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专题 02 二次函数
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数的应用——图形问题
【解惑】如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃
， 边上留有2米宽的小门 （用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边 长为x（米），
面积为y（平方米）．
(1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽；
(2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．
【融会贯通】
1．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长
方形花圃．设花圃的宽 为x米，花圃 的面积为 米 ．(1)如果要围成面积为45米 的花圃， 的长是多少米？
(2)当x为________时，花圃 的面积最大，最大面积是________
2．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以 为直径的半圆O，下部是一个矩形 ．
(1)当 米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形 相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积 关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米 3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（ 取3.14，结果精确到0.1米）
3．为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为
28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三
个宽1米的小门，便于同学们进入．
(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边 的长；
(2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
类型二、二次函数的应用——几何动点问题
【解惑】如图，在矩形 中， ， ，点 是 的中点．动点 从点 出发，沿折线
以 的速度运动，作 ， 交边 或边 于点 ，连接 ．当点 与点重合时，点 停止运动．设点 的运动时间为 ， 的面积为 ．
(1)当 时， 的形状是______．
(2)当点Q与点B重合时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【融会贯通】
1．根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程 平均速度 时间t． ，其中 是开
始时的速度， 是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加 ．
(1)直接写出钢球在斜面滚动t秒时的速度 ．
(2)求钢球在斜面滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．
(3)如果斜面的长是 ，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
(4)在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少 ，求钢
球静止时在水平地面上滚动的路程．
2．如图1，一块矩形电子屏 中，G为 上一感应点， ，动点P为一光点，当光点在光带
上运动时，会与感应点发生反应，照亮以 为边的正方形区域 ．因发生故障，只有光带 和
正常工作， ，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿 匀速运动，到达点B时停
止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域 的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的
函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形．(1) 时，照亮的区域面积 ______，并求a值．
(2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．
①求出点P在线段 上运动时S关于t的函数解析式；
②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域 的面积S为17．
3．如图 ，在矩形 中，已知 ，点 是 的中点．动点 从点 出发，以每秒 个单位的速
度沿 向点 运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿折线 运动，当一个点到
达点 时，另一点也随之停止运动．连接 ， ，设动点 运动的时间为 秒， 的面积为 ，图
中的曲线是动点 在线段 上时 与 的函数图象．
(1)
填空：
① ____________；
②当 时，直接写出 与 的函数解析式为____________．
(2)经探究，发现当点 在线段 上运动时， 是关于 的二次函数．请求出此时 与 的函数解析式，并
直接写出自变量 的取值范围．
(3)在整个运动过程中，若存在某 个时刻 ， ， ，使得 的值相等．
①求出 的取值范围；
②当 时，求 的值．类型三、二次函数中的将军饮马
【解惑】如图，抛物线 经过 ， 两点，并交 轴于另一点 ，点 是抛物线
的顶点，直线 与轴交于点 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点 是 轴上一动点，分别连接 ， ，求 的最小值；
(3)若点 是抛物线上一动点，问在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【融会贯通】
1．如图，抛物线 经过 ， 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，
直线 与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接 ，求 的最小值．2．如图，已知抛物线 与x轴交于 、 两点，与y轴交于点 ，其顶点为
D，对称轴l与x轴交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求 的最小值．
3．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，抛物线 经过点 ，与 轴
另一交点为 ，顶点为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在 轴上找一点 ，使 的值最小，求 的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请
说明理由．
类型四、二次函数中的铅锤高
【解惑】综合与探究：如图1，已知抛物线 与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴相交于点C，点P是第一象限抛物线上的一动点，过点P作 轴，垂足为D，交线段
于点E，过点P作 ，垂足为F．(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)当 取最大值时，试探究：在y轴上是否存在点Q，使 为等腰三角形，若存在，请直接写出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【融会贯通】
1．如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，直线AB与 轴相交于点 ．
(1)求抛物线与直线的表达式；
(2)点 是抛物线在直线 下方部分的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴
交 于点 ，求 的最大值．
2．如图，二次函数 的图象与x轴交于O(O 为原点)， 两点，已知二次函数图象经过
点 ．(1)求二次函数的表达式；
(2)已知y 轴上一点 ，点P是二次函数图象上位于x 轴下方的一点，连接 ， ， ．设点P的
横坐标为t， 的面积为S．
①求 直线表达式；
②当S取最大值时，求点P的坐标．
3．如图1，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ， 为第四象限内抛物线上
一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ， 与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)设四边形 的面积为 ，求 的最大值．
(3)当 时，求直线 的函数表达式及点 的坐标
类型五、二次函数中的定值
【解惑】如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点， ，交y轴于点C，对称轴是直线
．点D是抛物线的顶点，点E是对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)连接 ，P是第一象限抛物线上的点，若 ，求点P的坐标；
(3)如图2，点 在对称轴上，过点K的直线（直线 除外）与抛物线分别交于点G，H，直线 ，
分别交x轴于点M，N．试探究 的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．
【融会贯通】
1．已知：二次函数 （m是常数）
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）．
(2)若该二次函数图象与直线 交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为 ，
，求证： 是个定值．
(3)已知点 ， ，若该二次函数图象与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
2．已知抛物线 ： 的图像与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，点 为y轴
上一点．
(1)求抛物线 的解析式；(2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且 ， 与x轴交于点D，求点E的横坐标；
(3)点P是 上的一个动点，连接 ，取 的中点 ，设点 构成的曲线是 ，直线 与 ， 的
交点从左至右依次为 ， ， ， ，则 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，
请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ，
两点，与y 轴交于点C ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线 下方抛物线上的一个动点，连接 ，线段 与 交于点 Q，设
的面积为 ， 的面积为 ，当 取最大值时，求点P的坐标；
(3)当 时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
类型六、二次函数中的比值
【解惑】在平面直角坐标系中， ， ．(1)若抛物线过 、 两点，且与 轴交于点 ，求此抛物线的顶点坐标；
(2)如图，小敏发现所有过 、 两点的抛物线如果与 轴负半轴交于点 ， 为抛物线的顶点，那么
与 的面积比不变，请你求出这个比值．
【融会贯通】
1．抛物线 交x轴于A、B（A在B左侧），交y轴负半轴于C且 ．
(1)直接写出抛物线解析式；
(2)如图1，若 过D作直线 交抛物线于M、N（M、N不与A、B重合且M在N左侧），直线 ，
交于P点，求 ；
(3)如图2，若抛物线顶点为D，直线 与抛物线交于E、F（E在F左侧），G为 中点，求
的比值．
2．如图①，抛物线 与抛物线 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物
线 和抛物线 与x轴有着相同的交点 、B（点B在点A右侧），抛物线 与y轴交点为G，抛物
线 与y轴交点为H．(1)求a的值．
(2)如图①，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接 ，点F在x轴上，当点F的坐标为何值时，
是以 为底的等腰三角形？
(3)如图②点M是x轴下方抛物线 上的一个动点，过点M作 轴于点N，交抛物线 于点D，试探
究：在M点的运动过程中， 的比值是否为一个定值；如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理
由．
3．在平面直角坐标系中，已知顶点为 的抛物线 的解析式是 且经过点 ．
(1)求 的值；
(2)如图1，将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ，过点 作直线 平行于
轴，与两抛物线从左到右分别相交于 、 、 、 四点，且 、 两点关于 轴对称．①点 在抛物线 上，当点 的坐标为何值时，四边形 是平行四边形？
②如图2，若抛物线 的对称轴与抛物线 交于点 ，试探究：在 点的运动过程中， 的比值是否为
一个定值；如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
类型七、二次函数中的新定义
【解惑】定义：
在平面直角坐标系中，图象上任意一点 的纵坐标 与横坐标 的差即 的值称为点 的“坐标
差”；例如：点 的“坐标差”为 ，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的
“特征值”．
理解：
（1）求二次函数 的图象的“特征值”；
运用：
（2）若二次函数 的“特征值”为 ，点 与点 分别是此二次函数的图象与 轴，
轴的交点，且点 与点 的“坐标差”相等，求此二次函数解析式；
拓展：
（3）如图，矩形 ，点 的坐标为 ，点 在 轴上，点 在 轴上，二次函数
的图象的顶点在“坐标差”为 的函数图象 上．
当二次函数 的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式；
当二次函数 的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出 的取值范围．参考公式： ．
【融会贯通】
1．定义，在平面直角坐标系中，对于任意两点 ， ，若点 满足 ， ，
那么称点T是点A，B的“伴A融合点”，例如： ， ，当点 满足 ，
时，则点 是点A，B的“伴A融合点”．
(1)已知点 ， ，点T是点A，B的“伴A融合点”，则点T的坐标为___________；
(2)已知点 ， ， ，请说明其中一个点是另两个点的伴哪个点的“融合点”？
(3)已知点 是直线 上在第一象限内的一动点， 是抛物线 上一动点，点 是
点Q，P的“伴Q融合点”，试求出T中y关于x的函数表达式（表达式中含a），并判断所有点 中
是否存在最高点？若存在，求出最高点的坐标；若不存在，说明理由；
(4) ， 为（3）中y关于x的函数表达式所对应的图像上两点，若点M，N之间的图象
（包括点M，N）的最高点与最低点纵坐标的差为 ，求a的值．
2．我们定义【 ， ， 】为函数 的“特征数”．如：函数 的“特征数”是
【2， ，5】，函数 的“特征数”是【0，1，2】，函数 的“特征数”是【0， ，
0】．(1)若一个函数的特征数是【1， ，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得
到一个图象对应的函数“特征数”是 ．
(2)将“特征数”是【0， ， 】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析
式是 ．
(3)当“特征数”是【1， ， 】的函数在直线 和直线 之间的部分（包括边界点）的
最高点的纵坐标为5时，求 的值．
(4)点 关于 轴的对称点为点 ，点 关于 轴的对称点为点 ．当若（3）中的抛物线
与四边形 的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出 的值．
（m为常数）
3．定义：对于一次函数 （k，m是常数， ）和二次函数 （a，b，c是常数，
），如果 ， ，那么一次函数 叫做二次函数 的牵引函数，二次函数
叫做一次函数 的原函数．
(1)若二次函数 （a是常数， 的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值；
(2)已知一次函数 是二次函数 的牵引函数，在二次函数 上存在两点 ， ．若 也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M
之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且
，求m的取值范围．
类型八、二次函数中的三大运动(平移、翻折、旋转)
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，
与 轴交于点 ，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，连接 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点 在第一象限内的抛物线上，连接 、 ，当四边形 的面积最大时，求出此时点
的坐标以及 的最大值；
(3)如图2，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到新抛物线，若新抛物线与 轴交于点
，连接 、 ，点 在新抛物线的对称轴上，满足： ，请直接写出点 的
坐标．
【融会贯通】
1．已知二次函数 经过 两定点（点 在点 的左侧），顶点为 ．(1)求定点 的坐标；
(2)把二次函数 的图象在直线 下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函
数位于直线 上方的部分的组合图象记作图象 ，求向上翻折部分的函数解析式；
(3)在（2）中，已知 的面积为8．
①当 时，求图象 中 的取值范围；
②若直线 与图象 从左到右依次交于 四点，若 ，求 的值．
2．已知抛物线 与x轴分别交于 、 两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点D是线段 上一个动点，过点D作 的垂线，交抛物线于点E，交直线 于点F，当线
段 长有最大值时，求点D的坐标；
(3)如图②，点M的坐标是 ，点P为抛物线的顶点，点Q是x轴上一个动点，把 沿直线 翻
折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，点A、B为该抛物线上两点，点 的横坐标
为 ，点 的横坐标为 ．将抛物线上点 与点 之间的部分（包含A、B两点）记作图象G．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当直线 轴时，求 的值；
(3)已知矩形 ， 轴，图象 上的点都在矩形 的内部（包括边界），当矩形 的面
积的最小值为27时，求m的值；
(4)点 与点 关于抛物线 的对称轴对称，连接 ，点 为线段 的中点，将点 绕点
旋转 得到点 ，连接 、 ，当抛物线 的对称轴将 的面积分为1：5的两部分
时，直接写出 的值．
【一览众山小】
1．抛物线 与y轴交于点 ，过点 作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分
沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形 ，点 ， 为图形 上两点，若
，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
2．二次函数 的图像如图，对称轴为 ，若关于x的一元二次方程 （t为实
数）在 的范围内有唯一一个实数解或两个相等的实数解，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或3．定义： 为二次函数 的特征数，下面给出特征数为 的二次
函数的一些结论：①当 时，函数图象的对称轴是y轴；②当 时，函数图象过原点；③当 时，
函数有最小值；④如果 ，当 时，y随x的增大而减小．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段 在抛物线的对称轴上移动（点
C在点D下方），且 ．当 的值最小时，点C的坐标为 ．
5．曲线 ，如图所示，且曲线 是轴对称图形，其对称轴为 ．直线 交曲线
于 点，且 ．则 的值为 ．
6．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，与直线 交于点 ，
点C在y轴上，且坐标为 ，点D为直线 下方抛物线上的一点，连接 与 交于点E．点P是线
段 上的一动点，从点B出发向点O匀速运动，同时点Q从点O出发，以与P大小相同的速度沿x轴负方向匀速运动，当点P到达点O时停止运动，此时点Q也随之停止运动，连接 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当 时，则 的面积为 ；
(3)当 时，求点D的坐标；
(4) 的最小值是 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ，过点 作
轴的平行线 交直线 于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图 ，连接 ，抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线 的图像与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．(1)求该抛物线解析式；
(2)如图 ，点 为直线 上方抛物线上的一点，过点 作 轴交 于点 ，作 交 轴于点
，求 的最大值以及此时点 的坐标；
(3)如图 ，在（ ）问的条件下，将抛物线沿射线 方向平移 个单位得到新抛物线，新抛物线对称
轴与 轴交于点 ，在新抛物线上是否存在点 ，连接 ， ， ，使 ，若存在，请
写出所有满足条件的点 的横坐标，并写出求解点 横坐标的一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
