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专题 02 二次函数（期末复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
二次函数的有关 熟练掌握二次函数的概念，明确各项及 根据二次函数的定义求参数值较常考查。
概念 其系数。
待定系数法求解 根据题目给出的不同条件，能正确选择 顶点式考查频率持续上升，且多与实际情
析式 解析式形式并准确列出方程组求解，最 景结合。务必保证顶点式的设、代、解、
终确定二次函数的具体表达式。 答全流程零失误。
二次函数的图象 掌握从系数到图象、从解析式到性质的 近年来图象识别与性质推理的结合题比例
与性质 对应规律，实现“数”与“形”的自由 上升，要求能快速从图象中提取对称轴、
转化。 顶点位置等信息进行综合判断。
二次函数的图象 建立“a、b、c、Δ”四个符号与图象特征 该考点难度稳中有升，从单一知识考查转
与各项系数之间 的直接对应，做到“见系数知图象、见 向综合能力考查，要求考生建立完整的
的关系 图象定系数”；看到任意二次函数图 “系数-图象”对应体系，并能灵活应用。
象，能在30秒内准确判断 a、b、c、Δ
的符号及 a+b+c 等特殊式子的正负。
二次函数图象的 掌握抛物线平移的坐标变换规律，实现 图象变换考点稳定性高、规律性强，但近
变换 “解析式变化 → 图象变化”和“图象 年复合化和综合化趋势明显。掌握平移对
变化 → 解析式变化”的双向推导。 称基本规律，辅以顶点验证法，即可应对
80%以上考题。该考点是“基础分必拿，能
力分可争”的典型。
二次函数与一元 熟练运用判别式Δ和韦达定理解决交 近年呈现“基础题更基础，难题更难”的
二次方程 点、根分布、参数范围等问题；给出任 两极分化趋势。应确保基础题满分，中档
意二次函数，能立即说出对应方程的根 题多练，难题有选择地突破。掌握好“函
的情况、图象交点个数，并能根据根的 数-方程-图象”的转化关系是得分关键。
要求反推出系数需满足的条件。
二次函数与不等 掌握“图象在上方→不等式>0，图象在 确保基础题型熟练化，掌握含参讨论模型
式 下方→不等式<0”的数形对应，能熟练解 化，突破恒成立问题方法化。
二次不等式并处理含参、恒成立问题。
二次函数的应用 掌握从实际问题中抽象出二次函数模型 二次函数应用正从“数学题”向“真实问
的建模能力，重点解决“利润最大、面 题解决”转变。备考需实现 “经典模型内
积最大、增长率、图形最值”四类问 化、建模思维强化、规范表达固化” 的三
题，并准确确定自变量的实际取值范 化目标。该考点已不仅是数学能力的考
围。 查，更是综合素养的体现，过程完整性比
答案正确性更重要。
知识点01 二次函数有关概念
(1)定义：一般的，形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数.
(2) 、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项， 、b分别称为二次项系数和
一次项系数.
(3)三类解析式
一般式： (a、b、c是常数， )；
顶点式： ( )，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式： ( )，其中x ，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
知识点02 待定系数法求解析式
①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
知识点03 二次函数的图象与性质
开口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方向 a
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2)
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
2a 4a
顶点
4ac−b2
与
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或 4a )；
最值
4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或 4a ).
b b
− −
x<0(h或 2a)时，y随x的增大而减小；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而
增大。
a>0
增 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增
减
大而增大。
性
b b
− −
a<0 x<0(h或 2a)时，y随x的增大而增大；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而
减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增
大而减小。
1.图象是轴对称图形；
对
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性
3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
知识点04 二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置
当 时， ，对称轴为y轴；当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；当
a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，
抛物线与y轴的交点在负半轴上.
知识点05 二次函数图象的变换
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数
的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加
下减”．具体平移方法如下：(2)图象的对称：化成顶点式，结合图象，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解
析式.
知识点06 二次函数与一元二次方程
二 次 函 数 ( ) 的 图 象 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 是 一 元 二 次 方 程
的根.
(1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交
点；
(3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
知识点07 二次函数与不等式
(1)抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不
等式 的解集；
(2)抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不
等式 的解集.
知识点08 二次函数的应用
(1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取
值范围内.
(2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
(3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
(4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
题型一 二次函数有关概念
解｜题｜技｜巧二次函数的判断方法：
（1）含有自变量的代数式必须是整式；
（2）化简后自变量的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0．
易｜错｜点｜拨
y=ax2 +bx+c(a≠0)也叫做二次函数的一般形式，判断一个函数是否是二次函数应先将
函数化为一般形式．
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7
C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2
【典例2】已知y=(a+2)x2-5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a=2 B．a≠2 C．a=-2 D．a≠-2
【典例3】把y=(3-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为 ．
【变式1】已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2
【变式2】若关于x的函数 y=(2-a)x2-x是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【变式3】把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为 ．
题型二 待定系数法求二次函数的解析式
解｜题｜技｜巧
待定系数法求函数解析式的步骤：
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式；
（2）找点：找函数图象上的点；
（3）代入：把点代入函数解析式得到方程；
（4）求解方程；
（5）反代入：把求出的字母的值带入解析式．
易｜错｜点｜拨
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成
交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表
示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
【典例1】如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，2），则它的解析式
是（ ）A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2
【典例2】已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点
坐标是 ．
【变式1】已知y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），则a的值为（ ）
A．a＝±2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．无法确定
【变式2】已知抛物线C 的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C ：y=x2+2的开口方向、形状大小完全相
1 2
同，则抛物线C 的解析式为（ ）
1
A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3
【变式3】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．
题型三 二次函数的图象与性质
解｜题｜技｜巧
1、二次函数图象上任意两个函数值相等的点都关于对称轴对称，且到对称轴的距离相等．对称轴等
于这两个点的横坐标之和除以2．即：若点A(x ，y )与点B(x ，y )都在二次函数图象上，且
1 1 2 2
x +x
，则二次函数的对称轴为：x= 1 2 ．
y =y 2
1 2
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标：
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成 的形式，二次函数 的对称轴
是直线x= ，顶点坐标是（ ， ）．
【典例1】二次函数y=3(x-1) 2-2图象的顶点坐标为（ ）
A．(-1,-2) B．(1,2) C．(-1,2) D．(1,-2)
【典例2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=bx-a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数
y=ax2-bx的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【典例3】已知一个二次函数y=ax2+bx-3图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示．
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 m -3 0 …
(1)求m的值．
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）．
(3)根据图象，直接写出当-20，②b>0，③a-b+c>0，④
2a+b=0，其中正确的有 ．（填编号）
【变式1】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A．abc>0 B．4a+2b+c<0
C．(a+c) 2>b2 D．a+b>m(am+b)（m≠1的实数）
题型五 二次函数图象的变换
解｜题｜技｜巧
上下平移
y=ax2 +bx+c
若原函数为
{向上平移m个单位，则平移后函数为y=ax2 +bx+c+m
向下平移m个单位，则平移后函数为y=ax2 +bx+c−m
（1）其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可．
（2）通常上述变换称为上加下减，或者上正下负．
左右平移
y=ax2 +bx+c y=a(x−h) 2 +k
若原函数为 ，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式
然后再进行相应的变形．
{若向左平移了n个单位，则平移后的函数为 y=a(x−h+n) 2 +k
若向右平移了n个单位，则平移后的函数为 y=a(x−h−n) 2 +k
注：** 错误的表达式 **其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可．
** 错误的表达式 **通常上述变换称为左加右减，或者左正右负．
【典例1】将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物
y=(x-1) 2+2
线的解析式为（ ）
A． B．
y=(x-3) 2+5 y=(x+1) 2-1
C． D．
y=(x-3) 2-1 y=(x+1) 2+5
【典例2】将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向左平移2个单位，再向上平移 3个单位后新抛物线的顶点坐标
（ ）A．（3，6） B．（﹣3，6） C．（1，0） D．（﹣1，6）
【变式1】将抛物线y=x2-6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的
函数表达式为（ ）
A．y=(x-4) 2-6 B．y=(x-1) 2-3
C．y=(x-2) 2-2 D．y=(x-4) 2-2
1 1
【变式2】抛物线y=- (x+1) 2-1可以由抛物线y=- x2 （ ）得到．
2 2
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
题型六 二次函数与一元二次方程
解｜题｜技｜巧
【典例1】若二次函数y=kx2-(k-3)x-4的图象与x轴只有一个公共点，则k的值为 ．
【典例2】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么b2-4ac 0．（用
>，<，=填空）
【典例3】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，与x轴的一个交点是M(-5,0)，对称轴是
直线x=-2．则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是（ ）A．x =-5，x =1 B．x =-2，x =1
1 2 1 2
C．x =0，x =1 D．x =-5，x =0
1 2 1 2
【变式1】已知抛物线的关系式为y=-2x2+x-1，则该抛物线与x轴的交点情况为 ．
【变式2】已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 (-1,0) 与 (3,0) 两点，关于x的方程
ax2+bx+c+m=0(m>0) 有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程 ax2+bx+c+n=0(02 C．-12
【变式2】如图是二次函数y =ax2+bx+c和一次函数y =mx+n的图象，当mx+n≥ax2+bx+c时，x的
1 2
取值范围是（ ）
A．x>0 B．-2≤x≤1 C．-2n的解集是 ．
题型八 二次函数的应用
解｜题｜技｜巧
二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，理解问题．
找：分析问题中的变量和常量找出它们之间的关系．
列：列函数解析式表示它们之间的关系（建立数学模型）．
解：用数学方法求解．
验：检验结果的合理性．
答：书写答案．
利用二次函数解决动态几何问题
利用二次函数解决动态几何问题解决动态几何问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程
中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的数学模型．同时关注特殊情形，通过特
殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法．
【典例1】某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都
是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A．y=10(1+x) 2 B．y=10+10(x+1)+10(x+1) 2
C．y=10+10x+x2 D．y=10(1+x) 2
【典例2】苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面2m
时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．
【典例3】如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中
间用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长15m，设AB=xm，矩形ABCD面积为ym2．(1)y关于x的函数解析式为___________（写化简后结果），x的取值范围是_________；
(2)求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长；
(3)在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入W
1
（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W =-2S2+210S，乙农作物的年收入W （单位：
1 2
元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W =70S，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙
2
农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF=am，求a的取值范围．
【典例4】北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价
为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，
每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为
x元，每天销售量为y个．
(1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元(2≤m≤7)给希望工程，
若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？
【典例5】如图，抛物线y=ax2+4ax-5a（a为常数，a≠0）与x轴交于点A，B两点，点C为抛物线的
顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5．
(1)求a的取值范围；(2)若△ABC为等腰直角三角形，求a的值．
3
【典例6】如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(3,0),C(3,3)，抛物线y=- x2+bx+c
4
经过点A和点B．
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)点E在x轴上方的抛物线上，当S = S 时，求点E的坐标；
△BCE 4 矩形ABCD
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A,C,P,Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P
的坐标．
【变式1】某市今年第一季度的专项教育投入为5亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为x，第三季度
增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍，则第三季度专项教育投入y（亿元）关于x的函数关系式为
．（不要求写自变量x的取值范围）
【变式2】一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12m，高6m，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心
1
线两侧距道路边缘2m这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 m的空隙，请你根据这些要求，
3
建立适当的坐标系，利用所学的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制．【变式3】某经销商以60元/个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线
下每周销量y个与售价x元/个(x>60)满足一次函数关系（如下表)；线上售价为100元/个，供不应求．规
定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的80%．
售价x（元/个） ⋯ 80 90 100 ⋯
销量y（个） ⋯ 400 300 200 ⋯
(1)求y与x的函数解析式；
(2)若该经销商共购进1000个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得
的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本）
【变式4】大坝泄洪时，水流的形状类似抛物线形．如图2，建立如图所示平面直角坐标系（大坝底与水平
1 x
面交点为原点O，大坝墙面为y轴），已知水流内轮廓线的函数表达式为y= - x2+ +15，泄洪口AB
16 2
高3m；水流外轮廓线的最高点D比泄洪口A处高5m，且与泄洪口A处的水平距离为6m．
(1)求水流外轮廓线的表达式和内轮廓线的顶点C的坐标．
(2)求水流落入水平面时，形成的水流的宽度EF．
【变式5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)，B两点，与y
轴交于点C(0,-3)．(1)求二次函数的解析式；
(2)若Q为抛物线对称轴上一动点，求使△QBC为直角三角形的点Q的坐标．
【变式6】 综合运用：如图，一次函数y=x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数
y=-x2+bx+c的图象经过A，C两点，并与x轴交于点B．点M(m,0)是线段OA上一个动点（不与点
O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线AC相交于点E和点D．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)用含m的代数式表示DE，CD；
(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若
不存在，请说明理由．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
1
A．y＝3x﹣1 B．y＝2x2﹣1 C．y= D．y＝（x2+1）2
x2
2．二次函数y＝x2+4的图象不经过的象限为（ ）
A．第三、第四象限 B．第二、第四象限C．第一、第二象限 D．第一、第四象限
3．抛物线y＝x2﹣3x﹣2与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+5的最大值是 ．
5．已知二次函数y＝x2﹣4x+2．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
（2）当﹣1≤y≤2时，结合图象写出x的取值范围．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝k（x+b）2的图象大致可能为（ ）
A． B．C． D．
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
A．对称轴是直线x＝﹣2
B．当x＝﹣4时，y＝﹣11
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．抛物线开口向下
3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个
5 1
结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＝0；④若点B(- ，y )，C(- ，y )为函数图象上的两
2 1 2 2
点，则y ＜y ．其中正确结论的个数是（ ）
1 2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．若y=(m-1)xm2+1+1是关于x的二次函数，则m的值是
．
5．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ．
6．已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，有
一动点D在线段BC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则DE的最大值为 ．7．如图，要建一个矩形养殖场ABCD，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道 1
米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽AD为x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽AD为多少米？
8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A（3，
0），B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称．
（1）求线段AB的长；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点E（m，y ），F（n，y ）在对称轴右侧抛物线上（m＞
1 2
n）．若△GEF为等腰直角三角形，∠EGF＝90°，求m﹣n的值．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）{ ax2+bx+c(x≥0)
1．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y = 是它的相关函数．已知点M，N的坐标
-ax2-bx-c(x＜0)
1 9
分别为（- ，1），（ ，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有
2 2
两个公共点，则n的取值范围为（ ）
5 5
A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤
4 4
5
C．n≤﹣1或1＜n≤ D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
4
2．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为
B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
1
②若点M（﹣2，y ）、点N( ，y )、点P（2，y ）在该函数图象上，则y ＜y ＜y ；
1 2 2 3 1 3 2
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的
最小值为❑√34．
其中正确的判断有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x
＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论：
①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；
②若ax2+bx =ax2+bx
且x ≠x ，则x +x ＝2；
1 1 2 2 1 2 1 21
③若OA＝OC，则OB=- ；
a
④若B（1，0），C（0，3），连接AC，点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA＝90°，则P（﹣1，4）．
其中正确的有 ．
4．在平面直角坐标系xOy中，A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上
1 1 2 2 3 3
三点．若0＜x ＜1，x ＞4，则y ＞ y （填“＞”或“＜”）；若对于 m＜x ＜m+1，m+1＜x ＜
1 2 1 2 1 2
m+2，m+2＜x ＜m+3，存在y ＜y ＜y ，则m的取值范围是 ．
3 1 3 2
5．如图，抛物线L ：y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接
1
AC，点P（m，0）是线段OA上一点（不含端点），作射线PD⊥x轴交L 于点D，交AC于点E．
1
（1）求抛物线L 的函数解析式．
1
（2）嘉嘉和淇淇分别提出一个问题．
嘉嘉：m为何值时，使得DE的长最大？
淇淇：m为何值时，使得点E是PD的中点？
请选择其中一人的问题进行解答．
（3）将抛物线L 向上平移n个单位长度（n＞0），再向左平移2n个单位长度，使其经过点（﹣1，1）
1
得到抛物线L ，点D也相应地平移到L 上的点F处，设直线DF的解析式为y＝kx+h．点P在线段OA
2 2
上从右向左移动，判断k的值的变化情况，若不变，直接写出k的值；若变化，直接写出变化规律．6．如图，抛物线C ：y=x2-bx过点（3，0），顶点为M．
1
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）点Q（x ，y ）在C 上，若1＜x ＜4，直接写出y 的取值范围；
Q Q 1 Q Q
7
（3）抛物线C ：y=-x2+(2t-4)x-t2+4t（t为常数，且 ≤t＜6），顶点为N．C 与C 交于A，
2 2 1 2
B（A在B的左侧）两点．
①当t＝4时，求C 在点A，B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数；
1
②连接AB，MN，且AB与MN交于点P，直接写出点P的纵坐标．
