专题 02 二次函数
题型1 二次函数的概念 题型10 二次函数的交点个数问题（重点）
题型2 根据二次函数的定义求参数 题型11 抛物线与x轴的交点问题
题型3 特殊二次函数的图像和性质（常考点） 题型12 根据二次函数图象确定相应方程根
题型4 与特殊二次函数有关的几何知识（重点） 题型13 根据交点确定不等式的解集（常考点）
题型5二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 题型14 二次函数应用-类抛物线问题（常考点）
题型6 二次函数y=ax²+bx+c的最值问题（重点） 题型15 二次函数应用-面积问题（常考点）
题型7 二次函数y=ax²+bx+c的图像问题（重点） 题型16 二次函数应用-利润问题（常考点）
题型8 二次函数的平移变换 题型17二次函数与几何综合应用（重点）
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴
题型一 二次函数的概念（共 2 小题）
1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（ ）
A．y=x3+1 B．y=3s2+s-2
3
C．y=2x2- D．y=-x-4
x
2．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数y=2x2-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
）
A．2，0，-1 B．2，2，-1 C．2，2，1 D．2，0，1
题型二 根据二次函数定义求参数（共 2 小题）
1．（25-26九年级上·北京·阶段练习）函数 是二次函数，则m的值为
y=(m+2)x(m2-m-4)+(m-3)x+m
（ ）
A．1或-6 B．1 C．-2或3 D．3
2．若函数y=(2-k)x|k|+kx+3是y关于x的二次函数时，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．k≠2题型三 特殊二次函数的图像和性质 （共 7 小题）
1
1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）抛物线y=- (x-2) 2顶点坐标是（ ）
2
A．(-2,0) B．(2,0) C．(0,0) D．(0,2)
2．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）二次函数y=2x2-4的最小值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）二次函数 的顶点坐标是（ ）
y=-(x+3) 2+2
A．(3,2) B．(-3,2) C．(3,-2) D．(-3,-2)
4．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（
y=-(x+4) 2+3
）
A．开口向上 B．y有最小值是3
C．对称轴是直线x=4 D．当x≤-4时，y随x增大而增大
5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知 ， ， 是抛物线 上的点，则
(-4,y ) (-2,y ) (1,y ) y=(x-3) 2+2
1 2 3
（ ）
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
2 1 3 3 1 2 3 2 1 1 3 2
m
6．（2025·广东江门·三模）已知 <0，m(n+1)>0，则y关于x的二次函数y=mx2+n的图象可能是
n
（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2-a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型四 与特殊二次函数有关的几何知识 （共 5 小题）
1．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为1
(6,2)．若抛物线y=-3(x-h) 2+k(h，k为常数)与线段AB交于C，D两点，且CD= AB，则k的值
3
为 ．
2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组
成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线 的表达式为 ，则抛物线 的表达式
A y=-(x-6) 2+4 A
1 6
为 ．
1
3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线y=(x-h) 2+ 与平行于x轴的直线l交于A，B两点．
2
若AB=3，则点B的纵坐标为 ．
1
4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形OABC是正方形，且点A，C恰好在抛物线 y= x2上，点B在
2
y轴上，则OB的长为 ．
5．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛物线y=x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．
题型五二次函数 y=ax²+bx+ c 的图像和性质（共 5 题）
1．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）二次函数y=-x2+2x-5的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=-1 D．直线x=-2
2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线y=-x2+2x+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=1
C．当x=1时，y取最大值2 D．当x>1时，y随x的增大而增大
3．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数y=-3x2+6x+4，关于该函数在-2≤x≤3的取值范围内，下列
说法正确的是（ ）
A．有最大值7，最小值-20 B．有最大值-7，最小值-20
C．有最大值-5，最小值-20 D．有最大值7，最小值-5
4．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，在同一坐标系中，直线y=ax+b和抛物线
y=ax2+bx+c(c≠0)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·广东肇庆·一模）点 均在二次函数 的图象上，
P (1,y )、P (3,y )、P (5,y ) y=-2x2+4x+c
1 1 2 2 3 3
则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3A．y >y >y B．y >y = y
3 2 1 3 1 2
C．y >y >y D．y = y >y
1 2 3 1 2 3
题型六 二次函数 y=ax²+bx+ c 的最值问题（共 3 题）
1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数y=x2+2x-3(-3≤x≤2)的最大值与最小值分别是（ ）
A．1和-4 B．5和-3 C．4和-3 D．5和-4
2．（24-25九年级下·广东湛江·自主招生）若函数y=¿当0≤x≤3时，该函数的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
3．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若抛物线y=a(x+1)(x+3)(a≠0)在
-4≤x≤2时的最大值为3，则a的值为（ ）
1 1 1
A． 或-1 B． 或-3 C． D．-1
5 5 5
题型七 二次函数 y=ax²+bx+ c 的图像问题（共 5 题）
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数 的图象过点 ， ，如
y=ax2+bx+c(a≠0) (-1,2) (1,0)
图所示，给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数 的图象过点 ，抛物
y=ax2+bx+c(a≠0) (-1,0)
线的对称轴是直线x=1，顶点在第一象限，给出下列结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；
④若 、 （其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．其中正确的
A(x ,y ) B(x ,y ) x <x x +x =2 y = y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示．
下列判断中：① ；② ；③ ；④若点 均在抛物线
abc>0 b2-4ac>0 9a-3b+c=0 (-0.5,y ),(-2,y₂)
1
上，则y >y ；⑤5a-2b<0．其中正确的个数有（ ）
1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2．下列说
法：①abc<0；②c-3a>0；③当x>-1时，y随x的增大而减小；④4a2-2ab≥a2t2+abt（t为任
意实数）．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于
点(4,0)，对称轴为直线x=1，下列结论中（ ）① ；② ；③ 是抛物线上两点，则 ；
abc>0 3a+c<0 M(-3,y ),N(3,y ) y <y
1 2 1 2
1
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a-5没有实数根，则0<a< ；
2
⑤对于任意实数m，总有am2+bm-a-b>0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型八 二次函数的平移变换（共 3 题）
1．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度，向下平移4个单位
长度，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
y=2(x+3) 2+4 y=2(x+3) 2-4
C． D．
y=2(x-3) 2-4 y=2(x-3) 2+4
2．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）将二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平
y=-2(x-1) 2-3
移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
y=-2(x-3) 2-2 y=-2(x+1) 2-2 y=-2(x+1) 2-4 y=-2(x-3) 2-4
3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数y=x2-4x+3的图像向右平移2个单位，再向
上平移1个单位后，解析式为（ ）
A． B．
y=(x-6) 2-2 y=(x-2) 2+1
C． D．
y=(x+2) 2-1 y=(x-4) 2题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共 3 题）
1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）若点A(1,-5)，B(5,-5)都在抛物线y=ax2+bx+c上，则该抛物
线的对称轴是（ ）
1
A．直线x=6 B．直线x=
2
5
C．直线x= D．直线x=3
2
2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0)，(3,0)，则抛
物线的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线x=1 C．直线x=-2 D．直线x=2
3．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线y=x2-bx+c经过(2,m)和(-4,m)两点，则b的值为
（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
题型十 二次函数的交点个数问题（共 5 题）
1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数y=-x+2a的图象与二次函数y=x2-3x+5的图象有两
个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>-2 B．a>2 C．a≥2 D．a≥-2
2．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数y=x2-x-2及一次函数y=-x+m，将该二次函数在x轴上方
的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=-x+m与新图象有
4个交点时，m的取值范围是（ ）
25 13
A．-2<m<-1 B． <m≤1 C．-3<m<-2 D．- <m<-3
4 4
3．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A，
与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点C(0,5)
作直线l∥x轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（ ）
A．m>1 B．1<m≤2 C．1<m<2 D．1≤m≤2
4．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数y=-x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴
翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y=x+m与新
图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（ ）
25 25
A．- ≤m≤-2B．- ≤m≤-3 C．-6≤m≤-2 D．-7≤m≤-3
4 4
5．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C
1
分别在y轴与x轴上，点B的坐标为(5,4)．抛物线y= x2-bx+c经过点(m,n)和(m+2,n)．当y随x
2
的增大而增大时，x的取值范围是x>2m-2．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是
．
题型十一 抛物线与 x 轴的交点问题（共 4 题）
1．（25-26九年级上·北京·开学考试）抛物线y=x2+x-6与x轴交点的横坐标是（ ）
A．2，-3 B．-2，3 C．2，3 D．-2，-3
2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）抛物线y=x2-2x+c与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
(5 ) (7 )
A． ,0 B．(2,0) C． ,0 D．(3,0)
2 2
3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知二次函数y=kx2-2x-3的图象与x轴没有交点，则k的取
值范围为（ ）
1 1 1 1
A．k>- B．k≥- 且k≠0 C．k<- D．k>- 且k≠0
3 3 3 3
4．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）若抛物线y=x2+x-c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范
围是（ ）
1 1 1 1
A．c> B．c≥ C．c≤- D．c<-
4 4 4 4
题型十二 根据二次函数图象确定相应方程根（共 3 题）
1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一
元二次方程-x2+2x+m=0的解为（ ）
A．x =3，x =-2 B．x =-1，x =3
1 2 1 2
C．x =-3，x =3 D．x =3，x =1
1 2 1 2
2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)，(-3,0)，
则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为（ ）
A．x =1，x =3 B．x =-1，x =-3
1 2 1 2
C．x =-1，x =3 D．x =1，x =-3
1 2 1 2
3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+6交于A(-2,4)，B(3,9)两点，则一
元二次方程ax2-bx-6=0的根为 ．题型十三 根据交点确定不等式的解集（共 4 题）
1．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一元
二次不等式ax2+bx+c<0的解集是 ．
2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交
于A(2,p),B(-4,q)两点，则不等式ax2-mx-n+c≤0的解集是
3．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线 与直线 的交点为 ，
y =ax2+bx+c y =kx+m A(1,-3)
1 2
B(6,1)．当y <y 时，x的取值范围是 ．
1 2
1
4．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知抛物线y= (x-2) 2-3的部分图象如图所示，若y≤0，则x
3的取值范围为 ．
题型十四 二次函数应用 - 类抛物线问题（共 8 题）
1．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y
1
（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为y=- (x-3) 2+4，则小明掷铅球的成绩为（ ）米．
9
A．3米 B．4米 C．9米 D．10米
2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小
球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数
关系是h=-5t2+20t，当小球达到最高点时，飞行时间t为（ ）
A．2 B．1 C．20 D．5
3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物
线形拱桥，当拱顶距水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面
AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m．(1)如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解
析式；
(2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部
分EF与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面
CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度．
5．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，
隧道的最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式．
(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
6．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创
制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点P离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，高CD为6米，点P与点B的水平距离为23米，以发射点
P的正下方O点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将石块当作
一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 ．
y=a(x-15) 2+k
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为12米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B,C），求出a的取值范围．
7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，
在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高
度为3m，水柱落地处离池中心3m；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为
x轴，水管所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系．
(1)求水管OA的长度；
(2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为3.5m，已知水管升高后，喷水头喷
出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管OA要升高多少m?8．（2025·湖北武汉·模拟预测）一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地
草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点O处，喷水头A的竖直高度OA为1m，当喷射出
的水流与点O的水平距离为10m时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为6m．在直线坡地草坪
OB上，点B与点O的水平距离为15m，与水平地面的竖直高度为3m．
(1)求水流抛物线的解析式；
(2)求水流抛物线与直线坡地草坪OB之间的竖直距离的最大值；
(3)已知在点B处有一棵竖直高度为2.4m的小树BC．若将喷灌架沿直线坡地草坪OB向右移动，设其向
右水平移动am（其中0<a<15），使其喷射出的水流不被小树BC遮挡，直接写出a的取值范围．
题型十五 二次函数应用 - 面积问题（共 3 题）
1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图
中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(2)矩形围栏ABCD面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏BC的长；不存在，请说明理由．
2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)当AB的长为多少厘米时，矩形ABCD面积最大？
3．（2025·湖北·模拟预测）如图，学校利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的生物乐园，供学生种植花
草，进行学习和研究．其中AD∥BC，且∠C=90°．如果新建的两道墙BC, CD总长15m．设生
物乐园面积为Sm2，DC的长为xm．
(1)求S与x的函数关系式．
(2)生物乐园的面积能达到40m2吗？说明理由；
(3)当x取何值时，才能使生物乐园的面积最大？
题型十六 二次函数应用 - 利润问题（共 3 题）
1．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，
周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
销售单价x
… 60 65 70 …
（元）
周销量y（盒） … 240 210 180 …
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
(3)若规定销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得多少利润．2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江
流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆
文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水
杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150
元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50
件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？
(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价
应定为每件多少元？
(3)当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？
3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）为缓解停车难的问题，贵阳市某小区利用一块长方形空地建一
个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车
位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为880m2．
(1)求通道的宽是多少米；
(2)该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车
位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金为500元时，求此时停车场的月租金总收入是多少元；
②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到
附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个
车位月租金上涨多少元时，停车场每月的总收入最高，最高是多少？
题型十七 二次函数与几何综合应用（共 3 题）
1．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线y=-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点G是抛物线上的一点，且满足S =S ，求点G的坐标．
△GOC △ABC
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 △BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求
出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B
两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
(4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·辽宁·开学考试）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），点A的坐标为(-1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作
PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式：
(2)当点P在线段OB上运动时，连接MB，求△MBC面积的最大值；
(3)当m-1≤x≤m+1时，抛物线的最大值为3，求m的值．
