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专题 02 二次函数
思维导图
【类型覆盖】
类型一、根据二次函数定义求参
【解惑】当函数 是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．若 是关于 的二次函数，则 的值为( )
A． B． C． 或 D． 或
2．如果 是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结
果正确的是 ．
3．标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度 之间的关系满足二次函数 ，
则当温度为 时，水的体积为 ．类型二、二次函数与各项系数关系
【解惑】二次函数 的图象如图所示，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ；
其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【融会贯通】
1．如图是二次函数 的图象，其对称轴为 ，下列结论：① ；② ；③
；④若 ， 是抛物线上两点，则 其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
2．函数 的图象是由函数 的图象 轴上
方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是① ；② ；③ ； ④ ；⑤将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点．
3．如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．则下列结论：①
；② ；③ ；④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，
则 ．其中正确的是
类型三、一次与二次函数关系
【解惑】一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．【融会贯通】
1．已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，抛物线 与直线 交于点 和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M
向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标 的取值范围
．3．函数 ， （ 是常数， ，在同一平面直角坐标系的图象可能是 ．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
类型四、根据函数对称性求解
【解惑】二次函数 （ ， ， 是常数， ）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
… …
… …
且当 时，与其对应的函数值 ，有下列结论：
①函数图象的顶点在第四象限内；
② 和3是关于 的方程 的两个根；
③ ，其中正确的结论个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【融会贯通】1．如图是二次函数 图像的一部分，对称轴为直线 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．当 时，
D．若 ， ， 在该函数图像上，则
2．已知抛物线 ，经过 ， ， ， 四点，则 与 的大小关系
是 ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
3．已知抛物线 （a，k为常数）的 与 的部分对应值如表所示；
下列四个结论：
①
②若 ，则该抛物线与 轴没有交点；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ，
其中正确的结论是 （填写序号）．
类型五、图像法解一元二次不等式【解惑】如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 且 D． 或
【融会贯通】
1．如图是二次函数 的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）
A． ， B．不等式 的解集是
C． D．方程 的解是 ，
2．如图是二次函数 的部分图像，由图像可知不等式 的解是 ．
3．如图是抛物线 的一部分，对称轴为直线 ，若其与x轴的一个交点为 ，则由图
象可知，不等式 的解集是 ．类型六、求y=ax²+bx+c的最值
【解惑】抛物线 ，有（ ）
A．当 ， 有最大值 B．当 ， 有最小值
C．当 ， 有最大值 D．当 ， 有最小值
【融会贯通】
1．函数 的最大值和最小值分别为（ ）
A．4和 B．5和 C．5和 D． 和4
2．若 是关于 的方程 的两实数根， ， 则 之间距离的最小值
为 ．
3．已知二次函数 的图象为抛物线C．
(1)抛物线C的顶点坐标为______．
(2)当 时，求y的取值范围；
(3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线 ，直接写出抛物线 的
解析式．
类型七、二次函数的应用——喷水、拱桥问题
【解惑】【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，
对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管 ，从A点向外喷水，喷出
的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y
轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为 米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
(1)任务一：丁小组测量得喷头的高 米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，
其中喷出的水正好经过一个直立木杆 的顶部F处，木杆高 米，距离喷水口 米，求出水柱所
在抛物线的函数解析式．
(2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围．
(3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是 ，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水
口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是 厘米？（直接写出答案，精确到 米）．
【融会贯通】
1．如图，无人机在离地面 的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆 顶端C
及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面 的B处进行喷水灭火，水流近似的呈
抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆 离消防员的水平距离是 ，高度是 ，大楼离旗杆
，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求直线 的解析式，并求E点坐标；
(2)求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度；
(3)由于火势太猛，消防员退后了 ，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物
线形状保持不变）
(4)在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由．
2．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，
图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立
如图所示的平面直角坐标系 ，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单
位：m）近似满足函数关系 ，据调查，龙舟最高处距离水面 ，为保障安全，通过
拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少 ．
(1)水面的宽度 ______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为 ，求最多可设计龙舟赛道的数量．
3．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽
为 ，顶点 距水面 （即 ），小孔顶点 距水面 （即 ），建立如图所示的平
面直角坐标系．(1)求出大孔抛物线的解析式；
(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方 处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面
，顶部宽 的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；
(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ．
类型八、二次函数的应用——销售问题
【解惑】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售
量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．现公司决定降
价出售．
(1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每天的
总成本＝每件的成本×每天的销售量）
【融会贯通】
1．某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额 （万元）与销售
量x（吨）的函数解析式为 ；成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一
部分，其中 是其顶点．(1)求出成本 关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润 销售额 成本）
2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月能售出 ，销售
单价每涨1元，月销售量就减少 ，针对这种水产品，请解答以下问题：
(1)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数解析式；
(2)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量与月销售利润；
(3)当销售单价为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
3．经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过26元的
情况下，若每件童装降价5元，则每周可多售出10件．
(1)降价15元后，每件童装盈利是______元，每周销售量是______件；
(2)要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？
(3)若每周该品牌童装盈利为y元，不考虑其他因素，单纯从经济角度看，单价降低多少元时，每周盈利最
多？最多盈利多少元？
【一览众山小】
1．已知二次函数 与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )A． B．
C． D．
2．如图，要围一个矩形菜园 ，其中一边 是墙，且 的长不能超过26m，其余的三边
用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：① 的长可以为6m；② 的长有两个不同
的值满足菜园 面积为 ；③菜园 面积的最大值为 ．其中，正确结论的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若 、 、 为二次函数 的图象上的三点，则 、 、 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，点 为其与x轴的一个交点，则
（1）抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为 ；
（2）当 时， ；
（3）当 时， ；
（4）当 时， ．5．如图，在 中， ， ， ，点P从点A沿 向点C以 的速度运动，
同时点Q从点C沿 向点B以 的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形
的面积最小值为 ．
6．如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范
围是 ．
7．小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近
五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下：
售价 （元/盒） 18 20 22 26 30
日销售量 （盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中数据的变化规律，求日销售量 与售价 之间的关系式；
(2)根据以上信息，售价定为多少时，小莹妈妈在销售该种花卉中每天能够获得最大利润？
8．综合与实践
问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞
行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表：
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …问题提出：
科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高
度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述．
（1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的
取值范围）．
问题延伸：
如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究
发现解决下列问题．
（2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组
在安全线上设置回收区域 ．
（3）活动小组需要飞机落到 内（不包括端点 ），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度
的变化范围．
