文档内容
24.1&24.2 圆 垂直于弦的直径
【考点归纳】
考点一：圆的基本概念
考点二：弦的条数及最长的弦问题
考点三：求一点到圆距离的最值问题
考点四：垂径定理
考点五：垂径定理求平行弦问题
考点六：垂径定理求几何问题
考点七：垂径定理的推论
考点八：垂径定理的实际应用问题
考点九：垂径定理综合问题
【知识梳理】
知识点一、圆的有关概念
圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
弦:连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，
弧:圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
知识点二：垂径定理及其推论
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型探究】
题型一：圆的基本概念
1．（24-25九年级上·江苏徐州）下列说法中，正确的个数为（ ）
①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥
等弧所在的圆一定是等圆或同圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024九年级下·全国）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两
条弧是等弧中，正确的命题有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（22-23九年级上·四川绵阳）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，
但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：弦的条数及最长的弦问题
4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 四点在 上，点 ，点
分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在 中，点 在一条直线上，点 在一条直线上，那
么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
6．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知 是半径为3的圆中的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．1
题型三：求一点到圆距离的最值问题
7．（2024·山东淄博·一模）如图， 的半径为4，圆心M的坐标为 ，点P是 上的任意一点， ，且 与x轴分别交于 两点．若点A、点B关于原点O对称，则 的最大值为（ ）
A．12 B．24 C．14 D．28
8．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
，点P在以 为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图， 中， 于点 是半径为4
的 上一动点，连接 ，若 是 的中点，连接 ，则 长的最大值为（ ）
A．8 B． C．9 D．题型四：垂径定理
10．（24-25九年级上·江苏南通）如图，在 中，弦 的长为4，圆心到弦 的距离 为2，则圆O的半径
长是（ ）
A．1 B． C． D．4
11．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ，则线
段 的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
12．（2024·湖南长沙·二模）如图，已知在 中，半径 垂直于弦 ， ， ，那么
（ ）
A．12 B． C．13 D．16
题型五：垂径定理求平行弦问题
13．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦 ， ，则弦 与 的距
离是（ ）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
14．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB
与CD间的距离为（ ）
15．（19-20九年级上·江苏镇江）若⊙ 的半径为10 cm，且两平行弦 ， 的长分别为12 cm，16 cm，则两
弦间的距离是( )
A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．6 cm或8 cm
题型六：垂径定理求几何问题
16．（2022·湖南株洲·模拟预测）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD
交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
17．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
18．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形 ， 是 的直径， 交 于点
E．(1)求证：点D为 的中点；
(2)若 ，求 ．
题型七：垂径定理的推论
19．（24-25九年级上·全国）下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
20．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）如图， 的直径 与弦 交于点E，若B为 的中点，则下列说法
错误的是（ ）．
A． B． C． D．
21．（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， 是弦，点E是 的中点， 交 于点D．连
接 ，若 ， ，求 的长．
题型八：垂径定理的实际应用问题
22．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面 的宽为 米，水面
与管道上端的最大距离为0.2米，则水面 距管道底部的最大深度为（ ）A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米
23．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯
道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1
寸( 寸)，锯道长1尺 尺 寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆
形木材的直径 是（）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
24．（24-25九年级上·江苏连云港）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，
设 所在圆的圆心为 ，拱顶为点 ， 交 于点 ，连接 ．当桥下水面宽 时， ．
(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；
(2)有一条宽为 ，高出水面 的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．
题型九：垂径定理综合问题
25．（24-25九年级上·湖南长沙）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
26．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图， 是 的弦，C是 的中点．
(1)连接 ，求证： 垂直平分 ；
(2)若 ， ，求 的半径．
27．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽 与桥长 均为24米，桥
拱顶部 离水面的距离为8米，以桥拱顶部 为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求圆弧型桥拱所在圆的半径；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱 ， ， ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，
其最低点到桥面的距离为1米．
①求出 轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度．【高分达标】
一、单选题
28．（24-25九年级上·全国）有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆
是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
31．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图在 中， 于C，若 ， ，则半径长度为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．4
32．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问
题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱
形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深 寸，锯道长 尺（1尺 10寸）．这根圆
柱形木材的直径是（ ）
A．6寸 B． 寸 C．13寸 D．26寸
33．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（ ）A．线段 ， ， 都是 的弦
B．线段 经过圆心O，线段 是直径
C．
D．弦 把圆分成两条弧，其中 是劣弧
34．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工
具）的工作原理．如图 ，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆．已知圆心 在水面上方，且 被水面
截得弦 长为 米， 半径长为 米，若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
35．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知 的半径为10， 的一条弦 ，若 内的一点P恰
好在 上，则线段 的长度为整数的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
36．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中， ， 是互相垂直的两条弦，垂足为P，且
，则 的长为（ ）A．3 B．4 C． D．
37．（2024·江西九江·三模）如图1， 是 的直径，C是 上的一点，连接 ，D是 上的动点，过
点D作 于点E． 设 ， ，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，若P是图象的最高点，
则 的长是（ ）
A．10 B．6 C．5 D．
二、填空题
38．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是 的直径，点 在 上， 于点 ．已知
， ，则 的半径为 ．
39．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的弦， 是 上一动点，连接 ， ，若 的半径
为5， ，则点 到 距离的最大值为 ， 面积的最大值为 ．40．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；
④等弧所对的圆心角相等；
⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；
⑥顶点在圆上的角是圆周角；
⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；
⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；
⑨半圆是弧；
⑩过圆心的线段是直径．
41．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 的半径为2，弦 ， ，则 的长为
．
42．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， ， 是半径为 的 的两条弦， ， ，
是直径， 于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小值为 ．
43．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，M为x轴正半轴上一点， 与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴
交于点B，连接 ，将 绕顶点B逆时针旋转 得到 ，此时点C恰在 上，若 半径为4，则点D的坐标是 ．
三、解答题
44．（24-25九年级上·江苏盐城）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
45．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．46．（2024·上海静安·二模）已知：如图， 是 的直径， 、 、 是 的弦， ．
(1)求证： ；
(2)如果弦 长为8，它与劣弧 组成的弓形高为2，求 的长．
47．（2024九年级下·全国·专题练习）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸
杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别
与杯口相交于 、 、 、 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为 ， ， ．请你帮忙计算纸
杯的直径．
48．（2024·安徽·一模）如图1， 为 的直径，弦 于点G，且B为弧 的中点， 交 于点
H，若 ， ．(1)求 的长；
(2)如图2，连接 ．求证： ．
49．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线 与坐标轴相交于点A，B，过点O，A
的 与该直线相交于点C，连结 ， ．
(1)求点E到x轴的距离．
(2)连结 ，求 的长．
