文档内容
专题 02 二次函数（期中复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
二次函数的定义及 ①准确判断二次函数
常考小题
其一般表达式 ②根据二次函数的定义求值
会用描点法画图；掌握抛物线（开口
二次函数的图图象 基础必考点，二次函数的考题中均涉及该
方向、对称轴、顶点坐标、增减性、
与性质 考点（重点）
最值）与系数a， b，c的关系
二次函数的几何变 确定二次函数平移前后的函数解析式
常考小题与综合题
换 以及平移的过程
①二次函数的三种形式及其转换 ①二次函数形式之间的转换考小题
待定系数法求函数
解析式 ②根据不同的已知条件选择合适的函 ②待定系数法求函数解析式考大题（必考
数解析式求解 点）
二次函数与一元二
二次函数与一元二次方程的关系 常考小题与综合题
次方程
①二次函数实际应用的各种类型
二次函数的综合应 ②抛物线型问题
综合题（难点）
用
③二次函数与几何：最值问题；存在
性问题；与一次函数的交点问题
知识点01二次函数的定义及其一般表达式
1. 二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。
其中：x是自变量，a是函数解析式的二次项系数； b 是函数解析式一次项系数；c是函数解析式的
y=ax2 +bx+c(a≠0)
常数项。 又是二次函数的一般形式。
判断二次函数时，把二次函数化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于
0。
知识点02 二次函数的图象与性质
一般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h) 2+k 两点式 y=a(x-x )(x-x )
1 2
二次函数形式
（a≠0） （a≠0） （a≠0）
开口方向 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下
a的绝对值越大，开口越小
开口大小
a的绝对值越小，开口越大
( b 4ac-b2 )
顶点坐标 - ， (h，k)
2a 4a
b x +x
x=- x=h x= 1 2
2a 2
对称轴（函数
离对称轴越 离对称轴越 离对称轴越 离对称轴越 离对称轴越 离对称轴越
值相等的两个
远函数值越 远函数值越 远函数值越 远函数值越 远函数值越 远函数值越
点一定关于对
大； 小； 大； 小； 大； 小；
称轴对称）
离对称轴越 离对称轴越 离对称轴越 离对称轴越 离对称轴越 离对称轴越
近函数值越 近函数值越 近函数值越 近函数值越 近函数值越 近函数值越
小 大 小 大 小 大
对称轴右边 对称轴右边 对称轴右边 对称轴右边 对称轴右边y 对称轴右边y
y随x的增 y随x的增 y随x的增 y随x的增 随x的增大而 随x的增大而
大而增大。 大而减小。 大而增大。 大而减小。 增大。 减小。
增减性
对称轴左边 对称轴左边 对称轴左边 对称轴左边 对称轴左边y 对称轴左边y
y随x的增 y随x的增 y随x的增 y随x的增 随x的增大而 随x的增大而
大而减小。 大而增大。 大而减小。 大而增大。 减小。 增大。
函数有最小
函数有最大
值，这个值 函数有最小 函数有最大
值这个值是
最值
是
4ac-b2
4ac-b2 值，这个值 值这个值是
4a 。 是k。 k。
4a
。
与y轴交点坐
（0，c）
标
知识点03 二次函数的几何变换
1. 函数平移规律：
函数分为左右平移和上下平移；左右平移在自变量上进行加减，规律为左加右减；上下平移在函数解
析式整体上进行加减，规律为上加下减。
y=ax2 y=a(x−h) 2 +k
2. 与 之间的平移：
y=ax2
k y=a(x−h)
2
+k
可将 进行上下平移 个单位同时再左右平移h个单位得到函数 。
知识点04 待定系数法求二次函数解析式
1. 二次函数的三种形式：（1）一般式：
由定义可知，二次函数的一般式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
（2）顶点式：
能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。
即y=a(x-h) 2+k(a≠0)。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为(h，k)。
（3）两点式（交点式）：
能直接得到二次函数与x轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交
点式。即y=a(x-x )(x-x )(a≠0)。此时二次函数与x轴的两个交点坐标分别为(x ，0)与(x ，0)。
1 2 1 2
x +x
二次函数的对称轴为x= 1 2。函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。
2
（4）二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
y=ax2+bx+c
＝a ( x2+ b x ) +c →第一步：提二次项系数；
a
( b b2 b2 )
＝a x2+ x+ - +c →第二步：配方：配一次项系数的一半的平方；
a 4a2 4a2
( b ) 2 b2
＝a x+ - +c →第三步：写成完全平方形式；
2a 4a
( b ) 2 4ac-b2
＝a x+ + →第四步：写成顶点式形式。
2a 4a
2. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x-h) 2+k(a≠0)。
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x-x )(x-x )(a≠0)。
1 2
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。知识点05 二次函数与一元二次方程
1. 二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
x ⇔ ⇔
与 轴有两个交点 有2个不相等的实数根 根的
Δ=b2 −4ac
判别式 ＞0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
x ⇔ ⇔
与 轴有1个交点 有2个相等的实数根 根的判
Δ=b2 −4ac
别式 =0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴没有交点⇔ 没有实数根⇔根的判别⇔
Δ=b2 −4ac
＜0。
二次函数图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解。
y=ax2 +bx+c(a≠0)
y=m
2. 与 （m为常数且不为0）的交点：
y=ax2 +bx+c
y=m
ax2 +bx+c=m
①若 与 有两个交点，则方程 的根的判别式大于0，方程有两
个不相等的实数根。
y=ax2 +bx+c
y=m
ax2 +bx+c=m
②若 与 有一个交点，则方程 的根的判别式等于0，方程有两
个相等的实数根。
y=ax2 +bx+c
y=m
ax2 +bx+c=m
③若 与 没有交点，则方程 的根的判别式小于0，方程没有实
数根。
y=ax2 +bx+c(a≠0)
y=mx+n
3. 与 （m为常数且不为0）的交点：
y=ax2 +bx+c y=mx+n ax2 +bx+c=mx+n
①若 与 有两个交点，则方程 的根的判别式大于0，
方程有两个不相等的实数根。
y=ax2 +bx+c y=mx+n ax2 +bx+c=mx+n
②若 与 有一个交点，则方程 的根的判别式等于0，
方程有两个相等的实数根。y=ax2 +bx+c y=mx+n ax2 +bx+c=m
③若 与 没有交点，则方程 的根的判别式小于0，方程没
有实数根。
知识点06 二次函数的综合应用
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式．
④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题．
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论．
⑥答：写出答案。
2. 二次函数与图形面积问题：
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为
二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。
3. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题：
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。
（2）从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。
（3）利用待定系数法求函数表达式。
（4）运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。
4. 二次函数与等腰（或直角）三角形的存在性问题：
（1）明确构成三角形的三个点；
（2）利用两点间的距离公式❑√(x -x ) 2+(y - y ) 2表示出三边的距离；
1 2 1 2
（3）若构成等腰三角形，则利用两两相等建立方程求解；若构成直角三角形，则利用勾股定理建立
方程求解。
5. 二次函数与平行四边形的存在性问题：
（1）明确构成平行四边形的四个点及其相应的对角线；
(x +x y + y )
（2）利用相应的对角线的端点坐标结合中点坐标公式 1 2， 1 2 建立方程求解。
2 2题型一 判断二次函数以及利用二次函数的定义求未知系数
解｜题｜技｜巧
根据二次函数的最高次数是2以及二次项系数不等于0建立等量关系或不等关系进行求解
【典例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c
1
C．y＝3x﹣1
D．y=x2+
x
【变式1】若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠2
【变式2】（2025春•丰城市校级期中）若y＝（m+2）xm2-2+（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则
m的值为 ．
题型二 二次函数的图象与性质
解｜题｜技｜巧
①函数图象的共存问题：假设其中一个函数成立来推导字母系数的取值，在利用推导出来的字母系数带
入另一个函数，看看另一个函数是否满足；
②函数图象上的点的特征：先判断函数的开口方向与对称轴，在判断每一个点到对称轴的距离，再根据
点到对称轴的距离来判断函数值的大小；
【典例1】（2025春•鄞州区校级期中）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（ ）
A．其图象的开口向下
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．函数的最大值为3
D．当x≥1时，y随x的增大而增大
【变式1】（2024秋•东胜区期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）中，y与x的部分对应
值如表：
x … 1 3 4 5 7 …
y … ﹣4 4 5 4 ﹣4 …
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝5
C．当x＞5时，y随x的增大而减小
D．抛物线的顶点坐标为（5，4）
【典例2】（2025春•电白区期中）如图，函数y＝ax2+3x+2和y＝﹣ax+a（a是常数，且a≠0）在同一
平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式1】（2025春•张家港市校级期中）已知二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象如图所示，则二次
函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝2x的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2025春•冷水江市期中）若二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＞0）的图象经过点A（0，y ），B
1
（﹣1，y ），C（2，y ），则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 3 1
【变式1】（2025春•集美区校级期中）已知抛物线 y＝mx2+2mx+1，m＞0上有点A（t﹣2，y ），B
1
（t，y ），C（t+1，y ），D（t+2，y ），则下列结论正确的是（ ）
2 3 4
A．若y ＞0，总有y ＞0 B．若y ＜0，总有y ＞0
2 1 2 3
C．若y y ＜0，总有y ＞0 D．若y y ＞0，总有y ＞0
1 2 4 3 4 2
【变式2】（2025春•鄞州区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），
（5，0），图象上有三个点（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ）．若当x ＜﹣1＜x ＜5＜x 时，均有
1 1 2 2 3 3 1 2 3
y ＞y ＞y ，则下列说法中正确的是（ ）
1 3 2A．a＜0 B．x＝2时，y有最大值
C．y y y ＜0 D．|x ﹣2|＜|x ﹣2|
1 2 3 1 3
题型三 二次函数的平移
解｜题｜技｜巧
按照平移规律在自变量或函数解析式后进行加减，若有需要时，把函数解析式化为一般形式。
【典例1】（2025春•田阳区期中）把抛物线y＝﹣2x2先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位
长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x+6）2+2 B．y＝﹣2（x+6）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣6）2+2 D．y＝﹣2（x﹣6）2﹣2
【变式1】抛物线y＝x2+2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（
）
A．y＝（x+2）2﹣6 B．y＝（x+2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2﹣6 D．y＝（x﹣2）2﹣2
【变式2】二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象可以由y＝2x2的图象平移得到：先向__平移2个单位，
再向___平移1个单位．（ ）
A．右，上 B．右，下 C．左，上 D．左，下
题型四 二次函数与一元二次方程
解｜题｜技｜巧
结合交点数量与∆的取值范围的关系解决问题。
【典例1】（2025春•丰城市校级期中）若关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交
点，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．﹣3或﹣2
【变式1】（2025春•长沙期中）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值
范围为（ ）
7 7
A．k＞- B．k＜-
4 4
7 7
C．k≥- D．k＞- 且k≠0
4 4
【变式2】（2025春•长沙期中）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一
元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8
题型五 二次函数图象与系数的关系
解｜题｜技｜巧
①利用二次函数的基本性质；
②对称轴与±1的关系；
③函数的交点与∆的取值范围的关系；
④自变量等于±1、±2及±3时的函数值；
⑤函数的最值；
⑥一元二次方程根于系数的关系。
易｜错｜点｜拨
在遇到非常规式子的考核时，需要用基本式子进行转换得到。
【典例1】（2025春•鼓楼区校级期中）二次函数 y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下说法：
① a＞0；② 4a+2b+c＞0；③ 4a+b＝0；④当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小．其中正确的是
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc
＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b≥n（an+b），⑤2c＜3b．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型六 二次函数的实际应用
解｜题｜技｜巧
①利润问题：结合一元二次方程的利润问题解决；
②面积问题：结合一元二次方程的面积问题解决；
③抛物线型问题：建立合适的坐标系，求函数解析式，再利用函数的性质解决问题；
易｜错｜点｜拨
在解决抛物线型问题时，首先要弄清楚实际问题转换成数学问题时所对应的二次函数的性质
【典例1】（2025春•慈溪市期中）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的
售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的
销售数量就会减少2，但售价不能超过10元．
（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为 8.64元，且每次涨价的百
分率均相同，求涨价的百分率是多少．
（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元．
（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额．
【典例2】（2025春•海曙区校级期中）综合与实践
矩形菜园最大面积探究
情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上
有一面墙（长度12m），用22m长的篱笆围出一个矩形菜园．
问题初 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和 22m长
探 的篱笆围出矩形菜园ABCD，设CD＝x m，矩形菜
园的面积为Sm2．完成下题：
（1）BC＝ m．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形菜园面积为56m2时，则AB的长为多
少米？
问题续 矩形菜园面积能否超过56m2？如果能，请在图2中
探 画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边
长）．
【典例3】（2025春•新野县期中）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t
（单位：s）之间满足函数关系h＝20t﹣5t2．
（1）当小球的飞行时间为1.5s时，小球的飞行高度是多少m？
（2）若小球的飞行高度不低于10m的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备
清晰捕捉的时长．
（3）在小球的飞行过程中，先后有两个时刻小球高度相同，这两个时刻的时间间隔为 2s，求这两个
时刻小球的飞行高度．【变式1】（2025春•兖州区期中）某施工队要建立一个高速公路隧道，施工前利用软件作出一个横断
面的隧道工程图（如图1所示），并且知道抛物线经过原点．
（1）求抛物线解析式（不必写出取值范围），求出其顶点坐标；
（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆
宽2米、高1.8米的车辆？请通过计算说明；
（3）工程队在施工时，需要在隧道门口搭建一个矩形施工架 EFGH，使点E，H在抛物线上．点
F，G在地面OM线上（如图2所示）．为了准备工程材料，需计算施工架三根钢杆EF，EH，HG
的长度之和的最大值是多少，请你帮工程队计算一下．
题型六 二次函数的综合应用
解｜题｜技｜巧①求函数解析式时，若已知任意的三个点则选择一般式；若已知顶点则选择顶点式；若已知与x轴的
交点则用交点式。
②动轴动区间最值问题：确定二次函数的开口方向与对称轴，在利用自变量取值范围端点值与对称轴
的距离建立不等式进行求解。
③线段面积最值问题：（1）线段最值问题：过动点作平行于y轴的垂线，找到另一个交到，用两点
之间的距离公式表示出线段的距离，再根据距离表达式求出最值；
（2）面积最值问题：在线段最值问题的基础上，把线段当做三角形的底，另
两个点的水平距离当做三角形的高表示出三角形的面积，再求出面积最值。
④三角形的存在性质问题：明确三角形的三个点，再用两点之间的距离公式表示出三边的距离，再根
据满足的三角形的性质建立方程求解。
⑤平行四边形的最值问题：明确构成平行四边形的四个点及其坐标，再利用两两作为对角线求出中点
坐标，利用中点坐标相等建立方程求解。
5
【典例1】已知y＝x2﹣4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为 ，求m的值．
4
【变式1】已知抛物线y＝x2+ax+a+1经过点A（﹣2，3）．
（1）求a的值；
（2）已知点P（m，y ），Q（m﹣4，y ）均在该抛物线上．
P Q
①若m＝0，请直接比较y 与y 的大小关系；
P Q
②当﹣3≤x≤m时，函数y的最大值是6，最小值是2，求m的取值范围．【典例2】（2025春•丰城市校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），
与x轴交于A（﹣2，0），点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线 BC的上方，当S 取得最大值时，求点M的坐
MBC
标；
△
（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形ABP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．【典例3】如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与直线y＝
x﹣4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若△AMN是等腰直角三角形，求
点M的坐标．【典例4】抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，
3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数解析式和直线AC的解析式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足
为D，PD交AC于点E．若点P的横坐标为x，请用x的式子表示PE，并求PE的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点 N，使得以点A，C，M，
N为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点M的坐标．
题型三（跨章节/学科题型）
易｜错｜点｜拨
解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题
【典例1】某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到
另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（ ）
A．160W B．180W C．200W D．220W
【典例2】综合与实践
【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题．
（1）通过观察以下一位数的积：1×9，2×8，…，8×2，9×1．其中每个式子中的两数之和为10，推
测在这些式子中，乘积最大的算式是 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
（2）通过观察以下两位数的积：11×19，12×18，…，18×12，19×11．其中每个式子中的两数之和为
30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．
尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想．
【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；
并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．
在如图1所示的电路中，R ＝2Ω，R ＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R ＝5Ω，其等效电路图如图2所
1 2 3
示，其中R +R ＝R ，在滑片从a端滑到b端的过程中，设R ＝xΩ，请你结合电路知识以及函数知
ap bp 3 ap
识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值．
【典例3】九年级学生小林进行跨学科
自主学习活动，他利用函数的相关知
识在实验场景A和实验场景B下做对比，研究某种化学试剂的挥发情况．若当实验过程中该试剂挥
发时间为x分钟时，在实验场景A，B中的剩余质量分别为y ，y （单位：克）．记录y ，y 与x的
1 2 1 2
几组对应值如下：
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
y （克） 25 23.5 20 14.5 7 …
1
y （克） 25 20 15 10 5 …
2
请你协助小林将探究过程补充完整：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y ），（x，y ），并画
1 2
出函数y ，y 的图象；
1 2
（2）进一步探究发现，实验场景A的图象是抛物线的一部分，y 与x之间近似满足二次函数：y ＝
1 1
ax2﹣0.1x+c；实验场景B的图象是直线的一部分，y 与x之间近似满足一次函数y ＝kx+25，则a＝
2 2
，c＝ ，k＝ ；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化
学试剂在场景A，B中发挥有效作用的时间分别为x ，x ，则x x （填“＞”，“＝”或
A B A B“＜”）．
期中基础通关练（测试时间：10分钟）
1．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1图象的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
2．将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数
解析式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5
3．对于二次函数y＝﹣x2+2x+3，下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值2
B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下
D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）
4．设点（﹣1，y ），（2，y ），（3，y ）是抛物线y＝﹣2x2+m上的三点，则y 、y 、y 的大小关系为（
1 2 3 1 2 3
）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 2 1 1 3 2 3 1 2 1 2 35．（2025春•北林区校级期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：m）与水平距离x（单位：
1
m）之间的关系是y=- (x-4) 2+3，则他将铅球推出的距离为（ ）
12
A．3m B．4m C．7m D．10m
6．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量
就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
8．老师给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不
正确的是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根
C．当﹣2＜x＜4时，y＜0D．若A（x ，5），B（x ，6）是该抛物线上的两点，则x ＜x
1 2 1 2
期中重难突破练（测试时间：10分钟）
9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出
了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），则下列结论错误的是（ ）
A．图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．当﹣1≤x≤1和x≥3时，函数值y随x的增大而增大
D．函数的最小值是0，最大值是4
1
10．关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0有一个根是﹣1，若二次函数
2
1
y=ax2+bx+
的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
2
1 1 1 1 1 1
A． ＜t＜ B．-1＜t≤ C．- ≤t＜ D．-1＜t＜
4 2 4 2 2 2
11．（2025春•濉溪县期中）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．将二
15
次函数的图象向右平移 m（m＞0）个单位，图象经过点(1，- )，在平移后的图象上，当 n﹣
4
2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，则n的值是（ ）
1 9 1 9 1
A．- 或 B． 或 C．1 D．-
2 2 2 2 2
12．（2025春•东台市期中）若实数x，y，m满足x+y＝2，2xy+m＝6，则代数式8xy+10的最大值为
．
13．已知点A（x ，n），B（x ，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x +x ，m）也在抛物线上，
1 2 1 2
则m的值为 ．
14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c．
（1）若该函数的图象经过点A（﹣1，2），B（1，﹣2）．
①求该函数的表达式及顶点坐标．
②当﹣1≤x≤m时，该函数的最大值与最小值的差为3，求m的值．
（2）若点P（﹣2，s），Q（n﹣4，r）都在该函数图象上，且s＞r，求n的取值范围．15．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两
种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每
对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2
对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利
润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？期中综合拓展练（测试时间：15分钟）
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列
1
结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y ）、点B(- ，y )
1 2 2
7
、点C( ，y )在该函数图象上，则y ＜y ＜y ；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x 和
2 3 1 3 2 1
x ，且x ＜x ，则x ＜﹣1＜5＜x ．其中正确的结论有（ ）
2 1 2 1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
17．（2025春•招远市期中）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，
方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现
场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为OH＝1.6m，把绿化带截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点
在x轴上，测得其水平宽度DE＝2m，竖直高度EF＝1m，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用
线段OD的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，
分别为y ，y ．上边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，求上边缘抛
1 2 1
物线y 的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程OC；
1
②下边缘抛物线y 可以看作由上边缘抛物线y 向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘
2 1
抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区
域内），利用上述信息直接写出OD的取值范围．18．（2025春•冷水江市期中）已知抛物线Q ：y=x2-3x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y
1
轴交于点C，P为第四象限内抛物线Q 上一点．
1
（1）求抛物线Q 的表达式；
1
（2）如图，连接BC，交抛物线Q 的对称轴于点D，连接AC，CP，AD，DP，求四边形ACPD面积的
1
最大值及此时点P的坐标；
3
（3）在（2）的情况下，将抛物线Q 向右平移 个单位长度，得到抛物线Q ，M为抛物线Q 对称轴上
1 2 2 2
一点，N为抛物线Q 上一点，若以A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件
2
的点N的坐标．
