专题02 二次函数
（26个高频易错题型讲练 共52题 新教材）
【原卷版】
易错题型1 y=a(x-h)²的图象和性质...................................................................................................................................2
易错题型2 y=ax²+bx+c的图象与性质...............................................................................................................................2
易错题型3 一次函数、二次函数图象综合判断..............................................................................................................2
易错题型4 两个二次函数图象综合判断............................................................................................................................3
易错题型5 已知抛物线上对称的两点求对称轴..............................................................................................................4
易错题型6 根据二次函数的对称性求函数值...................................................................................................................4
易错题型7 y=ax²+bx+c的最值.............................................................................................................................................4
易错题型8 利用二次函数对称性求最短路径...................................................................................................................5
易错题型9 待定系数法求二次函数解析式.......................................................................................................................6
易错题型10 线段周长问题(二次函数综合).....................................................................................................................6
易错题型11 面积问题(二次函数综合)..............................................................................................................................7
易错题型12 角度问题(二次函数综合)..............................................................................................................................8
易错题型13 特殊三角形问题(二次函数综合)..............................................................................................................10
易错题型14 特殊四边形(二次函数综合).......................................................................................................................10
易错题型15 抛物线与x轴的交点问题............................................................................................................................11
易错题型16 利用不等式求自变量或函数值的范围.....................................................................................................11
易错题型17 根据交点确定不等式的解集.......................................................................................................................12
易错题型18 图形问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................13
易错题型19 图形运动问题(实际问题与二次函数).....................................................................................................14
易错题型20 拱桥问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................15
易错题型21 销售问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................15
易错题型22 投球问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................16
易错题型23 喷水问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................17
易错题型24 增长率问题(实际问题与二次函数).........................................................................................................18
易错题型25 其他问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................18
易错题型26 面积问题(二次函数综合)............................................................................................................................19易错题型1 y=a(x-h)²的图象和性质
1．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数 （ 是常数，且 ）的图象
y =mx2−2mx+m m m≠0
1
经过点 ，一次函数 的图象经过点 ，当 时，有四个命题：①当
P(x ,y ) y =−mx+m Q(x ,y ) m>0
1 1 2 2 2
x =x <0时，y >y ；②当x =x >1时，y >y ；③当y = y >m时，x >x ；④当y = y <m时，x >x ．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
其中正确的命题个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知a>0，设函数
．直线 与函数 ， 的图象分别交于点
y =a(x−1) 2 ，y =a(x−2) 2 ，y =a(x−3) 2 x=m y ，y y
1 2 3 1 2 3
．若 ，则 的取值范围是
A(m,c )，B(m,c )，C(m,c ) c <c <c m
1 2 3 2 3 1
易错题型2 y=ax²+bx+c的图象与性质
3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知点 ， ， ， ， 都在抛物
(−1,m) (−2,n) (−3,y ) (1,y ) (4,y )
1 2 3
线 上，且 ，则下列判断正确的是（ ）
y=ax2+bx(a<0) m<n
A．y <0<y <y B．y <y <0<y
1 2 3 2 3 1
C．y <0<y <y D．y <y <0<y
3 2 1 3 2 1
4．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）若点 ， ， 都在二次函数
A(−1,y ) B(2,y ) C(3,y )
1 2 3
y=x2−4x−n的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 3 1
易错题型3 一次函数、二次函数图象综合判断
5．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数
y=ax2+c的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
6．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=bx−a（a,b为常数，且
ab≠0）的图象与二次函数y=ax2−bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
易错题型4 两个二次函数图象综合判断
{−x2+nx+n(x≥1)
)
7．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数
y=
1 n n
− x2+ x+ (x<1)
2 2 2
(1)点P（2，2）在此函数的图象上．
①求n的值．
②求此函数的图象与y轴的交点．
(2)当n = 1时，此函数的最大值为 ．8．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2
1 1
（x≥0）和抛物线y＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作
4 4
BD
BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则 的值为（ ）
AC
1 ❑√2 1 ❑√2
A． B． C． D．
4 4 2 2
易错题型5 已知抛物线上对称的两点求对称轴
9．（25-26九年级上·福建福州·期中）在二次函数 中，自变量 与函数 的部分
y=ax2+bx+c(a≠0) x y
对应值如下表：
x ⋯ 0 1 m 4 ⋯
y ⋯ n 0 0 n ⋯
则表中m的值是 ．
10．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知一条抛物线经过A(0,10)，B(m+2,n)，C(4−m,n)，
D(3,1)四点，则此抛物线的解析式为 ．
易错题型6 根据二次函数的对称性求函数值
11．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）点 ， ， 均在二次函数
P (−1,y ) P (3,y ) P (5,y )
1 1 2 2 3 3
y=x2+2x+c的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y = y C．y >y >y D．y = y >y
3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3
12．（25-26九年级上·江苏南通·期中）二次函数y=−x2+4x+3与y轴交于点A，点B(m,n)是该二次
函数图象上位于点A右侧的一个动点，当点B变化时，若函数图象取A,B之间的部分时函数最大值与最小
值之差等于9，则m的值为 ；若函数图象取A,B之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于4，
则m的取值范围是 ．易错题型7 y=ax²+bx+c的最值
13．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
xOy y=ax2−3ax+2(a≠0)
(1)当a=2时，求抛物线顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当1≤x≤3时，求
新的二次函数的最大值与最小值；
(3)抛物线若经过点 ，已知 和 是抛物线上不同的两点，求证：
A(−1,−2) P(x ,m) Q(x ,m)
1 2
(x −1) 2 x −2．
1 = 2
m−4 x −2
1
14．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）一次函数y=ax+c(a≠0)的图像经过点(3,1)，则ac的最大值等
于（ ）
1 1 1 1
A． B．− C． D．−
12 36 36 12
易错题型8 利用二次函数对称性求最短路径
15．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与
y=ax2+bx+3(a≠0) x A B
y轴交于点C．已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线解析式和B点坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q，依题意
补全图形，当MQ+❑√2CQ的值最大时，求点M的坐标．16．（25-26九年级上·山西朔州·期中）综合与探究
如图，抛物线交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ( 5)，D是抛物线的顶点．
x A(−5,0) B(1,0) y C 0,−
3
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图2，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PB+PC的值最小？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
(3)如图3，E(−8,9)为抛物线上的一点，Q为第一象限抛物线上的一点，连接EQ．若∠QED=45∘，直
接写出点Q的坐标．
易错题型9 待定系数法求二次函数解析式
17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知抛物线y=−2x2+12x+a的图象经过点(1,−6)．求a的值
及函数图象的顶点坐标．
18．（25-26九年级上·河南商丘·期中）已知二次函数y=ax2+3x+1的图象经过点(1,6)．
(1)求a的值；
(2)求此抛物线的对称轴；
(3)当x为何值时，函数y随x的增大而增大？易错题型10 线段周长问题(二次函数综合)
19．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为
y=ax2+bx+c(a≠0) A(4,0)
，点C为 的中点．
B(2, 2❑√3) OB
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接OB，点C为线段OB的中点，过点C作CH⊥OA，垂足为点H，交抛物线于点E；求线段
CE的长
(3)点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，直接写出BD+BF的最小值
20．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
(1)求抛物线的表达式；(2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
❑√2
(3)若点M是线段OC上的一动点，连接AM，求AM+ CM的最小值．
2
易错题型11 面积问题(二次函数综合)
21．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数y=x+m的图象与二次函数y=−x2+bx+c的
图象交于点 和点 ，点 是此二次函数的图象上的两个动点，且满足
A(−2,0) B(3,n) P(x ,y ),Q(x ,y )
1 1 2 2
x =x +3．
2 1
(1)求此一次函数和二次函数的表达式；
(2)如图1，若点Q在直线AB的上方，过点Q作QC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接BC,DP,PQ．求
证：S 的值为定值；
△PQD
S
△BCD
(3)如图2，若点P在x轴的上方移动，点M为线段PQ的中点，求点M纵坐标的取值范围．22．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为30m，20m，现将矩形绿地
的长、宽各增加xm.设新绿地的周长为ym，面积为Sm 2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而
变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系
易错题型12 角度问题(二次函数综合)
23．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx−3的图象与x轴交于点
A(1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线的顶点，求出△MBC的面积；
(3)如图2．连接AC，点P是抛物线上的一动点，且满足∠PBC=45°−∠ACO，请直接写出点P坐标．
24．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点
（A在B左侧），与y轴交于点C，连接BC、AC，若S =6，2OB=OA．
△ABC(1)求抛物线的解析式；
❑√5
(2)点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，连接PA、PC，E、F为AC上的两个动点且满足EF= （
2
E在F左侧），G为x上一个动点，连接PE、FG，当S 最大时，求PE+EF+FG的最小值；
△APC
(3)如图2，将抛物线沿着射线AC平移❑√5得到新抛物线y′，y′上找一点R，连接RC，当∠RCA与
2∠CAO互补时，请写出所有符合条件的R的坐标，并写出其中一个点的求解过程．
易错题型13 特殊三角形问题(二次函数综合)
25．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线．
(1)请在给定的坐标系中画出二次函数y=x2−2x−3的图象．
(2)观察图象，当x<−1时，y的范围是________，当y<0时x的范围是________
(3)设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形OPM是等腰三角形，若存在，请求出P点的
坐标，若不存在，请说明理由．26．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线L:y=ax2+bx+3过点A(−1,0)，与y轴交
于点C，对称轴为直线x=1．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线L′，使其经过原点．若在第二象限的抛物线L′上存在点P，
使△PAC为等腰直角三角形，请求出抛物线L′的表达式．
易错题型14 特殊四边形(二次函数综合)
27．（24-25九年级上·山东济南·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的
距离等于a(a≥0)，到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a方内点”．
对于下列四个结论：
①点(1,2)是一次函数y=2x图象的“2方内点”；
3
②函数y=− 图象上存在四个“2方内点”；
x
1 1
③若直线y=kx+k+ 的“ 方内点”有两个，则−1<k<0；
2 2
④当函数 ( a+1) 2 a2 的“ 方内点”恰有3个时，符合条件的 的值也有3个．其中正确
y= x− + −2a−1 a a
2 2
的序号为（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
28．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，已知y 是自变量x的函数，y = y −6x，
1 2 1
称函数y 为函数y 的“相关函数”．
2 1
(1)求函数y =x−1的“相关函数”y 的函数表达式；
1 2
(2)点A在函数y =2x的图象上，过点A作x轴的平行线，与函数y 的图象相交于点B，过点B作x轴的垂
1 2
线，垂足为C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设点A的横坐标为m(m>0)，矩形ABCD的周长为5
时，求点A的坐标；
(3)函数 与 轴交于点 ，函数 的顶点为 ，直线 与 轴交于点 ，与函数 的
y =−x2+2x+2 y A y P y=2x+t x B y
1 2 2
图象交于点C，当PA≥BC时，直接写出t的取值范围．易错题型15 抛物线与x轴的交点问题
29．（25-26九年级上·山东泰安·期中）若二次函数y=ax2−2ax+a−1与x轴两交点横坐标为x 与x ，
1 2
且x ，x 均为正实数，那么a的范围是（ ）
1 2
A．a<0 B．a>1 C．0<a<1 D．−1<a<0
30．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，则二次函数
与x轴的交点坐标为 ．
y=a(x+1) 2+k
易错题型16 利用不等式求自变量或函数值的范围
31．（25-26九年级上·浙江温州·期中）在直角坐标系中，已知抛物线
y=ax2−2ax+c(a>0).
(1)当c=a+1时．
①求抛物线的对称轴和顶点坐标；
②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线经过点(0,−8)和(4,0)，求m的值．
(2)已知点M(2,2n−4)，N(−1,3n+2)都在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
32．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线表达式为y=x2−1.
(1)求抛物线与x轴，y轴的交点坐标；
(2)若y≤0，求x需满足的条件．
易错题型17 根据交点确定不等式的解集
33．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数图象如图所示，抛物线顶点为A(1,4)，与y轴、x轴
分别交于点B和点C(3,0)．(1)求抛物线的函数表达式．
(2)根据图象直接写出当y>0时，x的取值范围．
5
34．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）已知抛物线y=ax2+bx+ (a≠0)经过点(1,4)和点(6,0)．
2
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上有一点M(m,n)，当n>0时，直接写出m的取值范围．
易错题型18 图形问题(实际问题与二次函数)
35．（25-26九年级上·吉林·期末）有一根直尺短边长4mc ，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角
三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与
点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为
Scm 2．
(1)当直角顶点C落在直尺的长边上时，x=______mc ．
(2)当0<x<12时，求S与x之间的函数关系式．
(3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm 2？若存在直接写出x的值；若不存在说明理由．36．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，
墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm 2，其中AD≥AB．
有下列结论：
①x的取值范围为5≤x≤10；
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m 2；
225
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为 ．
2
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
易错题型19 图形运动问题(实际问题与二次函数)
37．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图（1），E为矩形ABCD的边AD上一点，点F从点C出发
沿折线C−E−A运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，DF的长记为y，若y与x的对应函数关系如
图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则a−b的值是（ ）
52 48
A．−12 B．−11 C．− D．−
5 5
38．（25-26九年级上·吉林松原·月考）如图，在▱ABCD中，∠B=45°，AB=❑√2，BC=2．动点
P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC运动．过点P作PQ⊥BC交折线BA−AD于点Q，当
点P与点C重合时，点P停止运动．以PQ为边向其右侧作正方形PQMN，设点P的运动时间为t(s)，正方
形PQMN与▱ABCD的重叠部分图形的面积为S．(1)当点Q与点A重合时，t的值为______；
(2)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)连接AC，当AC平分正方形PQMN的边时，直接写出t的值．
易错题型20 拱桥问题(实际问题与二次函数)
39．（25-26九年级上·广西防城港·期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥
1
示意图，已知抛物线的函数表达式为y=− x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为5
40
米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF约为（结果保留整数）（）
A．13米 B．28米 C．15米 D．16米
40．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物
线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有
一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为 米．易错题型21 销售问题(实际问题与二次函数)
41．（25-26九年级上·湖南永州·期中）某商场将进价为10元的商品按40元出售时，每天可售出100件．
为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价1元，每天可多售出20
件．
(1)若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价多少元？
(2)每件商品降价多少元时，商场每天盈利最大？最大盈利是多少元？
42．（25-26九年级上·河南商丘·期中）某服装店销售一批品牌衬衫，每件进价50元，规定销售单价不
低于55元，且获利不高于40%．试销时发现，当销售单价定为55元时，每天可售出200件，销售单价每
上涨1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为y件，销售单价为x（x为正整数）元．
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)当每件衬衫销售单价是多少元时，服装店每天获利1500元？
(3)销售单价定为多少元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大？最大利润是多少元？
易错题型22 投球问题(实际问题与二次函数)
43．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底
部中心点O正前方9米的A处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
44．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩
奇从球门正前方8m的A处射门，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点B，此时球离地面3m，球门
高OC为2.44m
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内．
(3)点D为OC上一点，且OD=2.25m，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当时佩奇带球
向正后方移动n(m)再射门，足球恰好经过OD区域（含点O和D），直接写出n的取值范围．易错题型23 喷水问题(实际问题与二次函数)
45．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）研究发现：某烟花发射装置发射的烟花上升的高度h(m)满足关
系式 ，其中 是烟花发射后的时间， 是烟花发射时的初速度．
h=−4t2+v t t(s) v (m/s)
0 0
(1)若在调试阶段设定v =8m/s，求烟花发射后达到的最大高度；
0
(2)若发射的烟花能达到的最大高度为16m，则烟花发射时的初速度是多少？
(3)按（2）中的初速度发射烟花，若烟花发射后的高度有两次达到12m，求这两次达到高度为12m之间的
间隔时间．
46．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随
音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面
的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水
口的距离OM=4米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，OA为喷水管，B为落水点，
记OB的长为喷泉跨度．
(1)在图1中，以O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式；
(2)若喷水管OA最高可升到2.25米，求出喷泉跨度OB的最小值；
(3)如图3，安全通道CD在线段OB上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则
称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽CD为1.5米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为
多少？（精确到0.1米）易错题型24 增长率问题(实际问题与二次函数)
47．（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是40万件，计划今后两年增
加产量．如果每年的增长率都为x，那么两年后这种产品的年产量y（万件）与x之间的函数表达式为
（要求化成一般式）．
48．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万
只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ．
易错题型25 其他问题(实际问题与二次函数)
49．（25-26九年级上·福建·期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位
置相距10m，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似
于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是1m，绳子的最高点距离地面2m．根据平时训练的情况，当绳子摇
到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．将此次比赛中这6名学生站立的队列
长度记为s（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表中的数据可求s的范围是（ ）
学生 A B C D E F
头顶离
1.51～ 1.36～ 1.68～ 1.56～ 1.36～ 1.56～
地高度
1.72 1.64 1.84 1.75 1.64 1.75
的范围
A．s<8 B．s<7 C．s<6 D．s<5
50．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：
s）的函数解析式是s=15t−6t2，则汽车刹车后到停下来前进了 m．
易错题型26 面积问题(二次函数综合)
51．（25-26九年级上·山东泰安·期中）过点A的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的另一交点为C，
OD=OA，与y轴交于点D(0,3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当CP+DP和最小时，求点P的坐标；
(3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（0<m<3），连接DQ，AQ，当△AQD的面积等于
△DOC面积的2倍时，求m的值．
52．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线y=x2+bx+c经过A(−2,0)、B(4,0)两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当−1<x<3时，求y的取值范围；
(3)点P为抛物线上一点，若S =12，求出此时点P的坐标．
△PAB
