专题 02 二次函数
题型1 二次函数的概念 题型10 二次函数与一次函数交点个数问题（重点）
题型2 根据二次函数的定义求参数 题型11 抛物线与坐标轴的交点问题
题型12 根据二次函数图象确定相应方程根（常考
题型3 特殊二次函数的图像和性质（常考点）
点）
题型 4 与特殊二次函数有关的几何知识（重
题型13 根据交点确定不等式的解集（常考点）
点）
题型5二次函数y=ax²+bx+c的性质（常考点） 题型14 二次函数应用-类抛物线问题（常考点）
题型 6 二次函数 y=ax²+bx+c 的最值问题（重
题型15 二次函数应用-面积问题（常考点）
点）
题型 7 二次函数 y=ax²+bx+c 的图像问题（重
题型16 二次函数应用-利润问题（常考点）
点）
题型8 二次函数的平移变换 题型17二次函数与几何综合应用（重点）
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型18 二次函数的其他问题（重难点）
题型一 二次函数的概念（共 2 小题）
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（ ）
1
A．y=ax2+bx+c B．y=
x2
C．y=x2+5 D．y=2x-7
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如y=ax2+bx+c（a≠0）
的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A、中当a=0，b≠0时．y是x的一次函数，则A不符合题意；
1
B、y= 不是二次函数，则B不符合题意；
x2
C、y=x2+5是二次函数，则C符合题意；
D、y=2x-7是一次函数，则D不符合题意；
故选：C．
2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数y=2x2-3x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，0，-3 B．2，-3，0 C．2，3，0 D．2，0，3
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式
y=ax²+bx+c(a≠0)，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-3x可化为y=2x2+(-3)x+0，
∴二次项系数a=2，一次项系数b=-3，常数项c=0．
故选：B．
题型二 根据二次函数定义求参数（共 2 小题）
1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数y=2xm+1-x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．3
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得m+1=2，求解即可．
【详解】解：∵关于x的函数y=2xm+1-x+1是二次函数，
∴m+1=2，
解得m=1，
故选：B．
2．（22-23九年级上·云南昆明·期中）已知y=(m+1)xm2+1+2x-3是二次函数，则m的值为（
）
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
【答案】B
【分析】根据二次函数定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数，从三个方面：①含有一个
未知数；②所含未知数的最高次数为2次；③是一个整式理解即可得到答案．
【详解】解：∵
y=(m+1)xm2+1+2x-3是二次函数，
∴m+1≠0,m2+1=2，解得m=1，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的定义，从三个方面：①含有一个未知数；②所含未知数的最高次数为2次；
③是一个整式去理解概念是解决问题的关键
题型三 特殊二次函数的图像和性质 （共 5 小题）1．（25-26九年级上·内蒙古·期末）抛物线y=(x-1) 2-2的顶点坐标是（ ）
A．(-1,-2) B．(-1,2) C．(1,-2) D．(1,2)
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
抛物线已给出顶点形式 y=a(x-h) 2+k，直接读取顶点坐标即可．
【详解】解：∵ 抛物线 y=(x-1) 2-2 符合顶点形式，
∴ 顶点坐标即为 (1,-2)．
故选： C．
2．（24-25九年级上·福建福州·期末）关于函数y=-(x-2) 2+2的函数值，下列说法正确的是（ ）
A．最小值是-2 B．最大值是-2 C．最大值是2 D．最小值是2
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，
进一步可得出其最值，可得出答案．
【详解】解：∵y=-(x-2) 2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,2)，
∴函数有最大值是2．
故选：C．
3．（24-25九年级上·河南周口·期末）若a>0，c<0，则二次函数y=ax2+c的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：y=ax2+c，
∵a>0，c<0，∴抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴，
∵二次函数y=ax2+c的对称轴为y轴，
∴二次函数y=ax2+c的图象大致是：
．
故选：A．
4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数y=-(x-3) 2+2的图象经过A(-1,y )，B(1,y )，
1 2
C(4,y )三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
3 1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y
3 2 1 2 3 1
C．y >y >y D．y >y >y
2 1 3 3 1 2
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题
意可把A(-1,y )，B(1,y )，C(4,y )三点分别代入函数解析式进行求解即可．
1 2 3
【详解】解：由题意得：
y =-(-1-3) 2+2=-14，y =-(1-3) 2+2=-2，y =-(4-3) 2+2=1，
1 2 1
∴y >y >y ；
3 2 1
故选A．
5．（24-25九年级上·四川德阳·期末）关于二次函数y=(x-2) 2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(-2,5)
C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x>2时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉
函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．由抛物线的表达式和
函数的性质逐一求解即可．【详解】解：对于y=(x-2) 2+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为(2,5)，故B错误；
该函数有最小值，最小值是5，故C错误；
当x>2时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
题型四 与特殊二次函数有关的几何知识 （共 3 小题）
1．（2023·四川达州·二模）如图，已知点A ,A ,...,A 在函数y=2x2位于第二象限的图像上，点
1 2 2024
B ,B ,...,B 在函数y=2x2位于第一象限的图像上，点C ,C ,...,C 在y轴的正半轴上，若四边
1 2 2024 1 2 2024
形O A C B ,C A C B ,...,C A C B 都是正方形，则正方形C A C B 的边
1 1 1 1 1 2 2 2 2023 2024 2024 2024 2023 2024 2024 2024
长为( )
2023 2023
A．1012 B．1012❑√2 C． D． ❑√2
2 2
【答案】B
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB 与y轴的夹角为45°，然后表示出OB 的解析式，
1 1
再与抛物线解析式联立求出点B 的坐标，然后求出OB 的长，再根据正方形的性质求出OC ，表示出
1 1 1
C B 的解析式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出C B 的长，再求出C C 的长，然后表示出
1 2 2 1 2 1 2
C B 的解析式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出C B 的长，从而根据边长的变化规律解答即
2 3 3 2 3
可．
【详解】解：∵OA C B 是正方形，
1 1 1
∴OB 与y轴的夹角为45°，
1
∴OB 的解析式为y=x，
1联立方程组得：¿，
解得¿，¿．
1 1
∴B点的坐标是：( ， )，
2 2
√ 1 2 1 2 ❑√2 ❑√2
∴OB =❑( ) +( ) = =1× ；
1 2 2 2 2
❑√2
同理可得：正方形C A C B 的边长C B =2× ；
1 2 2 2 1 2 2
…
❑√2
依此类推，正方形C A C B 的边长是为2024× =1012❑√2．
2023 2024 2024 2024 2
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与
抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．
2.（九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形三个顶点的坐标依次为(3,1)，(1,1)，(1,3)．若抛物线y=ax2
的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
9 9 3 3
【答案】A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值，再根据∣a∣越大，抛物线的开口越小即可解决问题．
【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3，
1
当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a= ，
9
1
观察图象可知： ≤a≤3，
9
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
1
3．（九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y= x2上，其中点O为
3
坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．4 D．4❑√3
【答案】B
【分析】根据二次函数图象上点的坐标性质得出A，C点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案．
1
【详解】∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y= x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2，
3
∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，
1
故1= x2，
3
解得：x=±❑√3，
故A(❑√3，1)，C(﹣❑√3，1)，
∴AC=2❑√3，
1 1
故菱形OABC的面积是： AC⋅OB= ×2❑√3×2=2❑√3．
2 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题关
键．
题型五二次函数 y=ax²+bx+ c 的性质（共 7 题）
1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）在若二次函数y=-2x2+4x+a-1的图象经过原点，则a的值为
（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．1或-1
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，理解题意是解题的关键．将(0,0)代入解析式即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=-2x2+4x+a-1的图象经过原点，∴ 0=0+0+a-1，
解得：a=1，
故选：C．
2．（24-25九年级上·广西崇左·期末）抛物线y=x2-4x+5的对称轴方程是（ ）
A．x=4 B．x=-4 C．x=2 D．x=-2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数对称轴的计算，掌握对称轴直线的计算公式是解题的关键 ．
b
根据二次函数对称轴直线x=- 计算即可．
2a
-4
【详解】解：抛物线y=x2-4x+5的对称轴直线为x=- =2，
2
故选：C ．
3．（24-25九年级上·云南大理·期末）点A(-2,y )，B(4,y )，C(6,y )均在二次函数y=x2-2x+c的图
1 2 3
象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y = y >y
3 2 1 1 2 3
C．y >y >y D．y >y = y
1 2 3 3 1 2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称轴直线，增减性是解题的关键．
根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴直线为x=1，当x≤1时，y随x的增大而减小，离对
称轴直线越远，值越大，当x≥1时，y随x的增大而增大，离对称轴直线越远，值越大，由此即可求
解．
【详解】解：在二次函数y=x2-2x+c中，a=1>0，
-2
∴图象开口向上，对称轴直线为x=- =1，
2
∴当x≤1时，y随x的增大而减小，离对称轴直线越远，值越大，当x≥1时，y随x的增大而增大，离
对称轴直线越远，值越大，
∵1-(-2)=3,4-1=3,6-1=5，
∴y = y <y ，即y >y = y ，
1 2 3 3 1 2
故选：D ．
4．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几组数值，观察表格正确
的结论是（ ）x … -2 0 1 2 3 …
y … 0 -8 -9 -8 -5 …
A．当x=-1时，y=-5 B．抛物线开口向下
C．抛物线的对称轴是x=0 D．y随x的增大而增大
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．∵当x=0和x=2时y的值相等，
0+2
∴抛物线的对称轴是直线x= =1，∴当x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等，即y=-5，故
2
正确；
B．∵随着x的增大y的值先减小再增大，∴抛物线开口向上，故不正确；
C．由A知，抛物线的对称轴是直线x=1，故不正确；
D．∵随着x的增大y的值先减小再增大，故不正确．
故选A．
5．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知拋物线y=-x2+2x+c，若点(0,y )，(1,y )，(3,y )，都在该
1 2 3
抛物线上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y <y <y
3 1 2 3 1 2
C．y <y <y D．y >y >y
3 2 1 2 3 1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由抛物线解
析式可知抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，即可求解．
【详解】解：∵y=-x2+2x+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y有最大值，且离对称轴越近y的值越大，
∵3-1>1-0，
∴y <y <y ，
3 1 2
故选：B．
6．（2023·浙江金华·一模）已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点(1,0)，则当2≤x≤6时，y的取值范
围是（ ）
A．-5≤ y≤5 B．-4≤ y≤5 C．-3≤ y≤5 D．0≤ y≤5【答案】B
【分析】先将点(1,0)代入y=x2+bx+5求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减
性，分析在2≤x≤6时的最大值和最小值即可．
【详解】解：将点(1,0)代入y=x2+bx+5得：0=1+b+5，
解得：b=-6，
∴该二次函数的表达式为：y=x2-6x+5，
-6
∴该函数的对称轴为直线x=- =3，
2
∵a=1>0，
∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵6-3>3-2，
∴再2≤x≤6之间，当x=6时，函数有最大值y=62-6×6+5=5，
当x=3时，函数有最小值y=32-6×3+5=-4，
∴当2≤x≤6时，y的取值范围是-4≤ y≤5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴
左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴
左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
7．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知y=x(x-2)，0≤x≤4，下列说法正确的是（ ）
A．当x=0时，y有最小值 B．当x=0时，y有最大值
C．当x=1时，y有最小值 D．当x=1时，y有最大值
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数对称性，增减性，是解题的关键．
配方解析式化成顶点式，画出图象，由图象的对称性增减性顶点，确定函数的最大值或最小值，逐一
判断即得．
【详解】y=x(x-2)=x2-2x=(x-1) 2-1
A. ∵当x=1时，y有最小值，∴A选项不正确；
B. ∵当x=4时，y有最大值，∴B选项不正确；
C. ∵当x=1时，y有最小值，∴C选项正确；
D. ∵当x=4时，y有最大值，∴D选项不正确．
故选：C．题型六 二次函数 y=ax²+bx+ c 的最值问题（共 3 题）
1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数y=a(x-1) 2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值
为-4，则a的值为（ ）
1 1 4 1 1
A． 或4 B．4或- C．- 或4 D．- 或
2 2 3 2 2
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函
数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键；
根据题意分两种情况讨论，当a>0时，-a=-4，解得a=4；当a<0时，在-1≤x≤4，9a-a=-4，
1
解得a=- ，即可求解；
2
【详解】解：y=a(x-1) 2-a(a≠0)的对称轴为直线x=1，
顶点坐标为(1,-a)，
当a>0时，在-1≤x≤4，函数有最小值-a，
∵y的最小值为-4，
∴-a=-4，
∴a=4，
当a<0时，在-1≤x≤4，当x=4时，函数有最小值，
∴9a-a=-4，
1
解得a=- ；
21
综上所述：a的值为4或- ，
2
故选：B
2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）点P(t,n)在以直线x=1为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图
象上，则t-n的最大值等于（ ）
7 17 15 15
A．- B．- C．- D．
4 4 4 4
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键；根据二
次函数的对称轴为x=1，可得出a=-2，将P(t,n)代入二次函数解析式中，可得出
( 3) 2 7
t-n=- t- - ，根据二次函数的性质即可求解．
2 4
【详解】解：∵二次函数y=x2+ax+4的对称轴为x=1，
a
∴x=- =1,
2×1
∴a=-2,
∴二次函数的解析式为y=x2-2x+4，
∵点P(t,n)在二次函数y=x2-2x+4的图象上，
∴n=t2-2t+4,
∴t-n=t-(t2-2t+4)=-t2+3t-4=- ( t- 3) 2 - 7 ，
2 4
3 7
∴当t= 时，t-n取得最大值，最大值为- ，
2 4
故选：A．
3．（2023·山东济南·一模）已知二次函数y=ax2-2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大
值与最小值的差为4， 则a的值为（ ）
4 4 4
A．± B．±1 C．-1或- D．1或
3 3 3
【答案】B
【分析】分a>0和a<0两种情况，分别求出y的最大值和最小值，即可求解．
【详解】解：当a>0时，
-2a
∵对称轴为x=- =1，
2a当x=1时，y有最小值为2，当x=-1时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a<0时，同理可得：y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1．
综上，a的值为±1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征等知识点，掌握分类讨论思
想是解答本题的关键．
题型七 二次函数 y=ax²+bx+ c 的图像问题（共 4 题）
1．（24-25九年级下·全国·期末）二次函数y=ax2-1与正比例函数y=ax在同一平面直角坐标系中的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，由二次函数y=ax2-1可知抛物线与y轴交
于点(0,-1)，可判断C，D 不符合题意，由A选项中的抛物线可知a>0，由直线可知a<0，可判断B
不符合题意，由B选项中的抛物线可知a>0，由直线可知a>0，可判断B符合题意，掌握相关知识是
解题的关键．
【详解】解：由二次函数y=ax2-1可知抛物线与y轴交于点(0,-1)，故C，D选项中的图象不符合题
意；
由A选项中的抛物线可知a>0，由直线可知a<0，故选项中的图象A不符合题意；
由B选项中的抛物线可知a>0，由直线可知a>0，故B选项中的图象符合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c与一次函数
y=ax+c的大致图像可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，解题的关键是结合图像特征进行判断．根据
二次函数和一次函数的图像与系数的关系逐一判断即可．
【详解】解：A、由抛物线知，a>0，c<0，由直线知a<0，c>0，故本选项错误；
B、由抛物线知，a<0，c>0，由直线知a>0，c>0，故本选项错误；
C、由抛物线知，a<0，c>0，由直线知a<0，c>0，两结论一致，故本选项正确；
D、由抛物线知，a>0，c>0，由直线知a<0，c>0，故本选项错误．
故选：C．
3．（24-25九年级上·山东德州·期末）二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=acx-b在同一坐标系中的大
致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，熟记一次函数和二次函数图象的性
质是解题的关键．
先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、一次函数y=acx-b的图象过一、二、四象限，ac<0，b<0，二次函数
y=ax2+bx+c的开口方向向上且与y轴的交点在y轴的正半轴，则a>0，c>0，即ac>0与ac<0矛
盾，故A错误，不符合题意；
B、一次函数y=acx-b的图象过一、二、三象限，ac>0，b<0，二次函数y=ax2+bx+c的开口方
向向上且与y轴的交点在y轴的正半轴，则a>0，c>0，即ac>0，不存在矛盾，故B正确，符合题
意；
C、一次函数y=acx-b的图象过一、三、四象限，ac>0，b>0，二次函数y=ax2+bx+c的开口方
向向下且与y轴的交点在y轴的正半轴，则a<0，c>0，即ac<0与ac>0矛盾，故C错误，不符合题意；
D、一次函数y=acx-b的图象过二、三、四象限，ac<0，b>0，二次函数y=ax2+bx+c的开口方
向向上且与y轴的交点在y轴的正半轴，则a>0，c>0，即ac>0与ac<0矛盾，故D错误，不符合题
意．
故选：B．
4．（22-23九年级上·广东东莞·期末）函数y=ax2与y=-x-a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：①当a>0时；②当a<0时；分别根据二次函数的图象与系数的关系及一次
函数的性质作出判断即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当a>0时，-a<0，二次函数y=ax2开口向上，一次函数y=-x-a过二、三、四象限，
②当a<0时，-a>0，二次函数y=ax2开口向下，一次函数y=-x-a过一、二、四象限，
由各选项的图象可以看出，选项C正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象综合判断，不等式的性质，二次函数的图象与系数
的关系，根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性
质是解题的关键．
题型八 二次函数的平移变换（共 3 题）
1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将抛物线y=2x2-3向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式
为 ．
【答案】y=2x2+2
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键；根据
“上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：抛物线y=2x2-3向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为：y=2x2-3+5，
即y=2x2+2．故答案为：y=2x2+2．
2．（24-25九年级上·广东·期末）把抛物线y=x2-2x-1先向上平移 1个单位长度，再向左平移1个单位
长度，所得抛物线为（ ）
A．y=x2-1 B．y=(x+1) 2 C．y=x2+1 D．y=(x-1) 2
【答案】A
【分析】根据左加右减，上加下减的平移原则计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：抛物线y=x2-2x-1=(x-1) 2-2向上平移1个单位，再向左平移1个单位后所得到的抛
物线解析式为：
y=(x-1+1) 2-2+1=x2-1．
故选：A．
3．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如果将二次函数y=x2-3的图象平移，使得平移后图象的解析式为
y=(x+3) 2-5，那么它平移的过程可以是（ ）
A．向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移3个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移5个单位
D．向右平移3个单位，再向下平移5个单位
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题
可根据“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：将二次函数y=x2-3向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y=(x+3) 2-3-2即
y=(x+3) 2-5
∴平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位；
故选：A．
题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共 5 题）
1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)，(3,0)，则b的值为 ．【答案】-4
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
根据二次函数与x轴的两个交点是关于对称轴对称的两点结合对称轴公式，进行求解即可．
【详解】抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)，(3,0)，
b 1+3
∴- = ，
2 2
则b=-4．
故答案为：-4．
2．（23-24九年级下·北京·开学考试）抛物线y=x2-2mx+3的对称轴为直线x=2，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】B
-2m
【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据抛物线的对称轴为直线x=- =2，计算即可．
2
【详解】∵抛物线y=x2-2mx+3的对称轴为直线x=2，
-2m
∴x=- =2，
2
解得m=2，
故选：B．
3．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-1,0)、B(3,0)两点，
与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握抛物线的对称性质是解题的关键．
利用抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，再根据CD∥x，得出点C、D关于抛物线的对称轴对称，
即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-1,0)、B(3,0)两点，
-1+3
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x= =1，
2
∵CD∥x，∴点C、D关于直线x=1对称，
∵点C是抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点，
∴点C横坐标为0，设点D横向坐标为m，
0+m
∴ =1，
2
∴m=2，
∴CD=2-0=2．
故答案为：2．
4．（23-24九年级上·浙江温州·月考）坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有
一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=10，BC=5，CD=6，则
PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为m+10，点C的横坐标为m+15，点D的横坐标为
m+m+15 m+10+m+21
m+21，求出点P的横坐标为： =m+7.5，点Q的横坐标为： =m+15.5，
2 2
最后求出结果即可．
【详解】解：∵AB=10，BC=5，CD=6，
∴设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为m+10，点C的横坐标为m+15，点D的横坐标为m+21，
∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同，
m+m+15
∴点P的横坐标为： =m+7.5，
2
m+10+m+21
点Q的横坐标为： =m+15.5，
2
∴PQ=m+15.5-m-7.5=8．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，求出点P、Q
的横坐标．5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数a≠0），部分对应值如下
表：当x=3时，y=（ ）
x ．．． -2 -1 0 1 2 ．．．
y ．．． 5 0 -3 -4 -3 ．．．
A．5 B．-4 C．-3 D．0
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的
数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当x=3对应的函
数值．
【详解】解：由表格可得，
0+2
该函数的对称轴为直线x= =1，
2
∴x=3和x=-1对应的函数值相等，
∵当x=-1时，y=0，
∴当x=3时，y=0，
故选：D．
题型十 二次函数与一次函数交点个数问题（共 2 题）
1
1．（24-25九年级上·山东·期末）将抛物线y=- (x+1) 2 的图象位于直线y=-2以下的部分向上翻折，得
2
到如图图象，若直线y=x+m与此图象有四个交点；则m的取值范围是 ．
3
【答案】1<m<
2
【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出
1
新图象，分别确定直线l 与抛物线y=- (x+1) 2 有一个交点、直线l 经过点A(-3,-2)时的m的值，
1 2 2
即可求解．【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示：
1 1
直线l 与抛物线y=- (x+1) 2 有一个交点时：方程- (x+1) 2=x+m有一个实数根，
1 2 2
整理方程得：x2+4x+1+2m=0，
Δ=42-4(1+2m)=0，
3
解得：m= ；
2
1
由- (x+1) 2=-2解得：x =-3，x =1，
2 1 2
∴A(-3,-2)
当直线l 经过点A(-3,-2)时，-2=-3+m得m=1，
2
3
∴m的取值范围是：1<m<
2
3
故答案为：1<m< ．
2
2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象（如图所示）是
由函数y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而
成，则下列结论：①2a+b=0；②c=-3；③abc<0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5
有3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，
熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与x轴的两个交
点，求出对称轴，即可得到结论；②由y=|ax2+bx+c|的图象可知：与y轴的交点为(0,3)，根据翻折
特点，即可解题；③根据对称轴，判断b的符号，结合a，c的符号，即可得到abc的符号；④先求出
图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论．
【详解】解：由图知，函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象与x轴交于(-1,0)，(3,0)，
-1+3
∴函数对称轴为直线x= =1，
2
b
∴ - =1，
2a
则b=-2a，2a+b=0，故①正确；
∵函数图象与y轴交于(0,3)，
由翻折性质可知，c=-3，故②正确；
∵ a>0，对称轴为直线x=1，
∴b<0，
∵ c=-3，
∴ abc>0，故③错误；
由图知，y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-3)，
∵函数y=|ax2+bx+c|图象与y轴交于(0,3)，
∴ y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-3)过点(0,-3)，
即a×(0+1)×(0-3)=-3，
解得a=1，
∴函数y=ax2+bx+c为y=x2-2x-3，
即y=|ax2+bx+c|=|x2-2x-3|，
当x=1时，y=|12-2-3|=4，
即y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,4)，将图象向上平移1个单位长度后y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,5)，
∴将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点，故④正确．
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
题型十一 抛物线与坐标轴轴的交点问题（共 5 题）
1．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）抛物线y=2(x-1) 2-4与x轴的交点坐标是 ．
【答案】(1+❑√2,0)或(1-❑√2,0)
【分析】本题考查求抛物线与x轴的交点坐标，令y=2(x-1) 2-4=0，解一元二次方程即可．
【详解】解：令y=2(x-1) 2-4=0，
解得：x =1+❑√2,x =1-❑√2；
1 2
∴抛物线y=2(x-1) 2-4与x轴的交点坐标是(1+❑√2,0)或(1-❑√2,0)．
故答案为：(1+❑√2,0)或(1-❑√2,0)
2．（24-25九年级上·四川自贡·期中）将抛物线y=3x2的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，
所得图象与x轴交点坐标为 ．
【答案】(-3,0)，(-5,0)
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得平移后的解析式，进而求出交点坐标即可解题.
此题主要考查了二次函数图象与几何变换和抛物线与x轴交点坐标，正确记忆二次函数图像的平移规
律（左加减右，加上减下）是解题关键．
【详解】解：抛物线y=3x2的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，
所得图象的解析式为：y=3(x+4) 2-3.
当y=0时，即3(x+4) 2-3=0，解得：x =-3；x =-5，
1 2
即所得图象与x轴交点坐标为(-3,0)，(-5,0).
故答案为：(-3,0)，(-5,0)．3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）二次函数y=-4(x+1) 2+2与y轴的交点坐标是 ．
【答案】(0,-2)
【分析】本题考查了二次函数图象与y轴交点坐标的求法，令x=0代入y=-(x+1) 2-2，求y即可．
【详解】解：令x=0代入y=-4(x+1) 2+2，得
y=-4×(0+1) 2+2=-2，
∴二次函数y=-4(x+1) 2+2与y轴的交点坐标是(0,-2)，
故答案为：(0,-2)
4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）抛物线y=x2-2x与x轴两交点间的距离为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，通过解方程x2-2x=0得抛物线与x轴的两交点的坐标，从
而得到两交点间的距离．
【详解】解：当y=0时，x2-2x=0，
解得x =0，x =2，
1 2
所以抛物线与x轴的两交点的坐标为(0,0)，(2,0)，
所以抛物线y=x2-2x与x轴的两交点间的距离为2-0=2．
故答案为：2．
5．（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线y=x2-ax+1（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，则a的值
为 ．
【答案】±2
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根据题意得到Δ=a2-4=0，求解即可，掌握
相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线y=x2-ax+1（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，
∴Δ=(-a) 2-4×1×1=a2-4=0，
∴a=±2，
故答案为：±2．
题型十三 根据交点确定不等式的解集（共 4 题）1．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x=1，当
y>0时，x的取值范围是 ．
【答案】-1<x<3
【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出x=1的对称点，结合图
象x轴上方即为y>0的部分求解即可得到答案．
【详解】解：∵对称轴是直线x=1，抛物线与x轴交于点(-1,0)，
∴抛物线与x轴另一个交点为(3,0)，
根据图象得，当y>0时，-1<x<3，
故答案为：-1<x<3．
2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y<0，则x的取值
范围是( )
A．-1<x<4 B．-1<x<3 C．x<-1或x>4 D．x<-1或x>3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐
标，利用图象法求出x的取值范围即可．
【详解】解：由图象知，抛物线与x轴交于(-1,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0)，
∵y<0时，函数的图象位于x轴的下方，
且当-1<x<3时函数图象位于x轴的下方，
∴当-1<x<3时，y<0．故选：B．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y )，
1
B(1,y )两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
2
A．x≤-3或x≥1B．x≤-1或x≥3 C．-3≤x≤1 D．-1≤x≤3
【答案】D
【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线y=ax2+c与直
线y=kx+m交于A(-3,y )，B(1,y )两点，可得直线y=-kx+m与抛物线y=ax2+c交于点
1 2
A (3,y )，B (-1,y )两点，根据图象即可得到答案．
1 1 1 2
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y )，B(1,y )两点，
1 2
∴直线y=-kx+m与抛物线y=ax2+c交于点A (3,y )，B (-1,y )两点，
1 1 1 2
图象如图所示，当-1≤x≤3时，ax2+c≥-kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是-1≤x≤3，
故选：D．
4．（2023·山东济宁·一模）如图是二次函数y =ax2+bx+c和一次函数y =mx+n的图像，观察图像写出
1 2
y ≥ y 时，x的取值范围（ ）
2 1
A．x≥0 B．0≤x≤1 C．-2≤x≤1 D．x≤1
【答案】C
【分析】根据图像解答即可．
【详解】解：由图象可知，当y ≥ y 时，x的取值范围-2≤x≤1．
2 1
故选C．
【点睛】本题考查了利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．
题型十四 二次函数应用 - 类抛物线问题（共 6 题）
1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面下
降2m，则水面宽度增加了（ ）A．2❑√2m B．(4❑√2-4)m C．4❑√2m D．(2❑√2-2)m
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为(0,2)，
B(2,0)，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-2代入抛物线解析式得出
水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y经过AB中点O且经过C点，
则通过画图可得知O为原点，
由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB为AB的一半，即2m，抛物线顶点
C坐标为(0,2)，
∴点B的坐标为(2,0)，
∴这个抛物线的解析式为y=ax2+2，
把点B坐标代入到抛物线解析式得：4a+2=0，
∴a=-0.5，
∴抛物线解析式为y=-0.5x2+2，
当水面下降2m，
当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2，
解得：x=±2❑√2
∴水面宽度增加到4❑√2m，∴比原先的宽度当然是增加了(4❑√2-4)m，
故选：B．
2．（24-25九年级上·天津滨海新·期末）一名男生推铅球，铅球出手时，铅球的高度为1.8m．铅球行进的
高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数，y与x之间的函数关系式为
1 8 9
y=- x2+ x+ (0≤x≤9)．有下列结论：
5 5 5
①从铅球出手到落地时水平距离为9m；
②铅球行进过程中的高度可以达到5m；
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离小于从最高点运动至落地的水平距离．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解决实际问题的方法是解题的关键．
( 27)
当y=0时，解得x =-1,x =9，可判定①正确；把二次函数化为顶点式可得顶点坐标为 4, 得最
1 2 5
高点大于5m，可判定②正确；根据二次函数对称轴与起点，对称轴与落点的距离可判定③正确；由
此即可求解．
【详解】解：铅球行进的高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数，y与x之间的函
1 8 9
数关系式为y=- x2+ x+ (0≤x≤9)，
5 5 5
1 8 9
当y=0时，- x2+ x+ =0，
5 5 5
解得，x =-1,x =9，
1 2
∴从铅球出手到落地时水平距离为9m，故①正确；
1 9 1 27
y=- (x2-8x)+ =- (x-4) 2+ ，
5 5 5 5
27
∴当x=4时，有最大值，最大值为 >5，
5
∴铅球行进过程中的高度可以达到5m，故②正确；
∵抛物线的对称轴直线为x=4，铅球出手到落地时水平距离为9m，
∴4-0<9-4，∴铅球从出手到飞行至最高点的水平距离小于从最高点运动至落地的水平距离，故③正确；
综上所述，正确的有3个，
故选：D ．
3．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）某次羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
1 5 5
y=- x2+x+ 的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是 米，球落地点A到O点的距
4 4 4
离是（ ）
在
25
A．1米 B．3米 C． 米 D．5米
16
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质是解题的关键．令y=0求得x的值即可求解．
1 5
【详解】解：令y=0，则0=- x2+x+ ，
4 4
解得：x =5，x =-1（舍去），
1 2
∴球落地点A到O点的距离是5米．
故选：D．
4．（24-25九年级上·四川广安·期末）小华在公园游玩，发现公园里的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈
抛物线型（如图1），小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度y（单位：
m）与距离浇水装置的水平距离x（单位：m）之间的函数关系图象（如图2），已知点A(0,1)，抛物
线的顶点坐标为B(2,3)．(1)求水流所形成的抛物线对应的函数解析式；
(2)距离喷水装置水平方向5m处有一棵古树，请通过计算说明这个自动浇水装置能否浇到这棵古树？
1
【答案】(1)y=- (x-2) 2+3
2
(2)这个自动浇水装置不能浇到这根古树
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
（1）根据题意用待定系数法求解析式即可；
（2）令y=0，解一元二次方程，求出的x与5比较即可；
【详解】（1）解：设水流所形成的抛物线对应的函数解析式为y=a(x-2) 2+3．
把点A(0,1)代入，得1=4a+3，
1
解得a=- ，
2
1
∴水流所形成的抛物线对应的函数解析式为y=- (x-2) 2+3．
2
1
（2）解：令y=0，则- (x-2) 2+3=0，
2
解得x =2+❑√6,x =2-❑√6（舍去）
1 2
∵2+❑√6<5，
∴这个自动浇水装置不能浇到这根古树．
5．（2024·陕西宝鸡·一模）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生
投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，
5
掷出时起点处高度为 m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.60m时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀．
1
【答案】(1)y=- (x-4) 2+3
12
(2)该男生在此项考试中得优秀
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识
点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
1
（2）令y=0，即- (x-4) 2+3=0，解得x =10，再与9.60m比较即可解答．
12 1
【详解】（1）解：由题意可知：抛物线顶点为(4,3)，
设函数表达式为y=a(x-4) 2+3(a≠0)，
( 5)
∵抛物线过点 0, ，
3
5 1
∴a(0-4) 2+3= ，解得：a=- ，
3 12
1
∴y关于x的函数表达式为：y=- (x-4) 2+3．
12
1
（2）解：令y=0，即- (x-4) 2+3=0，
12
解得x =10，x =-2（不合题意，舍去），
1 2
∵10>9.60，
∴该男生在此项考试中得优秀．
6．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边AB，
AC，BD和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以AB的中点O为原点，分别以直线AB和
抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，AB=12米，AC=BD=3
米，OE=7米．
(1)求该抛物线的解析式；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行
车道的总宽度MN为8米，且O为MN的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的
宽度忽略不计）
1
【答案】(1)y=- x2+7
9
38
(2) 米
9
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的解析式是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先将x=4代入（1）中解析式求得y值，结合与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米求解
即可．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点D(6,3)，E(0,7)，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
则¿，解得¿，
1
∴抛物线的解析式为y=- x2+7；
9
（2）解：根据题意，N(4,0)，
1 47
当x=4时，y=- ×42+7= ，
9 9
∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米，
47 38
∴通过隧道的车辆的限制高度为 -1= 米
9 9
题型十五 二次函数应用 - 面积问题（共 3 题）
1．（25-26九年级上·河南·期末）综合与实践
【问题背景】
我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花
圃．怎样围才能使花圃的面积最大？
【尝试探究】（1）如图，设围成的矩形花圃为ABCD．我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样
变化的．请补充完整如表格：
AB的长
1 2 3 4 5 6 7 8 9
（m）
BC的长 18 16 12 6 4 2
（m）
面积（m2 18 32 48 42 32 18
）
【观察发现】
（2）设AB的长为x，矩形的面积为y，我们发现：y是x的函数．
①请写出y与x的函数关系式为：_______________（整理成一般形式）；
②自变量x的取值范围是：_______________；
【问题解决】
（3）请将y与x的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值；
【拓展探究】
（4）用总长为a米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．当与墙垂直的一边长度为
___________时，围成的花圃的面积最大，最大面积为___________．
【答案】（1）表格见详解；（2）①y=-2x2+20x；②0<x<10；（3）y=-2(x-5) 2+50，最大值
a 1
为50；（4） ， a2 ．
4 8
【分析】本题考查二次函数的应用、解题的关键是明确题意，建立二次函数模型再利用二次函数的性
质．
（1）根据矩形的面积公式解析计算完成填表即可求解；
（2）①根据矩形的面积公式可以得到y与x的函数关系式
②根据矩形AB>0，BC>0即可求出自变量的取值范围；
（3）根据题意化为顶点式，根据二次函数的性质求得最大值；
（4）根据（2）的方法列出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解．
【详解】解：（1）列表如下，
AB的长
1 2 3 4 5 6 7 8 9
（m）BC的长 18 16 14 12 10 8 6 4 2
（m）
面积（m2 18 32 42 48 50 48 42 32 18
）
（2）①y=x(20-2x)=-2x2+20x；
故答案为：y=-2x2+20x
②∵¿，
∴0<x<10，
故答案为：0<x<10．
（3）y=-2x2+20x=-2(x-5) 2+50，
∵-2<0，
∴当x=5时，最大值为50；
（4）设与墙垂直的一边长度为x，围成的花圃的面积为y，
依题意，y=x(a-2x)=-2x2+ax=-2 ( x- a) 2 + 1 a2 ，
4 8
a 1
∴当x= 时，最大值为 a2 ；
4 8
a 1
故答案为： ，
a2
．
4 8
2．（25-26九年级上·吉林·期末）有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角
形纸板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与
点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为
Scm2．
(1)当直角顶点C落在直尺的长边上时，x=______cm．
(2)当0<x<12时，求S与x之间的函数关系式．
(3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在直接写出x的值；若不存在说明理由．
【答案】(1)4或8(2)S=¿
(3)存在，x=6cm
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，梯形的面积，分类思想的应用，方
程思想的应用，二次函数的应用，综合性较强，解题的关键是对于每个涉及到的知识点和性质较为熟
悉，能够灵活运用．
（1）根据等腰三角形的高的性质求解即可；
（2）设直尺与直角三角形的直角边交于M、N两点，分情况讨论：①当0<x≤4时，②当4<x≤8时；
③当8<x<12时，用含x的式子表示梯形各边，再根据梯形的面积公式列出式子化简即可；
（3）根据重叠部分面积为28cm2，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，DE=4，AB=16，直角三角形的锐角为45°，
当直角顶点C落在直尺的点E边上时，CE为等腰直角△ABC的高，
1
∴AE= AB=8cm，
2
∴x=AE-DE=4cm，
当直角顶点C落在直尺的点D边上时，CD为等腰直角△ABC的高，
1
∴x=AD= AB=8cm，
2
故答案为：4或8；
（2）解：设直尺与直角三角形的直角边交于M、N两点，
①当0<x≤4时，如图1所示，
由题意可知：DN=AD=x，ME=AE=x+4，(DN+EM)×DE [x+(x+4)]×4
S= = =4x+8；
2 2
②当4<x≤8时，如图2，过点C作CG⊥AB于点G，
DN=AD=x BE=EM=16-x-4=12-x CG=8 DG=8-x
， ， ， ，
GE=x+4-8=x-4，
(DN+CG)×DG (CG+EM)×GE
S=S +S = +
梯形NDGC 梯形CGEM 2 2
(x+8)×(8-x) [8+(12-x)]×(x-4)
= +
2 2
= ( - 1 x2+32 ) + ( - 1 x2+12x-40 )
2 2
=-x2+12x-8；
③当8<x<12时，如图3，
DN=BD=16-x EM=BE=16-x-4=12-x
， ，
(DN+EM)×DE [(16-x)+(12-x)]×4
S= = =-4x+56，
2 2
综上，S=¿．
（3）解：当x=4时，S=24cm2，
所以当S=28cm2时，x必然大于4，即-x2+12x-8=28，
解得x =x =6，
1 2
所以当x=6cm时，阴影部分面积为28cm2．
3．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用40m长的篱笆材料围成一个矩形树苗
培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为22m，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一
道篱笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在BC边上开两扇宽为1m的门（门不用篱笆材料）．设垂直于墙的边AB的长为xm．
(1)BC=________m．（用含有x的代数式表示）
(2)求矩形ABCD的面积y与AB的长x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当x取何值时，矩形ABCD的面积为144m2？
【答案】(1)(42-3x)
20 40
(2)y=-3x2+42x， ≤x≤
3 3
(3)8
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据长方形的周长公式及题意可直接进行求解；
（2）由（1）结合长方形面积公式可直接进行求解；
（3）由（2）可把矩形ABCD的面积为144m2代入进行求解即可
【详解】（1）解：由题意得：BC=(40-3x+2)=(42-3x)m；
故答案为(42-3x)；
（2）解：由题意可得矩形ABCD的面积y=x(42-3x)=-3x2+42x．
20 40
∵2≤42-3x≤22，解得 ≤x≤ ．
3 3
20 40
∴自变量x的取值范围为 ≤x≤ ．
3 3
（3）解：由题意可得-3x2+42x=144，整理得x2-14x+48=0，
解得x =6，x =8．
1 2
20 40
∵ ≤x≤ ，
3 3
∴x=6不符合题意，舍去，
∴x=8．
答：当x=8时，矩形ABCD的面积为144m2．
题型十六 二次函数应用 - 利润问题（共 4 题）
1．（24-25九年级上·山东东营·期末）某商场以每件20元的价格购进一种护眼台灯．销售过程中发现，每
月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的70%．
(1)设商场每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，
并确定自变量x的取值范围．
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【答案】(1)w=-10x2+700x-10000(20≤x≤34)
(2)当销售单价定为34元时，每月可获得最大利润，最大利润是2240元
【分析】本题考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销
售量，从而列出关系式，根据在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的
70%，确定自变量x的取值范围；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可．
【详解】（1）由题意，得：w=(x-20)×y
=(x-20)(-10x+500)
=-10x2+700x-10000，
∵在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的70%．
20×(1+70%)=34
∴20≤x≤34
∴w=-10x2+700x-10000(20≤x≤34)
（2）解：依题意，w=-10x2+700x-10000 =-10(x-35) 2+2250
又∵a=-10<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=35．
∴当20≤x≤34时，w随着x的增大而增大，
∴当x=34时，w=-10(34-35) 2+2250=2240
答：当销售单价定为34元时，每月可获得最大利润，最大利润是2240元．
2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）今年某超市以每件30元的进价购进一批商品，当商品售价为每件40
元时，9月份销售500件，第10月和第11月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，11月份的销
售量达到720件．
(1)求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率；
(2)经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该
商品每降价1元，月销售量增加180件，当商品每件降价多少元时，商场12月可以达到最大利润？最
大利润是多少元？【答案】(1)20%
(2)当每件商品降价3元时，商场12月份可以达到最大利润，最大利润为8820元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用；
（1）设第十，十一这两月销售量的月平均长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解；
（2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元．根据题意列出二次函数关系式，根据二
次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：设第十，十一这两月销售量的月平均长率为x．
根据题意，得500(1+x) 2=720，
化简，得(1+x) 2=1.44，
解得x =0.2 =20%，x =-2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：第十，十一这两月销售量的月平均长率为20%．
（2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元．
由题意得，w=(40-30-m)(720+180m)，
即w=-180(m-3) 2+8820，
∴当m=3时，w有最大值，w =8820．
最大
答：当每件商品降价3元时，商场12月份可以达到最大利润，
最大利润为8820元．
3．（24-25九年级上·云南昭通·期末）某租赁公司提供某种设备的租赁服务，每台设备的月租金定价x（单
位：千元）与租出设备数量y（单位：台）符合一次函数关系，下图是y与x的函数关系图象（其中
5≤x≤25），且每台设备的月维护成本为10千元．
(1)求y关于x的函数解析式（也称关系式）；
(2)当每台设备月租金定为多少千元时，租赁公司可获得最大利润？最大利润是多少千元？
【答案】(1)y=-2x+60(5≤x≤25)
(2)当每台设备月租金定为 20 千元时，租赁公司每月出租该设备可获得最大利润，最大利润是 200千元．
【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，二次函数的应用，求二次函数的最大值，
【详解】（1）解：由函数图象，可设y=kx+b(k≠0)，
∵ 函数图象过点(5,50)，(25,10)，
∴¿，
解得：¿ ，
∴y关于x的函数解析式为y=-2x+60(5≤x≤25)；
（2）解：设租赁公司每月出租该设备获得的利润为W千元，
则 W =(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600，
b 80
因此抛物线的开口向下，当 x=- =- =20 时，W有最大值为 200 ．
2a 2×(-2)
又因为5≤x≤25，
所以，当每台设备月租金定为 20 千元时，租赁公司每月出租该设备可获得最大利润，
最大利润是 200 千元．
4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某商场试经营某种新产品，进价为每件50元，在试销阶段发现，当
售价为每件70元时，每天销售量是200件，如调整价格，每降价1元，就可多售出20件．
(1)求销售该新产品获得的利润y（元）与售价为每件x（元）之间的函数关系式；
(2)请你帮助商场经理策划这种新产品售价为每件多少元时，每日盈利可达到4500元？
(3)若商场规定该新产品售价为每件不低于67元且不高于70元，则销售该新产品的最大利润是多少？
【答案】(1)y=-20x2+2600x-80000
(2)这种新产品售价为每件65元时，每日盈利可达到4500元
(3)销售该新产品的最大利润是4420元
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可；
（2）令y=4500，求出x的值即可；
（3）根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：由题意：y=(x-50)[200+20(70-x)]，
整理，得：y=-20x2+2600x-80000；
（2）当y=-20x2+2600x-80000=4500时：
解得：x=65；
答：这种新产品售价为每件65元时，每日盈利可达到4500元；（3）∵y=-20x2+2600x-80000=-20(x-65) 2+4500，
∴当x>65时，y随x的增大而减小，
∵67≤x≤70，
∴当x=67时，y有最大值为：-20(67-65) 2+4500=4420；
答：销售该新产品的最大利润是4420元．
题型十七 二次函数与几何综合应用（共 5 题）
1．（24-25九年级上·重庆·期末）如图1，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴
交于C点，A点的坐标为(-1,0)，且抛物线对称轴为直线x=1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M，作
PN⊥y轴交y轴于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，连接AC、BC，在直线BC下方抛物线上是否存在一点Q，使得∠ACO+∠QBC=45°，
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x-3；
(2)PM+PN的最大值为4，此时P(2,-3)；
(3)存在，Q(2,-3)．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角
形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出B(3,0)，再求出直线BC表达式为y=x-3，设P(m,m2-2m-3)(0<m<3)，则
M(m,m-3)，所以PM+PN=m-3-(m2-2m-3)+m=-(m-2) 2+4，然后通过二次函数的性质即可求解；
（3）当Q点在BC下方时，如图，作FB⊥x轴，作CF⊥FB于点F，与抛物线的交点为E，连接BE，
求出E(2,-3)，则CE=2，证明△BFE≌△COA(SAS)，所以∠EBF=∠ACO，又CF=BF=3，
∠BFC=90°，故有∠CBF=∠CBE+∠EBF=45°，则∠CBE+∠ACO=45°，可得点E与Q
点重合，从而求解．
【详解】（1）解：由题意知¿，解得¿，
∴解析式为y=x2-2x-3；
（2）解：∵A点的坐标为(-1,0)，且抛物线对称轴为直线x=1，
∴B(3,0)，
当x=0，y=-3，
∴C(0,3)，
设直线BC表达式为：y=k x+b ，
1 1
∴¿，解得¿，
∴直线BC表达式为y=x-3，
设P(m,m2-2m-3)(0<m<3)，
则M(m,m-3)，
∴PM+PN=m-3-(m2-2m-3)+m=-(m-2) 2+4，
∵-1<0，
∴当m=2时，PM+PN取得最大值为4，此时P(2,-3)；
（3）解：存在，理由如下：
当Q点在BC下方时，如图，作FB⊥x轴，作CF⊥FB于点F，与抛物线的交点为E，连接BE，
∵C(0,-3)，
∴当y=-3时，x2-2x-3=-3，
解得：x=0或x=2，∴E(2,-3)，
∴CE=2，
∵∠COB=∠FBO=∠CFB=90°，
∴四边形OCFB是矩形，
∴OB=CF=3，
∴EF=CF-CE=1，
∵BF=OC=3，∠BFC=∠COA，OA=EF=1，
∴△BFE≌△COA(SAS)，
∴∠EBF=∠ACO，
∵CF=BF=3，∠BFC=90°，
∴∠CBF=∠CBE+∠EBF=45°，
∴∠CBE+∠ACO=45°，
如图，点E与Q点重合，
∴Q(2,-3)．
2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B
左侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线BC的解析式；
(2)点P是BC上方抛物线上一点，当S ❑ =S ❑ 时，求出点P的坐标（不与点A重合）；
△ PAB △ PBC
(3)在抛物线的对称轴上存在点M，使△MAC是等腰三角形，请直接写出此时点M的坐标．【答案】(1)A(1,0),B(3,0)；y=x-3
(2 39)
(2)P ,-
5 25
(3)(2,3)或(2,-3)或(2,-3 +❑√6)或(2,-3 -❑√6)或(2,-2)
【分析】本题是二次函数综合题，考查了抛物线的性质及解析式的确定，三角形的面积，两点间的距
离公式以及等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，
以免漏解．
（1）令y=0，则-x2+4x-3=0，解方程得到A(1,0),B(3,0)，令x=0，则y=-3，得到C(0,-3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，解方程组得到直线BC的解析式为y=x-3；
（2）如图，设P(m,-m2+4m-3)，过P作PQ∥y轴交BC于Q，得到Q(m,m-3)，根据三角形的
面积公式列方程即可得到结论；
（3）设M的坐标为(2,a)，根据勾股定理得到AC，AM =❑√(1-2) 2+a2=❑√1+a2，CM
=❑√22+(a+3) 2=❑√a2+6a+13，①当AC=AM时，②当AC=CM时，③当AM=CM时，解方程即
可得到结论．
【详解】（1）解：令y=0，则-x2+4x-3=0，
解得x =1,x =3，
1 2
∴A(1,0),B(3,0)，
令x=0，则y=-3，
∴C(0,-3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴¿，
∴¿，
∴直线BC的解析式为y=x-3；
（2）如图，设P(m,-m2+4m-3)，过P作PQ∥y轴交BC于Q，∴Q(m,m-3)，
∵S PAB=S PBC，
△ △
1 1
∴ AB⋅|y |= PQ⋅Bx
2 P 2
1 1
∴ × (3-1)×(m2-4m+3) = × (-m2+4m-3-m+3)×3，
2 2
2
解得m = 或m=3(不合题意舍去)，
5
2 39
当m= 时，-m2+4m-3=-
5 25
2 39
∴点P的坐标为( ,- )；
5 25
（3）∵抛物线y=-x2+4x-3的对称轴为直线x=2，
∴设M的坐标为(2,a)，
∵A(1,0),C(0,-3)，
∴AC =❑√12+32=❑√10，AM =❑√(1-2) 2+a2=❑√1+a2，
CM =❑√22+(a+3) 2=❑√a2+6a+13，
∵△MAC是等腰三角形，
∴①当AC=AM时，即❑√10=❑√1+a2，
∴a=±3，
∴M(2,3)或(2,-3)；
②当AC=CM时，即❑√10=❑√a2+6a+13，
解得a=-3± ❑√6，
∴M(2,-3 +❑√6)或(2,-3 -❑√6)；③当AM=CM时，即❑√1+a2=❑√a2+6a+13，
解得a=-2，
∴M(2,-2)，
综上所述，点M的坐标为(2,3)或(2,-3)或(2,-3 +❑√6)或(2,-3 -❑√6)或(2,-2)．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究：如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于
A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点，连接AP，PC，BC，当四边形APCB的面积最大时，求点
P的坐标．
(3)点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x-3
( 3 15)
(2)点P的坐标为 - ,-
2 4
(3)存在，点Q的坐标为(-5,0)或(2+❑√7,0)或(2-❑√7,0)或(-1,0)
【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点G．设P(t,t2+2t-3)(-3<t<0)，则G(t,-t-3)，
S =S +S =-
3
t2-
9
t+6 =-
3(
t+
3) 2
+
75
，，进而根据二次函数的性质求得取
四边形APCB △APC △ACB 2 2 2 2 8
得最大值时，t的值，进而求得P点的坐标；
（3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M的坐标进而求得Q点的坐标．
【详解】（1）将(-3,0)，(1,0)分别代入y=ax2+bx-3，得¿
解得¿
∴该抛物线的表达式为y=x2+2x-3．
（2）对于y=x2+2x-3，令x=0，则y=-3，
∴C(0,-3)，
∴可设直线AC的表达式为y=kx-3，
将(-3,0)代入y=kx-3，
得-3k-3=0，解得k=-1，
∴y=-x-3
如图（1），过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点G．
设P(t,t2+2t-3)(-3<t<0)，则G(t,-t-3)，
∴PG=-t-3-(t2+2t-3)=-t2-3t．
∵A(-3,0)，B(1,0)，C(0,-3)，
∴AB=1-(-3)=4，AO=3，OC=3，
1 1 1
∴S =S +S = PG⋅AD+ PG⋅OD+ AB⋅OC
四边形APCB △APC △ACB 2 2 2
1 1
= PG⋅(AD+OD)+ AB⋅OC
2 2
1 1
= ×(-t2-3t)×3+ ×4×3
2 2
3 9
=- t2- t+6
2 23( 3) 2 75
=- t+ + ，
2 2 8
3
∵-3<t<0，- <0，
2
3 75
∴当t=- 时，S 取最大值，最大值为 ，
2 四边形APCB 8
( 3 15)
此时点P的坐标为 - ,- ．
2 4
（3）存在．点Q的坐标为(-5,0)或(2+❑√7,0)或(2-❑√7,0)或(-1,0)．
设M(m,m2+2m-3)，Q(q,0)．
A(-3,0)，C(0,-3)．
如图（2），①当AM为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，可得¿
解得¿（舍去）或¿
∴M (-2,-3)，Q (-5,0)．
1 1
②当AQ为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，可得¿
解得¿或¿
∴M (-1+❑√7,3)，Q (2+❑√7,0)或M (-1-❑√7,3)，
2 2 3
Q (2-❑√7,0)．
3③当AC为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，可得¿
解得¿（舍去）或¿
∴M (-2,-3)，Q (-1,0)．
4 4
综上所述，点Q的坐标为(-5,0)或(2+❑√7,0)或(2-❑√7,0)或(-1,0)．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边
形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
4．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0)和点B(3,0)，点C
为抛物线与y轴的交点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)求出点C坐标，△ABC的面积；
(3)若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出△BCE面积的最大值；是否x轴存在这样的点
D(m,0)，使得△BDE为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
(2)C(0,3)，△ABC的面积为6
27 ( 39 ) ( 3❑√29 ) ( 3❑√29 )
(3)△BCE面积得最大值为 ；(0,0)或 - ,0 或 3+ ,0 或 3- ,0
8 16 4 4
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将x=0代入y=-x2+2x+3求出C(0,3)，然后根据三角形面积公式求出△ABC的面积；
（3）过点E作EF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出点C的坐标，根
据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点E的坐标为(n,-n2+2n+3)，则点
3 9
F的坐标为(n,-n+3)，进而可得出EF的长度，利用三角形的面积公式可得出S =- n2+ n，
△BCE 2 2配方后利用二次函数的性质即可求出△BCE面积的最大值；分ED=EB、DE=DB、BD=BE三种
情况考虑，根据等腰三角形的性质结合两点间的距离公式，即可得出关于m的一元二次（或一元一
次）方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）将A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3，
得：¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵y=-x2+2x+3
∴当x=0时，y=-x2+2x+3=3
∴C(0,3)；
∵A(-1,0)，B(3,0)，
∴AB=3-(-1)=4
1
∴△ABC的面积= ×4×3=6；
2
（3）过点E作EF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．
当x=0时，y=-x2+2x+3=3，
∴点C的坐标为(0,3)．
设直线BC的解析式为y=kx+c，
将B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+c，得：
¿，解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
设点E的坐标为(n,-n2+2n+3)，则点F的坐标为(n,-n+3)，
∴EF=-n2+2n+3-(-n+3)=-n2+3n，
∴S =
1
EF⋅OB=-
3
n2+
9
n=-
3(
n-
3) 2
+
27
，
△BCE 2 2 2 2 2 83 27
∴当n= 时，△BCE面积取最大值，最大值为 ；
2 8
(3 15)
∴E , ，
2 4
∵B(3,0)，D(m,0)
∴BD2=(m-3) 2=m2-6m+9，BE2= ( 3- 3) 2 + ( 0- 15) 2 = 261 ，
2 4 16
DE2= ( m- 3) 2 + ( 0- 15) 2 =m2-3m+ 261
2 4 16
△BDE为等腰三角形分三种情况：
①当ED=EB时，即ED2=EB2，
261 261
∴m2-3m+ = ，
16 16
解得：m =0，m =3（舍去），
1 2
∴点D的坐标为(0,0)；
②当DE=DB时，即DE2=DB2
261
∴m2-3m+ =m2-6m+9
16
39
解得：m=- ，
16
( 39 )
∴点D的坐标为 - ,0 ；
16
③当BD=BE时，即BD2=BE2
261
∴m2-6m+9=
16
3❑√29 3❑√29
解得：m =3+ ，m =3- ，
1 4 2 4
( 3❑√29 ) ( 3❑√29 )
∴点D的坐标为 3+ ,0 或 3- ,0
4 4
( 39 ) ( 3❑√29 ) ( 3❑√29 )
综上所述：当点D的坐标为(0,0)或 - ,0 或 3+ ,0 或 3- ,0 时，△BDE为等腰
16 4 4
三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待
定系数法求出抛物线的解析式；（2）求出点C的坐标；（3）利用三角形的面积找出S 关于n的
△BCE
函数关系式；分ED=EB、DE=DB、BD=BE三种情况考虑．
5．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过
A(-4,0)，B(0,-4)，C(2,0)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为第三象限内抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，△AMB的面积为S；求S与m的函数
关系式；
(3)若P是抛物线上的动点，Q是直线y=-x上的动点；是否存在以B、O、P、Q四个点为顶点的四
边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P与点Q的坐标．
1
【答案】(1)y= x2+x-4
2
(2)S=-m2-4m(-4<m<0)
(3)存在；P(-4,0),Q(-4,4)或P(-2+2❑√5,6-2❑√5),Q(-2+2❑√5,2-2❑√5)或
P(-2-2❑√5,6+2❑√5),Q(-2-2❑√5,2+2❑√5)或P(-4,0),Q(4,-4)
【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M点的坐标，利用S=S +S -S 即可进行解答；
△AOM △OBM △AOB
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；
当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．
【详解】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)，
将A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点代入函数解析式，
得：¿
解得：¿，1
所以此函数解析式为：y= x2+x-4；
2
（2）解：∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为： ( m, 1 m2+m-4 ) ，
2
如图，连接OM，
∴S=S +S -S
△AOM △OBM △AOB
1 1 1
= ×AO×|y |+ ×OB×|x |- ×AO×BO
2 M 2 M 2
= 1 ×4× ( - 1 m2-m+4 ) + 1 ×4×(-m)- 1 ×4×4
2 2 2 2
=-m2-2m+8-2m-8
=-m2-4m
=-(m+2) 2+4，
∵-4<m<0，
∴S=-(m+2) 2+4(-4<m<0)．
（3）解：设P ( x, 1 x2+x-4 ) ．
2
当OB为边时，如图，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又 ∵直线的解析式为y=-x，
则Q(x,-x)．
由PQ=OB，得
|
-x-
(1
x2+x-4
)|
=4，即
|
-
1
x2-2x+4
|
=4，
2 2
1
解- x2-2x+4=4，得：x=0（舍去）或x=-4，
2
此时P(-4,0),Q(-4,4)；
1
解- x2-2x+4=-4，得：x=-2±2❑√5，
2
∴P(-2+2❑√5,6-2❑√5),Q(-2+2❑√5,2-2❑√5)或P(-2-2❑√5,6+2❑√5),Q(-2-2❑√5,2+2❑√5)．
如图，当BO为对角线时，PO=BQ,OQ=PB，
则A与P应该重合，OP=4．
四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4,Q的横坐标为 4 ，
代入y=-x得出Q为(4,-4)．此时P(-4,0),Q(4,-4)；
由此可得P(-4,0),Q(-4,4)或P(-2+2❑√5,6-2❑√5),Q(-2+2❑√5,2-2❑√5)或
P(-2-2❑√5,6+2❑√5),Q(-2-2❑√5,2+2❑√5)或P(-4,0),Q(4,-4)．
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的
最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但
难度不大，仔细分析便不难求解．
题型十八 二次函数的其他问题（共 5 题）
1．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，
(1)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值；
(2)如果A(m-2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值
范围．
【答案】(1)t=❑√5
(2)3<m<4或m>6
【分析】（1）由于对称轴是直线x=t，对0<t≤3和t>3两种情况讨论求解；
（2）由于A，C两点关于对称轴对称可知m-1=t，再对点A，B都在对称轴左侧，点A，B在对称轴
两侧进行讨论，列不等式求解．
b -2t
【详解】（1）解：抛物线对称轴为x=- =- =t，
2a 2
若0<t≤3，当x=t时，函数值最小，
∴t2-2t2+3=-2，
解得，t=±❑√5，
∵t>0，
∴t=❑√5；
若t>3，当x=3时，函数值最小，
∴-2=9-6t+3，
7
解得，t= （不合题意，舍去），
3
综上所述，t=❑√5；
（2）解：∵A(m-2，a)，C(m，a)关于对称轴对称，m-2+m
∴ =t，
2
∴m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
∵抛物线与y轴交点为(0，3)，抛物线对称轴为直线x=t，
∴此交点关于对称轴的对称点为（2m-2,3），
∵a<b<3且t>0，
∴4<2m-2，解得m>3，
当A，B都在对称轴左侧时，
∵a<b<3，
∴4<m-2，解得m>6，
当A，B分别在对称轴两侧时，
∵a<b，B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，
∴4-(m-1)>m-1-(m-2)，
解得，m<4，
∴3<m<4，
综上所述，3<m<4或m>6．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，数形结合思想，逻辑推理及方程与函数思想．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，一次函数y=kx-k-1与抛物线y=x2-2x-3交于A，B两点．
(1)直线AB经过一个定点D，直接写出点D的坐标；
(2)如图（2），当k<0时，直线AB交y轴于点G，E为抛物线的顶点，射线AE交y轴于点F，若
AG=AF，求点A的横坐标；
(3)如图（3），过点B作BC∥x轴，交抛物线于另一点C，求直线AC经过的定点的坐标．
【答案】(1)D(1,-1)
2+❑√6
(2)点A的横坐标为
2(3)直线AC过定点(1,-7)
【分析】（1）根据直线y=kx-k-1=k(x-1)-1即可求解；
（2）由题得顶点E的坐标为(1,-4)，则DE∥y轴，得AD=AE，即点H的坐标为(1,-2.5)，代入
x2-2x-3=-2.5，求解即可；
（3）设A(a,a2-2a-3)，B(b,b2-2b-3)，联立方程得x2-(k+2)x+k-2=0，则a+b=k+2，
a⋅b=k-2，可得a+b-a⋅b=4，即得C(2-b,b2-2b-3)，即可求解.
【详解】（1）解：直线y=kx-k-1=k(x-1)-1
当x=1 时，y=1
即直线AB过定点D(1,-1)；
（2）∵y=x2-2x-3=(x-1) 2+4
∴顶点E的坐标为(1,-4)，
∵D(1,-1)，则DE∥y轴，过点A作AH⊥DE于点H．
∵DE∥y
轴，
∴∠ADE=∠AGF，∠AED=∠AFG，
∵AG=AF，
∴∠AGF=∠AFG，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴点H的坐标为(1,-2.5)，
∴点A的纵坐标为-2.5，2±❑√6
令x2-2x-3=-2.5，解得x= ，
2
∵k<0，点A在第四象限，
2+❑√6
∴点A的横坐标为 ．
2
（3）设A(a,a2-2a-3)，B(b,b2-2b-3)，
令x2-2x-3=kx-k-1，
则x2-(k+2)x+k-2=0，
∴a+b=k+2，a⋅b=k-2，
∴a+b-a⋅b=4，
∵抛物线的对称轴为x=1，BC∥x轴，
∴C(2-b,b2-2b-3)，
∴l :y=(a-b)x+ab-2a-3=(a-b)x+b-a-7，
AC
∴当x=1时，y=-7，
∴直线AC过定点(1,-7)．
【点睛】本题考查二次函数的性质和图像，一次函数图像及性质，一元二次方程等相关知识．利用一
元二方程等相关知识点得出点的坐标是解题的关键．
3．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0)、B(-5,0)两点，与y轴
交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之
间的部分（包含端点）记为图象G．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)当-3<x≤2时，y的取值范围是______；
(3)当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？
(4)当m<0时，若图象G与平行于x轴的直线y=-2m+3有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=-x2-4x+5；(0,5)
(2)-7≤ y≤9
(3)-4≤m≤-2或m=2❑√2-2
(4)m=-3或-❑√3-1<m≤-1
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的图象与性质等，利用分类讨
论和数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数
值越大，据此可确定最小值，进而可得答案；
（3）当m≤-4时，图象G的最大值为9，最小值为-m2-4m+5，当-4<m≤-2时，图象G的最大值
为9，最小值为5，当-2<m<0时，图象G的最大值为-m2-4m+5，最小值为5，当m>0时，图象G
的最大值为5，最小值为-m2-4m+5，据此分别建立方程求解即可；
（4）求出直线y=-2m+3分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到
答案．
【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0)、B(-5,0)两点，
∴¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x+5，
在y=-x2-4x+5中，当x=0时，y=5，
∴点C的坐标为(0,5)；
（2）解：∵抛物线解析式为y=-x2-4x+5=-(x+2) 2+9，
∴对称轴为直线x=-2，顶点坐标为(-2,9)，且抛物线开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小；
在y=-x2-4x+5中，当x=2时，y=-22-4×2+5=-7
∵2-(-2)=4>-2-(-3)=1，
∴当-3<x≤2时，函数的最小值为-7，最大值为9，即-7≤ y≤9；
（3）解：解：由（2）得抛物线的顶点坐标为(-2,9)，
在y=-x2-4x+5中，当y=5时，-x2-4x+5=5，解得x=0或x=-4，
当m≤-4时，图象G的最大值为9，最小值为-m2-4m+5，∴9-(-m2-4m+5)=4，
解得m=0或m=-4，
∴m=-4时，图象G的最大值与最小值的差为4；
当-4<m≤-2时，图象G的最大值为9，最小值为5，
∴图象G的最大值与最小值的差为4；
当-2<m<0时，图象G的最大值为-m2-4m+5，最小值为5，
∴-m2-4m+5-5=4，
解得m=-2（舍去），
当m>0时，图象G的最大值为5，最小值为-m2-4m+5，
∴5-(-m2-4m+5)=4，
解得m=2❑√2-2或m=-2❑√2-2（舍去），
综上所述，当-4≤m≤-2或m=2❑√2-2时，图象G的最大值与最小值的差为4；
（4）解：当直线y=-2m+3恰好经过点C时，
则-2m+3=5时，
解得m=-1，
此时图象G与直线y=-2m+3有且只有一个公共点C，如图：
当直线y=-2m+3恰好经过点P时，
则-2m+3=-m2-4m+5，
解得m=-❑√3-1或m=❑√3-1（舍去），
此时图象G与直线y=-2m+3有且只有两个公共点，如图：当直线y=-2m+3恰好经过抛物线的顶点时，
则-2m+3=9，
解得m=-3，
此时图象G与直线y=-2m+3有且只有一个公共点；
当m<-4时，若直线y=-2m+3与线段PC有交点（不包括端点）时，此时满足图象G与直线
y=-2m+3有且只有一个公共点，
∴-2m+3<5，
解得m>-1（舍去），
当-4<m<0时，若直线y=-2m+3与线段PC有交点（不包括端点）时，此时满足图象G与直线
y=-2m+3有且只有一个公共点，
∴5<-2m+3<-m2-4m+5，
解得-❑√3-1<m<-1；
综上所述：当m=-3或-❑√3-1<m≤-1时，图象G与直线y=-2m+3有且只有一个公共点．
4．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2a2x+2a3．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；
(2)已知点P(x ,y )，Q(x ,y )是抛物线上的两点．若对于1-a≤x ≤2-a，x =a-1，都有y <y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
求a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线x=a
1
(2)a<0或 <a<1
2
b
【分析】（1）根据对称轴表达式x=- ，直接代入系数计算或者根据配方法配成顶点式，即可求解；
2a
（2）由题意可分当a>0和a<0进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵ y=a(x2-2ax)+2a3=a(x-a) 2+a3，
∴对称轴为直线x=a．
（2）解：①当a>0时，点Q在对称轴左侧，点Q的对称点Q'在对称轴右侧，
在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵ y <y ，
1 2
∴ a-1<x <a+1，
1
∴ ¿，1
∴ <a<1；
2
②当a<0时，点P在对称轴右侧，点Q在对称轴左侧，点Q的对称点Q'在对称轴右侧，
在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵ y <y ，
1 2
∴ 点P在点Q'右侧，
∴ 1-a>a+1，
∴a<0，
1
综上，a<0或 <a<1．
2
【点睛】本题考查抛物线的对称轴与二次函数的最值问题，涉及的知识点是抛物线对称轴公式、二次
函数的增减性与最值．解题中用到的思想是分类讨论思想，根据开口方向分析区间内的最值位置；方
法技巧是利用对称轴与区间的位置关系，简化最值的计算．解题关键是准确判断区间内的最值点，避
免因开口方向或区间位置分析错误导致不等式列错．易错点是忽略区间与对称轴的位置关系，直接取
区间端点计算最值，导致结果偏差．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常
数，a≠0）．
(1)若a=2，函数图象经过点(0,-3)和(4,5)，求函数的表达式；
(2)若a<0,b=2a,A(1,y )和B(m,y )在二次函数图象上，且y <y ，求m的取值范围；
1 2 1 2
(3)若函数图象经过点(3,n)，当x≤2时，y≥n+1；当x>2时，y≥n，求a的值．
【答案】(1)y=2x2-6x-3
(2)-3<m<1
(3)1
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握
二次函数的性质是解题的关键．
（1）当a=2时，二次函数y=2x2+bx+c，然后利用待定系数法即可求解；
（2）当b=2a时，可求抛物线的对称轴为直线x=-1，然后分B(m,y )在对称轴的左侧和右侧讨论，
2
根据二次函数的性质求解即可；
（3）当x≤2时，y≥n+1；当x>2时，y≥n，则可判断抛物线开口向上，即a>0，然后分①若对称b
轴在直线x=2左侧时，即- <2，②若对称轴在直线x=2右侧时两种情况分析，结合图象即可求解；
2a
【详解】（1）解：∵a=2，
∴二次函数y=2x2+bx+c，
∵函数图象经过点(0,-3)和(4,5)，
∴¿，解得：¿，
∴二次函数的表达式为y=2x2-6x-3；
（2）解：∵b=2a，
∴y=ax2+2ax+c，
2a
∴对称轴为直线x=- =-1，
a
∵a<0，
∴抛物线开口向下，
当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小，
当m≥-1时，
∵y <y ，
1 2
∴m<1，
∴-1≤m<1；
当m<1时，(1,y )关于直线x=-1的对称点为(-3,y❑ )，
1 1
∵y <y ，
1 2
∴m>-3，
∴-3<m<-1，
综上，-3<m<1；
（3）解：∵当x≤2时，y≥n+1；当x>2时，y≥n，
∴抛物线开口向上，
∴a>0，
b
①如图，若对称轴在直线x=2左侧时，即- <2，
2a∵当x≤2时，y≥n+1；当x>2时，y≥n，
b
∴当x=- 时，y取最小值n+1，
2a
∵n+1>n，
∴此时不符合题意；
②如图，若对称轴在直线x=2右侧时，
b
∴当x=2时，y=4a+2b+c=n+1，当x=- ，y取最小值n，
2a
∵函数图象经过点(3,n)，
b
∴n=9a+3b+c，- =3，
2a
∴4a+2b+c-1=9a+3b+c，即5a+b=-1，b=-6a，
∴5a-6a=-1
∴a=1，
∴a的值为1．
