文档内容
24.1&24.2 圆 垂直于弦的直径
【考点归纳】
考点一：圆的基本概念
考点二：弦的条数及最长的弦问题
考点三：求一点到圆距离的最值问题
考点四：垂径定理
考点五：垂径定理求平行弦问题
考点六：垂径定理求几何问题
考点七：垂径定理的推论
考点八：垂径定理的实际应用问题
考点九：垂径定理综合问题
【知识梳理】
知识点一、圆的有关概念
圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
弦:连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，
弧:圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
知识点二：垂径定理及其推论
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型探究】
题型一：圆的基本概念
1．（24-25九年级上·江苏徐州）下列说法中，正确的个数为（ ）
①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥
等弧所在的圆一定是等圆或同圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案．
【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确；②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误；
③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误；
④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误；
⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确；
⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确
∴正确的说法有①⑤⑥，共3个．
故选：C．
2．（2024九年级下·全国·专题练习）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长
度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个命题进行判断，然后作出选择．
【详解】解：①直径是弦，故原说法正确；
②弦不一定是直径，故原说法错误；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，所以长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误；
所以，正确的命题有①③共2个．
故选：B．
3．（22-23九年级上·四川绵阳）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，
但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】半径相等的圆是等圆，所以①正确；
同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以②错误；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以③正确；
平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确；
故选：B．
题型二：弦的条数及最长的弦问题
4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 四点在 上，点 ，点
分别共线，则图中弦的条数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有 共三条，
故选：B．
5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在 中，点 在一条直线上，点 在一条直线上，那
么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点 的距离等于定长 的点的集合，根据弦的定义进行判断
即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键
【详解】
解：弦为 ，共有3条，
故选：B．
6．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知 是半径为3的圆中的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．1
【答案】A
【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．
【详解】解：由题意圆的半径为3，则该圆的直径为6， 因为圆中最长的弦为直径，
∴ ．
观察选项， 的长不可能是8，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键．题型三：求一点到圆距离的最值问题
7．（2024·山东淄博·一模）如图， 的半径为4，圆心M的坐标为 ，点P是 上的任意一点， ，
且 与x轴分别交于 两点．若点A、点B关于原点O对称，则 的最大值为（ ）
A．12 B．24 C．14 D．28
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大
值的位置．
连接 ，根据直角三角形的性质得出 ，说明要使 取得最大值，则 需取得最大值，连接 ，并
延长交 于点 ，当点P位于 位置时， 取得最大值，过点M作 轴于点Q，根据勾股定理求出
，得出答案即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
，
，
点A、点B关于原点O对称，
，
，
若要使 取得最大值，则 需取得最大值，
连接 ，并延长交 于点 ，当点P位于 位置时， 取得最大值，
过点M作 轴于点Q，
则 ，
，又 ，
，
．
故选：D．
8．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
，点P在以 为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，首先证明 ，根据条件可知
，求出⊙D上到点E的最大距离与最小距离即可解决问题．解题的关键是发现
，求出点P到点A的最大距离即可解决问题．
【详解】解：
，
，
，
，
如图连接 交 于点 ，延长 交 于 ，此时EP′最大， 最小
，，
， ，
的最大值为6，最小值为4，
．
故选： ．
9．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图， 中， 于点 是半径为4
的 上一动点，连接 ，若 是 的中点，连接 ，则 长的最大值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当 取最
大值时， 的长最大是解题的关键．连接 ，根据等腰三角形的三线合一得到 ，根据三角形中位线定
理得到 ，则当 取最大值时， 的长最大，求得 的最大值，即可求得 长的最大值．
【详解】解：连接 ，
， ，
，点 为 的中点，
是 的中位线，
，
当 取最大值时， 的长最大，
是半径为2的 上一动点，
当 过圆心 时， 最大，
， ，
，
的半径为4，
的最大值为 ，
长的最大值为 ，
故选： ．
题型四：垂径定理
10．（24-25九年级上·江苏南通）如图，在 中，弦 的长为4，圆心到弦 的距离 为2，则圆O的半径
长是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧．
根据垂径定理得出 ，再根据勾股定理，即可解答．
【详解】解：∵圆心到弦 的距离 为2，
∴ ，
∵弦 的长为4，
∴ ，
∴ ，即圆O的半径长是 ，
故选：C．
11．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ，则线
段 的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接 ，根据已知条件求出 ，从而求出 ，然后根
据勾股定理求出 ，由垂径定理求出答案即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B12．（2024·湖南长沙·二模）如图，已知在 中，半径 垂直于弦 ， ， ，那么
（ ）
A．12 B． C．13 D．16
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据垂径定理得出 ，设设 ，则 ，
，再利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】解： 半径 垂直于弦 ，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
．
故选：C．
题型五：垂径定理求平行弦问题
13．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦 ， ，则弦 与 的距
离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用．作 于E， 于F，由垂径定理得
，由于 ，易得E、O、F三点共线，在 和 中，利用勾股
定理分别计算出 与 ，然后讨论：当圆心O在弦 与 之间时， 与 的距离 ；当圆心O在弦 与 的外部时， 与 的距离 ．
【详解】解：如图，作 于E， 于F，连 ，
则 ，
∵ ，
∴E、O、F三点共线，
在 中， ，
在 中， ，
当圆心O在弦 与 之间时， 与 的距离 ；
当圆心O在弦 与 的外部时， 与 的距离 ．
所以 与 的距离是14或2．
故选：C．
14．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB
与CD间的距离为（ ）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
【答案】A
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出
答案.
【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE 3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2∴OF 4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.
15．（19-20九年级上·江苏镇江）若⊙ 的半径为10 cm，且两平行弦 ， 的长分别为12 cm，16 cm，则两
弦间的距离是( )
A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．6 cm或8 cm
【答案】C
【分析】分两种情况解答：①弦AC、BD在⊙O的同侧；②弦AC、BD在⊙O的两侧．根据垂径定理分别求出圆
心到弦的距离，再根据两种情况求出两弦间的距离即可.
【详解】①如图：作OE⊥AC垂足为E，交BD于点F，
∵OE⊥AC AC∥BD，
∴OF⊥BD，
∴AE= AC=6cm； BF= BD=8cm，
在Rt△AOE中
OE= = =8cm
同理可得：
OF=6cm
∴EF=OE-OF=8-6=2cm；②如图：同理可得：EF=OE+OF=8+6=14cm.
综上所述两弦之间的距离为2cm或14cm．
故选C．
【点睛】此题主要利用垂径定理，把问题转化为直角三角形，运用勾股定理来解决，注意分情况讨论是解题关键．
题型六：垂径定理求几何问题
16．（2022·湖南株洲·模拟预测）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD
交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
【答案】
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位
线定理求得OF= BC= DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，∵D是 的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF= BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF= DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
17．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)5【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；
（1）由垂径定理得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接 ，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明： ， 为 的弦，
，
， ，
，
，
；
（2）如图，连接 ，
， 为 的弦，
， ，
∴
设 的半径是 ，
∴ ，
解得 ，
的半径是5．
18．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形 ， 是 的直径， 交 于点
E．
(1)求证：点D为 的中点；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)见解析(2)2
【分析】本题考查的是垂径定理；
（1）由垂径定理可得 ；
（2）先根据垂径定理求出 ，圆周角定理得 ，根据勾股定理得到 ，得到半径 ，
由勾股定理求出 ，由 求解即可．
【详解】（1）∵ 是 的直径， ，
∴ ，
即点D为 的中点；
（2）∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型七：垂径定理的推论
19．（24-25九年级上·全国）下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
【答案】D
【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据相关定
理逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意；C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意；
故选：D．
20．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）如图， 的直径 与弦 交于点E，若B为 的中点，则下列说法
错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：∵ 的直径 与弦 交于点E， B为 的中点，
∴ ， ， 故A，C，D选项正确，
不能得出 ，故B选项不正确，
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理的推理，掌握垂径定理是解题的关键．一条直线如果具有①经过圆心，②垂直于
弦，③平分弦（被平分的弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，则必
然具备其余的三条，简称“知二推三”．
21．（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， 是弦，点E是 的中点， 交 于点D．连
接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】8
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理；熟练掌握垂径定理的推论：：平分弦所对一条
弧的直径，垂直平分弦是解题的关键．
连接 ，根据垂径定理得出 ， ；求出 的值；设 的半径为r，表示出 的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出 ， ；再根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第
三边的一半可得 的长．
【详解】解：连接 ，如图：
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
设 的半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
题型八：垂径定理的实际应用问题
22．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面 的宽为 米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面 距管道底部的最大深度为（ ）
A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米
【答案】D
【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点．根据垂径定理、勾股定理求出圆的半径，进一步
计算即可得．
【详解】解：如图，设圆心为点O，过点O作 于点C，延长 交圆O于点D和 ，连接 ，
由圆的性质可知， 米， 米，水面 距管道底部的最大深度为 的长，
设圆的半径为 ，
由垂径定理得： ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即水面 距管道底部的最大深度为 米，
故选：D．
23．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯
道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1
寸( 寸)，锯道长1尺 尺 寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆
形木材的直径 是（）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为 寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂
径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论．
【详解】解： ，
（寸） ．
设圆的半径为 寸，则 寸，
寸，
，
，
解得： ．
圆柱形木材的直径 是 （寸）．
故选：C
24．（24-25九年级上·江苏连云港）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，
设 所在圆的圆心为 ，拱顶为点 ， 交 于点 ，连接 ．当桥下水面宽 时， ．
(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；
(2)有一条宽为 ，高出水面 的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．
【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为
(2)此渔船不能顺利通过这座桥
【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键．
（1）根据垂径定理可得， ， ，设主桥拱半径为 ，可得 ，根据勾股定
理即可求解；
（2）如图，设 为该渔船的上端，连接 ，根据题意可求出 的值，根据勾股定理可求出 的值，再
与矩形船的宽比较，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，设主桥拱半径为 ，由题意可知 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得， ，
∴这座石拱桥主桥拱的半径为 ．
（2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，
如图，设 为该渔船的上端，连接 ，
∵ ，船舱顶部为长方形并高出水面 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴此渔船不能顺利通过这座桥．
题型九：垂径定理综合问题
25．（24-25九年级上·湖南长沙）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
【答案】(1)见解析(2) 的直径是10【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用；
（1）先证明 ，再证明 ，再结合线段的和差可得答案；
（2）连接 ，设 的半径是r，可得 ，证明 ，再结合勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：∵ ，且 过圆心O，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，设 的半径是r，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的直径是 ．
26．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图， 是 的弦，C是 的中点．(1)连接 ，求证： 垂直平分 ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握辅助线的作法及数形结合的思想是解题关键．
（1）由题意 ，有 ，运用垂径定理即可解得答案；
（2）由（1）知， 垂直平分 ，交点为 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 ，设 的
半径为 ，则 ， ，在 中运用勾股定理解出答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵C是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ．
（2）解：由（1）知， 垂直平分 ，交点为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中，根据勾股定理，可知 ；
设 的半径为 ，
则 ， ，
在 中，
，即 ，解得： ．
27．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽 与桥长 均为24米，桥
拱顶部 离水面的距离为8米，以桥拱顶部 为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求圆弧型桥拱所在圆的半径；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱 ， ， ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，
其最低点到桥面的距离为1米．
①求出 轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度．
【答案】(1)圆弧型桥拱所在圆的半径为13米
(2)① ；②经过钢缆最低点的彩带的长度为 米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作出辅助
线是解题的关键．
（1）设圆弧型拱桥的圆心为 ，圆的半径为 ，则 米， 米，利用勾股定理列式解答即可；
（2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为 ，然后利用待定系数法求函数解析式；
②连接圆 与 ，作 于点 ，如图2，从而得到 米， 米，利用勾股定理求得
米，求得 米， 米，进而得解．
【详解】（1）解：设圆弧型拱桥的圆心为 ，圆的半径为 ，连接 ， 交 于点 ，如图1，由题意得： ， 米， 米，
∴ 米， 米，
由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米；
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为 ，设其表达式为 ，将 代入得：
，
解得： ，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为： ；
②由题意可知， 即为所求彩带的长度，如图2，连接圆 与 ，作 于点 ，
则 米， 米，
∴ （米），
∴ （米），∴ （米），
答：经过钢缆最低点的彩带的长度为 米．
【高分达标】
一、单选题
28．（24-25九年级上·全国）有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆
是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆、直径、弦、半圆等概念，熟练掌握相关概念是解题关键．根据圆、直径、弦、半圆等概念
逐一判断即可得答案．
【详解】解：半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定，还要确定圆心位置，故①错误，
直径是弦，故②正确，
弦不一定是直径，故③错误，
半圆是弧，但弧不一定是半圆，故④正确，
圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，故⑤错误，
综上所述：①③⑤的说法是错误的．共3个，
故选：C．
29．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
【答案】B
【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，逐个
判断即可．
【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意；
B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意；
D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
31．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图在 中， 于C，若 ， ，则半径长度为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．4
【答案】A
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解
答此题的关键．先根据垂径定理求出 的长，设 的半径为r，再连接 ，在 中利用勾股定理求出r
的值即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 于C，
∴ ，
设 的半径为r，
则 ， ，
∴ ，解得 ，故选：A．
32．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问
题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱
形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深 寸，锯道长 尺（1尺 10寸）．这根圆
柱形木材的直径是（ ）
A．6寸 B． 寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得 ，由垂径
定理可得 ，设半径 ，则 ，然后根据勾股定理列出方程解之即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得 ，
是 的半径，
设半径
则
在 中： ，即
解得：
木材的直径为 寸
故选：D．
33．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段 ， ， 都是 的弦B．线段 经过圆心O，线段 是直径
C．
D．弦 把圆分成两条弧，其中 是劣弧
【答案】B
【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定
，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断．
【详解】解：A．线段 ， 都是 的弦， 不是，所以A选项不符合题意；
B．线段 经过圆心O，线段 是直径，所以B选项符合题意；
C．当点D为 的中点时， ，所以C选项不符合题意；
D． 为优弧，所以D选项不符合题意．
故选：B．
34．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工
具）的工作原理．如图 ，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆．已知圆心 在水面上方，且 被水面
截得弦 长为 米， 半径长为 米，若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
连接 交 于点 ，根据垂径定理得到 米， ，再根据勾股定理得到
即可得解．
【详解】解：连接 交 于点 ，依题得： 米， ， 米，
设 ，即 ，
中， ，
即 ，
解得 ，
即 米，
米，
即点 到弦 所在直线的距离是 米．
故选： ．
35．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知 的半径为10， 的一条弦 ，若 内的一点P恰
好在 上，则线段 的长度为整数的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接 ，过点O作 于点 ，根据垂径定理求出 ，根据
勾股定理求出 ，求出 的范围，计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，过点O作 于点 ，则 ，
由勾股定理得： ，
则 ，
∴线段 的长度为整数的值有6、7、8、9共4个，
故选：C．
36．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中， ， 是互相垂直的两条弦，垂足为P，且
，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作 于M， 于N，
连接 ， ，首先利用勾股定理求出 的长，然后判定四边形 是正方形即可得到答案．
【详解】解：作 于M， 于N，连接 ， ，
由垂径定理得
勾股定理得： ，
弦 互相垂直，
，
于M， 于N，
四边形 是矩形，
，四边形 是正方形，
故选：D．
37．（2024·江西九江·三模）如图1， 是 的直径，C是 上的一点，连接 ，D是 上的动点，
过点D作 于点E． 设 ， ，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，若P是图象的最高点，
则 的长是（ ）
A．10 B．6 C．5 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查动点函数图象问题和垂径定理，过点O作 于点G，交 于点H，由图象可知此
时 ， ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理可列方程，求出 ，得
，从而可求出
【详解】解：如图，过点O作 于点G，交 于点H，
结合图象知， ， ，
设 ，则 ，在 中，
∴
解得，
∴
∴
故选：C
二、填空题
38．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是 的直径，点 在 上， 于点 ．已知
， ，则 的半径为 ．
【答案】5
【分析】先连接 ，在 中，根据勾股定理得出 的长即可．此题考查了圆的认识，勾股定理，解题
的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单．
【详解】解：如图，连接 ，
， ，
，
在 中，
，
解得： ，
的半径为5．
故答案为：5．
39．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的弦， 是 上一动点，连接 ， ，若 的半径为5， ，则点 到 距离的最大值为 ， 面积的最大值为 ．
【答案】 8 32
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，点到直线的距离，掌握垂径定理是解题的关键．
过点 作 的垂线，垂足为 ，延长 交 于点 ，连接 ， ， ， 就是点 到 的最大距离，
的面积就是 的最大面积，根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：如解图，过点 作 的垂线，垂足为 ，延长 交 于点 ，连接 ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴点 到 距离的最大值为8，
∴ 面积的最大值为 ．
故答案为：8，32．
40．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；
④等弧所对的圆心角相等；
⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；
⑥顶点在圆上的角是圆周角；
⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；
⑨半圆是弧；
⑩过圆心的线段是直径．
【答案】①③④⑨
【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，说法正确；
②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误；
③面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
④等弧所对的圆心角相等，说法正确；
⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误；
⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误；
⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误；
⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误；
⑨半圆是弧，说法正确；
⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误；
故答案为：①③④⑨．
41．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 的半径为2，弦 ， ，则 的长为
．
【答案】 /
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，首先过点O作 于点D，由垂径定理，即可求得 ， 的长，
然后由勾股定理，可求得 的长，然后在 中，利用勾股定理即可求得 的长．
【详解】过点O作 于点D，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，即 ，
∴在 中， ，
在 中，
故答案为： ．
42．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， ， 是半径为 的 的两条弦， ， ，
是直径， 于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关
键．由于A、B两点关于 对称，因而 ，即当B、C、P在一条直线上时， 的最小，
即 的值就是 的最小值．
【详解】解：连接 ，作 垂直于 于H．∵ ， ， 是直径， ， ，
∴ ， ，四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
，
在 中根据勾股定理得到 ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
43．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，M为x轴正半轴上一点， 与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴
交于点B，连接 ，将 绕顶点B逆时针旋转 得到 ，此时点C恰在 上，若 半径为4，则
点D的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质，垂径定理，矩形的判断和性质，勾股
定理解三角形，是解题的关键．
过点M作 的垂线，垂足为N，连接 ，利用垂径定理证明四边形 是矩形，令 ，则，利用勾股定理求出 ，进而求解即可．
【详解】解：过点M作 的垂线，垂足为N，连接 ，
则 ，
由旋转知， ， ， ，
∴ 轴，
∴ 轴，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
令 ，则 ，
在 中， ，
解得 （舍负），
∴ ，
即 ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．所以点D的坐标为： ，
故答案为：
三、解答题
44．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于
点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
（1）先根据等腰三角形的三线合一可得 ，再根据垂径定理可得 ，然后根据线段和差即可得证；
（2）连接 ，设 的半径为 ，则 ， ，再根据垂径定理可得 ，然后在
中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵ ， 于点 ，
∴ ，
又∵ 是 的半径， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（2）解：如图，连接 ，设 的半径为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径， ， ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
所以 的半径为 ．
45．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的直径是
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）垂径定理，得到 ，等腰三角形三线合一 ，即可得出结论；
（2）连接 ，设 的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，且 过圆心O
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，设 的半径是r，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ 的直径是 ．
46．（2024·上海静安·二模）已知：如图， 是 的直径， 、 、 是 的弦， ．
(1)求证： ；
(2)如果弦 长为8，它与劣弧 组成的弓形高为2，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质：
（1）作 于点E，交 于点F，连接 运用 证明 ，可得出结论；（2）设 的半径为 ，在 中，运用勾股定理列出方程求出 的值即可得出结论．
【详解】（1）解：作 于点E，交 于点F，连接 如图，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 的半径为 ，则 ，
又 ，
∴ ，
在 中， ，
即： ，
解得， ，
∴ .
47．（2024九年级下·全国·专题练习）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸
杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别
与杯口相交于 、 、 、 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为 ， ， ．请你帮忙计算纸
杯的直径．【答案】纸杯的直径为 ．
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出 ， 的长，设 ，由勾股定理得到
，求出 的值，得到 的长，由勾股定理求出 长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图， ， 过圆心 ，连接 ， ，
，
∵ ，
，
， ，
设 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为 ．
48．（2024·安徽·一模）如图1， 为 的直径，弦 于点G，且B为弧 的中点， 交 于点
H，若 ， ．(1)求 的长；
(2)如图2，连接 ．求证： ．
【答案】(1)4
(2)见详解
【分析】（1）由于垂径定理，得 ，结合三角形的外角性质，得 ，即可通过 证明
，则 ，即可作答．
（2）结合半径相等，得点O在 的垂直平分线上，由（1）知 ，则 ，得到
，点H在 的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）解：连接 ，交 于一点 ，如图所示：
∵B为弧 的中点
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴∴ ；
（2）解： 连接 ，交 于一点 ，如图所示：
∵
∴ ，点O在 的垂直平分线上
由（1）知，
∴
∴ ，点H在 的垂直平分线上
∴ 所在的直线是 的垂直平分线上
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，垂直平分线的判定、垂直平分线的性质，综合性较强，
难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
49．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线 与坐标轴相交于点A，B，过点O，A
的 与该直线相交于点C，连结 ， ．
(1)求点E到x轴的距离．
(2)连结 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、
勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征．
（1）过点 作 轴于点 ，先确定 ，再根据垂径定理得到 ，然后利用勾股定理计算出 即
可；
（2）连结 ， ，如图，先求出 ，则可判断 为等腰直角三角形，所以 ，再根据圆周
角定理得到 ，所以 为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出 的长．
【详解】（1）解：过点 作 轴于点 ，如图，
当 时， ，解得 ，
，
，
，
在 中， ，
点 到 轴的距离为 ；
（2）连结 ， ，如图，
当 时， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，．
