文档内容
专题 02 二次函数
题型1 二次函数的概念 题型10 二次函数的交点个数问题（重点）
题型2 根据二次函数的定义求参数 题型11 抛物线与x轴的交点问题
题型3 特殊二次函数的图像和性质（常考点） 题型12 根据二次函数图象确定相应方程根
题型4 与特殊二次函数有关的几何知识（重点） 题型13 根据交点确定不等式的解集（常考点）
题型5二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 题型14 二次函数应用-类抛物线问题（常考点）
题型6 二次函数y=ax²+bx+c的最值问题（重点） 题型15 二次函数应用-面积问题（常考点）
题型7 二次函数y=ax²+bx+c的图像问题（重点） 题型16 二次函数应用-利润问题（常考点）
题型8 二次函数的平移变换 题型17二次函数与几何综合应用（重点）
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴
题型一 二次函数的概念（共 2 小题）
1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（ ）
A．y=x3+1 B．y=3s2+s-2
3
C．y=2x2- D．y=-x-4
x
2．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数y=2x2-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
）
A．2，0，-1 B．2，2，-1 C．2，2，1 D．2，0，1
题型二 根据二次函数定义求参数（共 2 小题）
1．（25-26九年级上·北京·阶段练习）函数 是二次函数，则m的值为
y=(m+2)x(m2-m-4)+(m-3)x+m
（ ）
A．1或-6 B．1 C．-2或3 D．3
2．若函数y=(2-k)x|k|+kx+3是y关于x的二次函数时，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．k≠2题型三 特殊二次函数的图像和性质 （共 7 小题）
1
1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）抛物线y=- (x-2) 2顶点坐标是（ ）
2
A．(-2,0) B．(2,0) C．(0,0) D．(0,2)
2．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）二次函数y=2x2-4的最小值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）二次函数 的顶点坐标是（ ）
y=-(x+3) 2+2
A．(3,2) B．(-3,2) C．(3,-2) D．(-3,-2)
4．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（
y=-(x+4) 2+3
）
A．开口向上 B．y有最小值是3
C．对称轴是直线x=4 D．当x≤-4时，y随x增大而增大
5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知 ， ， 是抛物线 上的点，则
(-4,y ) (-2,y ) (1,y ) y=(x-3) 2+2
1 2 3
（ ）
A．y 0，则y关于x的二次函数y=mx2+n的图象可能是
n
（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2-a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型四 与特殊二次函数有关的几何知识 （共 5 小题）
1．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为1
(6,2)．若抛物线y=-3(x-h) 2+k(h，k为常数)与线段AB交于C，D两点，且CD= AB，则k的值
3
为 ．
2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组
成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线 的表达式为 ，则抛物线 的表达式
A y=-(x-6) 2+4 A
1 6
为 ．
1
3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线y=(x-h) 2+ 与平行于x轴的直线l交于A，B两点．
2
若AB=3，则点B的纵坐标为 ．
1
4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形OABC是正方形，且点A，C恰好在抛物线 y= x2上，点B在
2
y轴上，则OB的长为 ．
5．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛物线y=x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．
题型五二次函数 y=ax²+bx+ c 的图像和性质（共 5 题）
1．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）二次函数y=-x2+2x-5的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=-1 D．直线x=-2
2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线y=-x2+2x+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=1
C．当x=1时，y取最大值2 D．当x>1时，y随x的增大而增大
3．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数y=-3x2+6x+4，关于该函数在-2≤x≤3的取值范围内，下列
说法正确的是（ ）
A．有最大值7，最小值-20 B．有最大值-7，最小值-20
C．有最大值-5，最小值-20 D．有最大值7，最小值-5
4．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，在同一坐标系中，直线y=ax+b和抛物线
y=ax2+bx+c(c≠0)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·广东肇庆·一模）点 均在二次函数 的图象上，
P (1,y )、P (3,y )、P (5,y ) y=-2x2+4x+c
1 1 2 2 3 3
则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3A．y >y >y B．y >y = y
3 2 1 3 1 2
C．y >y >y D．y = y >y
1 2 3 1 2 3
题型六 二次函数 y=ax²+bx+ c 的最值问题（共 3 题）
1．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数y=x2+2x-3(-3≤x≤2)的最大值与最小值分别是（ ）
A．1和-4 B．5和-3 C．4和-3 D．5和-4
2．（24-25九年级下·广东湛江·自主招生）若函数y=¿当0≤x≤3时，该函数的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
3．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若抛物线y=a(x+1)(x+3)(a≠0)在
-4≤x≤2时的最大值为3，则a的值为（ ）
1 1 1
A． 或-1 B． 或-3 C． D．-1
5 5 5
题型七 二次函数 y=ax²+bx+ c 的图像问题（共 5 题）
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数 的图象过点 ， ，如
y=ax2+bx+c(a≠0) (-1,2) (1,0)
图所示，给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数 的图象过点 ，抛物
y=ax2+bx+c(a≠0) (-1,0)
线的对称轴是直线x=1，顶点在第一象限，给出下列结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；
④若 、 （其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．其中正确的
A(x ,y ) B(x ,y ) x 0 b2-4ac>0 9a-3b+c=0 (-0.5,y ),(-2,y₂)
1
上，则y >y ；⑤5a-2b<0．其中正确的个数有（ ）
1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2．下列说
法：①abc<0；②c-3a>0；③当x>-1时，y随x的增大而减小；④4a2-2ab≥a2t2+abt（t为任
意实数）．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于
点(4,0)，对称轴为直线x=1，下列结论中（ ）① ；② ；③ 是抛物线上两点，则 ；
abc>0 3a+c<0 M(-3,y ),N(3,y ) y 0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型八 二次函数的平移变换（共 3 题）
1．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度，向下平移4个单位
长度，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
y=2(x+3) 2+4 y=2(x+3) 2-4
C． D．
y=2(x-3) 2-4 y=2(x-3) 2+4
2．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）将二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平
y=-2(x-1) 2-3
移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
y=-2(x-3) 2-2 y=-2(x+1) 2-2 y=-2(x+1) 2-4 y=-2(x-3) 2-4
3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数y=x2-4x+3的图像向右平移2个单位，再向
上平移1个单位后，解析式为（ ）
A． B．
y=(x-6) 2-2 y=(x-2) 2+1
C． D．
y=(x+2) 2-1 y=(x-4) 2题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共 3 题）
1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）若点A(1,-5)，B(5,-5)都在抛物线y=ax2+bx+c上，则该抛物
线的对称轴是（ ）
1
A．直线x=6 B．直线x=
2
5
C．直线x= D．直线x=3
2
2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0)，(3,0)，则抛
物线的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线x=1 C．直线x=-2 D．直线x=2
3．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线y=x2-bx+c经过(2,m)和(-4,m)两点，则b的值为
（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
题型十 二次函数的交点个数问题（共 5 题）
1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数y=-x+2a的图象与二次函数y=x2-3x+5的图象有两
个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>-2 B．a>2 C．a≥2 D．a≥-2
2．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数y=x2-x-2及一次函数y=-x+m，将该二次函数在x轴上方
的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=-x+m与新图象有
4个交点时，m的取值范围是（ ）
25 13
A．-21 B．12m-2．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是
．
题型十一 抛物线与 x 轴的交点问题（共 4 题）
1．（25-26九年级上·北京·开学考试）抛物线y=x2+x-6与x轴交点的横坐标是（ ）
A．2，-3 B．-2，3 C．2，3 D．-2，-3
2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）抛物线y=x2-2x+c与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
(5 ) (7 )
A． ,0 B．(2,0) C． ,0 D．(3,0)
2 2
3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知二次函数y=kx2-2x-3的图象与x轴没有交点，则k的取
值范围为（ ）
1 1 1 1
A．k>- B．k≥- 且k≠0 C．k<- D．k>- 且k≠0
3 3 3 3
4．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）若抛物线y=x2+x-c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范
围是（ ）
1 1 1 1
A．c> B．c≥ C．c≤- D．c<-
4 4 4 4
题型十二 根据二次函数图象确定相应方程根（共 3 题）
1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一
元二次方程-x2+2x+m=0的解为（ ）
A．x =3，x =-2 B．x =-1，x =3
1 2 1 2
C．x =-3，x =3 D．x =3，x =1
1 2 1 2
2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)，(-3,0)，
则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为（ ）
A．x =1，x =3 B．x =-1，x =-3
1 2 1 2
C．x =-1，x =3 D．x =1，x =-3
1 2 1 2
3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+6交于A(-2,4)，B(3,9)两点，则一
元二次方程ax2-bx-6=0的根为 ．题型十三 根据交点确定不等式的解集（共 4 题）
1．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一元
二次不等式ax2+bx+c<0的解集是 ．
2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交
于A(2,p),B(-4,q)两点，则不等式ax2-mx-n+c≤0的解集是
3．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线 与直线 的交点为 ，
y =ax2+bx+c y =kx+m A(1,-3)
1 2
B(6,1)．当y 0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B
两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
(4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·辽宁·开学考试）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），点A的坐标为(-1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作
PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式：
(2)当点P在线段OB上运动时，连接MB，求△MBC面积的最大值；
(3)当m-1≤x≤m+1时，抛物线的最大值为3，求m的值．
