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专题02 二次函数
（26个高频易错题型讲练 共52题 新教材）
【原卷版】
易错题型1 y=a(x-h)²的图象和性质...................................................................................................................................2
易错题型2 y=ax²+bx+c的图象与性质...............................................................................................................................2
易错题型3 一次函数、二次函数图象综合判断..............................................................................................................2
易错题型4 两个二次函数图象综合判断............................................................................................................................3
易错题型5 已知抛物线上对称的两点求对称轴..............................................................................................................4
易错题型6 根据二次函数的对称性求函数值...................................................................................................................4
易错题型7 y=ax²+bx+c的最值.............................................................................................................................................4
易错题型8 利用二次函数对称性求最短路径...................................................................................................................5
易错题型9 待定系数法求二次函数解析式.......................................................................................................................6
易错题型10 线段周长问题(二次函数综合).....................................................................................................................6
易错题型11 面积问题(二次函数综合)..............................................................................................................................7
易错题型12 角度问题(二次函数综合)..............................................................................................................................8
易错题型13 特殊三角形问题(二次函数综合)..............................................................................................................10
易错题型14 特殊四边形(二次函数综合).......................................................................................................................10
易错题型15 抛物线与x轴的交点问题............................................................................................................................11
易错题型16 利用不等式求自变量或函数值的范围.....................................................................................................11
易错题型17 根据交点确定不等式的解集.......................................................................................................................12
易错题型18 图形问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................13
易错题型19 图形运动问题(实际问题与二次函数).....................................................................................................14
易错题型20 拱桥问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................15
易错题型21 销售问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................15
易错题型22 投球问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................16
易错题型23 喷水问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................17
易错题型24 增长率问题(实际问题与二次函数).........................................................................................................18
易错题型25 其他问题(实际问题与二次函数)..............................................................................................................18
易错题型26 面积问题(二次函数综合)............................................................................................................................19易错题型1 y=a(x-h)²的图象和性质
1．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数 （ 是常数，且 ）的图象
y =mx2−2mx+m m m≠0
1
经过点 ，一次函数 的图象经过点 ，当 时，有四个命题：①当
P(x ,y ) y =−mx+m Q(x ,y ) m>0
1 1 2 2 2
x =x <0时，y >y ；②当x =x >1时，y >y ；③当y = y >m时，x >x ；④当y = y x ．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
其中正确的命题个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知a>0，设函数
．直线 与函数 ， 的图象分别交于点
y =a(x−1) 2 ，y =a(x−2) 2 ，y =a(x−3) 2 x=m y ，y y
1 2 3 1 2 3
．若 ，则 的取值范围是
A(m,c )，B(m,c )，C(m,c ) c y >y B．y >y = y C．y >y >y D．y = y >y
3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3
12．（25-26九年级上·江苏南通·期中）二次函数y=−x2+4x+3与y轴交于点A，点B(m,n)是该二次
函数图象上位于点A右侧的一个动点，当点B变化时，若函数图象取A,B之间的部分时函数最大值与最小
值之差等于9，则m的值为 ；若函数图象取A,B之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于4，
则m的取值范围是 ．易错题型7 y=ax²+bx+c的最值
13．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
xOy y=ax2−3ax+2(a≠0)
(1)当a=2时，求抛物线顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当1≤x≤3时，求
新的二次函数的最大值与最小值；
(3)抛物线若经过点 ，已知 和 是抛物线上不同的两点，求证：
A(−1,−2) P(x ,m) Q(x ,m)
1 2
(x −1) 2 x −2．
1 = 2
m−4 x −2
1
14．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）一次函数y=ax+c(a≠0)的图像经过点(3,1)，则ac的最大值等
于（ ）
1 1 1 1
A． B．− C． D．−
12 36 36 12
易错题型8 利用二次函数对称性求最短路径
15．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与
y=ax2+bx+3(a≠0) x A B
y轴交于点C．已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线解析式和B点坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q，依题意
补全图形，当MQ+❑√2CQ的值最大时，求点M的坐标．16．（25-26九年级上·山西朔州·期中）综合与探究
如图，抛物线交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ( 5)，D是抛物线的顶点．
x A(−5,0) B(1,0) y C 0,−
3
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图2，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PB+PC的值最小？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
(3)如图3，E(−8,9)为抛物线上的一点，Q为第一象限抛物线上的一点，连接EQ．若∠QED=45∘，直
接写出点Q的坐标．
易错题型9 待定系数法求二次函数解析式
17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知抛物线y=−2x2+12x+a的图象经过点(1,−6)．求a的值
及函数图象的顶点坐标．
18．（25-26九年级上·河南商丘·期中）已知二次函数y=ax2+3x+1的图象经过点(1,6)．
(1)求a的值；
(2)求此抛物线的对称轴；
(3)当x为何值时，函数y随x的增大而增大？易错题型10 线段周长问题(二次函数综合)
19．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为
y=ax2+bx+c(a≠0) A(4,0)
，点C为 的中点．
B(2, 2❑√3) OB
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接OB，点C为线段OB的中点，过点C作CH⊥OA，垂足为点H，交抛物线于点E；求线段
CE的长
(3)点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，直接写出BD+BF的最小值
20．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
(1)求抛物线的表达式；(2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
❑√2
(3)若点M是线段OC上的一动点，连接AM，求AM+ CM的最小值．
2
易错题型11 面积问题(二次函数综合)
21．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数y=x+m的图象与二次函数y=−x2+bx+c的
图象交于点 和点 ，点 是此二次函数的图象上的两个动点，且满足
A(−2,0) B(3,n) P(x ,y ),Q(x ,y )
1 1 2 2
x =x +3．
2 1
(1)求此一次函数和二次函数的表达式；
(2)如图1，若点Q在直线AB的上方，过点Q作QC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接BC,DP,PQ．求
证：S 的值为定值；
△PQD
S
△BCD
(3)如图2，若点P在x轴的上方移动，点M为线段PQ的中点，求点M纵坐标的取值范围．22．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为30m，20m，现将矩形绿地
的长、宽各增加xm.设新绿地的周长为ym，面积为Sm 2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而
变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系
易错题型12 角度问题(二次函数综合)
23．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx−3的图象与x轴交于点
A(1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线的顶点，求出△MBC的面积；
(3)如图2．连接AC，点P是抛物线上的一动点，且满足∠PBC=45°−∠ACO，请直接写出点P坐标．
24．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点
（A在B左侧），与y轴交于点C，连接BC、AC，若S =6，2OB=OA．
△ABC(1)求抛物线的解析式；
❑√5
(2)点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，连接PA、PC，E、F为AC上的两个动点且满足EF= （
2
E在F左侧），G为x上一个动点，连接PE、FG，当S 最大时，求PE+EF+FG的最小值；
△APC
(3)如图2，将抛物线沿着射线AC平移❑√5得到新抛物线y′，y′上找一点R，连接RC，当∠RCA与
2∠CAO互补时，请写出所有符合条件的R的坐标，并写出其中一个点的求解过程．
易错题型13 特殊三角形问题(二次函数综合)
25．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线．
(1)请在给定的坐标系中画出二次函数y=x2−2x−3的图象．
(2)观察图象，当x<−1时，y的范围是________，当y<0时x的范围是________
(3)设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形OPM是等腰三角形，若存在，请求出P点的
坐标，若不存在，请说明理由．26．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线L:y=ax2+bx+3过点A(−1,0)，与y轴交
于点C，对称轴为直线x=1．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线L′，使其经过原点．若在第二象限的抛物线L′上存在点P，
使△PAC为等腰直角三角形，请求出抛物线L′的表达式．
易错题型14 特殊四边形(二次函数综合)
27．（24-25九年级上·山东济南·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的
距离等于a(a≥0)，到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a方内点”．
对于下列四个结论：
①点(1,2)是一次函数y=2x图象的“2方内点”；
3
②函数y=− 图象上存在四个“2方内点”；
x
1 1
③若直线y=kx+k+ 的“ 方内点”有两个，则−10)，矩形ABCD的周长为5
时，求点A的坐标；
(3)函数 与 轴交于点 ，函数 的顶点为 ，直线 与 轴交于点 ，与函数 的
y =−x2+2x+2 y A y P y=2x+t x B y
1 2 2
图象交于点C，当PA≥BC时，直接写出t的取值范围．易错题型15 抛物线与x轴的交点问题
29．（25-26九年级上·山东泰安·期中）若二次函数y=ax2−2ax+a−1与x轴两交点横坐标为x 与x ，
1 2
且x ，x 均为正实数，那么a的范围是（ ）
1 2
A．a<0 B．a>1 C．00).
(1)当c=a+1时．
①求抛物线的对称轴和顶点坐标；
②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线经过点(0,−8)和(4,0)，求m的值．
(2)已知点M(2,2n−4)，N(−1,3n+2)都在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
32．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线表达式为y=x2−1.
(1)求抛物线与x轴，y轴的交点坐标；
(2)若y≤0，求x需满足的条件．
易错题型17 根据交点确定不等式的解集
33．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数图象如图所示，抛物线顶点为A(1,4)，与y轴、x轴
分别交于点B和点C(3,0)．(1)求抛物线的函数表达式．
(2)根据图象直接写出当y>0时，x的取值范围．
5
34．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）已知抛物线y=ax2+bx+ (a≠0)经过点(1,4)和点(6,0)．
2
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上有一点M(m,n)，当n>0时，直接写出m的取值范围．
易错题型18 图形问题(实际问题与二次函数)
35．（25-26九年级上·吉林·期末）有一根直尺短边长4mc ，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角
三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与
点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为
Scm 2．
(1)当直角顶点C落在直尺的长边上时，x=______mc ．
(2)当0
