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专题 02 二次函数
思维导图
【类型覆盖】
类型一、根据二次函数定义求参
【解惑】当函数 是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义进行解答即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故选：C．
【融会贯通】
1．若 是关于 的二次函数，则 的值为( )
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C【分析】根据 是不为 的常数 是二次函数，可得答案．
【详解】解：若 是关于 的二次函数，则 且 ．，
解得： 或 ．
故选：C．
2．如果 是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结
果正确的是 ．
【答案】敏敏
【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得 ， ，即可求解；理解定义：“一般地，
形如 （a、b、c是常数， ）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．
【详解】解： 是二次函数，
，
解得 ， ，
又 ，
即 ，
，
故敏敏正确．
3．标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度 之间的关系满足二次函数 ，
则当温度为 时，水的体积为 ．
【答案】106
【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
将 代入解析式求值即可．
【详解】解： ，
当 时， ，水的体积为 ．
故答案为：106．
类型二、二次函数与各项系数关系
【解惑】二次函数 的图象如图所示，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ；
其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交
点，此题要会利用图象找到所需信息．抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c
与0的关系，然后根据对称轴及抛物线上过点 ，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴ ．
∵抛物线与x轴的负半轴相交，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线经过点 ，
∴ ，故②错误；
∵抛物线经过点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确．
故选A．
【融会贯通】
1．如图是二次函数 的图象，其对称轴为 ，下列结论：① ；② ；③
；④若 ， 是抛物线上两点，则 其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向得到 ，由对称轴方程得到 ，由抛物线与y轴的交点位置得到
，则可对①进行判断；由 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一
个交点为 ，则可判断当 时， ，于是可对③进行判断；通过比较点 与点 到
对称轴的距离可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴ ，
∴ ，①结论正确；
∵ ，
∴ ，②结论正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为 ，抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∴当 时， ，
∴ ，③结论错误；
∵点 到对称轴的距离比点 对称轴的距离远，
∴ ，④结论正确．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数a决定
抛物线的开口方向和大小，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数b和二
次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即 ），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时
（即 ），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于 ；抛物线与x
轴交点个数由 决定： 时，抛物线与x轴有2个交点； 时，抛物线与x轴有
1个交点； 时，抛物线与x轴没有交点．
2．函数 的图象是由函数 的图象 轴上
方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是① ；② ；③ ； ④ ；⑤将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点．
【答案】①③④⑤
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公
式 ，即可得到 ，故①正确；由图象可判断二次函数 与y轴的交点为 ，
即 ，故②错误；根据图象判断 ， ，结合 ，可知 ，故③正确；当 时，
，结合 可判断④正确；求出原二次函数的表达式 ，即可判断函数顶点的坐标，可
以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为 ，继而得出直线 与平移后的函数图象有3
个交点，故⑤正确．
【详解】解： 图象经过 ， ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
，
，即 ，故①正确；
，
抛物线 与 轴交点在 轴下方，
，故②错误；
，
，
，故③正确；∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，故④正确；
∵将点 和 代入 ，
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为： ，
∵当 时， ，
∴图象上当 时，函数顶点的坐标为 ，
∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为 ，如图所示：
故⑤正确；
综上：正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
3．如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．则下列结论：①
；② ；③ ；④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，
则 ．其中正确的是【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛
物线与 轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为 可判断③；由二次
函数的性质可判断④．解题关键是掌握二次函数的图像与性质．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线交 轴于正半轴，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∴ ，故结论①正确；
∵抛物线对称轴为直线 ，且当 时， ，
∴ 时， ，
即 ，故结论②正确；
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故结论③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
若 且 ，则点 到对称轴的距离小于 到直线的距离，
∴ ，故结论④不正确，
∴正确的是①②③．
故答案为：①②③．类型三、一次与二次函数关系
【解惑】一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数 图象得到字母系数的正负，再与二
次函数 的图象相比是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符
合题意；
B、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意．
故选：B
【融会贯通】
1．已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出 ， ，再根据一次函
数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
2．如图，抛物线 与直线 交于点 和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M
向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标 的取值范围
．【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与一
次函数的交点问题，解题关键是利用数形结合思想分类讨论点 在不同位置时， 与抛物线的相交情况．
利用待定系数法求出抛物线的解析式及直线的解析式，进而求出抛物线顶点坐标，点 的坐标，再分类讨
论点 的位置情况，即当点 在点 的左侧时，当点 在线段 上时，当点 在点 的右侧时，分析
与抛物线的相交情况即可．
【详解】解： 点 为抛物线 与直线 的一个交点，
， ，
解得 ， ，
抛物线解析式为 ，直线的解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为
联立方程组得 ，解得 ， ，
点 的坐标为 ，
点 是直线 上的一个动点，点 是将点 向左平移3个单位长度所得，
轴，
又 ， 的水平距离为 ，
当 在点 左侧时， 与抛物线无公共点，
当点 在线段 上，不含点 时， 与抛物线有一个公共点，即 ，
当点 在点 右侧时，只有 与抛物线顶点 相交时，即 时， 与抛物线有一个
公共点，综上所述得， 的取值范围是 或 ．
3．函数 ， （ 是常数， ，在同一平面直角坐标系的图象可能是 ．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
【答案】①③④⑤
【分析】本题考查二次函数图像与系数之间的关系，一次函数图象与系数之间的关系，能够熟练数形结合
思想是解决本题的关键．
【详解】解：由函数解析式可知一次函数图象必过 ，二次函数图象必过 ，所有图象均满足此要
求，故不再单独判断，
①中由一次函数图象可得系数 ，且交纵轴于正半轴点 ，二次函数图象开口向上，故 ，a的
取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且 函数图象与坐标轴
只有一个交点，故①正确；
②中由一次函数图象可得系数 ，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故 ，a的取值范围
相同，但二次函数图象不满足二次函数对称轴同左异右的特点，故②错误；
③中由一次函数图象可得系数 ，且交纵轴于正半轴，但交点纵坐标小于1，二次函数图象开口向上，
故 ，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且 函数
图象与坐标轴有两个交点，故③正确；④中由一次函数图象可得系数 ，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故 ，a的取值范围
相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且 函数与坐标轴有两个交点，
故④正确；
⑤中由一次函数图象可得系数 ，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标大于1，二次函数图象开口向上，
故 ，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且 函数
与坐标轴没有交点，故⑤正确；
⑥中由一次函数图象可得系数 ，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标小于1，二次函数图象开口向上，
故 ，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，但 ，但
⑥中函数图象与坐标轴没有交点，故⑥错误；
故答案为：①③④⑤．
类型四、根据函数对称性求解
【解惑】二次函数 （ ， ， 是常数， ）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
… …
… …
且当 时，与其对应的函数值 ，有下列结论：
①函数图象的顶点在第四象限内；
② 和3是关于 的方程 的两个根；
③ ，其中正确的结论个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据得出对称轴为直线 ，当 时，与其对应的
函数值 ，则 ， ，即可判断①；根据二次函数的对称性可知： 关于对称轴 的对称点为 ，即可判断②；根据对称轴可得 ，根据当 时，与其对应的函数值 ，得出
，进而可得 ，根据对称性可得二次函数 的图象过点 ， ，得
出 ，当 时，得出 ，结合 ，即可判断③．
【详解】解：①根据图表可知：
二次函数 的图象过点 ， ，
对称轴为直线 ， ，
当 时，与其对应的函数值 ，
， ，
函数图象的顶点在第四象限内；故①正确：
②根据二次函数的对称性可知： 关于对称轴 的对称点为 ，
即 和3是关于 的方程 的两个根，
②正确；
③ 对称轴为直线 ，
，
，
当 时，与其对应的函数值 ，
，即 ，
．
对称轴为直线 ，二次函数 的图象过点 ， ，
，当 时， ，
，．
，
③错误．
故选：C．
【融会贯通】
1．如图是二次函数 图像的一部分，对称轴为直线 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．当 时，
D．若 ， ， 在该函数图像上，则
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断 与0的关系，然后根据对称轴 判定 ；根据当 时，
，即 ，然后由函数图象对称性可得，当 与 时，函数值相同，根据
图象即可判断 ．
【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得：∵抛物线开口方向向下，交 轴于正半轴，
∴ ， ，
又∵对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∴ ，故B错误，不符合题意；
由函数图象可得，当 时， ，即 ，故A正确，符合题意；
∴由函数图象可得当当 时，有可能 ，C错误，不合题意；
由函数图象对称性可得，当 与 时，函数值相同，
∵ ，
∴由函数的增减性可得： ，D错误，不合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数 决定抛物线的开口
方向，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决
定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ），对称轴在 轴左； 当 与 异号时（即 ），对称轴
在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与 轴交点，抛物线与y轴交于 ．
2．已知抛物线 ，经过 ， ， ， 四点，则 与 的大小关系
是 ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
【答案】【分析】本题考查了二次函数的增减性．根据 ， 两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口
方向，C，D两点与对称轴的远近，判断 与 的大小关系．
【详解】解：∵抛物线 ，经过 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线上到对称轴距离越近，函数值越小，
∵ ， ，且 ，
∴ ．
故答案为：
3．已知抛物线 （a，k为常数）的 与 的部分对应值如表所示；
下列四个结论：
①
②若 ，则该抛物线与 轴没有交点；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ，
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称性判断①；分 得出顶点坐标所在象限，即可判
断②；根据 ，对称轴为直线 ,可得抛物线开口向下，进而判断③；根据对称性得出 关于
的对称点为 ，由 得出 或 时， ，进而分 分别讨论，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线∴对称轴为直线 ,
∵ 和 时的函数值相等，
∴ ，解得： ，故①正确；
∵ ，抛物线顶点坐标为
当 ，抛物线开口向上，抛物线顶点 在第一象限，
∴该抛物线与 轴没有交点；
当 ，抛物线开口向下，抛物线顶点 在第四象限，
∴该抛物线与 轴没有交点；故②正确；
③若 ，又 ，即离对称轴较远的点的函数值较小，
∴抛物线开口向下，
又∵ ，即 比 离对称轴远，
∴ ，故③不正确
∵ 关于 的对称点为
又∵
∴ 或 时，
当 时， 和 时， ，则
当 时， 和 时， ，则
∴④正确
故答案为：①②④．
类型五、图像法解一元二次不等式
【解惑】如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是（ ）A． B．
C． 且 D． 或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个
交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴不等式 的解集是 ．
故选：A．
【融会贯通】
1．如图是二次函数 的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）
A． ， B．不等式 的解集是
C． D．方程 的解是 ，
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形
结合是解题的关键．由图象判断 ， ，对称轴是 ，再判断出 ，与x轴一个交点是 ，
则另一个交点 ，结合函数图象即可求解．
【详解】解：由图象得： ， ，对称轴是 ，
∴ ，∴ ，故A正确，不符合题意；
∵对称轴是 ，函数图象与x轴一个交点是 ，
∴另一个交点 ，
∴不等式 的解集是 ，故B错误，符合题意；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴ ，故C正确，不符合题意；
∵函数图象与x轴的两个交点为 和 ，
∴方程 的解是 ， ，故D正确，不符合题意；
故选：B．
2．如图是二次函数 的部分图像，由图像可知不等式 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称
轴是直线 ，抛物线与 轴的一个交点为 ，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与 轴的另一个
交点，再根据抛物线在 轴上方的图象对应的 的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，当 时， ，
故答案为： ．
3．如图是抛物线 的一部分，对称轴为直线 ，若其与x轴的一个交点为 ，则由图
象可知，不等式 的解集是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了抛物线的对称性，数形结合思想，求不等式的解集，先求得抛物线与x轴的两个交点
坐标，后计算即可．
【详解】∵抛物线 的一部分，对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，另一个交
点坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
类型六、求y=ax²+bx+c的最值
【解惑】抛物线 ，有（ ）
A．当 ， 有最大值 B．当 ， 有最小值
C．当 ， 有最大值 D．当 ， 有最小值
【答案】C
【分析】根据二次函数的解析式 解答即可．本题考查了二次函数的性质，根据函数解析式得到抛物线的顶点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的解析式为 ，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ，抛物线有最大值，
∴当 时，该抛物线有最大值 ，
故选： ．
【融会贯通】
1．函数 的最大值和最小值分别为（ ）
A．4和 B．5和 C．5和 D． 和4
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据函数求出对
称轴，根据二次函数的性质进行计算即可．
【详解】解： 中，
对称轴 ，
故在对称轴处求出最小值，当 时， ，
当 时， ，
时， ，
故选C．
2．若 是关于 的方程 的两实数根， ， 则 之间距离的最小值
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次
函数的性质，利用根和系数的关系可得 ， ，进而得到，再利用根的判别式可得
，得到 ，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关
系及根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵ 是关于 的方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取最小值，最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，即 之间距离的最小值为 ，
故答案为： ．
3．已知二次函数 的图象为抛物线C．
(1)抛物线C的顶点坐标为______．
(2)当 时，求y的取值范围；
(3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线 ，直接写出抛物线 的
解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律；
（1）将二次函数化成顶点式，即可求解；
（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线 ，可得 ， ，由开口方向向上时，距离对称
轴越大的点对应的函数值越大，即可求解；
（3）由二次函数平移规律得 ，即可求解；
理解“抛物线的开口方向向上时，距离对称轴越大的点对应的函数值越大；”，二次函数解析式在平移中
的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
顶点 ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）得抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
， ，
，
，
；
（3）解：由题意得
．类型七、二次函数的应用——喷水、拱桥问题
【解惑】【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，
对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、
逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管 ，从A点向外喷水，喷出
的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y
轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为 米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
(1)任务一：丁小组测量得喷头的高 米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，
其中喷出的水正好经过一个直立木杆 的顶部F处，木杆高 米，距离喷水口 米，求出水柱所
在抛物线的函数解析式．
(2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围．
(3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是 ，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水
口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是 厘米？（直接写出答案，精确到 米）．
【答案】(1)
(2)p的取值范围为
(3)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是 米时，喷出的水与薄膜的距离至少是 厘米【分析】（1）根据题意得到 ， ， ， ，设抛弧线的解析式为：
，利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式；
（2）根据这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，结合农民最高点坐标为 ，以及
二次函数性质求解，即可解题；
（3）根据薄膜所在平面和地面的夹角是 ，设薄膜所在平面的直线解析式为 ，当抛物线与薄
膜所在平面相切时（即只有一个交点），有 ，即 ，求出 的值，得到薄
膜所在平面的直线解析式，根据喷出的水与薄膜的距离至少是 厘米，推出薄膜所在的直线应向右平移
米，利用平移的规律得到平移后的解析式，即可解题．
【详解】（1）解：由题可知： ， ， ， ，
设抛物线的解析式为： ，
将 ， 代入 得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为 ，
将其代入 得： ，整理得 ，
解得： ， ，要农民不会被水淋到，
则 ，
综上：p的取值范围为 ；
（3）解：由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是 ，设薄膜所在平面的直线解析式为 ，
当抛物线与薄膜所在平面相切时，有 ，
整理得 ，
有 ，
解得 ，
薄膜所在平面的直线解析式为 ，
喷出的水与薄膜的距离至少是 厘米，
即薄膜所在的直线应向右平移 米，
平移后的直线解析式为 ，
当 时， ，解得 ，
薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是 米时，喷出的水与薄膜的距离至少是 厘米．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，一次函数
平移规律，二次函数的实际应用，理解题意，熟练运用相关知识求解是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，无人机在离地面 的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆 顶端C
及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面 的B处进行喷水灭火，水流近似的呈
抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆 离消防员的水平距离是 ，高度是 ，大楼离旗杆
，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求直线 的解析式，并求E点坐标；
(2)求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度；
(3)由于火势太猛，消防员退后了 ，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物
线形状保持不变）
(4)在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)消防员应升高4米
(4)水流能顺利越过旗杆，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）根据点A、C得坐标运用待定法求出直线 的解析式，再根据 ，令 ，求出y，即可
得出结论；
（2）设抛物线为 ，分别将B、C、E坐标代入即可得出解析式，然后化为顶点式即可判断得
解；
（3）由抛物线形状不变，消防员后退 ，设出新的抛物线 ，根据过点E，求出
k，可得解析式，然后令 即可解答；
（4）令 代入新的抛物线求出y，比较即可得出结论．
【详解】（1）解： 无人机在离地面 的A处发现大楼E处出现火灾，旗杆 离消防员的水平距离是
，高度是 ，
， ．设直线 为 ，
，
，
直线AC为 ，
又 ，
令 ，则 ．
．
（2）解：由题意知抛物线过 ， ， ，
设抛物线为 ，
，
．，
抛物线为 ，
当 时，y取最大值为 ．
水喷出的最大高度 ．
（3）由题意，∵抛物线形状保持不变，消防员后退 ，
可设新抛物线为 ，
又过 ， ，，
新抛物线为 ，
令 ，则 ，
又 ，
消防员应升高4米．
（4）解：∵新抛物线为 ，
令 ，则 ．
水流能顺利越过旗杆．
2．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，
图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立
如图所示的平面直角坐标系 ，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单
位：m）近似满足函数关系 ，据调查，龙舟最高处距离水面 ，为保障安全，通过
拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少 ．
(1)水面的宽度 ______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为 ，求最多可设计龙舟赛道的数量．
【答案】(1)
(2)最多可设计赛道5条．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；
（2）求出当 时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为 即可得到答案．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：令 ，得 ，
∴
解得 ， ．
可设计赛道的宽度为 ，
∵每条龙舟赛道宽度为 ，
最多可设计赛道5条．
3．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽
为 ，顶点 距水面 （即 ），小孔顶点 距水面 （即 ），建立如图所示的平
面直角坐标系．
(1)求出大孔抛物线的解析式；
(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方 处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面
，顶部宽 的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；
(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ．
【答案】(1) ；
(2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析；(3) ．
【分析】（ ）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；
（ ）求出 时 的值，与 作比较即可判断；
（ ）求出点 坐标，即可得到答案；
本题了考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得， ， ，
设大孔抛物线的解析式为 ，
把点 代入解析式得， ，
解得 ,
∴大孔抛物线的解析式为 ；
（2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下：
把 代入 得， ，
∴该巡逻船能安全通过大孔；
（3）解：∵ ，
∴点 的纵坐标为 ，
∴当 时， ，
解得 ， ，
∴由抛物线对称性可得 ， ，
∴ ，
答：大孔的水面宽度 为 ．
类型八、二次函数的应用——销售问题
【解惑】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售
量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．现公司决定降价出售．
(1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每天的
总成本＝每件的成本×每天的销售量）
【答案】(1)
(2)当销售单价为82元时，每天的销售利润最大
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用．借助二次函数解决实际问题，根据数量关系列出函数解析式
是关键．
（1）根据“利润=（售价 成本） 销售量”列出二次函数解析式即可；
（2）每天的总成本=每件的成本×每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得x的范围，然后利用二次
函数的性质可求得最大值利润．
【详解】（1）解∶
（2）解∶∵企业每天的总成本不超过7000元，
∴ ，
∴ ，
，
∵抛物线的对称轴为 且 ，
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．
∴当 时，y有最大，最大值 ，
即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．
【融会贯通】
1．某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额 （万元）与销售量x（吨）的函数解析式为 ；成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一
部分，其中 是其顶点．
(1)求出成本 关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润 销售额 成本）
【答案】(1)
(2)销售产品所获利润是0.75万元
(3)当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润为10.5万元
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用：
（1）根据题意可设抛物线为： ，再把 代入，即可求解；
（2）根据二次函数的性质可得当 时，成本最小值为 ，此时 ，即可求解；
（3）设销售利润为W万元，根据题意可得W关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可设抛物线为： ，把 代入可得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴当 时，成本最小值为 ，
此时 ，
∴销售产品所获利润是 （万元）；
（3）解：设销售利润为W万元，根据题意得：
∴ ，
∵ ，
∴当 时，W的值最大，最大值为10.5，
即当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润为10.5万元．
2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月能售出 ，销售
单价每涨1元，月销售量就减少 ，针对这种水产品，请解答以下问题：
(1)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数解析式；
(2)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量与月销售利润；
(3)当销售单价为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)月销售量为 ，月销售利润为6750元
(3)销售单价为70元时，获得的利润最大，最大利润是9000元【分析】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大
（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方
法．
（1）利润 销售量 单位利润，单位利润为 ，销售量为 ，据此表示利润得关系式；
（2）结合（1）计算即可；
（3）根据（1）中函数关系式，配方，利用二次函数的性质可得到总利润的最大值．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∴y与x的函数解析式为 ；
（2）解：当 时，销售量： ，
销售利润： ，
答：销售量为 ，销售利润为6750元；
（3）解： ，
∵ ，
∴当 时，利润最大为9000元．
答：销售单价为70元时，获得的利润最大，最大利润是9000元．
3．经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过26元的
情况下，若每件童装降价5元，则每周可多售出10件．
(1)降价15元后，每件童装盈利是______元，每周销售量是______件；
(2)要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？
(3)若每周该品牌童装盈利为y元，不考虑其他因素，单纯从经济角度看，单价降低多少元时，每周盈利最
多？最多盈利多少元？
【答案】(1)65；90
(2)每件童装降价20元
(3)当每件童装降价25元时，每周盈利最多，最多盈利6050元
【分析】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，掌握平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润的运用是解题的关键，读懂题题意，找出之间的数量关系列出方程（或函数解析式）即可．
（1）根据降价后的利润=原利润-降的钱；根据每件童装降价5元，则每周可多售出10件，即可表示出每
天的销售数量；
（2）设每件童装应降价x元，根据题目中的等量关系列出方程解方程即可；
（3）设每周销售这种童装利润为y，列出y与x的函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】（1）降价15元后，每件童装盈利是： 元；
每周销售量是∶ 件．
故答案为：65；90；
（2）设每件童装应降价x元，根据题意得：
，
解得 ， （不合题意，舍去），
答：每件童装降价20元；
（3）设设每件童装应降价x元，每周销售这种童装利润为y元，根据题意得：
，
当 时，函数有最大值6050．
答：当每件童装降价25元时，每周盈利最多，最多盈利6050元．
【一览众山小】
1．已知二次函数 与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出一元二次方程 有实数
根，再根据一元二次方程的定义和根的判别式得出 且 ，解得 且
，再在数轴上表示出来，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数 与x轴有交点，
∴一元二次方程 有实数根，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
在数轴上表示为：
故答案为：C．
2．如图，要围一个矩形菜园 ，其中一边 是墙，且 的长不能超过26m，其余的三边
用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：① 的长可以为6m；② 的长有两个不同
的值满足菜园 面积为 ；③菜园 面积的最大值为 ．其中，正确结论的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意设 米，则 米，设菜园面积为 ，
然后逐一对选项分析，即可得出答案．
【详解】解：设 ， ，
当 时， ，解得 ，∵ 的长不能超过 ，
∴ ，故①不正确；
∵菜园 的面积为 ，
∴ ，整理得 ，
解得 或 ，
∴ 的长有两个不同的值满足菜园 的面积 ，故②正确；
设矩形菜园的面积为 ，根据题意，得 ，
∵
∴当 时， 有最大值，最大值为200，故③正确，
∴正确的有2个．
故选：C．
3．若 、 、 为二次函数 的图象上的三点，则 、 、 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点
的纵坐标越大”即可作答．
【详解】解： 抛物线解析式为 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大，
点 离着对称轴最远，其次是点 ，点 离着对称轴最近，
．
故选：C．
4．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，点 为其与x轴的一个交点，则（1）抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为 ；
（2）当 时， ；
（3）当 时， ；
（4）当 时， ．
【答案】 或3 或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质：
（1）根据对称性求出另外一个交点的坐标即可；
（2）与 轴的交点的横坐标即为所求；
（3）抛物线在 轴上方的自变量的取值范围即为所求；
（4）抛物线在 轴下方的自变量的取值范围即为所求．
【详解】解：（1）对称轴为 ，则由 利用抛物线的对称性得到 ，故可得B的坐标为 ；
故答案为： ；
（2）由（1）可得 时， 或3；
故答案为： 或3；
（3）由二次函数的图象可知，抛物线开口向下 时， ；
故答案为： ；
（4）当 时， 或 ．
故答案为： 或 ．
5．如图，在 中， ， ， ，点P从点A沿 向点C以 的速度运动，同时点Q从点C沿 向点B以 的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形
的面积最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出 是解题
的关键．在 中，利用勾股定理可得 ，设运动时间为 ，则 ，
，利用分割图形求面积法可得 ，利用配方法即可求出四边形 的面积
最小值．
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
设运动时间为 ，则 ， ，
当 时，四边形 的面积取最小值，最小值为 ．
故答案为：15．
6．如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范
围是 ．【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可．
【详解】解：观察图象得：当 或 时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
∴当 时，x的取值范围是 或
故答案为： 或
7．小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近
五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下：
售价 （元/盒） 18 20 22 26 30
日销售量 （盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中数据的变化规律，求日销售量 与售价 之间的关系式；
(2)根据以上信息，售价定为多少时，小莹妈妈在销售该种花卉中每天能够获得最大利润？
【答案】(1)
(2)售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）先判断日销售量 与售价 之间成一次函数，然后用用待定系数法求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，列出二次函数解析式，再由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：观察表格可知销售量是售价的一次函数；设 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，∴ ；
（2）解：设每天获得的利润为w元，
由题意得 ，
，
∴当 时，w取最大值450，
∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润．
8．综合与实践
问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞
行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表：
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
问题提出：
科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高
度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述．
（1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的
取值范围）．
问题延伸：
如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究
发现解决下列问题．
（2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组
在安全线上设置回收区域 ．
（3）活动小组需要飞机落到 内（不包括端点 ），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】（1） ； （2） （3）大于 且小于
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解题目中的数量关系，掌握二次函数图象的性质是
解题的关键．
（1）根据表格信息，x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，设 ，运用待定系数
法即可求解；
（2）根据题意，令二次函数 中 ，即可求解；
（3）设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度 ，根据
进行计算即可求解．
【详解】解：（1）解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设 ，把 代入一次函数解析式，把 ， 代入二次函数解析式，
由题意得： ， ，
解得： ， ，
∴ ， ；
（2）依题意，得 ，
解得， （舍）， ，
当 时， ，
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为 ．
（3）设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 中，
当 时， ；
当 时， ．
∴ ．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 且小于 ．
