专题 02 二次函数
题型1 二次函数的概念 题型10 二次函数的交点个数问题（重点）
题型2 根据二次函数的定义求参数 题型11 抛物线与x轴的交点问题
题型3 特殊二次函数的图像和性质（常考点） 题型12 根据二次函数图象确定相应方程根
题型4 与特殊二次函数有关的几何知识（重点） 题型13 根据交点确定不等式的解集（常考点）
题型5二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 题型14 二次函数应用-类抛物线问题（常考点）
题型6 二次函数y=ax²+bx+c的最值问题（重点） 题型15 二次函数应用-面积问题（常考点）
题型7 二次函数y=ax²+bx+c的图像问题（重点） 题型16 二次函数应用-利润问题（常考点）
题型8 二次函数的平移变换 题型17二次函数与几何综合应用（重点）
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴
题型一 二次函数的概念（共 2 小题）
1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（ ）
A．y=x3+1 B．y=3s2+s-2
3
C．y=2x2- D．y=-x-4
x
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c的函数（a，b，c是常数，a≠0），
叫做二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、y=x3+1不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、y=3s2+s-2是二次函数，故本选项符合题意；
C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、y=-x-4是一次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数y=2x2-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
）
A．2，0，-1 B．2，2，-1 C．2，2，1 D．2，0，1【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键．
根据二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）即可求解．
【详解】解：二次函数y=2x2-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，-1，
答案：A．
题型二 根据二次函数定义求参数（共 2 小题）
1．（25-26九年级上·北京·阶段练习）函数y=(m+2)x(m2-m-4)+(m-3)x+m是二次函数，则m的值为
（ ）
A．1或-6 B．1 C．-2或3 D．3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，
据此列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得¿，解得m=3，
故选：D．
2．若函数y=(2-k)x|k|+kx+3是y关于x的二次函数时，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．k≠2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到2-k≠0且|k|=2，然后解不等式
和方程即可得到k的值．
【详解】解：∵函数y=(2-k)x|k|+kx+3是关于x的二次函数，
∴ |k|=2，解得k=-2或k=2，
∵ 2-k≠0，
∴ k≠2，
∴ k=-2．
故选：B．
题型三 特殊二次函数的图像和性质 （共 7 小题）
1
1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）抛物线y=- (x-2) 2 顶点坐标是（ ）
2
A．(-2,0) B．(2,0) C．(0,0) D．(0,2)
【答案】B【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y=a(x-h) 2+k的顶点坐标为(h,k)．
1
【详解】解：因为y=- (x-2) 2 是抛物线解析式的顶点式，
2
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2,0)．
故选：B．
2．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）二次函数y=2x2-4的最小值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，理解图象的开口向上是解本题的关键.
对于二次函数y=a(x-h) 2+k(a≠0), 当a>0， 函数图象的开口向上，函数有最小值，当x=h时，最
小值为y=k， 据此直接可得答案.
【详解】解：由二次函数y=2x2-4可得：a=2>0，
∴函数图象的开口向上，函数有最小值，
当x=0时，y =-4．
最小值
故选：D．
3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）二次函数y=-(x+3) 2+2的顶点坐标是（ ）
A．(3,2) B．(-3,2) C．(3,-2) D．(-3,-2)
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．
【详解】解：∵y=-(x+3) 2+2，
∴二次函数y=-(x+3) 2+2的图象的顶点坐标是(-3,2)，
故选：B．
4．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）对于二次函数y=-(x+4) 2+3的图象，下列说法正确的是（
）
A．开口向上 B．y有最小值是3
C．对称轴是直线x=4 D．当x≤-4时，y随x增大而增大【答案】D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可．
【详解】解：二次函数为y=-(x+4) 2+3，
∵a=-1<0，
∴函数图象开口向下，故A错误；
∵二次函数的顶点为(-4,3)，且开口向下，
∴y有最大值是3，故B错误；
根据二次函数的顶点可知对称轴为x=-4，故C错误；
∵对称轴为x=-4，且开口向下，
∴当x≤-4时，y随x增大而增大，故D正确；
故选：D ．
5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知(-4,y )，(-2,y )，(1,y )是抛物线y=(x-3) 2+2上的点，则
1 2 3
（ ）
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
2 1 3 3 1 2 3 2 1 1 3 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由抛物线为y=(x-3) 2+2，则抛
物线开口向上，对称轴是直线x=3，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合(-4,y )，
1
(-2,y )，(1,y )是抛物线y=(x-3) 2+2上的点，可得|1-3|=2，|-2-3|=5，|-4-3|=7，2<5<7，
2 3
进而可以得解．
【详解】解：∵抛物线为y=(x-3) 2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=3，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
又∵(-4,y )，(-2,y )，(1,y )是抛物线y=(x-3) 2+2上的点，
1 2 3
∴|1-3|=2，|-2-3|=5，|-4-3|=7，2<5<7，∴y <y <y ．
3 2 1
m
6．（2025·广东江门·三模）已知 <0，m(n+1)>0，则y关于x的二次函数y=mx2+n的图象可能是
n
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
m
【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据 <0，m(n+1)>0，得出
n
-1<n<0，m>0再根据二次函数图象与系数关系即可求解．
m
【详解】解：∵ <0，
n
∴mn<0，
∵m(n+1)>0，
∴n(n+1)<0，
∵n+1>n，
∴n+1>0，n<0，
∴-1<n<0，
∴m>0，
∴y=mx2+n的图象开口向上，与y轴的交点在(0，-1)与(0,0)之间，
观察四个选项，只有B项的图象符合条件．
故选：B．
7．（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2-a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一次
函数与y轴的交点为(0,1)，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当a<0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限，
当a>0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限，
∴符合题意的是A选项，
故选：A．
题型四 与特殊二次函数有关的几何知识 （共 5 小题）
1．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为
1
(6,2)．若抛物线y=-3(x-h) 2+k(h，k为常数)与线段AB交于C，D两点，且CD= AB，则k的值
3
为 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
根据题意，可以得到CD=2，设点C的坐标为(c,2)，则点D的坐标为(c+2,2)，得到h的值，然后将
点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
【详解】解：∵点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(6,2)，
∴AB=6．
1
∵抛物线y=-3(x-h) 2+k(h，k为常数)与线段AB交于C，D两点，且CD= AB，
3
∴CD=2，
∴设点C的坐标为(c,2)，
则点D的坐标为(c+2,2)，
2c+2
∴h= =c+1，
2
2
∴抛物线为y=-3[x-(c+1)] +k，
2
把点C(c,2)代入，得2=-3[c-(c+1)] +k，
解得：k=5．故答案为：5．
2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组
成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线A 的表达式为y=-(x-6) 2+4，则抛物线A 的表达式
1 6
为 ．
【答案】y=x2+4x
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．根据题意得出A
6
的顶点坐标为(-2,-4)，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【详解】解：∵抛物线A 的表达式为y=-(x-6) 2+4，
1
∴抛物线A 的顶点坐标为(6,4)，
1
∵图形是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，
∴抛物线A 的顶点坐标为(-2,-4)，
6
∴抛物线A 的表达式为y=(x+2) 2-4=x2+4x．
6
故答案为：y=x2+4x．
1
3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线y=(x-h) 2+ 与平行于x轴的直线l交于A，B两点．
2
若AB=3，则点B的纵坐标为 ．
11
【答案】
4
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．设点B的坐标为B(m,n)，则点A的坐标为A(m-3,n)，将点A,B的坐标代入二次函数的解析式求解即可得．
【详解】解：设点B的坐标为B(m,n)，
∵AB平行于x轴，且AB=3，
∴点A的坐标为A(m-3,n)，
1
将点A(m-3,n)，B(m,n)代入y=(x-h) 2+ 得：
2
¿，
3
解得m-h= ，
2
3 (3) 2 1 11
将m-h= 代入②得：n= + = ，
2 2 2 4
11
所以点B的纵坐标为 ，
4
11
故答案为： ．
4
1
4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形OABC是正方形，且点A，C恰好在抛物线 y= x2 上，点B在
2
y轴上，则OB的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点A作AE⊥x轴于点E，设
A
(
x,
1 x2)
，由四边形ABCO是正方形，且点B在y轴上，得∠AOB=∠AOE=45°，得出
2
1
△AOE是等腰直角三角形，推出AE=OE，即x= x2 ，解得x=0（舍去）或x=2，求出AO=2❑√2，
2
由勾股定理可求出OB=4．
【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图，设A
(
x,
1 x2)
，
2
∵四边形ABCO是正方形，且点B在y轴上，
∴∠AOB=∠AOE=45°，
∴∠OAE=45°=∠AOE,
∴OE=AE，
1
∴x= x2 ，
2
解得：x=0（舍去）或x=2，
∴A(2,2)，
∴AO=❑√22+22=2❑√2,
∴AB=AO=2❑√2，
∴OB=❑√AB2+AO2=❑√(2❑√2) 2+(2❑√2) 2=4．
故答案为：4．
5．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛物线y=x2上，
点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角
形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入y=x2即可求解，构造全等三角形解题是关
键．【详解】解：过B作BE⊥y轴于E，过A作AD⊥y轴于D，
在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，则AC=BC，
∵A、B两点的横坐标分别为1和b(b >1)，
∴AD=1，BE=b，
∵点A、B在抛物线y=x2上，
∴A(1,1)，B(b,b2)，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∴△BEC≌△CDA(AAS)，
∴CE=AD=1，CD=BE=b，
∴OE=OD+CD+CE=1+b+1=2+b，
∴b2=2+b，
整理b2-b-2=0，
解得：b=2或-1（舍去），
∴b的值为2，
故答案为：2．
题型五二次函数 y=ax²+bx+ c 的图像和性质（共 5 题）
1．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）二次函数y=-x2+2x-5的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=-1 D．直线x=-2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴公式为b b
x=- 是解题关键．根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴公式为x=- ，代入二次函数解
2a 2a
析式系数的值求解即可．
b 2
【详解】解：二次函数y=-x2+2x-5的图象的对称轴是直线x=- =- =1．
2a 2×(-1)
故选：A ．
2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线y=-x2+2x+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=1
C．当x=1时，y取最大值2 D．当x>1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题主要考查抛物线的性质，先把函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向、
对称轴、顶点坐标以及增减性即可得出答案．
【详解】解：y=-x2+2x+1=-(x-1) 2+2，
∵a=-1<0，
∴抛物线开口向下，故选项A正确，不符合题意；
∴抛物线的对称轴为直线x=1，故选项B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2)，
∴当x=1时，y取最大值2，故选项C正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而减小，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
3．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数y=-3x2+6x+4，关于该函数在-2≤x≤3的取值范围内，下列
说法正确的是（ ）
A．有最大值7，最小值-20 B．有最大值-7，最小值-20
C．有最大值-5，最小值-20 D．有最大值7，最小值-5
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果．
【详解】解：∵y=-3x2+6x+4，
6
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=- =1，
(-3)×2
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵-2≤x≤3，
∴当x=-2时，函数有最小值为y=-3×(-2) 2+6×(-2)+4=-20；
当x=1时，函数有最大值为y=-3+6+4=7；
故选A．
4．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，在同一坐标系中，直线y=ax+b和抛物线
y=ax2+bx+c(c≠0)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关
键．
先根据一次函数图象确定出a<0,b>0，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解．
【详解】解：观察四个选项，得出一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴a<0,b>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c开口方向向下，
b
则对称轴为直线x=- >0，即对称轴在x轴的正半轴，
2a
∵c≠0，
∴抛物线不经过原点，
∴只有C选项图象符合．
故选：C．
5．（2025·广东肇庆·一模）点P (1,y )、P (3,y )、P (5,y )均在二次函数y=-2x2+4x+c的图象上，
1 1 2 2 3 3
则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y = y
3 2 1 3 1 2C．y >y >y D．y = y >y
1 2 3 1 2 3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】解：∵y=-2x2+4x+c，
4
∴抛物线对称轴为直线x=- =1，抛物线开口向下，
2×(-2)
∴点P (1,y )为顶点，其纵坐标y 为最大值；点P (3,y )、P (5,y )在对称轴右侧，
1 1 1 2 2 3 3
∴x>1时，y随x增大而减小，
∵3<5，
∴y >y ，
2 3
∴y >y >y ，
1 2 3
故选：C．
题型六 二次函数 y=ax²+bx+ c 的最值问题（共 3 题）
1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数y=x2+2x-3(-3≤x≤2)的最大值与最小值分别是
（ ）
A．1和-4 B．5和-3 C．4和-3 D．5和-4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出
最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值．
【详解】解：∵y=x2+2x-3(-3≤x≤2)，
∴y=(x+1) 2-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，当x=-1时y有最小值-4，
∵-3≤x≤2，
∴x=2时，y=5是最大值，
∴函数的最大值为5，最小值为-4．
故选：D．
2．（24-25九年级下·广东湛江·自主招生）若函数y=¿当0≤x≤3时，该函数的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了求二次函数的最值，掌握二次函数的性质成为解题的关键．由0≤x≤3得到y=x2-4x+7(x≥-5)，然后根据二次函数的性质求出最小值即可．
【详解】解：∵0≤x≤3，
∴y=x2-4x+7(x≥-5)，
-4
∴抛物线开口向上，对称轴为x=- =2，
2×1
∴当x=2时，该函数取最小值，y=22-4×2+7=3．
故选B．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若抛物线y=a(x+1)(x+3)(a≠0)在
-4≤x≤2时的最大值为3，则a的值为（ ）
1 1 1
A． 或-1 B． 或-3 C． D．-1
5 5 5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
把解析式化成顶点式即可求得抛物线的对称轴为直线x=-2，分两种情况讨论：当a>0时，x=2，y
1
有最大值为15a=3，求得a= ，当a<0时，x=-2，y有最大值为-a=3，求得a=-3．
5
【详解】解：∵y=a(x+1)(x+3)=a(x2+4x+3)=a(x+2) 2-a，
∴抛物线y=a(x+1)(x+3)(a≠0)的对称轴是直线x=-2，
∵抛物线y=a(x+1)(x+3)(a≠0)在-4≤x≤2时的最大值为3，
当a>0时，开口向上，
∴在-4≤x≤2时，x=2，y有最大值为a×(2+2) 2-a=15a，
∴15a=3，
1
∴a= ，
5
当a<0时，开口向下，
∴在-4≤x≤2时，x=-2，y有最大值为-a，
∴-a=3，
∴a=-3，
1
综上所述a= 或a=-3．
5
故选：B．题型七 二次函数 y=ax²+bx+ c 的图像问题（共 5 题）
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-1,2)，(1,0)，
如图所示，给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性
质是关键．依据题意，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关
系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵a>0，b<0，c<0，
∴abc>0，错误；
b b
②由图象可知：对称轴为直线x=- >0，且x=- <1，
2a 2a
∴2a+b>0，正确；
③由图象可知：∵当x=-1时y=2，
∴a-b+c=2，
又∵当x=1时，y=0，
∴a+b+c=0；
∴a-b+c=2与a+b+c=0相加得2a+2c=2，
∴a+c=1，正确；
④∵a+c=1，
∴a=1-c，
又∵c<0，
∴a>1，正确．综上，正确结论的序号是②③④．
故选：D．
2．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0)，抛物
线的对称轴是直线x=1，顶点在第一象限，给出下列结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；
④若A(x ,y )、B(x ,y )（其中x <x ）是抛物线上的两点，且x +x =2，则y = y ．其中正确的
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关
键．根据二次函数的性质可得a<0，b=-2a，b>0，即可判断结论①；由x=2处的函数值可判断结
论②；由x=-1处函数值可判断结论③；根据x +x =2得到点A(x ,y )到对称轴的距离等于点
1 2 1 1
B(x ,y )到对称轴的距离可判断结论④．
2 2
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴a<0，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，
b
∴- =1，b=-2a>0，
2a
∴ab<0，故①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1，
∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为(3,0)，
由函数图象可得x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，故②正确；
∵x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，
∴a-(-2a)+c=0，即3a+c=0，故③错误；
∵对称轴是直线x=1，
x +x
∴若 1 2=1，即x +x =2时，故④正确．
2 1 2
综上所述，正确的选项是①②④，共3个．
故选： C．
3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示．
下列判断中：①abc>0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若点(-0.5,y ),(-2,y₂)均在抛物线
1
上，则y >y ；⑤5a-2b<0．其中正确的个数有（ ）
1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出a>0，
结合对称轴位置判断出b>0，再根据与y轴的交点位置，判断c<0，进而得出结论①错误；根据抛物
线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，
判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出b=2a，进而得出
5a-2b=5a-4a=a>0，即可判断⑤错误；综上即可得答案．
【详解】解：抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=- =-1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，
∴abc<0，
故①错误；
抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2-4ac>0，
②正确；
抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3,0)，
∴9a-3b+c=0，
③正确；
点(-0.5,y )到直线x=-1的距离比点(-2,y )到直线x=-1的距离小，且抛物线开口向上，
1 2
∴y <y ，
1 2
故④错误；
∵b=2a，
∴5a-2b=5a-4a=a>0，
故⑤错误．
综上所述，正确的有②③，一共2个．
故选：A．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2．下列说
法：①abc<0；②c-3a>0；③当x>-1时，y随x的增大而减小；④4a2-2ab≥a2t2+abt（t为任
意实数）．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，①分别判断a、b、
c的符号，再判断abc的符号；②由对称轴为直线x=-2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c-3a的符号；③利用二次函数的性质即可判断；④用a与b的数量
关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
【详解】解：①因图象开口向下，可知：a<0；
又∵对称轴为直线x=-2，
b
∴- =-2，整理得：b=4a，即a、b同号．
2a
由图象可知，当x=-4时，y<0，
又∵对称轴为直线x=-2，可知：当x=0时，y<0；
即c<0；
∴abc<0，故①正确．
②由①得：b=4a．
代入原解析式得：y=ax2+4ax+c；
由图知，当x=-1时，y>0，即a⋅(-1) 2+4a⋅(-1)+c>0，
∴c-3a>0，故②正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=-2，
∴当x>-2时，y随x的增大而减小．
∴当x>-1时，y随x的增大而减小，故③正确．
④设4a2-2ab≥a2t2+abt=at(at+b)，则at⋅t-bt≥4a-2b，
∴两边加c得到4a-2b+c≤at⋅t-bt+c，
∴不等式左侧为x=-2时的函数值为最大值，右侧为x=t时的函数值，则不成立，故④错误．
综上，①②③正确，共3个．
故选：C．
5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于
点(4,0)，对称轴为直线x=1，下列结论中（ ）①abc>0；②3a+c<0；③M(-3,y ),N(3,y )是抛物线上两点，则y <y ；
1 2 1 2
1
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a-5没有实数根，则0<a< ；
2
⑤对于任意实数m，总有am2+bm-a-b>0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：①由抛物线开口向上得，a>0；由对称轴位于y轴的右侧得，a,b符号相异，b<0；由
抛物线与y轴交于负半轴得，c<0；∴abc>0，该选项正确，符合题意；
b
②由对称轴为直线x=1得，- =1，b=-2a，(4,0)的对称点为(-2,0)，
2a
当x=-1时，y=a-b+c=3a+c<0，该选项正确，符合题意；
③∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，且|-3-1|=4,|3-1|=2,4>2，
∴y >y ，该选项错误，不符合题意；
1 2
④由②得b=-2a，
y=ax2-2ax+c，
将(4,0)代入上式得，16a-8a+c=0，
解得c=-8a，
由关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a-5没有实数根，结合图象得，
a-5<a+b+c，
即a-5<a-2a-8a，
1
解得a< ，
2
又因为抛物线开口向上，
1
∴0<a< ，该选项正确，符合题意；
2
⑤∵抛物线开口向上，
∴顶点为最低点，顶点纵坐标为最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c
即am2+bm-a-b≥0，该选项错误，不符合题意；所以正确的选项是①②④，
故选：B．
题型八 二次函数的平移变换（共 3 题）
1．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度，向下平移4个单位
长度，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y=2(x+3) 2+4 B．y=2(x+3) 2-4
C．y=2(x-3) 2-4 D．y=2(x-3) 2+4
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律“左加右减括号内，上加下减括号
外”是解题的关键．
根据“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移求解即可．
【详解】解：将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式
为y=2(x+3) 2-4．
故选B．
2．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）将二次函数y=-2(x-1) 2-3的图象先向左平移2个单位，再向上平
移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（ ）
A．y=-2(x-3) 2-2 B．y=-2(x+1) 2-2 C．y=-2(x+1) 2-4 D．
y=-2(x-3) 2-4
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问
题的关键．根据二次函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案．
【详解】解：将抛物线y=-2(x-1) 2-3的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛
物线为：y=-2(x-1+2) 2-3+1=-2(x+1) 2-2，
故选：B．3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数y=x2-4x+3的图像向右平移2个单位，再向
上平移1个单位后，解析式为（ ）
A． y=(x-6) 2-2 B． y=(x-2) 2+1
C．y=(x+2) 2-1 D． y=(x-4) 2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加
下减，左加右减解答即可．
【详解】解：依题意，y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2) 2-1
∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴y=(x-2-2) 2-1+1=(x-4) 2
故选：D．
题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共 3 题）
1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）若点A(1,-5)，B(5,-5)都在抛物线y=ax2+bx+c上，则该抛
物线的对称轴是（ ）
1
A．直线x=6 B．直线x=
2
5
C．直线x= D．直线x=3
2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解即可，熟练掌握二次函数的
图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵点A(1,-5)，B(5,-5)都在抛物线y=ax2+bx+c上，
1+5
∴该抛物线的对称轴是直线 =3，
2
故选：D．
2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0)，(3,0)，则抛
物线的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线x=1 C．直线x=-2 D．直线x=2
【答案】B【分析】本题考查了抛物线的对称性，根据抛物线与x轴的公共点的纵坐标都为0，可判定这两点是
x +x
抛物线上的一对对称点，把两点的横坐标代入公式x= 1 2求解即可．
2
【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点为(-1,0)和(3,0)，即这两个点关于抛物线的对称轴对称
-1+3 2
∴抛物线的对称轴为直线x= = =1，
2 2
故选：B．
3．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线y=x2-bx+c经过(2,m)和(-4,m)两点，则b的值为
（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
【答案】A
-b
【分析】根据(2,m)和(-4,m)可以确定抛物线的对称轴为x=-1，再由对称轴的x=- ，即可求
2×1
出b．本题考查二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线y=x2-bx+c经过(2,m)和(-4,m)两点，
2+(-4)
∴抛物线的对称轴为：x= =-1，
2
-b
∴- =-1，
2×1
∴b=-2，
故选：A．
题型十 二次函数的交点个数问题（共 5 题）
1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数y=-x+2a的图象与二次函数y=x2-3x+5的图象有两
个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>-2 B．a>2 C．a≥2 D．a≥-2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式等知识点，熟练掌握并能灵活运
用二次函数的性质是解题的关键．
依据题意，由一次函数y=-x+2a的图象与二次函数y=x2-3x+5的图象有两个交点，从而可联立方
程x2-3x+5=-x+2a，即x2-2x+5-2a=0，再结合题意运用根的判别式列不等式求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=-x+2a的图象与二次函数y=x2-3x+5的图象有两个交点，
∴联立方程x2-3x+5=-x+2a．∴x2-2x+5-2a=0．
∴Δ=4-4(5-2a)>0．
∴a>2．
故选：B．
2．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数y=x2-x-2及一次函数y=-x+m，将该二次函数在x轴上方
的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=-x+m与新图象有
4个交点时，m的取值范围是（ ）
25 13
A．-2<m<-1 B． <m≤1 C．-3<m<-2 D．- <m<-3
4 4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先求出A、B点坐标，作图分析出现四个交点的情
况，过点A的直线与抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出m值即可得到答
案．
【详解】解：如图，
∵y=x2-x-2= ( x- 1) 2 - 9 ，
2 2
令y=x2-x-2=0，则x=-1或x=2，
∴A(-1,0)，B(2,0)，
∵直线y=-x+m与新图象有4个交点，
∴①当直线y=-x+m过点A时，则交点有3个，此时m=-1；②当直线y=-x+m与抛物线相切时，则x2-x-2=-x+m，整理得：
x2-(2+m)=0，
Δ=02+4×(2+m)=0，
解得m=-2，
如图所示，当直线y=-x+m在两条直线之间时，有4个交点，
此时m的范围为：-2<m<-1．
故选：A．
3．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A，
与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点C(0,5)
作直线l∥x轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为
（ ）
A．m>1 B．1<m≤2 C．1<m<2 D．1≤m≤2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出点B和L的顶点坐标，即可解答．
【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4，
∴B(0,3)，顶点坐标为(1,4)，
∵直线l过点C(0,5)，
∴点B到直线l距离2个单位长度，L的顶点距离直线l1个单位长度，
∴1<m≤2，
故选：B．
4．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数y=-x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴
翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y=x+m与新
图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（ ）25 25
A．- ≤m≤-2B．- ≤m≤-3 C．-6≤m≤-2 D．-7≤m≤-3
4 4
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程
的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化二次函数与一元二次方程的关系
是解题的关键．由题意容易求解抛物线与x轴的交点分别为A(-2,0)，B(3,0)，再利用函数翻折性质
求得翻折部分解析式为y=x2-x-6(-2≤x≤3)，再求出直线y=x+m经过点B(3,0)时m的值，以及
与抛物线y=x2-x-6有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围．
【详解】解：当y=0时，0=-x2+x+6，解得x =-2，x =3，则A(-2,0)，B(3,0)，
1 2
∵将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，
∴翻折部分的解析式为y=(x+2)(x-3)=x2-x-6(-2≤x≤3)，
当直线y=x+m经过点B(3,0)时，3+m=0，解得m=-3；
当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-6有唯一公共点时，方程x2-x-6=x+m有相等的实数根，即方
程x2-2x-m-6=0有相等的实数根，
∴Δ=(-2) 2-4(-m-6)=0，
解得：m=-7；
∴结合图象可知，当直线y=-x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为-7≤m≤-3．
故选：D．
5．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C1
分别在y轴与x轴上，点B的坐标为(5,4)．抛物线y= x2-bx+c经过点(m,n)和(m+2,n)．当y随x
2
的增大而增大时，x的取值范围是x>2m-2．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是
．
15
【答案】0<c< 或8<c<12
2
1
【分析】本题考查抛物线的图象及性质．根据抛物线y= x2-bx+c经过点(m,n)和(m+2,n)，得到
2
抛物线的对称轴为y=m+1，根据增减性得到m+1=2m-2，从而m=3，进而得到对称轴为y=4，
b=4．根据抛物线与矩形的边有两个交点，求出抛物线过各个临界点时c的值，即可解答．
1
【详解】解：∵抛物线y= x2-bx+c经过点(m,n)和(m+2,n)，
2
m+m+2
∴抛物线的对称轴为y= =m+1，
2
∵抛物线开口向上，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x>2m-2，
∴m+1=2m-2，解得m=3，
∴抛物线的对称轴为y=4，
-b
- =4
∴ 1 ，
2×
2
∴b=4，
1
∴抛物线为y= x2-4x+c．
2
如图，当抛物线经过原点时，c=0，如图，当抛物线经过点C(5,0)时，
1 15
×52-4×5+c=0 c=
2 2
，解得 ，
15
∴当0<c< 时，抛物线与矩形的边有两个交点；
2
如图，当抛物线顶点在x轴上时，
1
×42-4×4+c=0 c=8
2
，解得 ，
如图，当抛物线顶点在AB上时，
1
×42-4×4+c=4 c=12
2
，解得 ，
∴当8<c<12时，抛物线与矩形的边有两个交点；
15
0<c< 或8<c<12．
2题型十一 抛物线与 x 轴的交点问题（共 4 题）
1．（25-26九年级上·北京·开学考试）抛物线y=x2+x-6与x轴交点的横坐标是（ ）
A．2，-3 B．-2，3 C．2，3 D．-2，-3
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键．
令y=0，则x2+x-6=0，计算即可得到答案．
【详解】解：令y=0，则x2+x-6=0，
解得：x=-3或x=2，
∴抛物线y=x2+x-6与x轴交点的横坐标是2，-3，
故选：A．
2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）抛物线y=x2-2x+c与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，则此抛物线
与x轴的另一个交点坐标是（ ）
(5 ) (7 )
A． ,0 B．(2,0) C． ,0 D．(3,0)
2 2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．
先求出二次函数的对称轴，进而得出另一个交点坐标．
-2
【详解】解：由抛物线y=x2-2x+c中，对称轴为：x=- =1，
2×1
∵抛物线y=x2-2x+c与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，
∴此抛物线与x轴的另一个交点坐标是(3,0)，
故选：D.
3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知二次函数y=kx2-2x-3的图象与x轴没有交点，则k的取
值范围为（ ）
1 1 1 1
A．k>- B．k≥- 且k≠0 C．k<- D．k>- 且k≠0
3 3 3 3
【答案】C
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点的知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，解题时要抓住
二次函数与x轴无交点的特点进行求解．根据y=kx2-2x-3的图象与x轴无交点，当图象在x轴上方
时，¿，当图象在x轴下方时，¿，由此能够求出k的取值范围．
【详解】解：∵y=kx2-2x-3的图象与x轴无交点，∴当图象在x轴上方时，¿，
∴当图象在x轴上方时¿，
无解；
当图象在x轴下方时，¿，
∴¿，
1
∴k<- ．
3
1
∴k的取值范围是k<- ，
3
故选：C．
4．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）若抛物线y=x2+x-c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范
围是（ ）
1 1 1 1
A．c> B．c≥ C．c≤- D．c<-
4 4 4 4
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与x轴交点情况，以及解一元一次不等式，解题的关键在于掌握：当
b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点，当
b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
据此建立不等式求解，即可解题．
【详解】解：∵抛物线y=x2+x-c（c是常数）与x轴没有交点，
∴ b2-4ac<0，
1
即12-4×1×(-c)<0，解得c<- ，
4
故选：D．
题型十二 根据二次函数图象确定相应方程根（共 3 题）
1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一
元二次方程-x2+2x+m=0的解为（ ）
A．x =3，x =-2 B．x =-1，x =3
1 2 1 2C．x =-3，x =3 D．x =3，x =1
1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题
的关键．
由图知抛物线与x轴交于点(3,0)，代入y=-x2+2x+m，求出m的值，再解方程-x2+2x+3=0即可．
【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点(3,0)，
将(3,0)代入y=-x2+2x+m，得0=-9+6+m，
∴m=3，
∴原方程为-x2+2x+3=0，
解得：x =-1，x =3；
1 2
故选：B．
2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)，(-3,0)，
则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为（ ）
A．x =1，x =3 B．x =-1，x =-3
1 2 1 2
C．x =-1，x =3 D．x =1，x =-3
1 2 1 2
【答案】D
【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与
一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)，(-3,0)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x =1，x =-3，
1 2
故选：D．
3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+6交于A(-2,4)，B(3,9)两点，则一
元二次方程ax2-bx-6=0的根为 ．
【答案】x =-2，x =3
1 2
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题关键是通过图象求解．将一元二次方程ax2-bx-6=0变形为
ax2=bx+6，由交点坐标即可得出答案．
【详解】解：把一元二次方程ax2-bx-6=0变形为ax2=bx+6，
∵抛物线y=ax2与直线y=bx+6交于A(-2,4)，B(3,9)两点，点A，B横坐标分别为-2，3，
∴关于x的一元二次方程ax2-bx-6=0的解是x =-2，x =3．
1 2
故答案为：x =-2，x =3．
1 2
题型十三 根据交点确定不等式的解集（共 4 题）
1．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一元
二次不等式ax2+bx+c<0的解集是 ．
【答案】x<1或x>3
【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键．
利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方．
【详解】根据题意，得一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是：x<1或x>3，
故答案为：x<1或x>3．
2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交
于A(2,p),B(-4,q)两点，则不等式ax2-mx-n+c≤0的解集是
【答案】x≤-4或x≥2
【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为ax2+c≤mx+n，即找到抛物线在直线下
方时的自变量的范围即可．
【详解】解：∵ax2-mx-n+c≤0，
∴ax2+c≤mx+n，∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(2,p),B(-4,q)两点，
∴由图象可知：ax2+c≤mx+n的解集为：x≤-4或x≥2；
故答案为：x≤-4或x≥2．
3．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线y =ax2+bx+c与直线y =kx+m的交点为A(1,-3)，
1 2
B(6,1)．当y <y 时，x的取值范围是 ．
1 2
【答案】1<x<6
【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．根据图像即可得出
y <y 时，抛物线的图像在直线的下方，即可得出x的取值范围．
1 2
【详解】解：由图象可知，当y <y 时，x的取值范围是1<x<6．
1 2
故答案为：1<x<6．
1
4．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知抛物线y= (x-2) 2-3的部分图象如图所示，若y≤0，则x
3
的取值范围为 ．
【答案】-1≤x≤5
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据解析式，得抛物线的对称轴为x=2，开口向上，
抛物线与x轴的另一个交点为(5,0)，结合图形即可求解．
1
【详解】解：∵y= (x-2) 2-3，
3
∴抛物线的对称轴为x=2，开口向上，抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)，
则(-1,0)关于x=2对称的点为(5,0)，即抛物线与x轴另一个交点为(5,0)，所以y≤0时，x的取值范围是-1≤x≤5．
故答案为：-1≤x≤5．
题型十四 二次函数应用 - 类抛物线问题（共 8 题）
1．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y
1
（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为y=- (x-3) 2+4，则小明掷铅球的成绩为（ ）米．
9
A．3米 B．4米 C．9米 D．10米
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用．取y=0，求得x的值，取正值，即为小明将铅球推出的距离．
1
【详解】解：当y=0时，- (x-3) 2+4=0，
9
(x-3) 2=36，
x-3=6或x-3=-6，
∴x =9，x =-3（不合题意，舍去），
1 2
∴小明将铅球推出的距离为9米．
故选：C．
2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小
球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数
关系是h=-5t2+20t，当小球达到最高点时，飞行时间t为（ ）
A．2 B．1 C．20 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有h=-5t2+20t=-5(t-2) 2+20，
∵-5<0
∴当t=2时，h有最大值．故选：A．
3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物
线形拱桥，当拱顶距水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．
【答案】(4❑√2-4)
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实
际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为y=ax2(a≠0)，把B(2,-2)代入进而求出二次函
数解析式，再通过把y=-4代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：如图，建立直角坐标系，则B(2,-2)，
可设这条抛物线为y=ax2(a≠0)，
把B(2,-2)代入得：-2=a×22，
1
解得：a=- ，
2
1
∴y=- x2 ，
2
1
当y=-4时，- x2=-4，
2
解得：x=±2❑√2，
∴水面下降2m，水面宽度增加(4❑√2-4)m．
故答案为：(4❑√2-4)．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面
AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m．(1)如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解
析式；
(2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部
分EF与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面
CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度．
1
【答案】(1)抛物线的解析式为y=- x2+1.8
2
(2)这串彩灯的最大长度为2.2米
【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点．
（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k(a≠0)，得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和
k的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）表示出彩灯EM+EF+FN的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：y=ax2+k(a≠0)，
由题意得：拱顶的坐标为(0,1.8)，点D的坐标为(2,-0.2)，
∴¿，
解得¿，
1
∴抛物线的解析式为y=- x2+1.8；
2
（2）解：由题意设，点F ( a,- 1 a2+1.8 ) ，
2
∴EF=2a
，∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，秋季水位会下降约0.2m，
∴彩灯的最低点M，N在直线y=1.2上，
∴点N为(a,1.2)，
1
∴FN=- a2+0.6，
2
设彩灯的长度为w，
w=EF+2FN =2a-a2+1.2 =-a2+2a+1.2，
∵-1<0，
∴a=1时，w最大，w =-1+2+1.2=2.2，
最大
答：这串彩灯的最大长度为2.2米．
5．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，
隧道的最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式．
(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
1
【答案】(1)y=- (x-4) 2+6
4
(2)可以通过
(3)可以通过
【分析】此题考查抛物线的性质及其应用，将抛物线上y=4的两个点之间的水平距离与货车宽度作比
较，从而来解决实际问题．
（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令y=4，解出x的值，然后将|x -x |与车宽2m作比较即可求解；
1 2
（3）隧道内设双行道后，将（2）求出y=4时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标(4,6)，
设抛物线的方程为y=a(x-4) 2+6，又因为点A(0,2)在抛物线上，
所以有2=a(0-4) 2+6．
1
所以a=- ．
4
1
因此抛物线为：y=- (x-4) 2+6．
4
1
（2）解：令y=4，则有4=- (x-4) 2+6，
4
解得x =4+2❑√2，x =4-2❑√2，
1 2
|x -x |=4❑√2>2，
1 2
∴货车可以通过；
（3）解：由（2）可知|x -x |= 4❑√2>2×2，
1 2
∴货车可以通过．
6．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创
制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点P离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙
的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，高CD为6米，点P与点B的水平距离为23米，以发射点
P的正下方O点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将石块当作
一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y=a(x-15) 2+k．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为12米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B,C），求出a的取值范围．1
【答案】(1)①y=- （x-15）2+12；②石块能飞越防御墙
25
3 3
(2)- ≤a≤-
125 161
【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次
函数的性质．
（1）①根据石块在空中飞行的最大高度为12米，可得出y=a（x-15）2+12，再将P（0,3）代入，
求出抛物线的函数解析式；
②依据题意，由墙高为6米，则令y=6，得到关于x的一元二次方程求解，再结合墙宽BC为2米，点
P与点B的水平距离为23米，可判断得解；
（2）把（0,3），（23,6）代解析式求出a，把（25,6），（0,3）代入解析式求出a，得出a的取
值范围．
【详解】（1）解：①∵发石车发射点点P离地面高3米，
∴P（0,3），
∵抛物线为y=a（x-15）2+k，且石块在空中飞行的最大高度为12米，
∴y=a（x-15）2+12，
把P（0,3）代入y=a（x-15）2+12，
得：3=a×（0-15）2+12，
1
解得a=- ，
25
1
所以抛物线的解析式为y=- （x-15）2+12；
25
②∵墙高为6米，
1
∴当y=6时，6=- （x-15）2+12，
25
解得x=15-5❑√6（舍去）或x=15+5❑√6，
∵15+5❑√4<15+5❑√6<15+5❑√9，
∴15+5×2<15+5❑√6<15+5×3，
∴25<15+5❑√6<30，
∵墙宽BC为2米，点P与点B的水平距离为23米，且23+2=25<15+5❑√9，
∴石块能飞越防御墙；
（2）由题意，得y=a（x-15）2+k，
把（0,3），（23,6）代入解析式，3
得：¿，解得：a=- ，
161
把C（25,6），（0,3）代入解析式，
3
得：¿，解得：a=- ，
125
3 3
∴若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B，C），则- ≤a≤- ．
125 161
7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，
在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高
度为3m，水柱落地处离池中心3m；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为
x轴，水管所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系．
(1)求水管OA的长度；
(2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为3.5m，已知水管升高后，喷水头喷
出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管OA要升高多少m?
9
【答案】(1)OA= 米
4
27
(2)
16
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．
（1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令x=0，即可求解；
（2）设水管OA要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解．
【详解】（1）解：如图2，令水柱最高点为点C，水柱落地处为点B，由题意可知，B(3,0)，C(1,3)，
设抛物线的表达式为y=a(x-1) 2+3(a≠0)，
∵点B(3,0)在抛物线上，
∴0=a×(3-1) 2+3，
3
解得a=- ，
4
3
∴抛物线的表达式为y=- (x-1) 2+3(0≤x≤3)，
4
9
令x=0，则y= ，
4
9
∴水管OA的长度为 米；
4
3
（2）设水管OA要升高h米，则扩建后抛物线的表达式为y=- (x-1) 2+3+h，
4
3
把(3.5,0)代入得，0=- (3.5-1) 2+3+h，
4
27
解得h= ，
16
27
∴水管OA要升高 m．
16
8．（2025·湖北武汉·模拟预测）一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地
草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点O处，喷水头A的竖直高度OA为1m，当喷射出
的水流与点O的水平距离为10m时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为6m．在直线坡地草坪
OB上，点B与点O的水平距离为15m，与水平地面的竖直高度为3m．(1)求水流抛物线的解析式；
(2)求水流抛物线与直线坡地草坪OB之间的竖直距离的最大值；
(3)已知在点B处有一棵竖直高度为2.4m的小树BC．若将喷灌架沿直线坡地草坪OB向右移动，设其向
右水平移动am（其中0<a<15），使其喷射出的水流不被小树BC遮挡，直接写出a的取值范围．
1
【答案】(1)y =- (x-10) 2+6
1 20
21
(2)
5
(3)1<a<13
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）由顶点设抛物线的解析式为y =a(x-10) 2+6，将点A(0,1)代入求解即可；
1
1 1 1
（2）先求得直线OB的解析式为y = x，计算y - y =- (x-10) 2+6- x，利用二次函数的性质
2 5 1 2 20 5
求解即可；
1
（3）由题意得平移后的抛物线可表示为y=- (x-10-a) 2+6+0.2a，将点C(15,5.4)代入，计算
20
即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，水流抛物线的顶点坐标为(10,6)，
设水流形成的抛物线的解析式为y =a(x-10) 2+6，
1
将点A(0,1)代入得，1=a(0-10) 2+6，
1
解得a=- ，
20
1
∴水流抛物线的解析式为y =- (x-10) 2+6；
1 20
（2）解：由题意可知点B坐标为(15,3)，
设直线OB的解析式为y =kx，把B(15,3)代入得3=15k，
21
∴k= ，
5
1
∴直线OB的解析式为y = x，
2 5
1 1 1 4 1 21
∴y - y =- (x-10) 2+6- x =- x2+ x+1=- (x-8) 2+ ，
1 2 20 5 20 5 20 5
1
∵- <0，抛物线开口向下，
20
21
∴当x=8时，y - y 取最大值，最大值为 ；
1 2 5
a
（3）解： 设喷灌架沿直线坡地草坪向右水平移动am，则向上移动 m，
5
1 a
则平移后的抛物线可表示为y=- (x-10-a) 2+6+ ，
20 5
1 a
将点C(15,5.4)代入得，5.4=- (15-10-a) 2+6+ ，
20 5
解得a=1或a=13．
∴结合图象可得，a的取值范围为1<a<13．
题型十五 二次函数应用 - 面积问题（共 3 题）
1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图
中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(2)矩形围栏ABCD面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏BC的长；不存在，请说明理由．
【答案】(1)栅栏BC的长为10米
17
(2)矩形围栏ABCD面积存在最大值，BC的长为 米
2
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次
函数解析式．
（1）先表示出AB的长，再根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（2）设矩形围栏ABCD面积为S，首先得到x<17，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求解即
可．
【详解】（1）解：∵设栅栏BC长为x米，
∴DC=49+2-3x=(51-3x)米，
依题意，得：(51-3x)x=210，
整理，得：x2-17x+70=0，
解得：x =7,x =10．
1 2
当x=7时，AB=51-3x=30>28，不合题意，舍去，
当x=10时，AB=51-3x=21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（2）解：矩形围栏ABCD面积存在最大面积；理由如下：
设矩形围栏ABCD面积为S，
根据题意得，51-3x>0，
∴x<17，
17 2 867
∴S=(51-3x)x=-3x2+51x=-3(x- ) + ，
2 4
∵-3<0，
17 17 867
∴当x= 时，即BC= 米时，S有最大值 ．
2 2 4
2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架ABCD，铁
丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)当AB的长为多少厘米时，矩形ABCD面积最大？
【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米．
(2)10
【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．60-3x 60-3x
（1）设AB的长为x厘米，则有AD= 厘米，然后根据题意可得方程 ⋅x=144，进而
2 2
求解即可；
60-3x 3
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有S= ⋅x=- (x-10) 2+150，然后根据二
2 2
次函数的性质可进行求解．
60-3x
【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有AD= 厘米，
2
60-3x
由题意得： ⋅x=144，
2
整理得：x2-20x+96=0，
解得：x =8,x =12，
1 2
60-3x
∵ >0，
2
∴0<x<20，
∴x =8,x =12都符合题意，
1 2
答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：
60-3x 3 3
S= ⋅x=- x2+30x=- (x-10) 2+150，
2 2 2
3
∵- <0，且0<x<20，
2
∴当x=10时，S有最大值，
∴当AB的长为10厘米时，矩形ABCD面积最大．
3．（2025·湖北·模拟预测）如图，学校利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的生物乐园，供学生种植花
草，进行学习和研究．其中AD∥BC，且∠C=90°．如果新建的两道墙BC, CD总长15m．设生
物乐园面积为Sm2，DC的长为xm．
(1)求S与x的函数关系式．
(2)生物乐园的面积能达到40m2吗？说明理由；(3)当x取何值时，才能使生物乐园的面积最大？
3
【答案】(1)S=- x2+15x
2
(2)生物乐园面积的面积能不能达到40m2，见解析
(3)当x=5时，生物乐园的面积最大．
【分析】本题考查求函数解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）由题意可得：BC的长为(15-x)m，过A作AH⊥BC于H，证明四边形AHCD是矩形，得到
AD=HC, AH=DC=xm．证明∠ABH=45°=∠BAH，得到BH=AH=xm，根据梯形的面积公
式即可列出函数解析式；
3
（2）令S=- x2+15x=40，根据一元二次方程根的判别式判断即可；
2
（3）根据二次函数的图象及性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：BC的长为(15-x)m，过A作AH⊥BC于H．
∵AD∥BC，
∴AH⊥AD．
∵∠C=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD=HC, AH=DC=xm．
∵∠BAD=135°，
∴∠BAH=∠BAD-∠DAH=45°，
∴∠ABH=45°=∠BAH．
∴BH=AH=xm，
∴AD=HC=BC-BH=(15-2x)m．
1 3
∴S= (15-2x+15-x)⋅x=- x2+15x．
2 2
3
（2）解：S=- x2+15x=40，
2
整理得：3x2-30x+80=0．
Δ=900-4×3×80=-60<0，所以方程没有实数解．即生物乐园面积的面积能不能达到40m2；
3 3 75
（3）解：由（1）可知：S=- x2+15x=- (x-5) 2+ ．
2 2 2
3
∵- <0，
2
∴抛物线开口向下，对称轴为x=5，
75
当x=5时，生物乐园的面积最大，最大值为 ．
2
题型十六 二次函数应用 - 利润问题（共 3 题）
1．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，
周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
销售单价x
… 60 65 70 …
（元）
周销量y（盒） … 240 210 180 …
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
(3)若规定销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得多少利润．
【答案】(1)y=-6x+600
(2)当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元
(3)每周至少可获得3000元的利润．
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用：
（1）用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润；
（3）由（2）每周出售这种糕点所获利润W =-6(x-70) 2+5400，利用二次函数的性质结合自变量的
取值范围即可解答．
【详解】（1）解：由题意，设y关于x的函数表达式为y=kx+b，
∴¿．
∴¿．
∴y关于x的函数表达式为y=-6x+600；
（2）解：设销售利润为W元，
由题意，可得每周出售这种糕点所获利润W =(x-40)(-6x+600)W =-6x2+840x-24000=-6(x-70) 2+5400，
∵-6<0，
∴当x=70时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元；
（3）解：由（2）每周出售这种糕点所获利润W =-6(x-70) 2+5400
又∵50≤x≤70，
∴当x=50时，所获利润最小为3000元；当x=70时，所获利润最大为5400元．
∴销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得3000元的利润．
2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江
流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆
文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水
杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150
元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50
件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？
(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价
应定为每件多少元？
(3)当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？
【答案】(1)A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为15元
(2)8元
(3)实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元．
【分析】（1）设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为(x+5)元，根据题意，得
150 100
= ，解方程即可．
x+5 x
（2）设降价为x元，实际售价(15-x)元，每天可售出[50+10×x]=(10x+50)件，根据题意，得
(15-x)(10x+50)=960，解得即可．
（3）设降价为x元，实际售价(15-x)元，每天可售出[50+10×x]=(10x+50)件，销售额为y元，根
据题意，得y=-10x2+100x+750=-10(x-5) 2+1000，解答即可．
本题考查了分式方程的应用题，一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键．
【详解】（1）解：设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为(x+5)元，
150 100
根据题意，得 = ，
x+5 x
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的根．
此时x+5=15，
答：A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为15元．
（2）解：设降价为x元，实际售价(15-x)元，每天可售出[50+10×x]=(10x+50)件，
根据题意，得(15-x)(10x+50)=960，
整理得x2-10x+21=0，
解得x =3,x =7，
1 2
根据尽可能让顾客得到实惠，x =7，保留，x =3,舍去，
2 1
故B系列产品的实际售价应定为每件(15-x)=8元．
（3）解：设降价为x元，实际售价(15-x)元，每天可售出[50+10×x]=(10x+50)件，销售额为y元，
根据题意，得y=(15-x)(10x+50)，
故y=-10x2+100x+750=-10(x-5) 2+1000，
∵-10<0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，且x=5时，y取得最大值，且最大值为1000元．
故实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元．
3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）为缓解停车难的问题，贵阳市某小区利用一块长方形空地建一
个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车
位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为880m2．
(1)求通道的宽是多少米；
(2)该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车
位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金为500元时，求此时停车场的月租金总收入是多少元；②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到
附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个
车位月租金上涨多少元时，停车场每月的总收入最高，最高是多少？
【答案】(1)通道的宽是6米；
(2)①此时月租金总收入为27000元；②每个车位月租金上涨270元时，停车场的总收入最高，最高是
32890元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二
次函数的性质是关键．
（1）依据题意，设通道的宽是x米，则阴影部分可合成长为(52-2x)米，宽为(34-2x)米的长方形，
根据停车位占地面积为880m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结
论；
（2）①依据题意，由每个车位月租金从400元涨到500元，则上涨了(500-400)÷10=10个10元，
故少租出10个车位，即租出的车位数量为64-10=54，进而可以计算得解；
( m )
②依据题意，设每个车位的月租金上涨m元，停车场的总收入为y元，则可租出 64- 个车位，进
10
1
而可得y=- (m-270) 2+32890，再结合二次函数的性质即可判断得解．
10
【详解】（1）解：设通道的宽是x米，则阴影部分可合成长为(52-2x)米，宽为(34-2x)米的长方
形，
根据题意得：(52-2x)(34-2x)=880，
∴x =6,x =37（不符合题意，舍去）．
1 2
答：通道的宽是6米．
（2）解：①由题意，∵每个车位月租金从400元涨到500元，
∴上涨了(500-400)÷10=10个10元，
∴少租出10个车位，即租出的车位数量为64-10=54．
∴此时月租金总收入为500×54=27000（元）．
②由题意，设每个车位的月租金上涨m元，停车场的总收入为y元，
( m )
∴可租出 64- 个车位．
10
∴y=(400+m) ( 64- m ) +30×10× m =- 1 m2+54m+25600，
10 10 101
即y=- (m-270) 2+32890，
10
1
∵- <0，
10
∴当m=270时，y取得最大值，最大值为32890，
∴每个车位月租金上涨270元时，停车场的总收入最高，最高是32890元．
题型十七 二次函数与几何综合应用（共 3 题）
1．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线y=-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线
y=-x2+bx+c经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点G是抛物线上的一点，且满足S =S ，求点G的坐标．
△GOC △ABC
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 △BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求
出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3
(2)点G的坐标为(4,-5)或(-4,-21)
(3)存在，点Q的坐标为(1,-2)或(1,4)
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与图形的面积，二次函数图象的性质，直角三
角形的判定．
（1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出关系式即可；
（2）先表示出点G(t,-t2+2t+3),再设△GOC的高为|t|，然后根据S =S ，求出t=±4，
△ABC △GOC
再计算可得答案；
（3）先求出抛物线的对称轴是直线x=1，可得点Q(1,n)，再表示出BC2、CQ2、BQ2，然后分两
种情况，当CQ为斜边时，则BC2+BQ2=CQ2；当BQ为斜边时，则BC2+CQ2=BQ2，求出答案即
可．
【详解】（1）解：当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，∵直线y=-x+3与x轴交于点B，与 y轴交于点C，
∴点B(3,0),C(0,3)．
将点 B，C的坐标分别代入抛物线 y=-x2+bx+c中，得
0=-32+3b+c
{ ，
3=c
b=2
解得{ ，
c=3
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3．
（2）解：∵点G在抛物线 y=-x2+2x+3上，
∴设点G(t,-t2+2t+3)，
∴以OC为底的△GOC的高为|t|，
在抛物线y=-x2+2x+3中，当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得x=3或x=-1，
∴A(-1,0)，
∴AB=OA+OB=4，
∵S =S ，
△ABC △GOC
1 1 1 1
∴ AB·OC= OC·|t|，即 ×4×3= ×3×|t|，
2 2 2 2
解得t=±4，
当t=4时， y=-t2+2t+3=-5；
当t=-4时， y=-t2+2t+3=-21；
∴点G的坐标为(4,-5)或(-4,-21)．
（3）解：存在，点Q的坐标为(1,-2)或(1,4)．
2
∵抛物线y=-x2+2x+3的对称轴是直线x=- =1，
2×(-1)
∴设Q(1,n)，
则BC2=32+32=18，CQ2=12+(n-3) 2=n2-6n+10，BQ2=n2+(3-1) 2=n2+4，
∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，
∴有以下两种情况，如图：①当CQ为斜边时，则BC2+BQ2=CQ2，
即18+n2+4=n2-6n+10，解得n=-2．
②当BQ为斜边时，则BC2+CQ2=BQ2，
即18+n2-6n+10=n2+4，解得n=4．
综上所述，存在点Q，点Q的坐标为(1,-2)或(1,4)．
2．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B
两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
(4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3 9
【答案】(1)y= x2+ x-3
4 4
( 3 15)
(2)存在； - ,-
2 8
(3)13.5
(-3-❑√41 ) (-3+❑√41 )
(4)存在；(-3,-3)， ,3 ， ,3
2 2【分析】（1）根据OC=3OB，B(1,0)，求出C点坐标(0,-3)，把点B,C的坐标代入
y=ax2+3ax+c，即可求出函数解析式；
（2）连接AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．先求出A(-4，0)，再求出直
3 3 3 ( 3) 15
线AC的解析式为：y=- x-3，则当x=- 时，y=- × - -3=- ，即可作答．
4 2 4 2 8
3 9
（3）过点D作DE∥y轴交线段AC于点E，设D(a, a2+ a-3)，然后求出DE的表达式，利用
4 4
S =S +S ，转化为二次函数求最值；
四边形ABCD △ABC △ACD
（4）①过点C作CP ∥x轴交抛物线于点P ，过点P 作P E ∥AC交x轴于点E ，此时四边形
1 1 1 1 1 1
ACP E 为平行四边形；②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P ,P ，由题意可知
1 1 2 3
点P ,P 的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．
2 3
【详解】（1）解：∵B的坐标为(1,0)，
∴OB=1，
∵OC=3OB=3，点C在x轴下方，
∴C(0,-3)，
∵将B(1,0),C(0,-3)代入抛物线的解析式，
可得¿，
解得¿，
3 9
∴抛物线的解析式为y= x2+ x-3；
4 4
3 9
（2）解：由（1）得y= x2+ x-3，
4 4
令x=0，则y=-3
即C(0,-3)
如图所示：连接AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．9
b 4 3
∵x=- =- =- ，B(1,0)
2a 3 2
2×
4
3 [ ( 3)]
∴- - 1- - =-4
2 2
∴A(-4，0)
设直线AC的解析式为：y=mx+n(m≠0)，
∵A(-4，0),C(0,-3)，
∴¿
解得¿，
3
∴直线AC的解析式为：y=- x-3，
4
3 9 3
则y= x2+ x-3的对称轴是直线x=- ，
4 4 2
3 3 ( 3) 15
∴当x=- 时，y=- × - -3=- ，
2 4 2 8
( 3 15)
∴点Q的坐标是 - ,- ；
2 8
（3）解：如图1所示，过点D作DE∥y轴，交AC于点E，
9
4 3
∵该抛物线的对称轴为x=- =- ，B(1,0)，
3 2
2×
4
∴A(-4,0)，
∴AB=5，
1 1
∴S = AB⋅OC= ×5×3=7.5，
△ABC 2 2设AC的解析式为y=kx+b，
∵将A(-4,0),C(0,-3)代入，
可得¿，解得¿，
3
∴直线AC的解析式为y=- x-3，
4
3 9 3
设D(a, a2+ a-3)，则E(a,- a-3)，
4 4 4
3 3 9 3
∵DE=- a-3-( a2+ a-3)=- (a+2) 2+3，
4 4 4 4
∴当a=-2时，DE有最大值，最大值为3，
1 1
∴△ACD的最大面积= DE⋅AO= ×3×4=6，
2 2
∴S =S +S =7.5+6=13.5，
四边形ABCD △ABC △ACD
∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5；
（4）解：存在，理由如下：
①如图2，过点C作CP ∥x轴交抛物线于点P ，过点P 作P E ∥AC交x轴于点E ，此时四边形
1 1 1 1 1 1
ACP E 为平行四边形，
1 1
3 9
∵C(0,-3)，令 x2+ x-3=-3，
4 4
∴x =0,x =-3，
1 2
∴P (-3,-3)；
1
②平移直线AC交x轴于点E ,E ，交x轴上方的抛物线于点P ,P ，当AC=P E 时，四边形
2 3 2 3 2 2
ACE P 为平行四边形，当AC=P E 时，四边形ACE P 为平行四边形，
2 2 3 3 3 3
∵C(0,-3)，
∴P ,P 的纵坐标均为3，
2 33 9
令y=3，可得 x2+ x-3=3，
4 4
-3-❑√41 -3+❑√41
解得x = ,x = ，
1 2 2 2
-3-❑√41 -3+❑√41
∴P ( ,3),P ( ,3)．
2 2 3 2
-3-❑√41 -3+❑√41
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是(-3,-3)，( ,3)或( ,3)．
2 2
【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用
二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此
题的关键．
3．（25-26九年级上·辽宁·开学考试）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），点A的坐标为(-1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作
PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式：
(2)当点P在线段OB上运动时，连接MB，求△MBC面积的最大值；
(3)当m-1≤x≤m+1时，抛物线的最大值为3，求m的值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，y=-x+3
27
(2)△MBC的面积最大值为
8
(3)m的值为3或-1
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式及分类讨论思想等知识点，熟练掌握
其性质并能灵活运用是解决此题的关键．
（1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；
（2）先用m表示出MN，然后用含m的式子表示出 △MBC的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值；
（3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大
值的情况，进而求出m的值．
【详解】（1）解：∵抛物线过A、C两点，
∴ ¿，解得¿，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，
令y=0可得，-x2+2x+3=0，解得：x =-1、x =3，
1 2
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为(3,0)，
设直线BC解析式为y=kx+s，
∴¿，解得¿，
∴直线BC解析式为y=-x+3；
（2）解：∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴M(m,-m2+2m+3)、N(m,-m+3)，
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴MN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=- ( m- 3) 2 + 9
2 4
1 3 3( 3) 2 27
∴S = ×MN×OB= MN=- m- + ，
△MBC 2 2 2 2 8
3 27
∴当m= 时，△MBC的面积有最大值，最大值为 ；
2 8
（3）解：抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4，其对称轴为x=1，
①当m+1<1，即m<0时，在m-1≤x≤m+1上，y随x的增大而增大，
∴当x=m+1时，y有最大值3，
∴-(m+1) 2+2(m+1)+3=3，解得m=±1，
∵m<0，
∴m=-1；
②当m-1≥1，即m≥2时，在m-1≤x≤m+1上，y随x的增大而减小，
∴当x=m-1时，y有最大值3，∴-(m-1) 2+2(m-1)+3=3，解得m=1或m=3，
∴ m=3；
③当m-1<1<m+1，即0<m<2时，当x=1时，y有最大值4≠3，这种情况不存在；
综上m的值为3或-1．
