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专题 02 二次函数（9 知识&23 题型&6 易错&6 方法清单）【清单01】 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【清单02】二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x）（x–x），其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
【清单03】二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=-
2a
b 4ac-b2
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (- ， )
2a 4a
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最
值
a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.4ac-b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
【清单04】二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
【清单05】二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=- 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=- 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图
象于x轴对称.
【清单06】二次函数的最值问题
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
x 4ac-b2
a>0 取得最小值
O 4a
全体实数
b
y 当x= - 时，二次函数
2a
4ac-b2
a<0 取得最大值
x 4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当x= - 时，二次函数
得最大值y2 2a
y
2
4ac-b2
x 取得最小值
4a
x O x
1 2y
当x=x1时，二次函数取
当x= -
b
时，二次函数
得最大值y1 2a
y
1 4ac-b2
x 取得最小值
x x 4a
1 2
x1≤x≤x2 a>0
y
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
【清单07】二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程
的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程
根的情况.
与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac
2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
【清单08】二次函数与不等式的关系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象 y y y
x
x O x
1 2 x x
O x (x ) O
1 2
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点ax2＋bx＋c>0 xx2 b 取任意实数
-
x≠
2a
的解集情况
ax2＋bx＋c<0 x1y B．y ≥ y C．y -16，
∴y >y ，
1 2
故选：A．
【变式2】已知二次函数y=-(x-1) 2+2，当0≤x≤5时，y的取值范围是（ ）
A．-14≤ y≤1 B．1≤ y≤2 C．-14≤ y≤2 D．y≤1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵y=-(x-1) 2+2，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵0≤x≤5，
∴当x=5时，函数值最小为y=-(5-1) 2+2=-14；
当x=1时，函数值最大为2；
∴-14≤ y≤2；
故选C．
【题型三】与特殊二次函数有关的几何知识
1
【典例3】已知[x]表示不超过实数x的最大整数，函数y=[x]的部分图象如图所示，若方程[x]=ax2+
2
在0≤x<3有2个解，则a的取值范围是（ ）1 3 1 3 5 3 5 3
A． 0)个单位，则CD与AB之间的关系
是（ ）
A．CD=2AB B．随着直线y=4向上平移，CD>2AB
C．随着直线y=4向上平移，CD<2ABD．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标
是解题的关键．
4❑√a
将y=4分别代入y=x2和y=ax2，即可得出求出AB，CD长度，根据CD=2AB得出 =2×4，
a1
从而得出a的值，然后得到y=ax2表达式为y= x2 ，然后求出CD与AB的值进而求解即可．
4
【详解】解：把y=4代入y=x2中得，x2=4，
∴x=±2
∴A的横坐标为-2，B横坐标为2
∴AB=2-(-2)=4
把y=4代入y=ax2得，ax2=4，
√4 2❑√a
∴x=±❑ =±
a a
2❑√a 2❑√a
∴C的横坐标为- ，D横坐标为
a a
4❑√a
∴CD=
a
∵CD=2AB，
4❑√a
∴ =2×4
a
1
∴a= （负值舍去）
4
1
∴y=ax2表达式为y= x2 ，
4
∵把直线y=4向上平移b(b>0)个单位，得到直线y=4+b
∴把y=4+b代入y=x2中得，x2=4+b，
∴x=±❑√4+b
∴AB=❑√4+b-(-❑√4+b)=2❑√4+b
1 1
把y=4+b代入y= x2 得， x2=4+b，
4 4
∴x=±2❑√4+b
∴CD=2❑√4+b-(-2❑√4+b)=4❑√4+b
∴CD=2AB．
故选：A．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中、抛物线y=x2上已知A的坐标为(1,1)．过点A作A A ∥x轴交抛
1
物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥x轴交抛物线于点A ．过
1 1 1 2 2 2 2 3 3
点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，……依此规律进行下去，例点A 的坐标为 ．
3 3 4 4 2001【答案】(-1001，10012)
【分析】待定系数法求直线OA的解析式为y=x；如图，记A A ，A A ，A A ，A A 与y轴的
1 1 2 2 3 3 4
交点分别为B，C，D，E，由y=x2，可得物线关于y轴对称，则A (-1，1)，AB=A B=1，
1 1
A D=A D，A A ⊥y轴，A A ⊥y轴，证明△AOB≌△A CB(AAS)，则CB=OB=1，即
2 3 1 2 3 1
C(0，2)，直线A A 的解析式为y=x+2，联立¿，可求A (2，4)，A (-2，4)，同理，直线
1 2 2 3
A A 的解析式为y=x+6，A (3，9)，A (-3，9)，可推导一般性规律为，当n为奇数时，
3 4 4 5
( n+1 (n+1) 2 )
A = - ， ，然后计算求解即可．
n 2 2
【详解】解：设直线OA的解析式为y=kx，
将A(1，1)代入得，k=1，
∴直线OA的解析式为y=x；
如图，记A A ，A A ，A A ，A A 与y轴的交点分别为B，C，D，E，
1 1 2 2 3 3 4
∵y=x2，∴抛物线关于y轴对称，
∴A (-1，1)，AB=A B=1，A D=A D，A A ⊥y轴，A A ⊥y轴，
1 1 2 3 1 2 3
∵A A ∥OA，
1 2
∴∠AOB=∠A CB，
1
又∵∠ABO=∠A BC，AB=A B，
1 1
∴△AOB≌△A CB(AAS)，
1
∴CB=OB=1，即C(0，2)，
∴直线A A 的解析式为y=x+2，
1 2
联立¿，
解得，¿ 或¿ ，
∴A (2，4)，A (-2，4)，D(0，4)，
2 3
同理，直线A A 的解析式为y=x+6，
3 4
联立¿，
解得，¿ 或¿ ，
∴A (3，9)，A (-3，9)，
4 5
( n+1 (n+1) 2 )
∴可推导一般性规律为，当n为奇数时，A = - ， ，
n 2 2
∴当n=2001时，A =(-1001，10012)，
2001
故答案为：(-1001，10012)．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探
究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探
究是解题的关键．
【题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
【典例4】已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … -2 0 1 3 5 …
y … 5 -3 -4 0 12 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）A．a-b+c=1 B．函数图象开口向下
C．当x>0时，y随x的增大而减小 D．y的最小值是-4
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．先根据表格的数据，把(0,-3),(1,-4),(-2,5)代入y=ax2+bx+c，求出
y=x2-2x-3=(x-1) 2-4．再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线x=1，当x=1时，
函数取得最小值-4，a-b+c=0，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：把(0,-3),(1,-4),(-2,5)代入y=ax2+bx+c，
得¿
解得¿
∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3=(x-1) 2-4．
∴函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线x=1
∴当x=1时，函数取得最小值-4，
当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大．
由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意；
∵a=1，b=-2，c=-3，
∴a-b+c=1-(-2)+(-3)=0，
故A不符合题意．
故选 D
【变式1】抛物线y=-x2-4x+m的对称轴为（ ）．
A．直线x=-2 B．直线x=2 C．直线x=4 D．直线x=-4
【答案】A
【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解．
【详解】解：抛物线的表达式为y=-x2-4x+m，其中a=-1，b=-4，
-4 4
代入对称轴公式得：x=- = =-2，
2×(-1) -2
因此，抛物线的对称轴为直线x=-2，
故选A．
【变式2】二次函数y=ax2+4ax-5a(a>0)与x轴交于M,N两点（点M在点N左侧），则点M的坐标为（ ）
A．(-5,0) B．(-4,0) C．(-1,0) D．(1,0)
【答案】A
【分析】本题考查求二次函数图象与x轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令y=0，
解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+4ax-5a(a>0)与x轴交于M,N两点，
∴令y=0，则0=ax2+4ax-5a，
∵a>0，
∴x2+4x-5=0，即(x+5)(x-1)=0，
解得x=-5或x=1，
∵点M在点N左侧，
∴点M的坐标为(-5,0)，
故选：A．
【变式3】已知点(-1,y )，(1,y )，(4,y )都在抛物线y=-x2+2x+c上，则y ，y ，y 的大小关系是
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．y 0时，二次函数开口向上，在-3≤x≤2上有最大值7，离对称轴越远，函数值越大，
∵|-3-(-1)|<|2-(-1)|，
∴当x=2时，函数最大值为7，即4a+4a-1=7，解得a=1．
综上分析，a的值为-8或1．
故选：D．
【变式1】已知二次函数y=x2-2x-3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是-4，则m的取值范围是
（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．-1≤m≤1 D．0≤m≤2
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标
为(1，-4)，再根据当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是-4可得m≤1≤m+2，解之即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1) 2-4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，-4)，
∴y的最小值即为-4，
∵当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是-4，
∴m≤1≤m+2，
∴-1≤m≤1，
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y=x2-bx+1在-1≤x≤2时最小值为-3，则b
的值为（ ）
A．4 B．4或-5 C．-5 D．±4或-5
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三
种情况讨论，结合最小值条件求解．
【详解】解：由二次函数y=x2-bx+1= ( x- b) 2 + 4-b2 ，
2 4
b (b 4-b2 )
∴二次函数图象的对称轴为直线x= ，开口向上，且顶点坐标为 , ，
2 2 4
b
当 -1≤ ≤2 即 -2≤b≤4 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：
2
4-b2
则 =-3，
4
解得 b2=16，即 b=±4；
∴b=4；
b
当 <-1 即 b<-2 时，最小值在 x=-1 处，
2
则y=1+b+1=b+2=-3
解得 b=-5，满足 b<-2；
b
当 >2 即 b>4 时，最小值在 x=2 处，
2
则y=22-2b+1=5-2b=-3，
解得 b=4，但 b>4 不成立，舍去，
综上，b=4或-5．
故选：B．
【题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息
【典例6】（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图
所示．下列判断中：①abc>0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若点(-0.5,y ),(-2,y₂)均在
1
抛物线上，则y >y ；⑤5a-2b<0．其中正确的个数有（ ）
1 2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出a>0，
结合对称轴位置判断出b>0，再根据与y轴的交点位置，判断c<0，进而得出结论①错误；根据抛物
线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，
判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出b=2a，进而得出
5a-2b=5a-4a=a>0，即可判断⑤错误；综上即可得答案．
【详解】解：抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=- =-1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，
故①错误；
抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2-4ac>0，
②正确；
抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3,0)，
∴9a-3b+c=0，
③正确；
点(-0.5,y )到直线x=-1的距离比点(-2,y )到直线x=-1的距离小，且抛物线开口向上，
1 2
∴y 0，
故⑤错误．
综上所述，正确的有②③，一共2个．
故选：A．【变式1】（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示．下列结论：
①abc<0；②b2-4ac>0；③2a+b=0；④3a+c>0；⑤4a-2b+c>0．其中正确结论的个数有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴
的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行
判断．
b
【详解】解：由图象可知a<0，c>0，- >0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
根据抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，故②正确；
b
根据图象知对称轴为直线x=1，则- =1
2a
∴b=-2a
∴2a+b=0故③正确；
∵对称轴为直线x=1
∴当x=3和x=-1时，函数值相等
根据函数图象可得当x=3时，y<0，
∴当x=-1时，y=a-b+c<0
∴a+2a+c<0即3a+c<0，故④错误；
∴当x=-2时y=a(-2) 2+(-2)⋅b+c=4a-2b+c<0，故⑤不正确．
故选：B．【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察
得出了下面五条信息：①c<0；②abc>0；③a-b+c>0；④2a-3b=0；⑤4a+2b+c>0．你认为
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大
小，当a>0时，抛物线向上开口，当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对
称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定
抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，
∴c<0．
∴①正确．
∵函数图象开口向上，
∴a>0，
b
由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=- >0，b<0，
2a
又由①知，c<0,
∴abc>0，
∴②正确．
∵把x=-1代入函数解析式，由函数的图象可知，x=-1时，y>0即a-b+c>0，
∴③正确．
∵a>0，b<0，
∴2a>3b．
∴2a-3b>0．
∴④错误；
∵把x=2代入函数解析式，由函数的图象可知，x=2时，y>0
即4a+2b+c>0，∴⑤正确．
其中正确的有①②③⑤．
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法正
确的是（ ）
①abc>0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④若ax2+bx+c-k=0有两个实数根，则k≤4；⑤
am2+bm≤a+b．
A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤
【答案】A
b
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得a<0，c>0，- =1，即得
2a
b=-2a>0，即可判断①；由对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)，即可判断②；由对
称轴可判断③；由ax2+bx+c-k=0有两个实数根，可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=k相交，结
合图象可判断④；由顶点坐标可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴上，
∴a<0，c>0，
∵对称轴为直线x=1，
b
∴- =1，
2a
∴b=-2a>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)，
∴a-b+c=0，故②正确；b
∵对称轴x=- =1，
2a
∴2a+b=0，故③正确；
若ax2+bx+c-k=0有两个实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=k相交，
∵抛物线的顶点坐标为(1,4)，
∴k≤4，故④正确；
∵抛物线的顶点坐标为(1,4)，开口向下，
∴当x=1时，y取最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
即am2+bm≤a+b，故⑤正确；
综上，说法正确的是②③④⑤，
故选：A．
【题型七】二次函数与一次函数的图像问题
【典例7】在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数图像和一次函数
图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像
确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案．
【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为(0,1)，同时也可得a>0，故选项正
确，符合题意；
B．根据一次函数图像可知a<0，而根据二次函数的图像可得a>0，故选项错误，不符合题意；
C．根据二次函数的图像可知a<0，根据一次函数的图像可得a>0，故选项错误，不符合题意；
D．二次函数图像与y轴的交点不是(0,1)，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=-ax2+bx+c的图象可能为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
本题可先由二次函数y=-ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比
较看是否一致．
b
【详解】解∶A、由抛物线可知，a>0，x= >0，得b>0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项符
2a
合题意；
B、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，故本选项不合题意；
b
C、由抛物线可知，a<0，x= >0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项不合题意；
2a
D、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，故本选项不合题意．
故选∶A．
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象和二次函数y=bx2+ax的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间
的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出a,b的取值范围，再判断对应的二次函数图象，
然后可得答案．
【详解】解：A．由一次函数图象可得a<0,b>0，则二次函数y=bx2+ax图象应开口向上，对称轴
b
x=- >0，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意；
2a
b
B．由一次函数图象可得a>0,b<0，则二次函数y=bx2+ax图象应开口向下，对称轴x=- >0，
2a
在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
b
C．由一次函数图象可得a>0,b>0，则二次函数y=bx2+ax图象应开口向上，对称轴x=- <0，
2a
在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
b
D．由一次函数图象可得a<0,b<0，则二次函数y=bx2+ax图象应开口向下，对称轴x=- <0，
2a
在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选不项符合题意；
故选：A．
【题型八】二次函数的平移变换
【典例8】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线y=-2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个
单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y=-2(x-5) 2+3 B．y=-2(x-3) 2+5
C．y=-2(x-3) 2-5 D．y=-2(x+5) 2-3
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则，计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：抛物线y=-2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为
y=-2(x-3) 2+5．
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线y=-7(x+3) 2+1可以由抛物线y=-7x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，
根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可.
【详解】解：将抛物线y=-7x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线y=-7(x+3) 2+1.
故选：A.
【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线y=-2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个
单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y=-2(x-5) 2+3 B．y=-2(x-3) 2+5
C．y=-2(x-3) 2-5 D．y=-2(x+5) 2-3
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则，计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：抛物线y=-2x2向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为
y=-2(x-3) 2+5．
故选：B．
【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线y=-7(x+3) 2+1可以由抛物线y=-7x2平移得到，则
下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可.
【详解】解：将抛物线y=-7x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线y=-7(x+3) 2+1.
故选：A.
【题型九】二次函数的交点综合问题
【典例9】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A、B，把
抛物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D．若直线
1 1 2 2
y=2x+m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
1 2
15 7
A．-33
【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，图象法求
出不等式的解集即可．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=-1，与x轴的一个交点为(-5,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，
由图象可知：不等式ax2+bx+c<0的解集为x<-5或x>3；
故答案为：x<-5或x>3．
【变式1】抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，且抛物线经过点A(-1,0)，对称轴是直线x=1，则
当y>0时，x的取值范围是 ．
【答案】-10时x的取值范围．
【详解】解：∵对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴交于点A(-1,0)，
∴利用轴对称的性质可得，抛物线与x轴的另一个交点为(1+1-(-1),0)，即(3,0)，
根据图象可知，当y>0时，-1mx的x的取
1 2
值范围为 ．【答案】-3mx+c的x的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：∵ax2+bx>mx，
∴ax2+bx+c>mx+c，
由函数图象可知，当-312.5时，y随x的增大而减小，
3
∵x≥18 ，
4
3 3
∴当x=18 时，花圃有最大面积，即当AB长为18 m，花圃有最大面积．
4 4
【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一
边靠墙的矩形试验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一
边长为x（单位：m），面积为S（单位：m2）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当x= m时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 m2．
【答案】(1)S=-2x2+80x；(19≤x<40)
(2)20；800
【分析】（1）根据题意，得矩形的长为(80-2x)，根据面积公式列出方程即可．
（2）构造二次函数，求最值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题
的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为(80-2x)，故S=(80-2x)·x=-2x2+80x，
根据题意，得80-2x>0，且80-2x≤42，
解得19≤x<40，
故S=-2x2+80x，且19≤x<40．
（2）解：∵S=-2x2+80x，
∴S=-2(x2-40x)=-2(x-20) 2+800，
由19≤x<40，
∴当x=20时，S有最大值，最大值为800m2．
故答案为：20,800．
【变式2】（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱
门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个
设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m其中，点N'在x轴上，
P'E' ⊥O'N' ，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架
ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积
1
记为S ，点A' ，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，
2
S =12❑√2m2 ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
2
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 21 4
【答案】(1)y=- x2+ x
9 3
(2)S =18m2 ，S >S
1 1 2
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知抛物线的顶点P(6,4)，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；
（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S =AB⋅BC=18m2；再比较S ，S 的大小即可．
1 1 2
1 1
【详解】（1）解：由题意知，PE=4m，OE= ON= ×12=6m，
2 2
∴方案一中抛物线的顶点P(6,4)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x-6) 2+4，
把O(0,0)代入得，0=a(0-6) 2+4，
1
解得：a=- ，
9
1 1 4
∴y=- (x-6) 2+4=- x2+ x，
9 9 3
1 4
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=- x2+ x；
9 3
1 4
（2）解：在y=- x2+ x中，
9 3
1 4
令y=3得：3=- x2+ x；
9 3
解得x=3或x=9，
∴BC=9-3=6m，
∴S =AB·BC=3×6=18m2 ，
1
∵18>12❑√2，
∴S >S ．
1 2
【题型十三】二次函数的应用-图形运动问题
【典例13】（2025·吉林松原·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AB=8．动点P从点
A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AB与△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得QD=PD，以PQ、PA为边作矩形PQMA．设矩形PQMA与△ABC
重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)当PQ=AB时，求t的值；
1
(2)当PQ= AB时，求t的值；
2
(3)求S与t之间的函数关系式．
【答案】(1)t=4
(2)t=2或6
1 1 9
(3)当00，说明在行人所在位置，水的高度大于0，
所以该行人会被洒水车淋到水。
【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用废
弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱．如图2，该
型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y（m）与离发射
点O的水平距离x（m）呈抛物线模型，已知当水平距离为15米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，
为9米．(1)请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10 m时，距离地面的竖直高度．
1
【答案】(1)y=- (x-15) 2+9
25
(2)当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10m时，距离地面的竖直高度为8 m．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）依据题意可得，抛物线的顶点为(15,9)，从而可设抛物线为y=a(x-15) 2+9，又抛物线过(0,0)，
求出a即可得解；
1
（2）依据题意，结合(1) y=- (x-15) 2+9， 令x=10，代入计算即可得解．
25
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为(15,9)，
∴可设抛物线为y=a(x-15) 2+9．
又抛物线过(0,0)，
∴(0-15) 2a+9=0．
1
∴a=-
25
1
∴抛物线的表达式为y=- (x-15) 2+9．
25
1
（2）解：由题意结合（1）y=- (x-15) 2+9，
25
1
∴令x=10，则y=- ×(10-15) 2+9=8．
25
答：当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10m时，距离地面的竖直高度为8 m．
【题型十八】二次函数的应用-其他问题【典例18】（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是
他们走进汽车研发中心考察．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段
距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它
的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函
数图象如图所示．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若在汽车前60m处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪12m；
(3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否
会撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】(1)y=-3t2+30t
(2)汽车刹车4s后，汽车与测速仪相距12m；
(3)不会，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤
是解题的关键．
（1）设y=at2+bt+c，将(0,0)，(1,27)，(2,48)代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式；
（2）求出当y=60+12时的t的值，即可解答；
（3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可．
【详解】（1）解：设y=at2+bt+c，
将(0,0)，(1,27)，(2,48)代入，得：
¿，解得：¿，
∴y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t；
（2）解：根据题意得：-3t2+30t=60+12
解得t=4或t=6（不符题意，舍去），答：汽车刹车4s后，汽车超过测速仪12m；
（3）解：不会．理由如下：
∵y=-3t2+30t=-3(t-5) 2+75，
∴当t=5时，汽车停下，行驶了75m，
∵75<80，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的
关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一
步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开
始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：
cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 10 9 8 7 6 5 …
v/(cm/s)
滑行距离 0 1 36 51 6 75 …
y/cm 9 4
任务二：观察分析
（1）根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，
选择适当的函数模型，分别求出v，y与x满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离；
（3）当小球到达木板上点A的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以4cm/s的速度匀速向
右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围．
1 1
【答案】（1）v=- x+10；y=- x2+10x；（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距
2 4离为100 cm；（3）n>36．
△v 1
【分析】（1）根据v，y随x的变化规律，发现 =- ，可判定v是x的一次函数，设v=kx+b ，
△t 2 1
解答即可；根据题意，y是x的二次函数，且常数项为0，不妨设y=ax2+bx，建立方程组解答即可．
1
（2）当小球在水平木板上停下来时，v=0，根据题意得- x+10=0，求得小球运动的时间，把时间
2
代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离；
1
（3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得- x2+10x<4x+n，解不等式即可．
4
△v 1
【详解】解：（1）根据v，y随x的变化规律，发现 =- ，可判定v是x的一次函数，设
△t 2
v=kx+b ，设v=kx+b ，将点(0,10)，(2,9)代入v=kx+b ，
1 1 1
得¿
∴¿，
1
∴v=- x+10.
2
设y=ax2+bx，将点(2,19)，(4,36)代入，
得¿
解得¿
1
∴y=- x2+10x.
4
1
（2）由（1）知v=- x+10.
2
1
∴当v=0时，得- x+10=0.
2
解得x=20.
1
将x=20代入y=- x2+10x，
4
得y=100.
∴当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为100 cm.
（3）解：设小球的运动时间为x秒，
1
根据题意，得- x2+10x<4x+n.
4
1
∴- (x-12) 2+3636.
【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛
物线的最值，解不等式是解题的关键.
【变化2】（24-25九年级上·广东中山·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状
（碗体厚度不计），碗口宽CD=12cm，此时面汤最大深度EG=8cm．
(1)当面汤的深度ET为4cm时，求此时汤面的直径PQ的长；
(2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，求此时碗中液面宽度CH
的长．
【答案】(1)6❑√2
15
(2) ❑√2
2
【分析】（1）设点E的坐标为(0,c)，则抛物线的表达式为y=ax2+c则点C的坐标为： (6,8+c)，
点Q(x,4+c)再用待定系数法即可求解；
9
（2）确定直线CH的表达式为y=x-6+8+c=x+2+c，求出x +x = ，x x =-9进而求解；
1 2 2 1 2
本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待
定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图：设点E的坐标为：(0,c)，则抛物线的表达式为y=ax2+c，
则点C的坐标为(6,8+c)，点Q(x,4+c)，
将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得：¿ ，
解得：¿，
2
即抛物线的表达式为：y= x2+c①，
9
∴PQ=2x =6❑√2，
Q
故答案为：6❑√2；
（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK=45°时停止，
∴所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°，
设直线CH的解析式为y=x+b，
将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y=x-6+8+c=x+2+c②，
联立①②并整理得：2x2-9x-18=0，
9
则x +x = ，x x =-9，
1 2 2 1 2
225
则(x -x ) 2=(x +x ) 2-4x x = ，
1 2 1 2 1 2 4
15
则|x -x |= ，
1 2 2
15
由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°，则CH=❑√2|x -x |= ❑√2，
1 2 2
15
故答案为： ❑√2．
2
【题型十九】二次函数的综合-面积问题
【典例19】如图，对称轴为x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐
标为(-3,0)．(1)求点B的坐标．
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S =4S ，求点P的坐标．
△POC △BOC
②设点Q是线段AC上的一动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，试问△ADC是否存在最大值，若不
存在，说明理由；若存在，求出此时D点的坐标和△ADC面积的最大值．
【答案】(1)点B的坐标为(1,0)
( 3 15)
(2)①点P的坐标为(4,21)或(-4,5)；②存在，D点的坐标为 - ,- ；△ADC的面积的最大值
2 4
27
是
8
【分析】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数
与几何图形，
对于（1），根据抛物线的对称性解答即可；
对于（2）①，当a=1时，结合抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，可得b=2，进而
求出c=-3，可得二次函数关系式，再求出抛物线与y轴的交点C的坐标，然后设P点坐标，根据
1 1
S =4S ，可得 ×3×|x|=4× ×3×1，求出x，即可得出答案；
△POC △BOC 2 2
②先求出直线AC的解析式，再设Q点坐标为(x，-x-3)(-3≤x≤0)，则D点坐标为
3 9
(x，x2+2x-3)，即可得出QD=-(x+ ) 2 + ，可得D点的坐标，结合S =S +S
2 4 △ADC △ADQ △CDQ
可得答案.
【详解】（1）解：∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=-1对称.
∵点A的坐标为(-3，0)，
∴点B的坐标为(1，0)；
（2）解：①a=1时，∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，
-b
∴ =-1，
2
解得b=2，
将B(1，0)代入y=x2+2x+c ，
得1+2+c=0，
解得：c=-3，
则二次函数的解析式为y=x2+2x-3 ，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，-3)，
∴OC=3，
设P点坐标为(x，x²+2x-3 ).
∵S =4S ，
△POC △BOC
1 1
∴ ×3×|x|=4× ×3×1，
2 2
∴|x|=4，
∴x=±4．
当x=4时，x²+2x-3=16+8-3=21；
当x=-4时，x²+2x-3=16-8-3=5，
∴点P的坐标为(4，21)或(-4，5)；
②设直线AC的解析式为y=kx+t，
将A(-3，0)，C(0，-3)代入解析式，
得 ¿,
解得：¿，
即直线AC的解析式为y=-x-3．
设Q点坐标为(x，-x-3)(-3≤x≤0)，则D点坐标为(x，x2+2x-3)，
3 2 9
QD=(-x-3)-(x²+2x-3)=-x²-3x=-(x+ ) + ，
2 4
3 9
∴当x=- 时，QD有最大值 ，
2 43 3 15
∴当x=- 时，三角形的面积有最大值，此时D点的坐标为(- ,- )；
2 2 4
1 1 9 27
∴ S =S +S = ×DQ×OA= ×3× = ，
△ADC △ADQ △CDQ 2 2 4 8
3 15 27
∴D点的坐标(- ,- ) ；△ADC的面积的最大值是 ．
2 4 8
【变式1】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知B(2,0)，C(0,6)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第二象限内的点P在该抛物线上，求△APC面积的最大值．
【答案】(1)y=-x2-x+6
27
(2)
8
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，
解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）把B、C两点的坐标代入抛物线的解析式可得b和c的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）当y=0时，解方程得到点A的坐标，根据待定系数法求出直线AC的解析式，过点P作PQ垂直
1
于x轴交AC于点Q，设点P坐标为(p,-p2-p+6)(p<0)，则Q(p,2p+6)，S = PQ⋅AO，得
△APC 2
到S关于p的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质可得△APC面积的最大值．【详解】（1）解：将点B(2,0)，C(0,6)代入y=-x2+bx+c中，
得到¿，解得¿，
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+6；
（2）解：当y=0时，即-x2-x+6=0，解得x =2，x =-3，
1 2
∴A(-3,0)，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
将A(-3,0)，C(0,6)代入得¿，
解得¿，
∴直线AC的解析式为y=2x+6，
如图所示，过点P作PQ垂直于x轴交AC于点Q，
设点P的坐标为(p,-p2-p+6)(p<0)，则Q(p,2p+6)，
∴PQ=(-p2-p+6)-(2p+6)=-p2-3p，
1 1 3 9
∴S = PQ⋅AO= (-p2-3p)⋅3=- p2- p，
△APC 2 2 2 2
3
∵- <0，
2
∴抛物线的开口向下，
9
-
∴当 p=- 2 =- 3 时，S =- 3 × ( - 3) 2 - 9 × ( - 3) = 27 ，
( 3) 2 最大 2 2 2 2 8
2× -
2
27
即△APC面积的最大值为 ．
8
【变式2】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(2,0)，C(0,6)．(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标
和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2-x+6
( 3 21) 27
(2)存在，P - , ，面积最大为
2 4 8
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，
解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法．
（1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解．
【详解】（1）解：将B(2,0)，C(0,6)代入y=-x2+bx+c．
得¿解得：¿，
∴y=-x2-x+6；
（2）设点P的坐标为(m,-m2-m+6)，且在第二象限内，
把y=0代入y=-x2-x+6，可得x =2,x =-3，
1 2
∴A(-3,0)，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
将A(-3,0),C(0,6)代入上式，得¿，
解得，¿，
∴直线AC的解析式为y=2x+6，
过点P作PQ垂直于x轴交AC于点Q，则Q(m,2m+6)，
∴PQ=(-m2-m+6)-(2m+6)=-m2-3m，
1 1 3 9
∴S = PQ⋅AO= (-m2-3m)⋅3=- m2- m，
△APC 2 2 2 2
3
∵- <0，
2∴当m=- b =- 3 时，S =- 3 × ( - 3) 2 - 9 × ( - 3) = 27 ，-m2-m+6=- ( - 3) 2 - ( - 3) +6= 21 ，
2a 2 最大 2 2 2 2 8 2 2 4
( 3 21)
∴P - , ．
2 4
【题型二十】二次函数的综合-线段周长问题
【典例20】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx(a<0)与正比例函数y=kx的图象都经过点
A(3,3)，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于
点D．若点A为该二次函数的顶点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)求线段PC长度的最大值．
1
【答案】(1)y=- x2+2x
3
3 3
(2)当t= 时，线段PC的长度取得最大值
2 4
【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的
解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）利用待定系数法进行求解，即可作答；
1
（2）正比例函数表达式为y=x，设OD=t(0≤t≤3)，则CD=t，PD=- t2+2t，则
3
1 1 3 2 3
PC=PD-CD=- t2+2t-t=- (t- ) + ，然后通过二次函数的性质即可求解；
3 3 2 4【详解】（1）解：∵A(3,3)为二次函数y=ax2+bx的顶点，
∴ ¿，
解得¿，
1
∴二次函数表达式为y=- x2+2x；
3
（2）解：∵正比例函数y=kx经过点A(3,3)，
∴3k=3，
∴k=1，
∴正比例函数表达式为y=x，
设OD=t(0≤t≤3)，则CD=t，
1
∴PD=- t2+2t，
3
∴PC=PD-CD
1
=- t2+2t-t
3
1
=- t2+t
3
1 3 2 3
=- (t- ) + ，
3 2 4
1
∵- <0．
3
3 3
∴当t= 时，线段PC的长度取得最大值 ；
2 4
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B(0,-6)，抛物线经过
点A，B，且对称轴是直线x=1．
(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，求线段PD的最大值．
【答案】(1)y=x-6
1 1
(2)y= x2- x-6
4 2
9
(3)
4
【分析】（1）设直线l的解析式为y=kx+m，利用待定系数法解答即可；
（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，利用待定系数法解答即可；
（3）设P ( t, 1 t2- 1 t-6 ) ，则D(t,t-6)，可得PD=t-6- (1 t2- 1 t-6 ) =- 1 (t-3) 2+ 9 ，再根据
4 2 4 2 4 4
二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题
的关键．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为y=kx+m，把A(6,0)和B(0,-6)代入得，
¿，
解得¿，
∴直线l的解析式为y=x-6；
（2）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意得，¿，
解得¿，
1 1
∴抛物线的解析式为y= x2- x-6；
4 2
（3）解：设P ( t, 1 t2- 1 t-6 ) ，则D(t,t-6)，
4 2
∴PD=t-6- (1 t2- 1 t-6 ) =- 1 t2+ 3 t=- 1 (t-3) 2+ 9
4 2 4 2 4 4
1
∵- <0，01 C．m<1 D．m≤1
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当
x<1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x=m≥1解答即可．
-2m
【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=- =m，开口向上，
2∵x<1时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，
故选：A．
【题型04：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线y=(x-m) 2-2（m为常数），当1≤x≤3时，其对
应的函数值最小为7，则m的值为（ ）
A．4 B．-2 C．-1或4 D．-2或6
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
根据题意得到当x>m时，y随x的增大而增大，当xm时，y随x的增大而增大，当x0，c>0，y=a(x+c) 2中，a<0，c<0，故A错误；
B、函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c) 2中，a<0，c>0，故B正确；
C、函数y=ax+c中，a>0，c<0，y=a(x+c) 2中，a>0，c>0，故C错误；
D、函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c) 2中，a>0，c<0，故D错误．
故选：B．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+1与
y=ax2+bx+1(a≠0)的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数图像和一次函数
图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像
确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案．
【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为(0,1)，同时也可得a>0，故选项正
确，符合题意；
B．根据一次函数图像可知a<0，而根据二次函数的图像可得a>0，故选项错误，不符合题意；
C．根据二次函数的图像可知a<0，根据一次函数的图像可得a>0，故选项错误，不符合题意；
D．二次函数图像与y轴的交点不是(0,1)，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
【题型06：根据交点确定不等式的解集】
1．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)与一次函数
1
y =kx+b(k≠0)的图象相交于点A(-2,4)，B(8,2)，则ax2+bx+c0时，x的取值范围是 ．
【答案】-10的部分求解即可得到答案．
【详解】解：∵A(-1,0)，对称轴为直线x=1，
∴与x轴另一个交点为(3,0)，
∴当y>0时，-1
