
∴ ．
，
∴ ，
∴ ．
，
∴ ．
22．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ，点 在
上，且 ，连接 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3) 的长为1
【分析】题目主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运
用这些知识点是解题关键．
（1）根据垂径定理得出 ，再由弧、弦之间的关系求解即可；
（2）连接 ，根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形 为平行四边形，再由其性质即可证明；
（3）设 ，则 ，再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明： 是 的直径， ，
．
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接 ．
．
，
∴ ．
是 的直径，
．
是 的直径， ，
，
∴ ，
四边形 为平行四边形，
，
．
（3）解：设 ，则 ．，
为 的中位线，
．
四边形 为平行四边形，
，
．
，
．
在Rt 中，由勾股定理得 ，
即 ，整理得 ，
解得 （不合题意，舍去），
即 的长为1．
