文档内容
专题 02 二次函数
题型1 二次函数的概念 题型10 二次函数与一次函数交点个数问题（重点）
题型2 根据二次函数的定义求参数 题型11 抛物线与坐标轴的交点问题
题型12 根据二次函数图象确定相应方程根（常考
题型3 特殊二次函数的图像和性质（常考点）
点）
题型 4 与特殊二次函数有关的几何知识（重
题型13 根据交点确定不等式的解集（常考点）
点）
题型5二次函数y=ax²+bx+c的性质（常考点） 题型14 二次函数应用-类抛物线问题（常考点）
题型 6 二次函数 y=ax²+bx+c 的最值问题（重
题型15 二次函数应用-面积问题（常考点）
点）
题型 7 二次函数 y=ax²+bx+c 的图像问题（重
题型16 二次函数应用-利润问题（常考点）
点）
题型8 二次函数的平移变换 题型17二次函数与几何综合应用（重点）
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型18 二次函数的其他问题（重难点）
题型一 二次函数的概念（共 2 小题）
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（ ）
1
A．y=ax2+bx+c B．y=
x2
C．y=x2+5 D．y=2x-7
2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数y=2x2-3x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
（ ）
A．2，0，-3 B．2，-3，0 C．2，3，0 D．2，0，3
题型二 根据二次函数定义求参数（共 2 小题）
1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数y=2xm+1-x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．3
2．（22-23九年级上·云南昆明·期中）已知 是二次函数，则 的值为（ ）
y=(m+1)xm2+1+2x-3 m
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1题型三 特殊二次函数的图像和性质 （共 5 小题）
1．（25-26九年级上·内蒙古·期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）
y=(x-1) 2-2
A．(-1,-2) B．(-1,2) C．(1,-2) D．(1,2)
2．（24-25九年级上·福建福州·期末）关于函数 的函数值，下列说法正确的是（ ）
y=-(x-2) 2+2
A．最小值是-2 B．最大值是-2 C．最大值是2 D．最小值是2
3．（24-25九年级上·河南周口·期末）若a>0，c<0，则二次函数y=ax2+c的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数 的图象经过 ， ，
y=-(x-3) 2+2 A(-1,y ) B(1,y )
1 2
三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
C(4,y ) y y y
3 1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y
3 2 1 2 3 1
C．y >y >y D．y >y >y
2 1 3 3 1 2
5．（24-25九年级上·四川德阳·期末）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
y=(x-2) 2+5
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(-2,5)
C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x>2时，y随x的增大而增大
题型四 与特殊二次函数有关的几何知识 （共 3 小题）
1．（2023·四川达州·二模）如图，已知点A ,A ,...,A 在函数y=2x2位于第二象限的图像上，点
1 2 2024
B ,B ,...,B 在函数y=2x2位于第一象限的图像上，点C ,C ,...,C 在y轴的正半轴上，若四边
1 2 2024 1 2 2024
形O A C B ,C A C B ,...,C A C B 都是正方形，则正方形C A C B 的边
1 1 1 1 1 2 2 2 2023 2024 2024 2024 2023 2024 2024 2024
长为( )2023 2023
A．1012 B．1012❑√2 C． D． ❑√2
2 2
2.（九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形三个顶点的坐标依次为(3,1)，(1,1)，(1,3)．若抛物线y=ax2
的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
9 9 3 3
1
3．（九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y= x2上，其中点O为
3
坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．4 D．4❑√3
题型五二次函数 y=ax²+bx+ c 的性质（共 7 题）
1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）在若二次函数y=-2x2+4x+a-1的图象经过原点，则a的值为
（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．1或-1
2．（24-25九年级上·广西崇左·期末）抛物线y=x2-4x+5的对称轴方程是（ ）A．x=4 B．x=-4 C．x=2 D．x=-2
3．（24-25九年级上·云南大理·期末）点 ， ， 均在二次函数 的图
A(-2,y ) B(4,y ) C(6,y ) y=x2-2x+c
1 2 3
象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y = y >y
3 2 1 1 2 3
C．y >y >y D．y >y = y
1 2 3 3 1 2
4．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几组数值，观察表格正确
的结论是（ ）
x … -2 0 1 2 3 …
y … 0 -8 -9 -8 -5 …
A．当x=-1时，y=-5 B．抛物线开口向下
C．抛物线的对称轴是x=0 D．y随x的增大而增大
5．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知拋物线 ，若点 ， ， ，都在该
y=-x2+2x+c (0,y ) (1,y ) (3,y )
1 2 3
抛物线上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y y >y
3 2 1 2 3 1
6．（2023·浙江金华·一模）已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点(1,0)，则当2≤x≤6时，y的取值范
围是（ ）
A．-5≤ y≤5 B．-4≤ y≤5 C．-3≤ y≤5 D．0≤ y≤5
7．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知y=x(x-2)，0≤x≤4，下列说法正确的是（ ）
A．当x=0时，y有最小值 B．当x=0时，y有最大值
C．当x=1时，y有最小值 D．当x=1时，y有最大值
题型六 二次函数 y=ax²+bx+ c 的最值问题（共 3 题）
1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数 ，当 时， 的最小值
y=a(x-1) 2-a(a≠0) -1≤x≤4 y
为-4，则a的值为（ ）
1 1 4 1 1
A． 或4 B．4或- C．- 或4 D．- 或
2 2 3 2 2
2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）点P(t,n)在以直线x=1为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图
象上，则t-n的最大值等于（ ）7 17 15 15
A．- B．- C．- D．
4 4 4 4
3．（2023·山东济南·一模）已知二次函数y=ax2-2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大
值与最小值的差为4， 则a的值为（ ）
4 4 4
A．± B．±1 C．-1或- D．1或
3 3 3
题型七 二次函数 y=ax²+bx+ c 的图像问题（共 4 题）
1．（24-25九年级下·全国·期末）二次函数y=ax2-1与正比例函数y=ax在同一平面直角坐标系中的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c与一次函数
y=ax+c的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·山东德州·期末）二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=acx-b在同一坐标系中的大
致图象是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23九年级上·广东东莞·期末）函数y=ax2与y=-x-a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．题型八 二次函数的平移变换（共 3 题）
1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将抛物线y=2x2-3向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式
为 ．
2．（24-25九年级上·广东·期末）把抛物线y=x2-2x-1先向上平移 1个单位长度，再向左平移1个单位
长度，所得抛物线为（ ）
A． B． C． D．
y=x2-1 y=(x+1) 2 y=x2+1 y=(x-1) 2
3．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如果将二次函数y=x2-3的图象平移，使得平移后图象的解析式为
，那么它平移的过程可以是（ ）
y=(x+3) 2-5
A．向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移3个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移5个单位
D．向右平移3个单位，再向下平移5个单位
题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共 5 题）
1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)，(3,0)，则b的值为 ．
2．（23-24九年级下·北京·开学考试）抛物线y=x2-2mx+3的对称轴为直线x=2，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
3．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-1,0)、B(3,0)两点，
与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD的长为 ．
4．（23-24九年级上·浙江温州·月考）坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有
一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=10，BC=5，CD=6，则
PQ的长度为（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数a≠0），部分对应值如下
表：当x=3时，y=（ ）
x ．．． -2 -1 0 1 2 ．．．
y ．．． 5 0 -3 -4 -3 ．．．
A．5 B．-4 C．-3 D．0
题型十 二次函数与一次函数交点个数问题（共 2 题）
1
1．（24-25九年级上·山东·期末）将抛物线y=- (x+1) 2的图象位于直线y=-2以下的部分向上翻折，得
2
到如图图象，若直线y=x+m与此图象有四个交点；则m的取值范围是 ．
2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数 （ ， ）的图象（如图所示）是
y=|ax2+bx+c| a>0 b2-4ac>0
由函数y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而
成，则下列结论：①2a+b=0；②c=-3；③abc<0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5
有3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
题型十一 抛物线与坐标轴轴的交点问题（共 5 题）
1．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）抛物线 与x轴的交点坐标是 ．
y=2(x-1) 2-4
2．（24-25九年级上·四川自贡·期中）将抛物线y=3x2的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，
所得图象与x轴交点坐标为 ．
3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）二次函数 与 轴的交点坐标是 ．
y=-4(x+1) 2+2 y4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）抛物线y=x2-2x与x轴两交点间的距离为 ．
5．（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线y=x2-ax+1（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，则a的值
为 ．
题型十三 根据交点确定不等式的解集（共 4 题）
1．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x=1，当
y>0时，x的取值范围是 ．
2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y<0，则x的取值
范围是( )
A．-14 D．x<-1或x>3
3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，
y=ax2+c y=kx+m A(-3,y )
1
两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）
B(1,y ) ax2+kx+c≥m
2
A．x≤-3或x≥1 B．x≤-1或x≥3 C．-3≤x≤1 D．-1≤x≤3
4．（2023·山东济宁·一模）如图是二次函数 和一次函数 的图像，观察图像写出
y =ax2+bx+c y =mx+n
1 2
y ≥ y 时，x的取值范围（ ）
2 1A．x≥0 B．0≤x≤1 C．-2≤x≤1 D．x≤1
题型十四 二次函数应用 - 类抛物线问题（共 6 题）
1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面下
降2m，则水面宽度增加了（ ）
A．2❑√2m B．(4❑√2-4)m C．4❑√2m D．(2❑√2-2)m
2．（24-25九年级上·天津滨海新·期末）一名男生推铅球，铅球出手时，铅球的高度为1.8m．铅球行进的
高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数，y与x之间的函数关系式为
1 8 9
y=- x2+ x+ (0≤x≤9)．有下列结论：
5 5 5
①从铅球出手到落地时水平距离为9m；
②铅球行进过程中的高度可以达到5m；
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离小于从最高点运动至落地的水平距离．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）某次羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
1 5 5
y=- x2+x+ 的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是 米，球落地点A到O点的距
4 4 4
离是（ ）在
25
A．1米 B．3米 C． 米 D．5米
16
4．（24-25九年级上·四川广安·期末）小华在公园游玩，发现公园里的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈
抛物线型（如图1），小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度y（单位：
m）与距离浇水装置的水平距离x（单位：m）之间的函数关系图象（如图2），已知点A(0,1)，抛物
线的顶点坐标为B(2,3)．
(1)求水流所形成的抛物线对应的函数解析式；
(2)距离喷水装置水平方向5m处有一棵古树，请通过计算说明这个自动浇水装置能否浇到这棵古树？
5．（2024·陕西宝鸡·一模）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生
投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，
5
掷出时起点处高度为 m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3m处．
3(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于
等于9.60m时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀．
6．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边AB，
AC，BD和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以AB的中点O为原点，分别以直线AB和
抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，AB=12米，AC=BD=3
米，OE=7米．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行
车道的总宽度MN为8米，且O为MN的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的
宽度忽略不计）
题型十五 二次函数应用 - 面积问题（共 3 题）
1．（25-26九年级上·河南·期末）综合与实践
【问题背景】
我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？
【尝试探究】
（1）如图，设围成的矩形花圃为ABCD．我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样
变化的．请补充完整如表格：
AB的长
1 2 3 4 5 6 7 8 9
（m）
BC的长 18 16 12 6 4 2
（m）
面积（m2 18 32 48 42 32 18
）
【观察发现】
（2）设AB的长为x，矩形的面积为y，我们发现：y是x的函数．
①请写出y与x的函数关系式为：_______________（整理成一般形式）；
②自变量x的取值范围是：_______________；
【问题解决】
（3）请将y与x的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值；
【拓展探究】
（4）用总长为a米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．当与墙垂直的一边长度为
___________时，围成的花圃的面积最大，最大面积为___________．
2．（25-26九年级上·吉林·期末）有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角
形纸板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与
点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为
Scm2．(1)当直角顶点C落在直尺的长边上时，x=______cm．
(2)当00)中，
(1)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值；
(2)如果A(m-2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a2时，y≥n，求a的值．
